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第4章 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．直角三角形绕它的斜边(即最长的边)所在直线旋转一周得到的几何体为(　　)
2．下列说法与如图的几何图形相符的是(　　)
A．点D在直线n上 B．射线OD与射线DO为同一条射线
C．∠AOB也可以表示为∠O D．直线AC与直线n为同一条直线
(第2题)　　　　　　(第5题)
3．如图所示的四个图形中，能用∠α，∠O，∠AOB三种方法表示同一个角的图形是(　　)
4.已知∠1＝28°24′，∠2＝28.24°，∠3＝28.4°，则下列结论中，正确的是(　　)
A．∠1＝∠2＜∠3 B．∠1＝∠3＞∠2
C．∠1＜∠2＝∠3 D．∠1＝∠2＞∠3
5.现代人常常受到颈椎不适的困扰，其症状包括酸胀、隐痛、发紧、僵硬等，而将两臂向上抬，举到10点10分(如图)处，每天连续走200米，就能有效缓解此症状．这里的10点10分指的是时钟在10点10分时时针和分针的夹角，请问此时时针与分针的夹角是(　　)
A．100° B．105° C．115° D．120°
6.渝长厦高速铁路是从重庆经长沙到厦门的铁路，其中，由常德至长沙西的沿线站点依次是：常德—汉寿—益阳南—宁乡西—长沙西．每两站之间由于方向不同，车票也不同，铁路运营公司要为常德至长沙西设计往返车票，那么最多需要准备车票(　　)
A．10种 B．15种 C．20种 D．30种
7．互不重合的A，B，C三点在同一直线上，已知AC＝2a＋1，BC＝a＋4，AB＝3a，这三点的位置关系是(　　)
A．点A在B，C两点之间 B．点B在A，C两点之间
C．点C在A，B两点之间 D．无法确定
8.已知线段AB＝10 cm，C是直线AB上一点，BC＝4 cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是(　　)
A．7 cm B．3 cm C．7 cm 或3 cm D．5 cm
9．将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE，AF为折痕，点B，D折叠后的对应点分别为B′，D′，若∠B′AD′＝16°，则∠EAF的度数为(　　)
A．40° B．45° C．56° D．37°
(第9题)　　　　(第10题)
10．如图，点O是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90.若∠AOB＝∠COD，射线OA，OB分别经过刻度线40和60，∠COD在射线OM的右侧．下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②若∠AOC与∠BOC互补，则射线OD经过刻度线165；③若∠MOC＝3∠COD，则图中共有5对角互为余角．其中正确结论的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题(每题3分，共24分)
11.北京海淀区期末《荀子·劝学》有云，木受绳则直，金就砺则利．大意是说，木材经墨线比量后加工便可取直，刀剑等金属制品被磨刀石磨过就会变得锋利．木匠师傅欲做一工件，在木板上确定两点，依此弹出线段再加工，其依据为_________________________________________．
12.如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日郑州市正午太阳光线与水平面的夹角β为55°18′，若光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角α＝________°.
(第12题)
　　　(第13题)　　　(第14题)
13．如图，若线段AB＝12 cm，M是AB的中点，D是AM的中点，MC＝2 cm，则CD的长为________cm.
14．如图，将一副三角板的直角顶点O叠放在一起，∠BOC＝∠AOD，则∠BOD＝________°.
15.平面内的n条直线恰有2 028个交点，则n的最小值为________．
16．如图，∠COD在∠AOB的内部，OE平分∠AOC.若∠AOB＝m°，∠COD＝n°，则2∠BOE－∠BOD＝________°(用含m，n的式子表示)．
(第16题)　　　　(第17题)
17．如图，数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次从点A跳动到AO的中点A1处，第2次从点A1跳动到A1O的中点A2处，第3次从点A2跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An(n>3，n是整数)处，那么线段AnA的长度为________．
18.如图，AB为一根长为40 cm的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M，N，分别将AM，BN沿点M，N折叠，点A，B分别落在绳子上的点A′，B′处(绳子无弹性，折叠处的长度忽略不计)．
(1)当点A′与点B′恰好重合时，MN＝________．
(2)当A′B′＝10 cm时，MN＝________________．
三、解答题(19，20题每题6分，21～23题每题8分，其余每题10分，共66分)
19．计算：
(1)48°39′＋67°31′－21°17′×5; (2)53°40′30″×2－72°57′28″÷2.
