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第23章 综合素质评价
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．已知实数a＝tan 30°，b＝sin 45°，c＝cos 60°，则下列说法正确的是(　　)
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
2.在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，则sin A的值为(　　)
A. B. C. D.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是(　　)
A．3 B．6 C．8 D．9
(第3题)　　　　(第4题)
　　
4．如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC＝α，AC＝5米．现要在楼梯上铺一块地毯，则地毯的长度需要(　　)
A.米 B．(5tan α＋5)米 C.米 D.米
5.若α，β是一个三角形的两个锐角，且满足|sin α－|＋(－tan β)2＝0，则此三角形的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6.如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P.若BP＝BC，则tan∠CBG的值是(　　)
A.－1 B．2－ C. D.
　　(第6题)　　　　(第7题)
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为(　　)
A. B. C. D.
8.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan 15°时，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan 15°＝＝＝＝2－.类比这种方法，则tan 22.5°的值为(　　)
A.＋1 B. C.－1 D.
(第8题)　(第9题)(第10题)
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则x与y满足的关系式为(　　)
A．x－y2＝3 B．2x－y2＝6 C．3x－y2＝9 D．4x－y2＝12
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为AC上任意一点，F为AB的中点，连接BD，E在BD上且∠BEC＝90°，连接EF，则EF的最小值为(　　)
A. B．2－3 C．3－3 D．3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．若菱形的周长为20 cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为________cm.
12．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度为i＝1?3，且O，A，B在同一条直线上，则此人所在位置点P的铅直高度为__________米．
(第12题)　　　　　　　　(第13题)
13.如图，点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝－的图象上，连接OA，OB，AB.若AO⊥BO，则tan∠BAO＝__________.
14．利用科普书上的有关公式，发现锐角三角函数存在这样的公式：若α，β为锐角且α＋β≠90°，则tan(α＋β)＝.如：tan 75°＝tan(30°＋45°)＝＝＝2＋.利用此公式求解下列问题：
(1)若∠A，∠B为锐角且∠A＋∠B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)＝________；
(2)(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)·…·(1＋tan 43°)(1＋tan 44°)＝________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：
(1)(π－1)0＋9tan 30°－＋|－3|－；　(2)sin 45°－2cos 30°＋.
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.
(1)求BC的长；
(2)求sin∠DAE的值．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)，如图①，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作can B，这时can B＝＝.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解答下列各题：
(1)can 30°＝________；
(2)如图②，已知在△ABC中，AB＝AC，can B＝，S△ABC＝24，求△ABC的周长．
18．如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30 n mile.求C，D间的距离(计算过程中的数据不取近似值)．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图．
(1)在方格纸中，画出△ACD(点D在格点上)，满足＝，且△ACD的面积是5；
(2)在△ABC的边BA上画出点E，使线段BE的长是3(保留作图痕迹，体现作图过程)，连接ED，并求出tan∠EDA的值．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点B，与x轴交于点C，点A在y轴上，满足条件：CA⊥CB，且CA＝3CB，点C的坐标为(－3，0)，cos∠ACO＝.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)直接写出当x<－1时，kx＋b<的解集．
六、(本题满分12分)
21．中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，CE＝1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长、宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列各题：(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73)
(1)求PQ的长；
(2)该充电站有20个停车位，求PN的长．
七、(本题满分12分)
22.阅读下列材料，解决后面的问题：
我们知道，三角形的面积等于二分之一底乘高．在学习了三角函数后，还可以这样求三角形的面积：对于△ABC，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则其面积S＝absin C＝bcsin A＝casin B.
(1)如图①，在△ABC中，∠A＝30°，b＝2，c＝3，求△ABC的面积；
(2)如图②，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝1，D为AC上一点，求证：BD＝；
(3)正数a，b，c，d，e，f满足a＋b＝c＋d＝e＋f＝1，求证：af＋bc＋de＜1.
八、(本题满分14分)
23.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，tan∠COA＝，OA的长是一元二次方程x2－3x－18＝0的根，过点C作CQ⊥OA交OA于点Q，交对角线OB于点P.动点M从点O以每秒1个单位的速度沿OA向终点A运动，动点N从点B以每秒个单位的速度沿BO向终点O运动，M，N两点同时出发，设运动时间为t秒．
(1)求点P的坐标．
(2)连接MN，PM，求△PMN的面积S关于运动时间t的函数表达式．
(3)当t＝3时，在对角线OB上是否存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、1.A　2.D　3.B　4.B　5.C
6．A　【点拨】由题意，得CG＝DH，BG＝CH，BG⊥CH，DE∥BG，∴设CG＝DH＝b，BG＝CH＝a，则HG＝CH－CG＝a－b.∵BP＝BC，BG⊥CH，∴PG＝CG＝b，∴HP＝CH－PG－CG＝a－2b.
