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广东省江门市恩平市2026年数学二模试卷
1． 在-2，0，2，5这四个数中，最小的数是（　　）
A．-2 B．0 C．2 D．5
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-2＜0＜2＜5，
∴最小的数是-2.
故答案为：A .
【分析】利用有理数的大小比较可得答案.
2．广东省统计局相关数据显示，2026年第一季度工业用电量约为1197亿千瓦时，数据1197亿用科学记数法表示为（　　）
A．11.97×10 B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】 解： 亿
故答案为：B
【分析】本题考查科学记数法。科学记数法的一般形式是 ，其中 ， 为整数；“亿”表示 ，所以先把 亿化成 ，再把 调整成 。
3．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】 解：观察四个图案，图案 A 沿对称轴对折后两部分能够重合，同时绕中心旋转 后也能与原图重合，
∴图案 A 既是轴对称图形，又是中心对称图形。
故答案为：A
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别。判断轴对称图形要看是否存在一条直线，使图形沿该直线折叠后两侧重合；判断中心对称图形要看图形绕某一点旋转 后能否与原图重合。图案 A 同时满足这两个条件。
4．下列合并同类项结果正确的是（　　）
A． B．
C．3a+2b=5ab D．
【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】 解：A 中，，故 A 错误；
B 中，，故 B 错误；
C 中， 与 不是同类项，不能合并，故 C 错误；
D 中， 与 是同类项，，故 D 正确；
故答案为：D
【分析】本题考查合并同类项。同类项必须所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同；合并同类项时只把系数相加减，字母及字母的指数不变。选项 D 中 与 实质相同，能够合并。
5．如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，连接AC，BD交于点O.若AB=，BD=4，则EF的长为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】 解：∵四边形 是菱形，
∴，且
在 中，，
∴，
∴
∵ 分别为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴。
故答案为：C
【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理和三角形中位线。菱形的对角线互相垂直平分，因此可在直角三角形 中利用勾股定理求出，进而得到；又因为 是三角形两边的中点，所以 平行且等于第三边的一半。
6．对于有理数a，b，定义一种新运算：若1（x+2）=27，则x的值为（　　）
A．1 B．0 C．-1 D．-4
【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，1（x+2）=27，
∴1+x+2=3，
∴x=0，
故答案为：B
【分析】本题考查新定义运算与指数运算。根据同底数幂的乘法结合题意得到1+x+2=3，进而即可求解。
7．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（　　）
A．若x＝5，则y＝100 B．若y＝125，则x＝4
C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天，
∴，
∴，
当时，，选项正确，
A不符合题意；
当时，，选项正确，
B不符合题意；
∵，，
∴当x减小，则y增大，选项错误，
C符合题意；
若x减小一半，则y增大一倍，选项正确，
D不符合题意；
故答案为：C
【分析】先根据“淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天”得到反比例函数关系式，进而根据反比例函数的图象与性质结合选项逐一分析即可求解。
8．给如图所示的无水泳池注水，泳池的前后侧面均为直角梯形，其余各面均为矩形.如果进水速度是均匀的，泳池内水（阴影区域）的高度h与时间t变化的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：匀速注水时，单位时间内注入的水量相同。开始水位较低时，泳池底部较窄，水面面积较小，水位上升较快；水位升高后，水面面积逐渐变大，水位上升逐渐变慢。
∴随增大而增大，但增长速度逐渐减小
故答案为：A
【分析】本题考查函数图象与实际问题。进水速度均匀说明体积随时间均匀增加，但水位高度的变化还受水平截面面积影响；截面面积越大，同样体积的水使水面升高越少，所以图象应是一直上升且越来越平缓的曲线。
9．如图，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，若∠A=62°，则∠P的度数为（　　）
A．72° B．48° C．65° D．56°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵是所对弧的圆周角，
∴，
∵分别是的切线，
∴，，
∴四边形中，
故答案为：D
【分析】本题考查切线性质和圆周角定理。圆周角等于它所对弧的圆心角的一半，所以可先由求出；切线垂直于过切点的半径，四边形中两个角是直角，利用四边形内角和即可求出。
10．如图，分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，分别与AB，AP交于点D，E，再以点D为圆心，BD的长为半径画弧，与AP交于点C，连接BC.若BC=6，AC=10，则sin∠CBE是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形的性质；尺规作图-垂直平分线；求正弦值
【解析】【解答】解：连接，
由尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线，且。
垂直平分，
，，。
又，
，
，。
在中，，
即，
代入得，
。
设，则。
在中，由勾股定理得：
，
即，
展开得，
移项化简得，
解得，
，。
在中，
故答案为：A
【分析】本题综合考查尺规作图的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的判定、勾股定理以及锐角三角函数的定义。根据尺规作图步骤先确定是的垂直平分线，由此得到线段相等和垂直关系，再结合推出，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理证明，将问题转化到直角三角形中。设，根据勾股定理建立关于的方程，求解得到和的长度，最后根据正弦函数的定义计算的值。
11．分解因式=　 　.