20．如图，已知四点A，B，C，D(任意三点都不在一条直线上)，按照下列语句画出图形：
(1)画线段AB；
(2)画射线BD；
(3)连接AC，与BD相交于点O；
(4)画线段BC并反向延长BC至点E，使CE＝3BC－AB.(保留画图痕迹，不写画法)
21．如图，已知A，B，C三点在同一条直线上，AB＝24 cm，BC＝AB，E是AC的中点，D是AB的中点，求DE的长．
22．如果两个角的差的绝对值等于90°，那么就称这两个角互为垂角．例如：∠1＝120°，∠2＝30°，则∠1，∠2互为垂角，即∠1是∠2的垂角，∠2是∠1的垂角(本题中的所有角都是指大于0°且小于180°的角)．
(1)已知∠α＝54°，∠β＝137°，直接写出它们的垂角分别是多少度；
(2)如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数．
23．综合实践小组准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
【操作探究】(1)综合实践小组准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图①中只有四个正方形，请在原图上补画一个正方形，使其经过折叠能围成一个无盖的正方体纸盒；
【问题解决】(2)图②是综合实践小组的设计图，把它折成无盖的正方体纸盒后与有“卫”字一面相对的面上的字是________；(字在盒外)
【拓展探究】(3)如图③，有一张边长为20 cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个相同的小正方形，折成一个无盖长方体纸盒．当四角剪去的小正方形的边长为4 cm时，请求出纸盒的容积．(纸张厚度忽略不计)
24．欧拉公式讲述的是多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间存在的等量关系．
(1)如图，通过观察图中几何体，完成下表．
多面体 顶点数V 面数F 棱数E
四面体 4 4
五面体 5 8
六面体 8 6
(2)通过对如图所示的多面体的归纳，请你补全欧拉公式：V＋F－E＝________．
【实际应用】
(3)足球一般由32块黑白皮子缝合而成，且黑色的是正五边形，白色的是正六边形．如果我们近似地把足球看成一个多面体．你能利用欧拉公式计算出正五边形和正六边形各有多少块吗？请写出你的解答过程．
25.如图，直线上有A，B，C，D四个点，BC＝2CD，AD＝8CD，CD＝4 cm.
(1)线段AB＝________cm.
(2)动点P，Q分别从点A、点D同时出发，点P沿线段AC以3 cm/s的速度向右运动，到达点C后立即按原速向点A返回；点Q沿线段DA以1 cm/s的速度向左运动．点P回到点A时，两点同时停止运动．设运动时间为t s.
①求P，Q两点第一次相遇时t的值；
②求P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离．
26．平面上有射线OA，OB，OC，OD，∠BOC＝30°，∠COD＝∠AOB，射线OM，ON分别平分∠AOB，∠AOD (题目中所出现的角均小于180°)．
(1)如图①，若∠AOD＝10°，则∠AOM＝________，∠CON＝________；
(2)如图②，探究∠MON与∠BON的数量关系，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，若∠BON＝5°，将∠AOB绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转，同时将∠COD绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，设旋转时间为t秒(0答案
一、1.D　2.D　3.C　4.B　5.C
6．C 【点拨】画出示意图如图，易知图中线段的条数为4＋3＋2＋1＝10(条)，由于车票往返的不同，因此最多需要准备车票10×2＝20(种)．
7．A 【点拨】因为AC＝2a＋1，BC＝a＋4，AB＝3a，A，B，C三点互不重合，所以a>0，若点A在B，C之间，则AB＋AC＝BC，即2a＋1＋3a＝a＋4，解得a＝，故A情况存在；若点B在A，C之间，则BC＋AB＝AC，即a＋4＋3a＝2a＋1，解得a＝－，故B情况不存在；若点C在A，B之间，则BC＋AC＝AB，即a＋4＋2a＋1＝3a，此时无解，故C情况不存在．故选A.
8．D 【点拨】①当点C在线段AB上时，MN＝MC＋NC＝AC＋BC＝AB＝5 cm；②当点C在线段AB的延长线上时，MN＝MC－NC＝AC－BC＝AB＝5 cm.综上所述，线段MN的长度是5 cm.
