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第22章 综合素质评价
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．下列图形一定是相似图形的是(　　)
A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形
C．两个正方形 D．两个菱形
2．若2x＝5y(x，y≠0)，则下列式子中错误的是(　　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
3．大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着黄金分割(黄金比例为)，如图，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AB的长度为10 cm，那么BP的长度是(　　)
A．(15－5)cm B．(5＋5)cm
C．(15＋5)cm D．(5－5)cm
(第3题)　　　　　(第4题)
4．如图，AB∥CD∥EF，BE与AF相交于点H，且AH＝2HD＝DF，则的值为(　　)
A．1 B. C. D.
5．如图，美工组用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形ABCD执行了两步操作：先以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍，然后拖动放大后的菱形平移，得到菱形A′B′C′D′.已知A(－5，0)，D(0，6)，C′(8，－2)，若菱形ABCD内部一点F经过上述操作后得到的对应点F′与它本身重合，则点F的坐标是(　　)
A．(2，2) B．(1，1) C．(－1，2) D．(2，1)
(第5题)　　　　　(第6题)
6．如图，在△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿选项中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　)
7．如图，△OAB∽△OCD，OA?OC＝5?3，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是(　　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
(第7题)　　(第8题)
　　　　
8．图①是机场常用的一种圆锥形直饮水杯，这种设计是为了方便清洁和节省存储空间，小明画出这种纸杯的截面图如图②所示，其中点O为杯底顶点，AB，CD分别表示杯口、水面，OA＝OB，CD∥AB.若杯中水的高度是杯子高度的80%，则水的体积与杯子容积的比最接近于(　　)
A．80% B．70% C．64% D．50%
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，折痕为EF，点E，F分别在边BC，AB上，若△CDE与△ABC相似，则CE的长为(　　)
　
(第9题)
A. B. C.或 D.或
10．如图，在△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与点B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q.下列结论：①AC＝FG；②S△FAB?S四边形CBFG＝1?2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中结论正确的序号是(　　 )
A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④
(第10题)　　　　　　　　(第12题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11.钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的群岛，在一幅比例尺是1?100 000的地图上，测得钓鱼岛的东西走向长为3.6厘米，那么它的东西走向实际长大约为________千米．
12．如图，在 ABCD中，E是AD上一点，DE＝2AE，CE，BA的延长线相交于点F，若AB＝2，则AF＝________．
13.已知＝＝(xyz≠0)，则的值为________．
14．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝9，AC＝12，D是线段BC上的动点，从点B运动到点C.请探究下列问题：
(1)当BD＝2时，CE＝________；
(2)设P为线段DE的中点，在点D运动的过程中，CP的最小值是________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足＝＝，a＋b＋c＝30，试判断△ABC的形状，并说明理由．
16．如图，AB∥CD，AD⊥BC于点O，OA＝6，OD＝9，BC＝10，求CD的长．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.西安大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是佛塔这种古印度佛寺的建筑形式随佛教传入中原地区，并融入华夏文化的典型物证，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．小明同学想利用所学数学知识来测量大雁塔的高度，如图，小明在点B处放置一个平面镜，站在A处恰好能从平面镜中看到塔的顶端D，此时测得小明到镜面的距离AB为2米，已知平面镜到塔底部中心的距离BC为86米，小明眼睛到地面的距离AE为1.5米，已知AE⊥AC，CD⊥AC，点A，B，C在一条水平线上．请你帮小明计算出大雁塔的高度CD.(平面镜的大小忽略不计)
18.如图，已知AE为∠BAC的平分线，ED∥CA，若BE＝2，EC＝3，AC＝4，求AD的长．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，1)，C(1，5)．
(1)以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1；
(2)若点P(x，y)是△ABC内任意一点，点P在△A1B1C1内的对应点为P1，则点P1的坐标为________；
(3)请用无刻度直尺将线段AB三等分．
20.阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝.下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于点E……
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的全部过程；
(2)如图③，已知在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是__________．
六、(本题满分12分)
21.如图，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝的图象相交于A(1，4)，B(4，m)两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点P在x轴的负半轴上，连接PD，若△AOC与△POD相似，求点P的坐标．
七、(本题满分12分)
22.某课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，如图①，它的边BC＝12 m，高线AD＝8 m．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少米？小颖解得此题的答案为4.8 m.
