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第23章素养练习
一、选择题(本大题共10小题，每小题3INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET ，共30INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，AC＝3，则cos A＝(　　)
A. B. C. D.
2．如图，一个梯子靠在垂直于水平地面的墙上，梯子AB的长是2 m．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离(BC的长)为(　　)
A．2sin α m B．2cos α m C. m D. m
INCLUDEPICTURE"25秋HS-J49.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J49.tif" \* MERGEFORMATINET (第2题)　　　　INCLUDEPICTURE"25秋HS-J50.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J50.tif" \* MERGEFORMATINET (第3题)
3．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1∶3，它把物体从地面点A处送到离地面3 m高的B处，则物体从A到B所经过的路程为(　　)
A．3 m B．2 m C. m D．9 m
4．在△ABC中，若锐角A，B满足(tan A－3)2＋＝0，则△ABC(　　)
A．是直角三角形
B．是等边三角形
C．是含有60°角的任意三角形
D．是顶角为钝角的等腰三角形
5．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，跨度BC＝10 m，AD为支柱(即底边BC的中线)，两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE＋DF等于(　　)
A．10 m B．5 m C．2.5 m D．9.5 m
(第5题)　　(第6题)
6．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且cos α＝，AB＝6，则AD＝(　　)
A. B．10 C．8 D.
7．已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则sin等于(　　)
A．cos B．sin C．tan D．cos C
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝45°，AB＝，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为(　　)
A.＋1 B．2 C. D.－
INCLUDEPICTURE"HS-15.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\HS-15.tif" \* MERGEFORMATINET
(第8题)
　　INCLUDEPICTURE"25秋HS-J56.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J56.tif" \* MERGEFORMATINET (第9题)　INCLUDEPICTURE"25秋HS-J57.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J57.tif" \* MERGEFORMATINET (第10题)
9．如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则sin α的值为(　　)
A. B. C. D.
10．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点O为坐标原点，A，B，C是斜边AB的中点，且DC⊥AB交x轴于点D.将△BCD沿x轴向右平移得到△B′C′D′，当B′C′的中点E恰好落在y轴上时，点D′的坐标为(　　)
A. B. C. D．(7，0)
二、填空题(本大题共5小题，每小题3INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET ，共15INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )
11．若α为锐角，且sin α＝，则m的取值范围是______．
12．如图，菱形ABCD的边长为3 cm，DE⊥AB，cos∠ADE＝，则菱形ABCD的面积为______cm2.
INCLUDEPICTURE"26秋HSJ+5.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\26秋HSJ+5.tif" \* MERGEFORMATINET
(第12题)
　　　　INCLUDEPICTURE"25秋HS-J58.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J58.tif" \* MERGEFORMATINET (第13题)　　　　INCLUDEPICTURE"25秋HS-J60.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J60.tif" \* MERGEFORMATINET (第14题)
13．如图，正方形网格中，A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则tan∠BAD＝________．
14．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E，F两点的俯角分别为60°和30°，这时点F相对于点E升高了3 cm.该摆绳CD的长度为________cm.
15．在菱形ABCD中，AB＝10，tan B＝，点M是平面内一点，CM＝4，连结AM，当∠BAM＝90°时，AM的长为________________．
三、解答题(本大题共8小题，共75INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(8INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )计算：
(1)；　　　(2)2tan 30°＋tan 45°－4cos 30°.
17．(8INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2，b＝6，解这个直角三角形．
INCLUDEPICTURE"J33.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\J33.tif" \* MERGEFORMATINET
18．(9INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是边BC上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.
(1)求BC的长；
(2)求sin∠DAE的值．
INCLUDEPICTURE"25秋HS-J63.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J63.tif" \* MERGEFORMATINET
19．(9INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )图①的拐尺与水平尺是生活中重要的测量工具，图②是某学校一段斜坡的示意图．该学校的学生利用拐尺和水平尺测量斜坡的坡度(即tan∠BAD的值)．现将拐尺的一边MN放置在斜坡AB上，拐尺的另一边MG与MN垂直，水平尺的一边EF与水平地面AD保持平行，点F与点N重合，EF与MG交于点P.测得PM＝5 cm，PN＝15 cm，斜坡AB的长为150 cm，求斜坡顶点B到地面AD的距离及斜坡AB的坡度．(结果保留根号)
INCLUDEPICTURE"26秋HSJ+6.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\26秋HSJ+6.tif" \* MERGEFORMATINET
20．(10INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)．
①在AC上求作一点D，使得点D到AB的距离等于点D到BC的距离；
②作DE∥CB交AB于点E.
