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广东省肇庆市高要区2026年九年级数学初中学业水平检测（二）试卷
1．=（　　）
A．6 B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：A
【分析】根据二次根式的乘法进行计算，进而化简即可求解。
2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形；
C是轴对称图形，但不是中心对称图形；
D是中心对称图形，但不是轴对称图形；
B图形绕中心旋转后能与原图重合，同时存在对称轴，因此既是轴对称图形又是中心对称图形。
故答案为：B
【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别。轴对称图形是沿某条直线折叠后两侧部分能够重合的图形，中心对称图形是绕某一定点旋转后能与原图重合的图形，依据定义逐项判断即可。
3．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
气体 氧气 氢气 氮气 氦气
液化温度/℃ 183 253 195.8 269
其中液化温度最低的气体是（　　）
A．氢气 B．氮气 C．氦气 D．氧气
【答案】C
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：，
液化温度最低的气体是氦气。
故答案为：C
【分析】本题考查有理数大小比较。负数比较大小时，绝对值越大，数值越小，据此对比几组液化温度，最小数值对应的气体即为答案。
4．维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼类、蛋黄、动物肝脏等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康.若一名成人每天摄入的维生素D量约为0.000016g，则将数据0.000016用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B．1.6×10s C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：。
故答案为：D
【分析】本题考查科学记数法表示较小的数。绝对值小于的正数可写成的形式（，为负整数），本题小数点向右移动位得到，因此指数为。
5．如图，AB∥CD，若∠2=55°，则∠1的度数为（　　）
A．35° B．135° C．55° D．125°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：，，
的同位角等于。
又与该同位角互为邻补角，
。
故答案为：D
【分析】本题考查平行线的性质和邻补角的性质。根据“两直线平行，同位角相等”求出对应角度，再结合邻补角之和为，即可算出的度数。
6．不等式组的解集是（　　）
A．x>2 B．x≤3 C．2【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由，得，。
由，得。
不等式组的解集为。
故答案为：C
【分析】本题考查一元一次不等式组的求解。先分别求出两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。
7．已知二次函数下列说法错误的是（　　）
A．顶点坐标为（1，0） B．对称轴为直线x=1
C．函数图象与x轴有2个交点 D．当x<1时，y随x的增大而减小
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：。
顶点坐标为，对称轴为直线；函数图象与轴仅有个交点；当时，随的增大而减小。结合选项判断错误说法。
故答案为：C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质。将解析式化为顶点式，可直接确定顶点、对称轴和函数增减性；该函数图象与轴相切，因此仅有一个交点。
8．在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格：
平均数 众数 中位数 方差
8.3 9 8.6 0.1
如果每个评委打分都高0.2分，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：一组数据所有数值同时加上同一个常数，平均数、中位数、众数都会随之增加该常数，数据的波动程度不变，因此方差保持不变。
故答案为：D
【分析】本题考查平均数、中位数、众数和方差的意义。所有数据同时加同一个数，数据整体发生平移，反映集中趋势的统计量会改变，但每个数据与平均数的差值不变，因此方差不变。
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=100°，则∠BOD的度数为（　　）
A．160° B．140° C．120° D．100°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形内接于，
。
，
。
与是同弧所对的圆心角和圆周角，
故答案为：D
【分析】本题考查圆内接四边形的性质和圆周角定理。圆内接四边形对角互补，先求出；再根据同弧所对的圆心角是圆周角的倍，计算出的度数。
10．“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图①），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）.上午10∶00，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度h（cm）与流水时间t（min）的关系如图③所示，下列说法错误的是（　　）
A．甲容器的初始水面高度为30cm B．12∶00甲容器的水面高度为12cm
C．11∶00甲容器的水面高度为24cm D．15∶00甲容器的水流光
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知，时，，即初始水面高度为；
当时，，水面每分钟下降：；
上午到间隔分钟，此时水面高度，并非
故答案为：B
【分析】本题考查一次函数图象的实际应用。图象反映水面高度随时间均匀变化，先根据图象数据求出水面下降速度，再代入对应时间计算高度，逐一判断选项即可。
11．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式.