【答案】（3+x）（3-x）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】本题考查平方差公式分解因式。先把调整为，再利用，其中。
12．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，写出符合条件的m的一个值为　 　.
【答案】-1
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴
取，符合条件
故答案为：
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式。方程有两个实数根时，判别式；由得，因此可写出任意一个满足条件的数，如。
13．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因.图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示.已知AC与BD交于点O，AB∥CD.若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2.4cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是　 　cm.
【答案】3.6
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：
【分析】本题考查相似三角形的应用。小孔成像模型中，由平行线可得到两组对应角相等，从而判定两个三角形相似；相似三角形对应边成比例，像的高度与物体高度之比等于两者到小孔距离之比。
14．当x=-2时， 代数式 ax+b+1的值为-6. 则当x=2时， ax-b+1=　 　.
【答案】8
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ 当x=-2时， 代数式 ax+b+1的值为-6.
∴-2a+b+1=-6，
∴2a-b=7，
∴当x=2时： ax-b+1 =2a-b+1=7+1=8.
故答案为：8.
【分析】首先根据当x=-2时， 代数式 ax+b+1的值为-6. 可得出2a-b=7，进而即可得出当x=2时： ax-b+1 =2a-b+1=7+1=8.
15．若二次函数图象的顶点坐标为（1，-2），且经过点（2，-3），则该二次函数的关系式为　 　.
【答案】
【知识点】利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设二次函数关系式为。
∵图象经过点，
∴，
∴
∴，即
故答案为：或
【分析】本题考查二次函数顶点式。已知顶点为时，可设；把另一个已知点坐标代入求出，即可确定函数关系式。
16．阅读小明解不等式的过程：
解：不等号左右两边同乘以（-2），得：-2（x+3）>x-2 第一步 去括号，得：-2x+3>x-2 第二步 移项，得：-2x-x>-3-2 第三步 合并同类项，得：-3x>-5 第四步 系数化为1，得： 第五步
请判断小明的解答过程是否正确.若不正确，请指出在哪一步首先出错，错误原因是什么 并写出正确的解答过程.
【答案】解：小明解答过程不正确，从第一步开始出错，
原因是：不等式左右两边同乘以负数，不等号需要改变方向
正确的解答过程如下：
不等号左右两边同乘以（-2），得：-2（x+3）去括号，得：-2x-6移项，得：-2x-x<6-2
合并同类项，得：-3x<4
系数化成1，得：
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式的解法。不等式与等式运算的主要区别在于：两边同时乘或除以负数时，不等号方向必须改变。小明第一步两边乘以后仍保留“”，所以从第一步出错；之后按去括号、移项、合并同类项、系数化为的顺序求解即可。
17．如图，AB为⊙O直径，C，D为⊙O上的两点，且CE是⊙O的切线，CE⊥DB交DB的延长线于点E.若∠A=25°，求∠ACD的度数；
【答案】解：连接OC，如图：
∵CE是⊙O的切线
∴OC⊥CE
∵CE⊥DB
∴OC∥DE
∴∠D=∠DCO
由条件可知：∠A=∠D
∴∠DCO=∠A
∵OA=OC
∴∠ACO=∠A
∴∠ACD=∠DCO+∠ACO=2∠A=2×25°=50°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】本题考查切线性质、平行线性质、等腰三角形性质与圆周角定理。连接OC，由切线可得半径垂直切线，再结合得出，从而把转化为；同弧所对圆周角相等得，又得，最后将分成两个角相加即可。
18．古秤是中国传统计量工具，核心是“杠杆原理”，最常见是杆秤。如图，我们可以用秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量.称重时，若秤钩所挂物重为x斤，秤砣到秤纽的水平距离为ycm，则y与x满足一次函数的关系.下表为若干次称重时所记录的一些数据：
x（斤） 1 2 3 4 5 6 7
y（cm） 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
（1）应用你学的函数知识，用函数解析式表示y与x的关系；
（2）在不超重的情况下，当x=10时，求对应的水平距离y的值.
