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期末 综合素质评价
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosB＝(　　)
A. B. C. D.
2．抛物线y＝2x2＋36x＋159的顶点坐标是(　　)
A．(9，3) B．(9，－3) C．(－9，3) D．(－9，－3)
3.如图，直线AD∥BE∥CF，DE＝2，EF＝4.若AC＝9，则BC的长为(　　)
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
(第3题)　(第5题)　　(第6题)
4．合肥园博园正式对外全面开放，主办方精心筹建的舞台展区深受广大游客的青睐，其中某两个展区入口之间的距离为155米，在一张比例尺为1：2 000的导游图上，它们之间的距离大约相当于(　　)
A．一支粉笔的长度 B．数学课本的长度
C．一把家用扫帚的长度 D．课桌的宽度
5．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是(　　)
A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC
C．BC＝2DE D．S△ADE＝S△ABC
6.雁门关，位于山西省忻州市雁门山中，是长城上的重要关隘，以“险”著称，被誉为“中华第一关”．由于地理环境特殊，行车高速路上的隧道较多，如图是雁门关隧道的截面示意图，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．经测量OA＝10 m，抛物线的顶点P到OA的距离为9 m，则抛物线的函数表达式为(　　)
A．y＝－(x＋5)2 B．y＝－(x－5)2
C．y＝－(x＋5)2＋9 D．y＝－(x－5)2＋9
7．已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为(　　)
A．1≤a＜ B．0＜a＜ C．0＜a＜ D．1≤a＜
8.如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”且∠A＝90°，则tan∠ABC＝(　　)
A. B. C.或 D.或
9．已知反比例函数y＝的部分图象与一次函数 y＝－x＋b 的图象如图所示，则函数 y＝x2－bx＋k－1 的大致图象为(　　)
10．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH＝BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：①＝；②tan H＝－1；③BE平分∠CBD；④2AB2＝DE·DH.其中正确的结论有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(第10题)　(第13题)(第14题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．已知△ABC中，∠A＝90°，tan B＝，则sin C＝________．
12．若抛物线y＝x2－6mx＋6m2＋5m＋3的顶点在直线y＝x＋2上，则m的值为________．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x与双曲线y＝(x＜0)交于点A，点B，C分别是x轴、y轴上的点，且∠BAC＝90°，若四边形OBAC的面积为5，则k＝________．
14.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M为BC的中点，点N在射线AD上，过点N作NE⊥AM于点E，连接MN，请探究下列各题：
(1)＝________；
(2)当△MEN与△ABM相似时，AN＝________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：2sin 60°－3tan 30°－＋(－1)2 025.
16．如图，△ABC的顶点都在网格点上，点A的坐标为(－1，3)．
(1)以点O为位似中心，把△ABC按2?1放大，在y轴的左侧画出放大后的△DEF；
(2)点A的对应点D的坐标是________；
(3)S△ABO:S四边形ABED＝________．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴、y轴的交点分别为(1，0)和(0，－3)．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)结合函数图象，直接写出当y＞－3时，x的取值范围．
18．如图，F为四边形ABCD的边CD上的一点，连接AF并延长，交BC的延长线于点E，已知∠DAE＝∠E.
(1)求证：△ADF∽△ECF；
(2)若CF＝2，AF＝2EF，则DC的长为________．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m≠0)的图象相交于A(1，3)，B(n，－1)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
(3)过点B作直线OB，交反比例函数的图象于点C，连接AC，求△ABC的面积．
20. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度(如图①)．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7 m．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE＝32 m．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度(结果取整数)．
参考数据：tan 22°≈0.4，tan 31°≈0.6.
六、(本题满分12分)
21．某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数表达式为y1＝5x；成本y2(万元)与销售量x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点．
(1)求出成本y2关于销售量x的函数表达式．
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？
(注：利润＝销售额－成本)
七、(本题满分12分)
22．如图①， ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM＝CN.点E，F分别是BD与AN，CM的交点．
(1)求证：OE＝OF；
(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF.
(ⅰ)如图②，若HE∥AB，求证：HF∥AD；
(ⅱ)如图③，若 ABCD为菱形，且MD＝2AM，∠EHF＝60°，求的值．
八、(本题满分14分)
23．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(0，－3)，(－b，c)两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0.
(1)求a，c的值．
(2)若该二次函数的最小值是－4，且它的图象与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
①求该二次函数的表达式和点A，B的坐标．
②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE.是否存在点P，使＝？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、1.B　2.D　3.C　4.A　5.D　6.D　
7．A　【点拨】设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，由题意可得
解得1≤a＜.
故选A.
8．C　【点拨】①如图①.
在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是△ABC的中线，
设AB＝EC＝2a，则AE＝a，∴AC＝a，
∴tan∠ABC＝＝；
②如图②.
在Rt△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的中线，
设EB＝AC＝2a，则AE＝a，∴AB＝a，
∴tan∠ABC＝＝.
综上所述，tan∠ABC＝或.
　　　
9．B　【点拨】∵一次函数y＝－x＋b的图象与y轴交于正半轴，
∴b>0.