(2)在(1)的条件下，若＝，DE＝5，求CD的长．
INCLUDEPICTURE"HS-19.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\HS-19.tif" \* MERGEFORMATINET
21．(10INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )如图所示，文峰塔是安阳著名古建筑．小明所在的课外活动小组在塔上距地面25 m高的点D处，测得地面上点B的俯角α为30°，点D到塔中心轴AO的距离DE为6.5 m；从地面上的点B沿BO方向走11 m到达点C处，测得塔尖A的仰角β为45°.
(1)请你根据以上数据计算塔高AO；(参考数据：≈1.73，≈1.41，结果精确到0.1 m)
(2)小红查阅资料知文峰塔高约38.6 m，与计算结果稍有出入，请提出一条减少误差的建议．
INCLUDEPICTURE"25秋HS-J66.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J66.tif" \* MERGEFORMATINET
22．(10INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )某数学兴趣小组在“测量池塘的宽度AB”的实践活动中，设计并实施了以下方案：
课题 测量池塘的宽度AB
测量方案示意图 INCLUDEPICTURE"26秋HSJ+7.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\26秋HSJ+7.tif" \* MERGEFORMATINET
测得数据 如图，点A，B，C，D都是池塘岸边上的点，点D位于点B正南方向，点A位于点B南偏西53.3°方向，点D，E在点A的正东方向，点C位于点B南偏东45.5°方向，已知△DCE是草坪休息区域，∠E＝90°.测得BC＝80 m，CE＝61 m
说明 点A，B，C，D，E位于同一平面内
参考数据 sin 53.3°≈0.80，cos 53.3°≈0.60，tan 53.3°≈1.34，sin 45.5°≈0.71，cos 45.5°≈0.70，tan 45.5°≈1.02
问：池塘的宽度AB约为多少？
23．(11INCLUDEPICTURE"赞.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\赞.tif" \* MERGEFORMATINET )小明遇到这样一个问题：如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AB＝3，BC＝2，求AD的长．
小明发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图②)．
(1)请用小明的方法直接写出AD的长为________；
(2)小飞采用了另一种方法求AD的长，他过点B作BM⊥AB于点B，交CD于点M，过点M作MN⊥AD于点N，请你用他的方法来求AD的长；
(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD中，tan A＝，∠B＝∠C＝135°，AB＝8，CD＝2，求AD的长．
INCLUDEPICTURE"25秋HS-J67.tif" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-J67.tif" \* MERGEFORMATINET
答案
一、1.B　2.A　3.A　4.A　5.B　6.C　7.A　8.B　9.B
10．A　点拨：∵A(0，8)，B(－6，0)，∴OA＝8，OB＝6，∴AB＝＝10，∴cos∠ABO＝＝.
∵C是斜边AB的中点，∴BC＝AB＝5.
∵DC⊥AB，∴在Rt△DBC中，BD＝＝＝，由平移的性质可得，B′D′＝BD＝，B′C′＝BC＝5，∠C′B′D′＝∠CBD.∵点E为B′C′的中点，∴EB′＝B′C′＝.在Rt△EB′O中，B′O＝B′E·cos∠EB′O＝×＝，∴OD′＝B′D′－B′O＝－＝，∴D′.
二、11.－15．6－2或6＋2　点拨：当点M在菱形内部时，延长AM交CD于点E，如图①所示，∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，CD＝AB＝AD＝10，AB∥CD，∴∠BAM＝∠AED＝90°，∵tan B＝，∴tan D＝＝，设AE＝3x，则ED＝4x，在Rt△AED中，AE2＋ED2＝AD2，即(3x)2＋(4x)2＝102，解得x＝2(负值已舍去)，∴AE＝6，ED＝8，∴CE＝CD－ED＝10－8＝2，∴易得ME＝＝＝2，∴AM＝AE－ME＝6－2；当点M在菱形外部时，如图②所示，易得AM＝6＋2.综上，AM的长为6－2或6＋2.
INCLUDEPICTURE"25秋HS-D66.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转word系列\\方正转图片3218\\转出文件\\25秋HS-D66.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-D66.tif" \* MERGEFORMATINET
三、16.解：(1)原式＝＝＝3＋.