故答案为：
【分析】本题主要考查因式分解中的提公因式法，多项式两项都含有公因式x，提取x后，第一项，第二项，因此结果为.
12．计算：=　 　.
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】本题考查同分母分式的减法运算。同分母分式相减，分母不变，分子直接相减，最后化简结果。
13．如图，在矩形ABCD中，O为BC中点，BC=2，则扇形EOF的面积为　 　.
【答案】
【知识点】矩形的性质；扇形面积的计算；求特殊角的三角函数值；求余弦值
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
，O为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，
故答案为：
【分析】先根据矩形的性质得到，进而结合题意求出，根据余弦函数即可得到，同理可得：，再根据补角求出∠EOF的度数，从而根据扇形的面积公式即可求解。
14．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为1：3.若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为　 　。
【答案】
【知识点】勾股定理；几何概率
【解析】【解答】解：设直角三角形两直角边为、，由勾股定理得大正方形边长为
大正方形面积：；阴影小正方形边长：，面积：
概率
故答案为：
【分析】本题考查几何概率与勾股定理。几何概率为阴影面积与整体面积的比值，设出直角边长度，分别求出大小正方形面积，再计算比值。
15．如图，△OAB的边OB落在x轴上，点C是线段AB的中点，反比例函数的图象经过点A和点C.若△OAB的面积为12，则k的值为　 　
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：设，，由中点公式得
点在反比例函数图象上，
，
化简得
，
，
，
解得
故答案为：
【分析】本题考查反比例函数、中点坐标与三角形面积。设点坐标后利用中点公式和反比例函数性质得到线段关系，再结合面积公式列方程求。
16．计算：
【答案】解：原式
=2
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式化简、负整数指数幂、特殊角三角函数的综合运算。先分别化简各项，再合并同类二次根式得到结果。
17．如题17图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC.
（1）以BA延长线上一点O为圆心作圆，使该圆经过点A，C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）画出图形.
如图所示，⊙O即为所求
（2）直线BC与⊙O相切，理由如下：
连接OC，
∵点O在AC的垂直平分线上，
∴OA=OC，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠OAC=180°-∠BAC=60°，∠ACB=30°
∴∠OAC=∠OCA=60°，
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=90°，
∵OC是⊙O的半径，且BC⊥OC，
∴直线BC与⊙O相切.
【知识点】线段垂直平分线的性质；直线与圆的位置关系；切线的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1) 本小问考查尺规作图与线段垂直平分线性质。到、距离相等的点在的垂直平分线上，结合在延长线，两线交点即为圆心；
(2) 本小问考查切线的判定。连接OC，先根据垂直平分线的性质得到OA=OC，再结合圆周角定理进行角的运算得到∠OCB的度数，从而根据切线的判定即可求解。
18．某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元.
（1）求A，B玩具的单价；
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于15000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具
【答案】（1）解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为（x+25）元：
由题意得：2（x+25）+x=200；
解得：x=50，
则B玩具单价为x+25=75（元）；
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置2y个.
由题意可得：50y+75×2y≤15000，
解得：y≤75，
∴最多购置75个A玩具.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为（x+25）元，根据题意列出一元一次方程，从而解方程即可求解；
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置2y个，进而根据题意列出不等式，从而即可求解。
19．如图，在 ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接BD，DE，BF.
（1）求证：DE=BF；
（2）从条件“①DB=DA，②DA⊥DB”中任选一个作为已知条件，判断四边形BEDF的形状，并证明你的结论.
【答案】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=CB，∠A=∠C.
∵点E，F分别为AB，CD的中点，
∴AE=CF
∴△ADE≌△CBF（SAS）.