9．D 【点拨】设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠可知∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE.因为∠B′AD′＝16°，所以∠DAF＝16°＋β，∠BAE＝16°＋α.因为四边形ABCD是正方形，所以∠DAB＝90°，所以16°＋β＋β＋16°＋16°＋α＋α＝90°，所以α＋β＝21°，所以∠EAF＝∠B′AD′＋∠D′AE＋∠FAB′＝16°＋α＋β＝16°＋21°＝37°.故选D.
10．B 【点拨】如图，因为射线OM经过刻度线90，所以∠POM＝∠QOM＝90°.因为射线OA，OB分别经过刻度线40和60，所以∠POA＝40°，∠POB＝60°.所以∠AOB＝20°，∠BOM＝30°.因为∠AOB＝∠COD，所以∠COD＝20°.①因为∠AOB＝∠COD，所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，故①正确．②因为∠AOC＋∠BOC＝180°，所以∠AOB＋∠BOC＋∠BOC＝180°，即20°＋2∠BOC＝180°，所以∠BOC＝80°，所以∠POB＋∠BOC＋∠COD＝160°，所以射线OD经过刻度线160，故②错误．③因为∠MOC＝3∠COD＝60°，所以∠COQ＝30°＝∠BOM，∠BOM＋∠MOC＝90°，所以∠BOM和∠MOC互余．由题意知∠COQ和∠MOC互余，∠DOQ和∠DOM互余，∠POA和∠AOM互余，∠POB和∠BOM互余，所以∠POB和∠COQ互余，所以共有6对角互为余角，故③错误．
二、11.两点确定一条直线　12.34°42′　13.5
14．60 【点拨】因为∠AOB＝∠COD＝90°，所以∠AOD＋∠BOC＝∠AOB＋∠DOB＋∠BOC＝∠AOB＋∠COD＝90°＋90°＝180°.因为∠BOC＝∠AOD，所以∠AOD＋∠AOD＝180°，所以∠AOD＝150°，所以∠BOD＝∠AOD－∠AOB＝150°－90°＝60°.
15．65 【点拨】因为n(n>2，且n为整数)条直线在同一平面内两两相交时，最多有个交点，当n＝64时，交点数最多为＝＝2 016＜2 028，
当n＝65时，交点数最多为＝＝2 080＞2 028，
所以平面内的n条直线恰有2 028个交点，则n的最小值为65.
16．(m－n) 【点拨】因为OE平分∠AOC，所以∠AOC＝2∠COE.所以2∠BOE＝2(∠COE＋∠COB)＝2∠COE＋2∠COB＝∠AOC＋2∠COB＝∠AOB＋∠COB.因为∠BOD＝∠COD＋∠COB，所以2∠BOE－∠BOD＝∠AOB＋∠COB－(∠COD＋∠COB)＝∠AOB－∠COD＝(m－n)°.
17．4 【点拨】因为OA＝4，所以第1次从点A跳动到OA的中点A1处时，OA1＝×4；第2次从点A1跳动到A1O的中点A2处时，OA2＝×4；第3次从点A2跳动到A2O的中点A3处时，OA3＝×4；…；第n(n>3，n是整数)次从点An－1跳动到An－1O的中点An处时，OAn＝×4.故线段AnA的长度为4.
18．(1)20 cm　(2)25 cm或15 cm 【点拨】(1)由折叠的性质，得AM＝A′M＝AA′，BN＝B′N＝BB′，所以当点A′与点B′恰好重合时，MN＝A′M＋B′N＝(AA′＋BB′)＝AB＝20 cm.
(2)当点A′落在点B′的左侧时，如图①，
由折叠的性质，得AM＝A′M＝AA′，BN＝B′N＝BB′.
因为AA′＋A′B′＋BB′＝40 cm，A′B′＝10 cm，
所以AA′＋BB′＝30 cm.
所以A′M＋B′N＝(AA′＋BB′)＝15 cm，
所以MN＝MA′＋A′B′＋B′N＝25 cm.
当点A′落在点B′的右侧时，如图②，
由折叠的性质，得AM＝A′M＝AA′，BN＝B′N＝BB′.
因为AA′＋BB′＝AB＋A′B′＝40＋10＝50(cm)，
所以AM＋BN＝AA′＋BB′＝(AA′＋BB′)＝×50＝25(cm)，
所以MN＝AB－(AM＋BN)＝40－25＝15(cm)．
综上，MN＝25 cm或15 cm.