(2)原式＝2×＋1－4×＝＋1－2
＝1－.
17．解：∵a＝2，b＝6，∠C＝90°，
∴c＝＝＝＝4，
tan A＝＝＝，
∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
18．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝＝8.
在Rt△ADC中，tan∠ACB＝＝1，
∴DC＝6，∴BC＝BD＋DC＝8＋6＝14.
(2)∵AE是边BC上的中线，∴BE＝BC＝7，
∴DE＝BD－BE＝8－7＝1，
∴AE＝＝＝，
∴sin∠DAE＝＝＝.
19．解：过点B作BH⊥AD于点H.
由题意，可知PN∥AD.
∴∠PNM＝∠BAH.
∵PM⊥MN，BH⊥AD，
∴∠PMN＝∠BHA＝90°.
∴△PMN∽△BHA.
∴＝，即＝.
∴BH＝50 cm.
在Rt△PMN中，由勾股定理，得
MN2＝＝10 cm，
∴tan∠BAD＝tan∠PNM＝＝＝.
故斜坡顶点B到地面AD的距离为50 acm，斜坡AB的坡度为.
20．解：(1)①如图，点D即为所求．
②如图，DE即为所求．
INCLUDEPICTURE"答案-47.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转word系列\\方正转图片3218\\转出文件\\答案-47.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\答案-47.tif" \* MERGEFORMATINET
(2)∵＝，∴设AC＝4x，则BC＝3x，
∵∠C＝90°，∴AB＝＝5x，
∴sin∠ABC＝＝.
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC.
如图，作DF⊥AB于点F，
在Rt△DEF中，sin∠FED＝＝sin∠ABC＝，
由(1)①知，DF＝CD，
∴＝.
∵DE＝5，∴CD＝4.
21．解：(1)作DF⊥BO于点F，由题意易得四边形DFOE是矩形．
∴DE∥OB，DE＝OF，∴∠B＝∠α＝30°.
在Rt△DFB中，DF＝25 m，∠B＝30°，
∴BF＝＝＝25(m)．
∵BC＝11 m，OF＝DE＝6.5 m，
∴CO＝BF＋OF－BC＝25＋6.5－11≈38.8(m)．
在Rt△AOC中，易得∠CAO＝∠β＝45°，
∴AO＝CO≈38.8 m.
即塔高AO约为38.8 m.
(2)多次测量求平均值，可以减少误差．(合理即可)
22．解：过点C作CF⊥BD于点F，
∴∠CFB＝∠CFD＝90°.
由题意可知∠ADB＝∠BDE＝∠E＝90°，
∴四边形CEDF是矩形．∴DF＝CE＝61 m.
在Rt△BCF中，cos∠CBF＝，
∴BF＝cos∠CBF·BC＝cos 45.5°×80≈0.70×80＝56(m)．
∴BD＝BF＋DF≈56＋61＝117(m)．
在Rt△ABD中，cos∠ABD＝，
∴AB＝≈≈＝195(m)．
即池塘的宽度AB约为195 m.
23．解：(1)7
(2)∵BM⊥AB，MN⊥AD，∴∠MBA＝∠ANM＝∠MND＝∠A＝90°，
∴四边形ABMN是矩形，
∴MN＝AB＝3，AN＝BM，AN∥BM，
∴∠BMC＝∠D＝60°.
在Rt△BMC中，BM＝＝＝4，∴AN＝4.
在Rt△MND中，DN＝＝＝3，
∴AD＝AN＋DN＝7.
(3)如图，延长AB与DC相交于点E.
INCLUDEPICTURE"25秋HS-D72.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转word系列\\方正转图片3218\\转出文件\\25秋HS-D72.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\庞建宇\\Desktop\\九数HS全国 PPT+希沃\\25秋HS-D72.tif" \* MERGEFORMATINET
∵∠ABC＝∠BCD＝135°，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
∴BE＝CE，∠E＝90°.
设BE＝CE＝x，则BC＝＝x，AE＝8＋x，
DE＝2＋x.
在Rt△ADE中，∵tan A＝，
∴＝，即＝，
∴x＝4.
经检验，x＝4是分式方程的解，且符合题意，
∴AE＝12，DE＝6，
∴AD＝＝＝6.

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