∴DB=BF
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD即BE∥DF，
∵点E，F分别为AB，CD的中点，
∴BE=DF
∴四边形BEDF是平行四边形；
①当DB=DA时，如图，则△ADB是等腰三角形，
∵点E为AB的中点，
∴DE⊥AB，即∠DEB=90°，
∴四边形BEDF是矩形：
②当DA⊥DB时，如图，则△ABD是直角三角形，
∵点E为AB的中点，
∴四边形BEDF是菱形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；线段的中点；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=CB，∠A=∠C，再根据中点得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明△ADE≌△CBF（SAS）即可得到DB=BF；
（2）根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD即BE∥DF，再根据中点得到，进而根据平行四边形的判定证明四边形BEDF是平行四边形，进而结合矩形和菱形的判定即可求解。
20．在2025年1月28日晚央视春晚的舞台上，创意融合舞蹈《秧BOT》中机器人扭了秧歌舞、丢起了手绢，成为了全国观众的热议焦点.某科技公司为测试两款人形机器人（甲型和乙型），给这两款机器人制定了以下任务：
（1）搬运重物：以下记录了它们在相同环境下各完成5次搬运任务的时间（单位：秒）：
甲型机器人：38，39，41，43，39
乙型机器人：50，48，35，33，34
请通过计算，从完成搬运任务时间的平均数及中位数比较这两款机器人.
（2）家政服务，以下是专业评委根据相关标准对两款机器人在4个方面的表现给出的评分（满分10分，得分越高则表现越好）
功能性 交互性 安全性 采购价格
甲型机器人 10 8 9 8
乙型机器人 8 8 8 10
如果你是某养老院的采购人员，请制定适当的标准采购最合适的家政服务机器人，并说明理由.（要求兼顾功能性、交互性、安全性及采购价格）
【答案】（1）解：
甲型机器人完成搬运任务时间的中位数为：39
乙型机器人完成搬运任务时间的中位数为：35
两种型号机器人完成搬运任务的平均时间相同，但乙型机器人完成搬运任务的中位数更小（完成一半以上的搬运任务用时更小，效率更高。
（2）解：我会着重考虑安全性与采购价格，在四个参考因素中赋予的权重分别为1，1，4，4，
则，
，
，
按照以上标准采购乙型机器人较合适（答案不唯一）
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】（1）根据平均数的定义结合题意计算，进而分析比较即可求解；
（2）根据题目赋权，进而根据加权平均数的计算方法即可求解。
21．淋浴房喷头位置的数学建模探究
【题目背景】为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统.请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题：
喷头结构：手柄AB=30cm，与墙面EH的夹角∠HAB=α（称为“调整角”）.水流射线BC⊥AB，落点C需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求. 淋浴房参数：矩形EFGH是淋浴房的截面图，EF=90cm，EH=195cm，固定站立点D满足DE=54cm。 人体工程学定义：“舒适喷淋点”（高度=身高-30cm）.已知父亲身高170cm，小明身高140cm. 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，
【问题解决】
（1）当父亲使用喷头时，调整角α=37°，水流恰好落于其“舒适喷淋点”C处（CD=170-30=140cm）.求：点A到地面的距离AE.
（2）父亲使用后，固定器位置不变（AE长度固定），调整角改为α=60°.判小明站立于D处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点” 通过计算说明理由.（计算结果精确到个位）
【答案】（1）解：作BN⊥AH于点N，延长DC交BN于点M，则∠ANB=∠M=90°，
∵爸爸身高是170cm，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处，
∴CD=170-30=140（cm），
∵AB=30cm，α=37°，
∴BN=30×sin37°≈30×0.60=18（cm），AN=AB×cos37°≈30×0.80=24（cm），∠ABN=53°
∵DE=54cm，∠ABC=90°，
∴BM=36（cm），∠CBM=37°，
∴CM=36×tan37°≈36×0.75=27（cm）.
∴DM=140+27=167（cm），
∴EN=167（cm），
∴AE=167-24=143（cm）.