三、19.【解】(1)原式＝48°39′＋67°31′－106°25′＝9°45′.
(2)原式＝107°21′－36°28′44″＝70°52′16″.
20．【解】(1)(2)(3)(4)如图所示．
21．【解】因为AB＝24 cm，BC＝AB，
所以BC＝×24＝9(cm)．
所以AC＝AB＋BC＝24＋9＝33(cm)．
因为E是AC的中点，
所以AE＝AC＝×33＝16.5(cm)．
因为D是AB的中点，
所以AD＝AB＝×24＝12(cm)．
所以DE＝AE－AD＝16.5－12＝4.5(cm)．
22．【解】(1)∠α，∠β的垂角分别是144°，47°.
(2)设这个角为x°，则它的垂角为(180－x)°，
由题意得＝90，
即x－(180－x)＝－90或x－(180－x)＝90，
解得x＝18或x＝126.
故这个角的度数为18°或126°.
23．【解】(1)画图如下(答案不唯一)．
(2)“大”
(3)纸盒的容积＝(20－4×2)×(20－4×2)×4＝576(cm3)．
答：纸盒的容积为576 cm3.
24．【解】(1)填表如下：
多面体 顶点数V 面数F 棱数E
四面体 4 4 6
五面体 5 5 8
六面体 8 6 12
(2)2
(3)设正五边形有x块，则正六边形有(32－x)块，
则F＝32，E＝＝－x＋96，
V＝E÷3×2＝－x＋64.
根据欧拉公式得V＋F－E＝2，
则－x＋64＋32－＝2，
解得x＝12.所以32－x＝20.
所以，这个多面体中正五边形有12块，正六边形有20块．
25．【解】(1)20
(2)①P，Q两点第一次相遇时，根据题意可得3t＋t＝8×4，解得t＝8.
故P，Q两点第一次相遇时t的值是8.
②易得AC＝AB＋BC＝28 cm.
当P，Q两点第二次相遇时，3t－28＝t－4，
解得t＝12.
所以PC＝3×12－28＝8(cm)．
所以AP＝AC－PC＝28－8＝20(cm)．
故P，Q两点第二次相遇时，与点A的距离是20 cm.
26．【解】(1)40°；45°
(2)∠MON－∠BON＝30°.理由如下：
因为∠COD＝∠AOB，射线OM平分∠AOB，
所以∠COD＝∠AOM＝∠BOM.
因为射线ON平分∠AOD，
所以∠AON＝∠NOD.
所以∠AON－∠AOM＝∠NOD－∠COD.
所以∠MON＝∠CON＝∠NOB＋∠BOC.
又因为∠BOC＝30°，
所以∠MON＝∠NOB＋30°.
所以∠MON－∠BON＝30°.
(3)因为∠MON－∠BON＝30°，∠BON＝5°，所以∠MON＝35°，所以∠COD＝∠AOM＝∠BOM＝40°，所以∠AOB＝80°.因为∠BOC＝30°，所以∠AOD＝80°＋40°＋30°＝150°.由题意知∠AOB的度数恒定，所以∠AOM＝40°恒定．
分以下两种情况讨论：
情况一：在OA，OD相遇前，
因为射线ON平分∠AOD，所以∠AON＝∠AOD＝(150°－2t°－3t°)＝75°－2.5t°.
因为∠AOM＝40°，∠MON＝5°，
①若OM，ON未相遇，
则∠MON＝∠AON－∠AOM＝75°－2.5t°－40°＝5°，解得t＝12.
②若OM，ON相遇后，
则∠MON＝∠AOM－∠AON＝40°－(75°－2.5t°)＝5°，解得t＝16.
情况二：在OA，OD相遇后，
此时∠AOD＝360°－(3t°－150°)－2t°＝510°－5t°，
所以∠AON＝∠AOD＝255°－2.5t°.
①若OM，ON未第二次相遇，
则∠MON＝∠AON－∠AOM＝255°－2.5t°－40°＝5°，解得t＝84.
②若OM，ON第二次相遇后，
则∠MON＝∠AOM－∠AON＝40°－(255°－2.5t°)＝5°，解得t＝88.
综上所述，t＝12或t＝16或t＝84或t＝88.

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