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10.4 三元一次方程组
1．如图,三个天平的托盘中相同的物质质量相等,图(1)、(2)所示的两个天平处于平衡状态,要使第三个天平也保持平衡,则需在它的右盘中放置( )
A.6个球 B.7个球 C.8个球 D.9个球
2．两个矩形纸片A，B按如图的三种位置放置，测量数据如图所示，已知矩形纸片A，B的长相等，下列判断错误的是( )
A.矩形A的长与宽的差为2.5 B.矩形B的长与宽的差为2
C.矩形A的周长为10 D.矩形B的周长为12
3．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有( )
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
4．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买( ).
A.11支 B.9支 C.7支 D.5支
5．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有( )
A.9种 B.10种 C.11种 D.12种
6．电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多( )张
A.10 B.11 C.12 D.13
7．已知方程组的解，则的值是( )
A.3 B.2 C.1 D.无法确定
8．下列是三元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
9．下列四组数值中，是方程组的解的是( )
A. B. C. D.
10．解三元一次方程组要使解法较为简便，应先进行的变形为( )
A. B. C. D.
11．已知，，，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
12．解三元一次方程组时，要使解法较为简便，首先应进行的变形为( )
A. B. C. D.
13．三元一次方程组的解是_____________________.
14．已知是三元一次方程组的解,那么的值为________________________．
15．将两块相同的长方体木块和一张课桌先按如图1所示的方式放置，再按如图2所示的方式放置，根据图中数据，得到这张课桌的高度是_______________.
16．某校为开展体育活动，购买同样的篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，后来又买同样的篮球3个，排球2个，足球1个共花费170元，问买同样的篮球1个，排球1个，足球1个，共需____________________元.
17．某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元.已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省.那么这笔最省的住宿费用是__________________元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是_____________________.
18．如果一个四位自然数，各个数位上的数均不为0，且满足，那么称m为M的“同心数”；将M十位与百位数字调换得到N，记N的“同心数”为n，令.例如，满足，则69为5351的“同心数”，将5351十位与百位数字调换得到5531，满足，则5531的“同心数”为33，此时，若，则其“同心数”m为_______________；当，且为整数时，M最大值与最小值的差为__________________.
19．如果，那么的值为_____________.
20．甲、乙、丙三家花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物（三种都要采购），多肉、茉莉花、绣球的单价分别为5元/株、15元/株、25元/株，乙采购的多肉数量是甲的10倍，茉莉花数量是甲的6倍，绣球数量是甲的8倍，丙采购的多肉数量是甲的3倍，茉莉花数量是甲的7倍，绣球数量和甲相同，三家花店采购共花费金额2510元，丙比甲多用420元，则三家花店采购多肉共花费________________元.
21．阅读材料，回答问题.
探索《九章算术》中机械化算法思想
《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序.在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案.
例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：
将原方程组中略去了未知数后形成数阵(1)，通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵(1)转化到阶梯数阵(4).不难发现数阵(4)对应的方程组是，第三行的方程，易解出z的值，再依次代入上一行方程分别求出y，x的值.
(1)直接写出示例方程组的解；
(2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题：
(i)解方程组：
(ii)已知关于x，y，z的方程组：有唯一解，求m的取值范围.
22．在数学游艺会上,小海准备了五张完全相同的卡片,从的自然数中随机选择一个数字可以重复,写到每张卡片正面,将它们正面向下放在桌上(如图),这五张卡片分别记为A,B,C,D,然后依次将相邻两张卡片上的数字相加,把结果记录到表.
卡片组合 A,B B,C C,D D,E E,A
两数的和 6 5 10 12 7
(1)正面数字最大的卡片记号为____________;
(2)将其中两张卡片上的数字进行更改,使得任意两张卡片上数字相加的和都是5,6,7,8中的一个,则被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是_____________.(写出所有可能的情况)
参考答案
1．答案：B
解析：设球的质量是x,小正方形的质量是y,小正三角形的质量是.
根据题意得到：,
解得：,
第三图中左边是：,因而需在它的右盘中放置7个球.
故选：B.
2．答案：D
解析：设矩形纸片A的长为a，宽为b，矩形B的宽为c，则矩形B的长为a，
由图得，，，
解得，，，
，
故A结论正确，不符合题意；
，
故B结论正确，不符合题意；
，
故C结论正确，不符合题意；
，
故D结论错误，符合题意.
3．答案：B
解析：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中，，，且x，y，z均为整数，根据题意得，
，
整理得，，
①当时，，
∴
∵，，且y，z均为整数，
∴当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴；
②当时，，
∴
∵，，且y，z均为整数，
∴当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴；
综上，此次共有6种采购方案，
故选：B.
4．答案：D
解析：设购买甲、乙、丙三种钢笔分别为x、y、z支，由题意，得
得，
所以，
将代入①，得.
即.
∵，
∴，
∴x为小于6的正整数，
四个选项中只有D符合题意；
故选D.
5．答案：C
解析：设购买三种图书的数量分别为a，b，c，
根据题意得：，
整理得：，
于是a有11种可能的取值（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）.
对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c，
∴不同的购书方案共有11种.