答：点A到地面的距离AE约为143cm
（2）当α=60°时，∠ABN=30°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBM=60°，
∵AB=30cm，
∴CD=AE+AN-CM=143+15-48.42≈110（cm）
∵小明的身高是140cm，
∴小明的舒适距离为：140-30=110（cm），
∴水流能喷在小明的“舒适喷淋点”处.
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作BN⊥AH于点N，延长DC交BN于点M，则∠ANB=∠M=90°，先根据题意求出CD，进而解直角三角形得到BN、AN和∠ABN=53°，从而求出CM，根据DM=167cm，从而即可求出AE；
（2）根据题意结合含30°角的直角三角形的性质得到，进而解直角三角形得到CD的长，再结合题意即可求解。
22．定义：如题图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AB=12，AM=4，求BN的长.
（2）如图2，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AE、AF分别交BD于点M、N.求证：M、N是线段BD的勾股分割点.
【答案】（1）解∵AB=12，AM=4，
∴MB=AB-AM=12-3=8，
设MN=x，则BN=MB-MN=8-x，
①当AM=4是斜边时，
整理得
∴原方程无解，即AM=4不是斜边；
②当MN=x是斜边时，
解得，x=5，
∴BN=8-x=8-5=3；
③当BN=8-x是斜边时，
解得，x=3，
∴BN=8-x=8-3=5：
∴BN的长为3或5
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，BC∥AD，
设AB=BC=CD=AD=a，
∵AB∥DF，
，即
，则
∵AD∥BE，
即
，则
∴MN>BM>DN，
∴M、N是线段BD的勾股分割点。
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）先根据线段的运算得到MB，进而分类讨论，从而根据勾股定理结合一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）根据菱形的性质得到AB=BC=CD=AD，AB∥CD，BC∥AD，设AB=BC=CD=AD=a，则再根据相似三角形的判定与性质结合题意得到，则，则进而即可得到从而根据勾股分割点的定义进行计算即可求解。
23．已知：正方形ABCD的边长为6，点E为AB边上的动点（不与点A、B重合），记AE=x，△ADE的外接圆与对角线AC交于点F，连接DF、EF.
（1）如图1，证明△DEF是等腰直角三角形.
（2）DE与AC交于点G，将△EFG沿EF翻折得到△EFM.
①如图2，连接DM.当x=3时，求tan∠EDM的值.
②如图3，设求S与x之间的函数关系式.
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AC平分∠DAB，
，
在对应的圆周角中，∠EDF=∠EAF=45°，
在对应的圆周角中，∠DAF=∠DBF=45°，
∴∠RDE=∠DEF=45°，
∴∠DFE=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形.
（2）解：①由折叠可得△FGE≌△FME（SSS），
∵∠DEF=45°，
∴∠MEF=∠DEF=45°，
即∠DEM=90°，
∵DC∥AB，∠DGC=∠EGA，
∴△DGC∽△EGA，
即
在Rt△DEM中，
②∵AE=x，
∵△DGC∽△EGA，
∵∠AGD=∠FGE，∠ADE=∠AFE，
∴△ADG∽△EFG，
又·
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；求正切值；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质得到，进而根据圆周角定理结合题意得到∠RDE=∠DEF=45°，从而根据等腰直角三角形的判定即可求解；
（2）①先根据折叠得到△FGE≌△FME（SSS），则∠MEF=∠DEF=45°，即∠DEM=90°，根据相似三角形的判定与性质证明△DGC∽△EGA得到，代入数值即可表示DE和EM，再根据正切函数的定义即可求解；
②先根据三角形的面积得到，再根据相似三角形的性质得到，则，在根据相似三角形的判定与性质证明△ADG∽△EFG得到，根据勾股定理结合题意进行计算得到，最后根据即可求解。
1 / 1广东省肇庆市高要区2026年九年级数学初中学业水平检测（二）试卷
1．=（　　）
A．6 B． C． D．
2．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
气体 氧气 氢气 氮气 氦气
液化温度/℃ 183 253 195.8 269
其中液化温度最低的气体是（　　）
A．氢气 B．氮气 C．氦气 D．氧气
4．维生素D是一种脂溶性维生素，主要存在于鱼类、蛋黄、动物肝脏等食物中，它可以促进钙的吸收，有助于骨骼健康.若一名成人每天摄入的维生素D量约为0.000016g，则将数据0.000016用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B．1.6×10s C． D．
