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第22章素养练习
一、选择题(本大题共10小题，每小题3INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET ，共30INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的(　　)
A．平移 B．轴对称 C．相似 D．旋转
INCLUDEPICTURE"25秋HS-J14.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J14.tif" \* MERGEFORMATINET (第1题)　　　INCLUDEPICTURE"25秋HS-J15.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J15.tif" \* MERGEFORMATINET (第3题)
2．下列四组线段中，是成比例线段的是(　　)
A．4，3，4，5 B．10，16，5，8
C．2，4，6，8 D．9，8，15，10
3．如图，DE∥BC，AD∶BD＝2∶3，BC＝15，则DE的长是(　　)
A．6 B．8 C．12 D．20
4．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点(0，1)，△ABC关于直线l对称，点B的坐标为(－1，－1)，则点C的坐标为(　　)
A．(－2，1) B．(－1，3) C．(1，－3) D．(－3，1)
　　　(第4题)　　　(第5题)
5．如图，点O是等边三角形PQR的中心，P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，若△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，则相似比、位似中心分别是(　　)
A．2，点P B.，点P C．2，点O D.，点O
6．如图，已知∠ABC＝∠ACD＝90°，补充下列条件仍不能判断△ABC与△ACD相似的是(　　)
A．AC平分∠BAD B．AB⊥AD
C.＝ D．AC·BC＝AB·CD
INCLUDEPICTURE"26秋HSJ+2.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\26秋HSJ+2.tif" \* MERGEFORMATINET (第6题)　　　　INCLUDEPICTURE"26秋HSJ+3.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\26秋HSJ+3.tif" \* MERGEFORMATINET (第7题)
7．如图，在矩形ABCD中，CD＝8，AC＝10，E为AD上一点且AC，BE交于点F，FG∥BC.若S△AEF∶S△BFC＝1∶9，则FG的长为(　　)
A. B. C. D.
8．如图，在由小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，则∠A＋∠F的度数为(　　)
A．45° B．50° C．60° D．75°
INCLUDEPICTURE"HS-8.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\HS-8.tif" \* MERGEFORMATINET
(第8题)
　　INCLUDEPICTURE"25秋HS-J24.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J24.tif" \* MERGEFORMATINET (第9题)　　　　INCLUDEPICTURE"25秋HS-J25.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J25.tif" \* MERGEFORMATINET (第10题)
9．《九章算术》中记载：今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？译文：如图，一座正方形城池每边的正中各开一道门，从北门点A处往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从西门点C处往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为(　　)
A．360步 B．270步 C．180步 D．90步
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA＝5，OC＝3.若把矩形OABC绕着点O按逆时针方向旋转，使点A恰好落在边BC上的点A1处，则点C的对应点C1的坐标为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题3INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET ，共15INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )
11．若＝，则的值为________．
12．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为6，12，15，△DEF的最短边长为2，那么△DEF的周长为________．
13．如图，△ABC的顶点C的坐标是(－2，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，且AB∶A′B′＝1∶3，若点B′的横坐标是7，则点B的横坐标是________．
INCLUDEPICTURE"25秋HS-J26.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J26.tif" \* MERGEFORMATINET
(第13题)
　　　　INCLUDEPICTURE"26秋HSJ+4+.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\26秋HSJ+4+.tif" \* MERGEFORMATINET (第14题)　　　　INCLUDEPICTURE"25秋HS-J28.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J28.tif" \* MERGEFORMATINET (第15题)
14．如图，已知平行于主光轴l的光线AM经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点F1，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，F1M与AO的交点为点C.若AM＝4 cm，OF1＝3 cm，点A到主光轴l的距离AB＝2 cm，则点C到主光轴l的距离CD为________cm.