又∵函数 y＝x2－bx＋k－1的图象的对称轴为直线x＝，∴函数y＝x2－bx＋k－1的图象的对称轴在y轴右侧．
∵反比例函数y＝与一次函数 y＝－x＋b 的图象有两个交点，
∴方程＝－x＋b 有两个不相等的实数根，
即方程x2－bx＋k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2－4k＞0.
∴对于方程x2－bx＋k－1＝0 ，Δ＝b2－4k＋4＞0.
∴函数 y＝x2－bx＋k－1 的图象与x轴有两个交点．故选B.
10．B　【点拨】设AB＝a，在正方形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD＝a，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，AC与BD互相垂直且平分，
∴BD＝＝AB＝a.
∴BH＝BD＝a.∴AH＝(＋1)a.
∴tan H＝＝＝－1，故②不正确；
∵AB∥CD，
∴△DCF∽△HBF.
∴＝＝＝，故①不正确；
∵BH＝BD，∴∠H＝∠BDH.
∵∠H＋∠BDH＝∠ABD＝45°，
∴∠H＝∠BDH＝22.5°.
又∵AC与BD互相垂直且平分，∴DE＝BE.
∴∠DBE＝∠BDE＝22.5°.
∴∠CBE＝∠CBD－∠DBE＝22.5°.
∴∠DBE＝∠CBE.
∴BE平分∠CBD.故③正确；
由上可知，∠DBE＝∠H＝22.5°.
又∵∠BDE＝∠HDB，
∴△BDE∽△HDB.∴＝.
∴BD2＝DE·DH.
又∵BD＝AB，∴2AB2＝DE·DH，故④正确．
综上，正确的有③④，共2个．故选B.
二、11.　
12．1或－　【点拨】∵y＝x2－6mx＋6m2＋5m＋3，∴对称轴为直线x＝－＝3m.把x＝3m代入y＝x2－6mx＋6m2＋5m＋3，得y＝－3m2＋5m＋3，即顶点坐标为(3m，－3m2＋5m＋3)．∵抛物线的顶点在直线y＝x＋2上，∴－3m2＋5m＋3＝3m＋2，整理得3m2－2m－1＝0，∴m1＝1，m2＝－，故答案为1或－.
13．－5　【点拨】过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N.
∵点A在直线y＝－x上，
∴易得AM＝AN.
又∵AM⊥x轴，AN⊥y轴，∠MON＝90°，
∴四边形AMON是正方形．∴∠MAN＝90°.
∴∠MAC＋∠CAN＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠BAM＋∠MAC＝90°.
∴∠BAM＝∠CAN.
又∵AM＝AN，∠AMB＝∠ANC＝90°，
∴△ABM≌△ACN.∴S△ABM＝S△ACN.
∴S正方形OMAN＝S四边形OBAC＝5.
∴k＝－5.
14．(1)　(2)2或5
【点拨】(1)∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，
∴AB＝BC＝4，BC∥AD，∠B＝90°.
∵点M是BC的中点，∴BM＝2，
∴AM＝＝＝2.
∵BC∥AD，∴∠BMA＝∠MAN.
∴cos∠MAN＝cos∠BMA＝＝＝.
∵EN⊥AM，
∴＝cos∠MAN＝.
(2)∵EN⊥AM，∴∠MEN＝90°＝∠B.
当∠BMA＝∠EMN时，△ABM∽△NEM，
∴∠EMN＝∠MAN，∴AN＝MN.
∵EN⊥AM，∴AE＝.
∵＝，∴AN＝5；
当∠BAM＝∠EMN时，△ABM∽△MEN，
∴AB∥MN.
又∵BC∥AD，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴AN＝BM＝2.
综上所述，AN的长为2或5.
三、15.【解】原式＝2×－3×－1－1
＝－－1－1
＝－2.
16．【解】(1)如图，△DEF即为所求．
(2)(－2，6)　(3)1?3
四、17.【解】(1)∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴、y轴的交点分别为(1，0)和(0，－3)，
∴解得
∴此二次函数的表达式为y＝x2＋2x－3.
(2)当y＞－3时，x的取值范围是x＜－2或x＞0.
18．(1)【证明】∵∠DAE＝∠E，∠DFA＝∠CFE，
∴△ADF∽△ECF.
(2)6　【点拨】由(1)知△ADF∽△ECF，∴＝.
∵CF＝2，AF＝2EF，∴＝，解得DF＝4.
∴DC＝DF＋CF＝4＋2＝6.
五、19.【解】(1)把A(1，3)的坐标代入y2＝，得3＝，
∴m＝3，∴反比例函数的表达式为y2＝.
把B(n，－1)的坐标代入y2＝，得－1＝，
∴n＝－3，∴B(－3，－1)．
把A(1，3)，B(－3，－1)的坐标分别代入y1＝kx＋b，得
解得
∴一次函数的表达式为y1＝x＋2.
(2)当y1＞y2时，x的取值范围为－3＜x＜0或x＞1.
(3)如图，设直线y1＝x＋2与y轴相交于点D，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，则D(0，2)，∴OD＝2.