∵DE∥BG，∴△DHP∽△BGP，∴＝，即＝，解得a＝(＋1)b或a＝(1－)b(不合题意，舍去)．在Rt△BGC中，tan∠CBG＝＝＝－1.故选A.
7．A　【点拨】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，DC＝AB＝6，∠B＝∠C＝90°.
由折叠得AF＝AD＝8，EF＝DE，
∴BF＝＝＝2，
CE＝DC－DE＝6－EF.
∴CF＝BC－BF＝8－2.
在Rt△EFC中，由勾股定理，得EF2＝CE2＋CF2，
∴EF2＝(6－EF)2＋(8－2)2.
∴EF＝.
∴CE＝6－＝.
∴cos∠CEF＝＝＝.故选A.
8．C　【点拨】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°.
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，
∴tan 22.5°＝＝＝－1.
9．C　【点拨】过点A作AQ⊥BC于点Q，过点E作EM⊥BC于点M，连接DE.
∵AB＝AC，BC＝8，tan∠ACB＝y，
∴CQ＝4，＝y.
∵BE的垂直平分线交BC于点D，BD＝x，
∴BD＝DE＝x.
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM.
又∵E为AC的中点，∴易知MC＝CQ＝2.
∴EM＝2y，DM＝8－2－x＝6－x.
在Rt△EDM中，由勾股定理得x2＝(2y)2＋(6－x)2，即3x－y2＝9.
10．C　【点拨】取BC的中点Q，连接EQ，FQ.
∵F为AB的中点，∴FQ＝AC.
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，
∴AC＝＝＝6，∴FQ＝3.
∵∠BEC＝90°，Q为BC的中点，
∴EQ＝BC＝3.
当E，F，Q三点共线时，EF的值最小，
此时EF＝FQ－EQ＝3－3.
二、11.　
12．(25－25)　【点拨】作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F.
在Rt△AOC中，AO＝100米，∠CAO＝60°，
∴CO＝AO·tan 60°＝100米．
设PE＝x米，易知FO＝x米，
∴CF＝(100－x)米．
∵＝，∴AE＝3x米．
∴PF＝OE＝OA＋AE＝(100＋3x)米．
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，
∴易得PF＝CF，∴100＋3x＝100－x，
解得x＝25－25.∴PE＝(25－25)米．
13.　【点拨】如图所示，过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥y轴于D，∴∠BDO＝∠ACO＝90°.∴∠DOB＋∠DBO＝90°.∵AO⊥BO，∴∠AOB＝90°，∴∠COA＋∠DOB＝90°.∴∠DBO＝∠COA.∴△DBO∽△COA，∴＝.∵点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝－的图象上，∴S△BOD＝＝1，S△AOC＝＝2，
∴＝，
∴＝，
∴tan∠BAO＝＝.
14．(1)2　(2)222
三、15.【解】(1)原式＝1＋9×－3＋3＋2
＝1＋3－3＋3＋2
＝6.
(2)原式＝×－2×＋
＝1－＋－1
＝0.
16．【解】(1)∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝＝8.
∵tan∠ACB＝1，∴DC＝AD＝6.
∴BC＝BD＋DC＝8＋6＝14.
(2)∵AE是BC边上的中线，
∴BE＝BC＝7.
∴DE＝BD－BE＝8－7＝1.
∵AD⊥BC，
∴AE＝＝＝.
∴sin∠DAE＝＝＝.
四、17.【解】(1)
(2)过点A作AE⊥BC于点E.
∵can B＝，∴可设BC＝8x，则AC＝5x.
∵AB＝AC，AE⊥BC，∴AB＝5x，BE＝4x.
∴AE＝＝3x.
∵S△ABC＝24，
∴BC·AE＝12x2＝24，解得x＝(负值已舍去)．
∴AB＝AC＝5，BC＝8.
∴△ABC的周长＝5＋5＋8＝18.
18．【解】如图，过点C作CE⊥AB于点E.
由题意得∠CAE＝90°－45°＝45°，∠ECB＝30°，∠ECD＝60°，∠CBD＝30°＋60°＝90°，
∴∠DCB＝∠ECD－∠ECB＝30°.
∵AC＝30 n mile，
∴CE＝AC·sin 45°＝15n mile.
在Rt△BCE中，BC＝＝10n mile.
在Rt△BCD中，CD＝＝20n mile.
答：C，D间的距离为20n mile.