5．如图，AB∥CD，若∠2=55°，则∠1的度数为（　　）
A．35° B．135° C．55° D．125°
6．不等式组的解集是（　　）
A．x>2 B．x≤3 C．27．已知二次函数下列说法错误的是（　　）
A．顶点坐标为（1，0） B．对称轴为直线x=1
C．函数图象与x轴有2个交点 D．当x<1时，y随x的增大而减小
8．在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格：
平均数 众数 中位数 方差
8.3 9 8.6 0.1
如果每个评委打分都高0.2分，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=100°，则∠BOD的度数为（　　）
A．160° B．140° C．120° D．100°
10．“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图①），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）.上午10∶00，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度h（cm）与流水时间t（min）的关系如图③所示，下列说法错误的是（　　）
A．甲容器的初始水面高度为30cm B．12∶00甲容器的水面高度为12cm
C．11∶00甲容器的水面高度为24cm D．15∶00甲容器的水流光
11．分解因式：　 　．
12．计算：=　 　.
13．如图，在矩形ABCD中，O为BC中点，BC=2，则扇形EOF的面积为　 　.
14．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为1：3.若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为　 　。
15．如图，△OAB的边OB落在x轴上，点C是线段AB的中点，反比例函数的图象经过点A和点C.若△OAB的面积为12，则k的值为　 　
16．计算：
17．如题17图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC.
（1）以BA延长线上一点O为圆心作圆，使该圆经过点A，C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由.
18．某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元.
（1）求A，B玩具的单价；
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于15000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具
19．如图，在 ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接BD，DE，BF.
（1）求证：DE=BF；
（2）从条件“①DB=DA，②DA⊥DB”中任选一个作为已知条件，判断四边形BEDF的形状，并证明你的结论.
20．在2025年1月28日晚央视春晚的舞台上，创意融合舞蹈《秧BOT》中机器人扭了秧歌舞、丢起了手绢，成为了全国观众的热议焦点.某科技公司为测试两款人形机器人（甲型和乙型），给这两款机器人制定了以下任务：
（1）搬运重物：以下记录了它们在相同环境下各完成5次搬运任务的时间（单位：秒）：
甲型机器人：38，39，41，43，39
乙型机器人：50，48，35，33，34
请通过计算，从完成搬运任务时间的平均数及中位数比较这两款机器人.
（2）家政服务，以下是专业评委根据相关标准对两款机器人在4个方面的表现给出的评分（满分10分，得分越高则表现越好）
功能性 交互性 安全性 采购价格
甲型机器人 10 8 9 8
乙型机器人 8 8 8 10
如果你是某养老院的采购人员，请制定适当的标准采购最合适的家政服务机器人，并说明理由.（要求兼顾功能性、交互性、安全性及采购价格）
21．淋浴房喷头位置的数学建模探究
【题目背景】为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统.请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题：
喷头结构：手柄AB=30cm，与墙面EH的夹角∠HAB=α（称为“调整角”）.水流射线BC⊥AB，落点C需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求. 淋浴房参数：矩形EFGH是淋浴房的截面图，EF=90cm，EH=195cm，固定站立点D满足DE=54cm。 人体工程学定义：“舒适喷淋点”（高度=身高-30cm）.已知父亲身高170cm，小明身高140cm. 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，
【问题解决】
（1）当父亲使用喷头时，调整角α=37°，水流恰好落于其“舒适喷淋点”C处（CD=170-30=140cm）.求：点A到地面的距离AE.