故选：C.
6．答案：A
解析：分别设三种票买了x，y，z张.
则根据题意，得，
由②得③
将③代入①，得：.
故选：A.
7．答案：B
解析：，
①+②+③得：，
解得：，
故选：B.
8．答案：D
解析：是三元一次方程组
9．答案：D
解析：把四组数值分别代入验证，适合方程组中的三个方程的一组数值为方程组的解，由此可得D选项符合题意.
答案：A
解析：解三元一次方程组先进行的变形为
11．答案：B
解析：∵，，，
∴
A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项正确，符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.∵
，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B.
12．答案：A
解析：解三元一次方程组时，要使解法较为简便，首先应进行的变形为消去z.故选A.
13．答案：
解析：,
①②得：④,
③④得：,即,
把代入④得：,
把代入②得：,
则方程组的解为,
故答案为：
14．答案：
解析：是三元一次方程组的解,
得,
．
15．答案：70
解析：设这张课桌的高度是，长方体的长为，宽为，
∴，
∴①+②得，，
∴，
∴这张课桌的高度是，
故答案为：70.
16．答案：
解析：设篮球的单价为x元，排球的单价为y元，足球的单价为z元，依题意得，
，
由②得：，
由得：，
则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费元，
故答案为：.
17．答案：1150；15，0，5
解析：设三人间、二人间、单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为w元，
则
解得
x，y，z都是自然数，
或或或或或
，
w随z的增大而减小，
∴当，即，时，住宿的总费用最低，为，
故最省住宿费用为1150元，所住三人间、双人间、单人间的间数依次为15，0，5.
故答案为：1150元，间数依次为15，0，5.
18．答案：23；1869
解析：若，
由题意可得：，
解得；
由题意可得：，，
故当时，，，
∴，
整理可得：，
由①+②可得：，
∵为整数，
∴或-27或9或-9或3或-3或1或-1，
∵，，
∴，
∴，
∴或9或3或-3或1或-1，
当时，，
此时，，，
当时，M有最大值，为2997；
当时，M有最小值为2117；
当时，，
此时，，，
当，时，M有最大值，为1898，
当，时，M有最小值，为1128；
当时，，
此时，，，
没有符合题意的b、c的值，故不符合题意；
当时，，
此时，，，
没有符合题意的b、c的值，故不符合题意；
当时，，
此时，，，
没有符合题意的b、c的值，故不符合题意；
当时，，
此时，，，
没有符合题意的b、c的值，故不符合题意；
综上所述，M的值可以为：2997或2117或1898或1128，
故最大值与最小值的差为：，
故答案为：23，1869.
19．答案：9
解析：
①+②+③得到，
，
∴，
故答案为：9
20．答案：420
解析：设甲花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物x株，y株，z株，则乙花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物10x株，6y株，8z株，丙花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物3x株，7y株，z株.由题意得，，所以由②得.③因为x，y都是正整数，所以y的取值可能是1，2，3，4.把③代入①并整理得.因为z是正整数，所以y的取值只能是4.当时，，所以，所以三家花店采购多肉共花费420元.故答案为420.
21．答案：(1)
(2)(i)
(ii)
解析：(1)方程组，
由③得，，
代入②，解得，
代入①，解得，
∴方程组的解为；
(2)(i)方程组，
仿照材料可得：
最后一个数阵对应的方程组是，
由⑥得，
代入⑤，解得，
代入④，解得，
∴方程组的解为；
(ii)方程组，
仿照材料可得：
最后一个数阵对应的方程组是
，
当，即时，
由⑥得，
代入⑤，解得，
代入④，解得，
∴方程组的解为，符合题意；
∴.
22．答案：D;2、3、3、4、4或2、3.、3、3、5或2、3、4、4、4
解析：(1)求正面数字最大的卡片,设A卡片上的数字为x,B卡片上的数字为y,C卡片上的数字为z,D卡片上的数字为w,E卡片上的数字为根据表格中相邻两张卡片数字和可得方程组:
,
解得,
比较2、3、3、4、8大小,可得8最大,所以正面数字最大的卡片记号为.
故答案为:D;
(2)求更改后五张卡片上的数字原来的数字为3、3、2、8、4,
因为任意两张卡片上数字相加的和都是5,6,7,8中的一个,
所以原来的数字8必须要更换,剩下的3、3、2、4中更换一张;
设更换后的数字为a,b,不妨设,
当更换数字3时,则5张卡片分别为3、2、4、a、b,,,,
则剩下数字必定有,则或,
此时被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是2、3、4、4、4或2、3、3、4、4;
当更换数字2时,则5张卡片分别为3、3、4、a、,,,则剩下数字必定有,,即,此时被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是2、3、3、4、4;
当更换数字4时,则5张卡片分别为3、3、2、a、b,,,
则剩下数字必定有或,即或,
此时被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是2、3、3、4、4或2、3、3、3、5;
综上所述,被更改后五张卡片上的数字从小到大依次是2、3、3、4、4或3、3、3、5或2、3、4、4、4.
故答案为:2、3、3、4、4或3、3、3、5或2、3、4、4、4.

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