∵A(1，3)，∴AM＝3，OM＝1.
∵点B，C关于原点对称，
∴C(3，1)．
∴CN＝1，ON＝3.
∴MN＝3－1＝2.
∴S△ABC＝S△BOD＋S梯形ADOM＋S梯形AMNC－S△CON＝×2×3＋×(2＋3)×1＋×(1＋3)×2－×3×1＝8，即△ABC的面积为8.
20．【解】如图，延长DF与AB相交于点G，
根据题意，可得DG∥CA，∠GDB＝22°，∠GFB＝31°，
∴易得∠DGB＝90°，AG＝EF＝CD＝1.7 m，DF＝CE＝32 m.
在Rt△FGB中，tan∠GFB＝，∴GF＝，
在Rt△DGB中，tan∠GDB＝，∴GD＝.
∵GF＋DF＝GD，∴＋32＝.
∴GB≈38.4 m.
∴AB＝AG＋GB≈1.7＋38.4≈40(m)．
∴世纪钟建筑AB的高度约为40 m.
六、21.【解】(1)设成本y2关于销售量x的函数表达式为y2＝a＋，
把(2，4)代入，得a＋＝4，解得a＝1，
∴成本y2关于销售量x的函数表达式为y2＝＋.
(2)由题意得，成本最低为万元，此时销售量为吨．
当x＝时，y1＝5x＝5×＝2.5.
∴当成本最低时，销售产品所获利润是2.5－＝0.75(万元)．
(3)设利润为W万元，
则W＝y1－y2＝5x－－＝－x2＋6x－2，
当x＝－＝3时，可获得最大利润，
最大利润为－32＋6×3－2＝7(万元)．
答：当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元．
七、22.(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC.
又∵AM＝CN，∴四边形AMCN是平行四边形．
∴AN∥CM，∴∠OAE＝∠OCF.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.
(2)(ⅰ)【证明】∵HE∥AB，∴＝.
又∵OE＝OF，易得OB＝OD，∴＝.
∵∠HOF＝∠AOD，∴△HOF∽△AOD.
∴∠OHF＝∠OAD.∴HF∥AD.
(ⅱ)【解】∵ ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AD＝BC.
又∵OE＝OF，∠EHF＝60°，
∴∠EHO＝∠FHO＝30°，∴OH＝OE.
∵AM∥BC，∴△AHM∽△CHB.
又∵MD＝2AM，∴＝＝＝，即HC＝3AH，
∴OA＋OH＝3(OA－OH)，∴OA＝2OH.
∵BN∥AD，
∴△BNE∽△DAE.
又∵MD＝2AM，AM＝CN，AD＝BC，
∴＝＝，即3BE＝2ED，
∴3(OB－OE)＝2(OB＋OE)，∴OB＝5OE.
∴＝＝＝＝.
八、23.【解】(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(0，－3)，(－b，c)两点，
∴c＝－3，(0，－3)和(－b，c)关于对称轴x＝－对称，
∴＝－.
∵b≠0，∴a＝1.∴a＝1，c＝－3.
(2)①∵a＝1，c＝－3，
∴y＝x2＋bx－3.
∴y最小值＝＝－4，∴b＝±2.
又∵ab＞0，且a＞0，∴b＞0，∴b＝2，
∴该二次函数的表达式为y＝x2＋2x－3.
当y＝0时，x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，
∴A(－3，0)，B(1，0)．
②存在点P，使＝.易得点C的坐标为(0，－3)．设直线AC的表达式为y＝k1x＋b1，
则解得
∴直线AC的表达式为y＝－x－3.
设P(m，m2＋2m－3)．
当点P在点A右侧，即－3＜m＜0时，过点C作CF⊥PD于点F，如图①，
则E(m，－m－3)，D(m，0)，点F的横坐标为m，
∴PE＝(－m－3)－(m2＋2m－3)＝－m2－3m，CF＝0－m＝－m，
∴S△PCE＝PE·CF＝(－m2－3m)·(－m)＝m3＋m2.
∵AB＝1－(－3)＝4，OC＝3，DE＝－(－m－3)＝m＋3，
∴S△CBE＝S△ABC－S△ABE＝AB·OC－AB·DE＝×4×3－×4×(m＋3)＝－2m.
∵＝，
∴＝，解得m1＝，m2＝.
∴点P的横坐标为或；
　　
当点P在点A左侧，即m＜－3时，过点C作CF⊥PD交PD的延长线于点F，如图②，
则E(m，－m－3)，D(m，0)，点F的横坐标为m，
∴PE＝(m2＋2m－3)－(－m－3)＝m2＋3m，CF＝0－m＝－m，
∴S△PCE＝PE·CF＝(m2＋3m)·(－m)＝－m3－m2.
∵AB＝1－(－3)＝4，OC＝3，DE＝－m－3，
∴S△CBE＝S△ABC＋S△ABE＝AB·OC＋AB·DE＝×4×3＋×4×(－m－3)＝－2m.
∵＝，
∴＝，解得m3＝，m4＝(舍去)．
∴点P的横坐标为.
综上所述，点P的横坐标为或或.

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