15．如图，等边三角形ABC的边长为10，点D，E分别是BC，AC上的动点，沿DE所在的直线折叠∠C，使点C的对应点C′落在边AB上，若点C′把线段AB分成2∶3的两部分，则线段AE的长为________．
三、解答题(本大题共8小题，共75INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(8INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，有一种复印纸，整张称为A1纸，对折裁开称为A2纸，它们都是相似的矩形．
(1)求的值．
(2)若A1纸的周长为286 cm，求A2纸的周长．
INCLUDEPICTURE"25秋HS-J29.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J29.tif" \* MERGEFORMATINET
17．(8INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图所示的是边长为1个单位长度的小正方形网格，点A，B，C的坐标分别为(2，3)，(1，1)，(4，1)．
(1)将△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；
(2)以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出A2的坐标．
INCLUDEPICTURE"25秋HS-J32.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J32.tif" \* MERGEFORMATINET
18．(9INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )春天到了，同学们去公园春游，张明、李华对着景区示意图(如图)描述景区中牡丹亭和望春亭的位置(图中小正方形的边长代表100 m)．
张明：“牡丹亭的坐标为(300，300)．”李华：“望春亭约在中心广场南偏西63°方向224 m处．”
实际上，他们所说的位置都是正确的．根据所学的知识解答下列问题：
(1)请指出张明是如何在景区示意图上建立平面直角坐标系的，并在图中画出平面直角坐标系；
(2)请分别用张明、李华的方法，描述出音乐台和游乐园的位置(参考数据：≈2.24)．
INCLUDEPICTURE"25秋HS-J31.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J31.tif" \* MERGEFORMATINET
19．(9INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6.
(1)请用尺规作图的方法在AB上找一点D，使得△ACD∽△ABC(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，求AD的长．
INCLUDEPICTURE"3T9.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\3T9.tif" \* MERGEFORMATINET
20．(9INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连结EF，CF，AC，EF交AC于点G.
(1)若AC＝8，求AG的长；
(2)如果AB＝AC，求证：△AFG∽△ACF.
INCLUDEPICTURE"25秋HS-J34.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J34.tif" \* MERGEFORMATINET
21．(10INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是边BC上一点，DE⊥AD，CE⊥AC，DE和CE交于点E.
(1)如果AB＝BC，猜想AD和DE之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)在(1)的条件下，如果AB＝4，BC＝8，∠DAC＝∠ACB，求DE的长．
INCLUDEPICTURE"KA22-101.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\KA22-101.tif" \* MERGEFORMATINET
22．(10INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
测量示意图 INCLUDEPICTURE"26秋HSJ+4.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\26秋HSJ+4.tif" \* MERGEFORMATINET
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上
测量数据 DE＝2.1 m，DF＝2.1 m，DM＝1 m，MN＝1.2 m
备注 点F，M，D，C在同一水平线上
　　根据以上信息，解决下列问题．
(1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由；
(2)求纪念碑AB的高度；
(3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5 m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64 m．请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因(写出一条即可)．
23．(12INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )(1)【问题呈现】如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，连结BD，CE.求证：BD＝CE.
(2)【类比探究】如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°.连结BD，CE，则＝________．
(3)【拓展提升】如图③，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝.连结BD，CE.
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G.若＝，AB＝6，求BF的长．
INCLUDEPICTURE"HS-13.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\HS-13.tif" \* MERGEFORMATINET
答案
一、1.C　2.B　3.A　4.B　5.D　6.C　7.C　8.A
9．A　10.A
二、11.2　12.11　13.－5　14.
15.或　点拨：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝10，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠AC′E＋∠AEC′＝120°.由翻折的性质可知，∠DC′E＝∠C＝60°，EC′＝EC，C′D＝CD，
∴∠AC′E＋∠BC′D＝120°，∴∠BC′D＝∠AEC′，
∴△BC′D∽△AEC′，∴＝＝.设AE＝x，BD＝y，则EC′＝EC＝10－x，C′D＝DC＝10－y.①当＝时，则AC′＝4，BC′＝6.∴＝＝，解得x＝；②当＝时，则AC′＝6，BC′＝4.
∴＝＝，解得x＝.综上，AE的长为或.
三、16.解：(1)∵A1纸的长为AD，宽为AB，A2纸的长为AB，宽为，A1，A2纸是相似的矩形，∴＝，
∴＝.