【答案】（1）解：根据表中数据看出x每增加1，y每增加0.25，
∴y与x成一次函数关系，
设y=kx+b，
把x=2时，y=1，x=6时，y=2代入
得：解得：
（2）把x=10代入
得：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）本题考查一次函数的实际应用。表中增量相同，的增量也相同，说明可设为一次函数；选择两组数据代入构成方程组，求出和后得到解析式。
（2）已确定一次函数关系后，求指定物重对应的水平距离就是函数求值，将代入解析式计算即可。
19．春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”.我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示.
【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形.即：若四边形ABCD满足AB=AD且CB=CD，则四边形ABCD为筝形.
（1）【任务1】如图2是由小正方形组成的10×5网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形EFGH；
（2）【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明.
【答案】（1）解：如图，筝形EFGH即为所求.
（2）①角的性质：筝形有一组对角相等.
②对角线的性质：筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线.
角的性质证明如下：连接AC，
根据定义
易证△ABC≌△ADC，
∴∠ABC=∠ADC.
故筝形有一组对角相等.
对角线的性质证明如下：连接AC、BD，交点为O
∵AB=AD，CB=CD，
∴点A在BD的中垂线上，点C在BD的中垂线上，
∴AC为BD的中垂线，
即AC⊥BD，BO=DO
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）画图时要扣住筝形定义，即两组邻边分别相等。只要所选四个格点连接后能满足和，就能构成筝形。
（2）证明角性质时，关键是添加公共对角线，把筝形分成两个三角形；利用三边分别相等判定全等，再得到对应角相等。证明对角线性质时，关键是利用“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，从而说明都在的垂直平分线上，直线就是的垂直平分线。
20．【项目背景】《哪吒之魔童闹海》以传统神话为基底，赋予传统英雄叙事当代个体意识觉醒的新内涵，成为中华文化创造性转化的典范.春节档上映后便火爆出圈，成为唯一一部跻身全球影史票房榜前50的非好莱坞影片，某校学生们要调查观众对电影剧情、表演、画面、音效等方面的满意度.
【数据收集与整理】
他们随机抽取了一些观众进行调查评分（满分10分，A：6分，B：7分，C：8分，D：9分，E：10分），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图.
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）【数据分析与应用】
补全上面的条形统计图，本次问卷中，众数是 ▲ ；
（2）某市共有3600名观众观看该影片，请问该市大约有多少人评分达9分及以上.
（3）此次调查E组中恰好有甲、乙、丙、丁四名女生，同学们要从这四名女生当中抽取两名面对面访问其观影感受，请用树状图或列表法求出正好抽中甲、乙两名女生的概率.
【答案】（1）解：补全条形统计图如图所示：
；
8分.
（2）解：15÷300×100%=5%
∴3600×（25%+5%）
=3600×30%
=1080（人），
答：该市大约有1080人评分达9分及以上.
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能结果，其中正好抽中甲、乙两名女生（记为事件A）的情况有2种.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数为（人），类人数为（人）。补全条形统计图时，类条形高度为。
∵评分为分的人数最多，
∴本次问卷中，众数是分
故答案为：8
【分析】（1）本题考查条形统计图、扇形统计图和众数。先用类人数除以其百分比求总人数，再利用类百分比求出类人数；众数是出现次数最多的数据，本题中类即分人数最多。
（2）估计总体人数时，用样本中评分达分及以上的比例乘以总体人数。代表分，代表分，所以应把与的比例相加。
（3）本题考查列表法或树状图求概率。两次抽取有先后顺序时共有种等可能结果，正好抽中甲、乙包括“甲后乙”和“乙后甲”两种情况，所以概率为。
21．综合与实践
【问题情境】熙春塔坐落于恩平市恩城街道锦江河畔，是当地标志性古建筑。某校数学实践小组利用所学数学知识测量熙春塔的高度
【实践探究】下面是两个方案及测量数据：
项目 测量熙春塔的高度
方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形.测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB. 方案二：利用锐角三角函数.测量：距离CD，仰角α，仰角β.