(1)你知道小颖是怎么做的吗？请你写出解答过程．
(2)善于反思，她又提出了如下的问题，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
(3)如图③，如果将这块余料的形状改为Rt△ABC，已知∠A＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m，要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN的工件，使QM在BC上，P，N两点分别在AB，AC上，且PN＝8 m，则平行四边形PQMN的面积为________m2.
八、(本题满分14分)
23．【问题背景】如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE；
【问题探究】如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG；
【问题拓展】如图③，在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值．
答案
一、1.C　2.A　3.A　4.B　5.A　6.C　7.A　
8．D　【点拨】设杯子的高度为h，则杯中水的高度为h.∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB.∴＝＝.∴CD＝AB.∴V水＝π·h＝π·AB2·h，V杯＝π·h＝π·AB2·h.∴＝＝＝0.512≈50%.故选D.
9．D　【点拨】∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，
∴AB＝5，BE＝DE，BE＝4－CE.
当△CDE∽△CBA时，＝，
∴＝，解得CE＝；
当△CDE∽△CAB时，＝，
∴＝，解得CE＝.
综上所得，CE的长为或.
10．C　【点拨】∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，∴∠CAD＋∠FAG＝90°.
∵FG⊥CA，∴∠G＝90°＝∠ACB，∴易知∠CAD＝∠AFG.在△FGA和△ACD中， ∴△FGA≌△ACD，∴AC＝FG，故①正确；∵BC＝AC，∴FG＝BC.∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF＝90°，∴S△FAB＝FB·FG＝S四边形CBFG，∴S△FAB?S四边形CBFG＝1?2，故②正确；∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，∴∠ABC＝∠ABF＝45°，故③正确；∵∠BDQ＋∠ADC＝∠BQD＋∠BDQ＝90°，∴∠ADC＝∠BQD.∵∠FQE＝∠DQB，∴∠FQE＝∠ADC.∵∠E＝∠C＝90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC?AD＝FE?FQ，∴AD·FE＝AD2＝FQ·AC，故④正确．∴正确的有①②③④.故选C.
二、11.3.6　12.1
13．3或0　【点拨】设＝＝＝k.
∴y＋z＝xk，z＋x＝yk，x＋y＝zk.
∴2x＋2y＋2z＝xk＋yk＋zk.
∴2(x＋y＋z)＝k(x＋y＋z)．
分两种情况：
当x＋y＋z≠0时，k＝2，∴x＋z＝2y.
∴＝＝3；
当x＋y＋z＝0时，＝0.
综上所述，的值为3或0.
14．(1)　(2)6　【点拨】(1)∵△ABC∽△ADE，
∴＝.∴＝.∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE.
∴△BAD∽△CAE.∴＝＝.
又∵BD＝2，∴CE＝.
(2)∵△BAD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE.
∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠ACB＝90°.
∴∠ACE＋∠ACB＝90°，即∠DCE＝90°.
∵P为线段DE的中点，∴CP＝DE.
∵△ABC∽△ADE，
∴当AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小．
∵AB＝9，AC＝12，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝15.
根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，此时AD＝＝.
易知＝，∴DE＝12.
∴CP的最小值为×12＝6.
三、15.【解】△ABC 是直角三角形，理由：
设＝＝＝k，
则 a＝3k－1，b＝4k＋4，c＝8k－3.
∵ a＋b＋c＝30，
∴3k－1＋4k＋4＋8k－3＝30.∴ k＝2.
∴a＝5，b＝12，c＝13.
∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．
16．【解】∵AB∥CD，∴△ABO∽△DCO.
∴＝.∴＝，解得OC＝6.
∵AD⊥BC，∴△COD为直角三角形．
∴OC2＋OD2＝CD2.
∴CD＝＝3.
四、17.【解】由题意得∠EBA＝∠DBC.
∵EA⊥AC，DC⊥AC，
∴∠EAB＝∠DCB＝90°.∴△DCB∽△EAB.
∴＝.∴＝.∴CD＝64.5米．
∴大雁塔的高度CD为64.5米．
18．【解】∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠EAC.
∵ED∥CA，∴∠DEA＝∠EAC.
∴∠DAE＝∠DEA.∴ED＝AD.