五、19.【解】(1)△ACD如图所示．
(2)点E如图所示．
作EF⊥AD，则EF∥BN，∴△AEF∽△ABN，
∴＝＝，即＝＝，
∴EF＝，AF＝，∴FN＝4－AF＝，
∴FD＝FN＋ND＝，
∴tan∠EDA＝＝＝.
20．【解】(1)∵CA＝3CB，∴＝3.
∵点C的坐标为(－3，0)，∴OC＝3.
又∵cos∠ACO＝，∴AC＝＝3.
∴AO＝＝6.
如图，作BD⊥x轴于点D，则∠BDC＝90°，
∴∠CBD＋∠BCD＝90°.
∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°.
∴∠BCD＋∠ACO＝180°－90°＝90°，∴∠DBC＝∠OCA.
又∵∠AOC＝∠CDB＝90°，∴△AOC∽△CDB，
∴＝＝＝3，∴BD＝＝1，CD＝＝2.
∴DO＝3＋2＝5.∴B(－5，1)．
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝－5×1＝－5，
∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)当x<－1时，kx＋b<的解集为－5六、21.【解】(1)∵四边形PQMN是矩形，
∴∠Q＝∠P＝90°.
在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4 m，
∴AQ＝AB·sin∠ABQ＝m，∠QAB＝30°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°.
∴∠PAD＝60°，∠BCE＝90°，∠CBE＝30°.
∵CE＝1.6 m，
∴BC＝＝m.
∴AD＝m.
∴AP＝AD·cos∠PAD＝m.
∴PQ＝AP＋AQ＝≈6.1(m)．
(2)在Rt△BCE中，BE＝＝3.2 m，
在Rt△ABQ中，QB＝AB·cos∠ABQ＝2.7 m.
∵该充电站有20个停车位，
∴QM＝QB＋20BE＝66.7 m.
∵四边形PQMN是矩形，∴PN＝QM＝66.7 m.
七、22.(1)【解】由面积公式可知S△ABC＝bcsin A ＝bcsin 30°＝×2×3×＝.
(2)【证明】∵S△ABD＋S△CBD＝S△ABC，
∴AB·BD·sin∠1＋BC·BD·sin∠2＝AB·BC·sin(∠1＋∠2)．
∴2BD·sin∠1＋BD·sin∠2＝2sin(∠1＋∠2)．
∴BD＝.
(3)【证明】如图，作边长为1的等边三角形ABC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且AD＝a，BD＝b，BE＝c，EC＝d，CF＝e，AF＝f，则∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵S△ADF＋S△BDE＋S△CEF＜S△ABC，
∴af·sin 60°＋bc·sin 60°＋de·sin 60°∴af＋bc＋de＜1.
八、23.【解】(1)x2－3x－18＝0，解得x1＝6，x2＝－3，
∵OA的长是一元二次方程x2－3x－18＝0的根，
∴OA＝6.
∵四边形OABC为菱形，∴OA＝OC＝6.
∵tan∠COA＝，∴∠COA＝60°，
又∵CQ⊥OA，∴∠OCQ＝30°，∴OQ＝6×＝3.
∵四边形OABC为菱形，∴OB平分∠COA，
∴∠POQ＝30°，∴PQ＝，∴P(3，)．
(2)根据题意可知，BN＝t，OM＝t，
如图①，作MK⊥OB于点K，作BH⊥x轴于点H，则MK＝t.
∵∠POQ＝30°，PQ＝，∠PQO＝90°，∴OP＝2.
∵四边形OABC为菱形，∴AB∥OC，AB＝OA＝6，
∴∠BAH＝∠COA＝60°，∴∠ABH＝90°－60°＝30°，
∴BH＝6×＝3，∴OB＝3×2＝6，
∴PB＝6－2＝4.
当0∴△PMN的面积S＝·t·(4－t)＝－t2＋t；
当4∴△PMN的面积S＝·t·(t－4)＝t2－t.
综上所述，S＝
(3)存在，点E的坐标为(0，0)或(3，)或.　【点拨】如图②，当t＝3时，OM＝3，点M和点Q重合，BN＝3，∴ON＝3，∴易得∠ONM＝∠NOM＝30°.
假设在对角线OB上存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形，
当∠EMN为顶角时，点E1与点O重合，E1(0，0)；
当∠MEN为顶角时，点E2与点P重合，E2(3，)；
当∠ENM为顶角时，NE3＝NM＝OM＝3，
∴OE3＝ON－NE3＝3－3.
∴易得E3.
综上，当t＝3时，在对角线OB上存在一点E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形，点E的坐标为(0，0)或(3，)或.

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