测量示意图
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值
CD 1.61m 1.59m 1.6m β 26.4° 26.6° 26.5°
ED 1.18m 1.22m 1.2m α 37.1° 36.9° 37°
DB 38.9m 39.1m 39m CD 34.8m 35.2m 35m
【问题解决】
（1）根据“方案一”的测量数据，直接写出熙春塔AB的高度；
（2）根据“方案二”的测量数据，求出熙春塔AB的高度；（参考数据：cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）
（3）请对本次实践活动进行评价（一条即可）.
【答案】（1）52米
（2）在中，
在中，
即
米
∴熙春塔AB的高度为52.5米
（3）两种方案均可测量熙春塔的高度，结果接近；多次测量取平均值可以减少误差；方案一容易受天气和太阳光线条件影响。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可知即
解得AB=52，
∴熙春塔AB的高度为52米
【分析】（1）方案一考查相似三角形的实际应用。标杆和塔都与地面垂直，太阳光线方向相同，因此形成的两个直角三角形相似，塔高与塔影长的比等于标杆长与标杆影长的比。
（2）方案二考查锐角三角函数的实际应用。塔高同时出现在两个直角三角形中，分别用和表示，再由建立方程求。
（3）实践评价应围绕测量方法、数据误差和可操作性进行。两种方案使用了不同数学模型，结果接近说明测量较合理；实际测量中多次测量取平均值能减少偶然误差。
22．代数推理
我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”.
（1）函数是“减半函数”吗 如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由；
（2）求函数图象上的“减半点”；
（3）若抛物线G：图象上存在唯一的“减半点”.
①求抛物线G的解析式；
②若抛物线G向上平移个单位长度，得到抛物线H，作直线x=t交抛物线H于点A，作直线x=2t+1交抛物线H于点B，连接AB，若直线AB的“减半点”恰好为线段AB的中点，求t的值.
【答案】（1）解：函数不是“减半函数”，
理由：∵若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，
∴函数的图像上不存在“减半点”，
∴函数不是“减半函数”
（2）由题意得：
∴函数图象上的“减半点”为（6，3）或（-6，-3）
（3）①∵抛物线图象上存在唯一的“减半点”，
∴抛物线G的解析式为：
②∵将抛物线G向上平移个单位长度，得到新抛物线H，
∴抛物线H的解析式为：
∵作直线x=t交抛物线H于点A，作直线x=2t+1交抛物线H于点B，
∴线段AB的中点横坐标为：纵坐标为：
∵直线AB的“减半点”恰好为线段AB的中点，
答：t的值为：或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）本题考查新定义与一次函数。判断函数是否为“减半函数”，就是看函数图象与直线是否有交点；将两个表达式联立即可发现无解。
（2）反比例函数上的“减半点”既满足反比例函数关系，又满足，所以联立方程并求出对应坐标。
（3）①抛物线存在唯一减半点，等价于抛物线与直线只有一个交点，即联立后的一元二次方程有两个相等实数根，因此令判别式等于求。②平移只改变常数项，先写出新抛物线的解析式，再根据两条竖直直线确定的坐标；线段中点坐标由中点公式得到，中点又是减半点，所以纵坐标等于横坐标的一半，由此建立关于的方程求解。
23．【模型呈现】
（1）如图1，点A在直线l上，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥l于点C，过点D作DE⊥l于点E，由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠DEA=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=　 　，BC=　 　.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）【模型体验】
如图2，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF=3，∠A=∠EDF=∠B，四边形CEDF的周长为10，△ABC的周长为18.小诚同学发现根据模型可以推理得到△ADE≌△BFD，进而得到AE=BD，AD=BF，那么AB=AE+BF，再根据题目中周长信息就可得AB=　 　；
（3）【模型拓展】
如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.请猜想线段DE，AD，BE之间的数量关系，并写出证明过程：
（4）【模型应用】
如图4，已知在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，点E在CD边上，且DE=4.P是对角线AC上一动点，Q是边AD上一动点，且满足当P在AC上运动时，请求线段AQ的最大值，并求出此时线段AP的长度.