∵ED∥CA，∴△BED∽△BCA.∴＝.
∵BE＝2，EC＝3，AC＝4，
∴＝.∴ED＝.∴AD＝.
五、19.【解】(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)(2x，2y)
(3)如图，点G，H 将线段AB三等分．
20．(1)【证明】如题图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于点E.
∵CE∥AD，
∴＝，∠DAC＝∠ACE，∠BAD＝∠E.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠ACE＝∠E.
∴AE＝AC.∴＝.
(2)　【点拨】∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝5.
∵AD平分∠BAC，
∴＝，即＝.∴BD＝.
∴AD＝＝＝.
∴△ABD的周长＝＋3＋＝.
六、 21.【解】(1)把点A(1，4)的坐标代入反比例函数y＝中，得k＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝.
把点B(4，m)的坐标代入y＝中，得m＝1，
∴B(4，1)．
把点A(1，4)，B(4，1)的坐标代入y＝ax＋b中，
得解得
∴一次函数的表达式为y＝－x＋5.
(2)令y＝－x＋5＝0，则x＝5，∴C(5，0)．
∵点D与点A关于点O对称，A(1，4)，
∴D(－1，－4)．
设点P的坐标为(x，0)(x<0)，则PO＝－x.
∵A(1，4)，C(5，0)，D(－1，－4)，
∴AO＝＝，OD＝＝，OC＝5.
∵△AOC与△POD相似，∠AOC＝∠POD，
∴分两种情况：＝或＝.
当＝时，即＝，解得x＝－，
∴P.
当＝时，即＝，解得x＝－5，
∴P(－5，0)．
综上所述，点P的坐标为或(－5，0).
七、 22.【解】(1)∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥BC.∴△APN∽△ABC.
∵AD是△ABC的高线，∴AE是△APN的高线．
∴＝.
设正方形零件的边长为t m，则AE＝(8－t)m.
又∵BC＝12 m，AD＝8 m，
∴＝，解得t＝4.8.
∴加工成的正方形零件的边长为4.8 m.
(2)设PN＝x m，矩形PQMN的面积为S m2.
由已知可得△APN∽△ABC，∴＝.
易知DE＝PQ，∴＝，解得PQ＝m，
则S＝PN·PQ＝x＝－x2＋8x＝－(x－6)2＋24.
∵－<0，∴当x＝6时，S有最大值，最大值为24.
此时8－x＝4.
答：当矩形面积达到最大值时，零件的两条边长分别为6 m，4 m.
(3)7.68　
八、23.【问题背景】【证明】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠EBF＝∠C＝90°.
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴＝＝，即＝＝.
∴△BCD∽△FBE.
【问题探究】【证明】如图①，取BD的中点H，连接EH，HC.
∵E是AB的中点，H是BD的中点，
∴EH＝AD，EH∥AD.
又∵AD＝2CF，∴EH＝CF.
∵AD∥BC，∴EH∥FC.
∴四边形EHCF是平行四边形．∴EF∥CH.
∴∠GFB＝∠HCB.
又∵∠BCD＝90°，H是BD的中点，
∴HC＝BD＝BH.∴∠HBC＝∠HCB.
∴∠GBF＝∠GFB.∴BG＝FG.
　　　
【问题拓展】【解】＝.　【点拨】如图②所示，过点F作FM⊥AD，则易知四边形MFCD是矩形，连接AF.
∵AD＝2CF＝CD, ∴AM＝MD＝FC＝AD.
设AD＝2a，则MF＝CD＝2a，AM＝a.
在Rt△AMF中，AF＝＝a.
∵AG＝FG，由(2)知BG＝FG，∴AG＝BG.
又∵E是AB的中点，
∴EF垂直平分AB.∴AF＝BF，∠BEG＝90°.
在△AFG和△BFG中，
∴△AFG≌△BFG.
设∠GBF＝∠GFB＝α，
则∠GAF＝∠GFA＝α，
∴∠BGE＝∠GBF＋∠GFB＝2α.
又∵AD∥BC，
∴∠MAF＝∠AFB＝∠GFA＋∠GFB＝2α.
∴∠MAF＝∠EGB.
又∵∠BEG＝∠AMF＝90°，
∴△BEG∽△FMA.
∴＝＝＝＝.

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