（2）父亲使用后，固定器位置不变（AE长度固定），调整角改为α=60°.判小明站立于D处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点” 通过计算说明理由.（计算结果精确到个位）
22．定义：如题图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AB=12，AM=4，求BN的长.
（2）如图2，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AE、AF分别交BD于点M、N.求证：M、N是线段BD的勾股分割点.
23．已知：正方形ABCD的边长为6，点E为AB边上的动点（不与点A、B重合），记AE=x，△ADE的外接圆与对角线AC交于点F，连接DF、EF.
（1）如图1，证明△DEF是等腰直角三角形.
（2）DE与AC交于点G，将△EFG沿EF翻折得到△EFM.
①如图2，连接DM.当x=3时，求tan∠EDM的值.
②如图3，设求S与x之间的函数关系式.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：A
【分析】根据二次根式的乘法进行计算，进而化简即可求解。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形；
C是轴对称图形，但不是中心对称图形；
D是中心对称图形，但不是轴对称图形；
B图形绕中心旋转后能与原图重合，同时存在对称轴，因此既是轴对称图形又是中心对称图形。
故答案为：B
【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别。轴对称图形是沿某条直线折叠后两侧部分能够重合的图形，中心对称图形是绕某一定点旋转后能与原图重合的图形，依据定义逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：，
液化温度最低的气体是氦气。
故答案为：C
【分析】本题考查有理数大小比较。负数比较大小时，绝对值越大，数值越小，据此对比几组液化温度，最小数值对应的气体即为答案。
4．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：。
故答案为：D
【分析】本题考查科学记数法表示较小的数。绝对值小于的正数可写成的形式（，为负整数），本题小数点向右移动位得到，因此指数为。
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：，，
的同位角等于。
又与该同位角互为邻补角，
。
故答案为：D
【分析】本题考查平行线的性质和邻补角的性质。根据“两直线平行，同位角相等”求出对应角度，再结合邻补角之和为，即可算出的度数。
6．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由，得，。
由，得。
不等式组的解集为。
故答案为：C
【分析】本题考查一元一次不等式组的求解。先分别求出两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：。
顶点坐标为，对称轴为直线；函数图象与轴仅有个交点；当时，随的增大而减小。结合选项判断错误说法。
故答案为：C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质。将解析式化为顶点式，可直接确定顶点、对称轴和函数增减性；该函数图象与轴相切，因此仅有一个交点。
8．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：一组数据所有数值同时加上同一个常数，平均数、中位数、众数都会随之增加该常数，数据的波动程度不变，因此方差保持不变。
故答案为：D
【分析】本题考查平均数、中位数、众数和方差的意义。所有数据同时加同一个数，数据整体发生平移，反映集中趋势的统计量会改变，但每个数据与平均数的差值不变，因此方差不变。
9．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形内接于，
。
，
。
与是同弧所对的圆心角和圆周角，
故答案为：D
【分析】本题考查圆内接四边形的性质和圆周角定理。圆内接四边形对角互补，先求出；再根据同弧所对的圆心角是圆周角的倍，计算出的度数。
10．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知，时，，即初始水面高度为；
当时，，水面每分钟下降：；
上午到间隔分钟，此时水面高度，并非
故答案为：B
【分析】本题考查一次函数图象的实际应用。图象反映水面高度随时间均匀变化，先根据图象数据求出水面下降速度，再代入对应时间计算高度，逐一判断选项即可。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式.
故答案为：
【分析】本题主要考查因式分解中的提公因式法，多项式两项都含有公因式x，提取x后，第一项，第二项，因此结果为.