【答案】（1）DE；AE
（2）7
（3）解：理由如下，
∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵BE⊥MN，
∴∠BEC=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
∵AD⊥MN，∴∠CDA=90°，
∴∠CDA=∠BEC=90°，
∴△CDA∽△BEC，
∵AC=2BC，
∴AD=2CE，CD=2BE，
（4）在AC上找一点F使∠EFP=∠DAC，延长FE交AD的延长线于点G，过点G作AC的垂线，垂足为M，过点F作AD的垂线，垂足为N.
∵在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，
∴∠EFP=∠DAC=∠EPQ，
∵∠QPF=∠QPE+∠EPF=∠DAC+∠AQP，∠QPE=∠DAC，
∴∠EPF=∠AQP，
∴△AQP∽△FPE，AG=GF，
∴△GAF为等腰三角形，∴AM=MF，
设AM=MF=a，则AF=2a，
∵tan∠DGE=tan∠NGF，
∵DE=4，
∴DG=3，EG=5，
∴AG=GF=10，
∴EF=10-5=5，
设AQ=y，AP=x，
∵△AQP∽△FPE，
即
对称轴为直线.
∴当时，
即当时，
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，
，
故答案为：
（2）解：四边形的周长为，，
，
，
的周长为，，
，
，
，
故答案为：；
【分析】(1)本题考查全等三角形的性质及“一线三等角”基本模型的推导。利用同角的余角相等得到 ，结合已知的两个直角和 ，用AAS判定 ，根据全等三角形对应边相等的性质直接写出对应边的等量关系；
(2)本题考查“一线三等角”模型在三角形全等中的应用及周长的计算。根据 ，利用三角形内角和与平角定义推导出角相等，证明 ，得到 、，将 转化为 。结合四边形 的周长求出 的值，再代入 的周长公式，通过等量代换建立关于 的方程并求解；
(3)本题考查“一线三等角”模型的拓展应用及相似三角形的判定与性质。先根据 和两条垂线，利用同角的余角相等得到 ，结合两个直角判定 。根据相似三角形对应边成比例，结合 得到 与 、 与 的数量关系，再通过线段的和差关系推导 、、 三者之间的等式；
(4)本题考查“一线三等角”模型的综合应用，涉及矩形的性质、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题。先根据矩形性质和勾股定理求出对角线 的长度，计算出 的值，结合已知的 得到角相等。通过构造辅助线，证明 和 为等腰三角形，利用三角函数求出相关线段的长度。设 、，根据相似三角形对应边成比例建立 关于 的二次函数关系式，最后利用二次函数的性质求出 的最大值及对应的 长度。
1 / 1广东省江门市恩平市2026年数学二模试卷
1． 在-2，0，2，5这四个数中，最小的数是（　　）
A．-2 B．0 C．2 D．5
2．广东省统计局相关数据显示，2026年第一季度工业用电量约为1197亿千瓦时，数据1197亿用科学记数法表示为（　　）
A．11.97×10 B．
C． D．
3．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列合并同类项结果正确的是（　　）
A． B．
C．3a+2b=5ab D．
5．如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，连接AC，BD交于点O.若AB=，BD=4，则EF的长为（　　）
A． B．2 C． D．
6．对于有理数a，b，定义一种新运算：若1（x+2）=27，则x的值为（　　）
A．1 B．0 C．-1 D．-4
7．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（　　）
A．若x＝5，则y＝100 B．若y＝125，则x＝4
C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
8．给如图所示的无水泳池注水，泳池的前后侧面均为直角梯形，其余各面均为矩形.如果进水速度是均匀的，泳池内水（阴影区域）的高度h与时间t变化的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，若∠A=62°，则∠P的度数为（　　）
A．72° B．48° C．65° D．56°
10．如图，分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，分别与AB，AP交于点D，E，再以点D为圆心，BD的长为半径画弧，与AP交于点C，连接BC.若BC=6，AC=10，则sin∠CBE是（　　）
A． B． C． D．
11．分解因式=　 　.
12．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，写出符合条件的m的一个值为　 　.
13．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因.图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示.已知AC与BD交于点O，AB∥CD.若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2.4cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是　 　cm.
14．当x=-2时， 代数式 ax+b+1的值为-6. 则当x=2时， ax-b+1=　 　.