(2)∵A1纸的周长为286 cm，＝，
∴A2纸的周长为286÷＝143(cm)．
17．解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，C1(9，7)．
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，A2(3，5)．
INCLUDEPICTURE"25秋HS-D58.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转word系列\\方正转图片3218\\转出文件\\25秋HS-D58.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-D58.tif" \* MERGEFORMATINET
18．解：(1)张明是以中心广场为坐标原点，正东方向和正北方向分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
INCLUDEPICTURE"25秋HS-D57.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转word系列\\方正转图片3218\\转出文件\\25秋HS-D57.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-D57.tif" \* MERGEFORMATINET
(2)用张明的方法：音乐台的坐标为(0，400)，游乐园的坐标为(200，－400)．
用李华的方法：音乐台在中心广场正北方向400 m处，游乐园约在中心广场南偏东27°方向448 m处．
19．解：(1)如图所示，点D即为所求．
INCLUDEPICTURE"3TDA2.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转word系列\\方正转图片3218\\转出文件\\3TDA2.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\3TDA2.tif" \* MERGEFORMATINET
(2)∵△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，解得AD＝.
20．(1)解：如图，连结BD交AC于点O.
INCLUDEPICTURE"25秋HS-D59.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转word系列\\方正转图片3218\\转出文件\\25秋HS-D59.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-D59.tif" \* MERGEFORMATINET
∵点E和点F分别为边AD，AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，AF＝FB＝AB，
∴EF∥BD，∴＝＝1，∴AG＝GO＝AO.
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC＝AC，
∴AG＝AO＝×AC＝AC＝×8＝2，
∴AG的长为2.
(2)证明：∵AF＝AB，AB＝AC，∴AF＝AC.
∵AG＝AC，∴＝＝，∴＝.
∵∠FAG＝∠CAF，∴△AFG∽△ACF.
INCLUDEPICTURE"KAD22-7.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转word系列\\方正转图片3218\\转出文件\\KAD22-7.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\KAD22-7.tif" \* MERGEFORMATINET
21．解：(1)AD＝DE.
证明：如图，作DF∥AC，交AB于点F，
∵DF∥AC，∴＝.
∵AB＝BC，∴AF＝DC.
∵DE⊥AD，CE⊥AC，
∴∠ADE＝∠ACE＝90°.
∵∠B＝90°，∴易得∠EDC＝180°－∠ADE－∠ADB＝90°－∠ADB＝∠BAD.
∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠ACB，
∴∠AFD＝∠B＋∠FDB＝90°＋∠ACB＝∠DCE，
∴△AFD∽△DCE，
∴＝＝，即AD＝DE.
(2)∵∠DAC＝∠ACB，∴DA＝DC，
设DA＝DC＝x，则BD＝8－x.
在Rt△BDA中，由勾股定理得BD2＋AB2＝AD2，
即(8－x)2＋42＝x2，
解得x＝5，∴AD＝5，∴DE＝2AD＝2×5＝10.
22．解：(1)∵太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，
∴＝，
∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，
即DE＝DF，∴CD＝CA.
(2)设BN与DE的交点为H，
易知四边形BCDH和MNHD是矩形，
∴CD＝BH，BC＝DH＝MN＝1.2 m，NH＝DM＝1 m，
∵DE＝2.1 m，∴EH＝DE－DH＝0.9 m，
设AB＝x m，则AC＝AB＋BC＝(1.2＋x)m，
∴BH＝CD＝AC＝(1.2＋x)m，
∴NB＝BH＋NH＝(2.2＋x)m，
易知EH∥AB，∴△NEH∽△NAB，
∴＝，∴＝，
解得x＝19.8，经检验，x＝19.8是方程的解且符合题意．
所以纪念碑AB的高度为19.8 m.
(3)纪念碑的实际高度为19.64 m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5 m，(2)中纪念碑AB的高度为19.8 m，则小红的结果误差较大．原因：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果．(原因合理即可)
23．(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE.
(2)
(3)解：①∵＝＝，
∴＝，设AB＝3a，则BC＝4a，易知AC＝5a.
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，＝ ＝，
∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，
∴＝＝.
②由①得△CAE∽△BAD，＝，
∴∠ACE＝∠ABD，AC＝10.又∵∠AGC＝∠BGF，
∴△BGF∽△CGA，∴＝＝，
∴BF＝.

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