12．【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】本题考查同分母分式的减法运算。同分母分式相减，分母不变，分子直接相减，最后化简结果。
13．【答案】
【知识点】矩形的性质；扇形面积的计算；求特殊角的三角函数值；求余弦值
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
，O为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，
故答案为：
【分析】先根据矩形的性质得到，进而结合题意求出，根据余弦函数即可得到，同理可得：，再根据补角求出∠EOF的度数，从而根据扇形的面积公式即可求解。
14．【答案】
【知识点】勾股定理；几何概率
【解析】【解答】解：设直角三角形两直角边为、，由勾股定理得大正方形边长为
大正方形面积：；阴影小正方形边长：，面积：
概率
故答案为：
【分析】本题考查几何概率与勾股定理。几何概率为阴影面积与整体面积的比值，设出直角边长度，分别求出大小正方形面积，再计算比值。
15．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：设，，由中点公式得
点在反比例函数图象上，
，
化简得
，
，
，
解得
故答案为：
【分析】本题考查反比例函数、中点坐标与三角形面积。设点坐标后利用中点公式和反比例函数性质得到线段关系，再结合面积公式列方程求。
16．【答案】解：原式
=2
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式化简、负整数指数幂、特殊角三角函数的综合运算。先分别化简各项，再合并同类二次根式得到结果。
17．【答案】（1）画出图形.
如图所示，⊙O即为所求
（2）直线BC与⊙O相切，理由如下：
连接OC，
∵点O在AC的垂直平分线上，
∴OA=OC，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠OAC=180°-∠BAC=60°，∠ACB=30°
∴∠OAC=∠OCA=60°，
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=90°，
∵OC是⊙O的半径，且BC⊥OC，
∴直线BC与⊙O相切.
【知识点】线段垂直平分线的性质；直线与圆的位置关系；切线的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1) 本小问考查尺规作图与线段垂直平分线性质。到、距离相等的点在的垂直平分线上，结合在延长线，两线交点即为圆心；
(2) 本小问考查切线的判定。连接OC，先根据垂直平分线的性质得到OA=OC，再结合圆周角定理进行角的运算得到∠OCB的度数，从而根据切线的判定即可求解。
18．【答案】（1）解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为（x+25）元：
由题意得：2（x+25）+x=200；
解得：x=50，
则B玩具单价为x+25=75（元）；
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置2y个.
由题意可得：50y+75×2y≤15000，
解得：y≤75，
∴最多购置75个A玩具.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为（x+25）元，根据题意列出一元一次方程，从而解方程即可求解；
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置2y个，进而根据题意列出不等式，从而即可求解。
19．【答案】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=CB，∠A=∠C.
∵点E，F分别为AB，CD的中点，
∴AE=CF
∴△ADE≌△CBF（SAS）.
∴DB=BF
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD即BE∥DF，
∵点E，F分别为AB，CD的中点，
∴BE=DF
∴四边形BEDF是平行四边形；
①当DB=DA时，如图，则△ADB是等腰三角形，
∵点E为AB的中点，
∴DE⊥AB，即∠DEB=90°，
∴四边形BEDF是矩形：
②当DA⊥DB时，如图，则△ABD是直角三角形，
∵点E为AB的中点，
∴四边形BEDF是菱形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；线段的中点；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=CB，∠A=∠C，再根据中点得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明△ADE≌△CBF（SAS）即可得到DB=BF；
（2）根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD即BE∥DF，再根据中点得到，进而根据平行四边形的判定证明四边形BEDF是平行四边形，进而结合矩形和菱形的判定即可求解。
20．【答案】（1）解：
甲型机器人完成搬运任务时间的中位数为：39
乙型机器人完成搬运任务时间的中位数为：35
两种型号机器人完成搬运任务的平均时间相同，但乙型机器人完成搬运任务的中位数更小（完成一半以上的搬运任务用时更小，效率更高。
（2）解：我会着重考虑安全性与采购价格，在四个参考因素中赋予的权重分别为1，1，4，4，
则，
，
，
按照以上标准采购乙型机器人较合适（答案不唯一）
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】（1）根据平均数的定义结合题意计算，进而分析比较即可求解；
（2）根据题目赋权，进而根据加权平均数的计算方法即可求解。
21．【答案】（1）解：作BN⊥AH于点N，延长DC交BN于点M，则∠ANB=∠M=90°，
∵爸爸身高是170cm，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处，
∴CD=170-30=140（cm），
∵AB=30cm，α=37°，
∴BN=30×sin37°≈30×0.60=18（cm），AN=AB×cos37°≈30×0.80=24（cm），∠ABN=53°
∵DE=54cm，∠ABC=90°，
∴BM=36（cm），∠CBM=37°，
∴CM=36×tan37°≈36×0.75=27（cm）.