15．若二次函数图象的顶点坐标为（1，-2），且经过点（2，-3），则该二次函数的关系式为　 　.
16．阅读小明解不等式的过程：
解：不等号左右两边同乘以（-2），得：-2（x+3）>x-2 第一步 去括号，得：-2x+3>x-2 第二步 移项，得：-2x-x>-3-2 第三步 合并同类项，得：-3x>-5 第四步 系数化为1，得： 第五步
请判断小明的解答过程是否正确.若不正确，请指出在哪一步首先出错，错误原因是什么 并写出正确的解答过程.
17．如图，AB为⊙O直径，C，D为⊙O上的两点，且CE是⊙O的切线，CE⊥DB交DB的延长线于点E.若∠A=25°，求∠ACD的度数；
18．古秤是中国传统计量工具，核心是“杠杆原理”，最常见是杆秤。如图，我们可以用秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量.称重时，若秤钩所挂物重为x斤，秤砣到秤纽的水平距离为ycm，则y与x满足一次函数的关系.下表为若干次称重时所记录的一些数据：
x（斤） 1 2 3 4 5 6 7
y（cm） 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
（1）应用你学的函数知识，用函数解析式表示y与x的关系；
（2）在不超重的情况下，当x=10时，求对应的水平距离y的值.
19．春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”.我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示.
【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形.即：若四边形ABCD满足AB=AD且CB=CD，则四边形ABCD为筝形.
（1）【任务1】如图2是由小正方形组成的10×5网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形EFGH；
（2）【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明.
20．【项目背景】《哪吒之魔童闹海》以传统神话为基底，赋予传统英雄叙事当代个体意识觉醒的新内涵，成为中华文化创造性转化的典范.春节档上映后便火爆出圈，成为唯一一部跻身全球影史票房榜前50的非好莱坞影片，某校学生们要调查观众对电影剧情、表演、画面、音效等方面的满意度.
【数据收集与整理】
他们随机抽取了一些观众进行调查评分（满分10分，A：6分，B：7分，C：8分，D：9分，E：10分），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图.
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）【数据分析与应用】
补全上面的条形统计图，本次问卷中，众数是 ▲ ；
（2）某市共有3600名观众观看该影片，请问该市大约有多少人评分达9分及以上.
（3）此次调查E组中恰好有甲、乙、丙、丁四名女生，同学们要从这四名女生当中抽取两名面对面访问其观影感受，请用树状图或列表法求出正好抽中甲、乙两名女生的概率.
21．综合与实践
【问题情境】熙春塔坐落于恩平市恩城街道锦江河畔，是当地标志性古建筑。某校数学实践小组利用所学数学知识测量熙春塔的高度
【实践探究】下面是两个方案及测量数据：
项目 测量熙春塔的高度
方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形.测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB. 方案二：利用锐角三角函数.测量：距离CD，仰角α，仰角β.
测量示意图
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值
CD 1.61m 1.59m 1.6m β 26.4° 26.6° 26.5°
ED 1.18m 1.22m 1.2m α 37.1° 36.9° 37°
DB 38.9m 39.1m 39m CD 34.8m 35.2m 35m
【问题解决】
（1）根据“方案一”的测量数据，直接写出熙春塔AB的高度；
（2）根据“方案二”的测量数据，求出熙春塔AB的高度；（参考数据：cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）
（3）请对本次实践活动进行评价（一条即可）.
22．代数推理
我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”.
（1）函数是“减半函数”吗 如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由；
（2）求函数图象上的“减半点”；
（3）若抛物线G：图象上存在唯一的“减半点”.
①求抛物线G的解析式；
②若抛物线G向上平移个单位长度，得到抛物线H，作直线x=t交抛物线H于点A，作直线x=2t+1交抛物线H于点B，连接AB，若直线AB的“减半点”恰好为线段AB的中点，求t的值.