∴DM=140+27=167（cm），
∴EN=167（cm），
∴AE=167-24=143（cm）.
答：点A到地面的距离AE约为143cm
（2）当α=60°时，∠ABN=30°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBM=60°，
∵AB=30cm，
∴CD=AE+AN-CM=143+15-48.42≈110（cm）
∵小明的身高是140cm，
∴小明的舒适距离为：140-30=110（cm），
∴水流能喷在小明的“舒适喷淋点”处.
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作BN⊥AH于点N，延长DC交BN于点M，则∠ANB=∠M=90°，先根据题意求出CD，进而解直角三角形得到BN、AN和∠ABN=53°，从而求出CM，根据DM=167cm，从而即可求出AE；
（2）根据题意结合含30°角的直角三角形的性质得到，进而解直角三角形得到CD的长，再结合题意即可求解。
22．【答案】（1）解∵AB=12，AM=4，
∴MB=AB-AM=12-3=8，
设MN=x，则BN=MB-MN=8-x，
①当AM=4是斜边时，
整理得
∴原方程无解，即AM=4不是斜边；
②当MN=x是斜边时，
解得，x=5，
∴BN=8-x=8-5=3；
③当BN=8-x是斜边时，
解得，x=3，
∴BN=8-x=8-3=5：
∴BN的长为3或5
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，BC∥AD，
设AB=BC=CD=AD=a，
∵AB∥DF，
，即
，则
∵AD∥BE，
即
，则
∴MN>BM>DN，
∴M、N是线段BD的勾股分割点。
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理；菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）先根据线段的运算得到MB，进而分类讨论，从而根据勾股定理结合一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）根据菱形的性质得到AB=BC=CD=AD，AB∥CD，BC∥AD，设AB=BC=CD=AD=a，则再根据相似三角形的判定与性质结合题意得到，则，则进而即可得到从而根据勾股分割点的定义进行计算即可求解。
23．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AC平分∠DAB，
，
在对应的圆周角中，∠EDF=∠EAF=45°，
在对应的圆周角中，∠DAF=∠DBF=45°，
∴∠RDE=∠DEF=45°，
∴∠DFE=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形.
（2）解：①由折叠可得△FGE≌△FME（SSS），
∵∠DEF=45°，
∴∠MEF=∠DEF=45°，
即∠DEM=90°，
∵DC∥AB，∠DGC=∠EGA，
∴△DGC∽△EGA，
即
在Rt△DEM中，
②∵AE=x，
∵△DGC∽△EGA，
∵∠AGD=∠FGE，∠ADE=∠AFE，
∴△ADG∽△EFG，
又·
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；求正切值；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质得到，进而根据圆周角定理结合题意得到∠RDE=∠DEF=45°，从而根据等腰直角三角形的判定即可求解；
（2）①先根据折叠得到△FGE≌△FME（SSS），则∠MEF=∠DEF=45°，即∠DEM=90°，根据相似三角形的判定与性质证明△DGC∽△EGA得到，代入数值即可表示DE和EM，再根据正切函数的定义即可求解；
②先根据三角形的面积得到，再根据相似三角形的性质得到，则，在根据相似三角形的判定与性质证明△ADG∽△EFG得到，根据勾股定理结合题意进行计算得到，最后根据即可求解。
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