23．【模型呈现】
（1）如图1，点A在直线l上，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥l于点C，过点D作DE⊥l于点E，由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠DEA=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC=　 　，BC=　 　.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）【模型体验】
如图2，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF=3，∠A=∠EDF=∠B，四边形CEDF的周长为10，△ABC的周长为18.小诚同学发现根据模型可以推理得到△ADE≌△BFD，进而得到AE=BD，AD=BF，那么AB=AE+BF，再根据题目中周长信息就可得AB=　 　；
（3）【模型拓展】
如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.请猜想线段DE，AD，BE之间的数量关系，并写出证明过程：
（4）【模型应用】
如图4，已知在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，点E在CD边上，且DE=4.P是对角线AC上一动点，Q是边AD上一动点，且满足当P在AC上运动时，请求线段AQ的最大值，并求出此时线段AP的长度.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-2＜0＜2＜5，
∴最小的数是-2.
故答案为：A .
【分析】利用有理数的大小比较可得答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】 解： 亿
故答案为：B
【分析】本题考查科学记数法。科学记数法的一般形式是 ，其中 ， 为整数；“亿”表示 ，所以先把 亿化成 ，再把 调整成 。
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】 解：观察四个图案，图案 A 沿对称轴对折后两部分能够重合，同时绕中心旋转 后也能与原图重合，
∴图案 A 既是轴对称图形，又是中心对称图形。
故答案为：A
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别。判断轴对称图形要看是否存在一条直线，使图形沿该直线折叠后两侧重合；判断中心对称图形要看图形绕某一点旋转 后能否与原图重合。图案 A 同时满足这两个条件。
4．【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】 解：A 中，，故 A 错误；
B 中，，故 B 错误；
C 中， 与 不是同类项，不能合并，故 C 错误；
D 中， 与 是同类项，，故 D 正确；
故答案为：D
【分析】本题考查合并同类项。同类项必须所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同；合并同类项时只把系数相加减，字母及字母的指数不变。选项 D 中 与 实质相同，能够合并。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】 解：∵四边形 是菱形，
∴，且
在 中，，
∴，
∴
∵ 分别为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴。
故答案为：C
【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理和三角形中位线。菱形的对角线互相垂直平分，因此可在直角三角形 中利用勾股定理求出，进而得到；又因为 是三角形两边的中点，所以 平行且等于第三边的一半。
6．【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，1（x+2）=27，
∴1+x+2=3，
∴x=0，
故答案为：B
【分析】本题考查新定义运算与指数运算。根据同底数幂的乘法结合题意得到1+x+2=3，进而即可求解。
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天，
∴，
∴，
当时，，选项正确，
A不符合题意；
当时，，选项正确，
B不符合题意；
∵，，
∴当x减小，则y增大，选项错误，
C符合题意；
若x减小一半，则y增大一倍，选项正确，
D不符合题意；
故答案为：C
【分析】先根据“淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天”得到反比例函数关系式，进而根据反比例函数的图象与性质结合选项逐一分析即可求解。
8．【答案】A
【知识点】函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：匀速注水时，单位时间内注入的水量相同。开始水位较低时，泳池底部较窄，水面面积较小，水位上升较快；水位升高后，水面面积逐渐变大，水位上升逐渐变慢。
∴随增大而增大，但增长速度逐渐减小
故答案为：A
【分析】本题考查函数图象与实际问题。进水速度均匀说明体积随时间均匀增加，但水位高度的变化还受水平截面面积影响；截面面积越大，同样体积的水使水面升高越少，所以图象应是一直上升且越来越平缓的曲线。
9．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵是所对弧的圆周角，
∴，
∵分别是的切线，
∴，，
∴四边形中，
故答案为：D
【分析】本题考查切线性质和圆周角定理。圆周角等于它所对弧的圆心角的一半，所以可先由求出；切线垂直于过切点的半径，四边形中两个角是直角，利用四边形内角和即可求出。
10．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形的性质；尺规作图-垂直平分线；求正弦值
【解析】【解答】解：连接，
由尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线，且。
垂直平分，
，，。
又，
，
，。
在中，，
即，
代入得，
。
设，则。
在中，由勾股定理得：
，
即，
展开得，
移项化简得，
解得，
，。
在中，
故答案为：A
【分析】本题综合考查尺规作图的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的判定、勾股定理以及锐角三角函数的定义。根据尺规作图步骤先确定是的垂直平分线，由此得到线段相等和垂直关系，再结合推出，利用等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理证明，将问题转化到直角三角形中。设，根据勾股定理建立关于的方程，求解得到和的长度，最后根据正弦函数的定义计算的值。
11．【答案】（3+x）（3-x）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】本题考查平方差公式分解因式。先把调整为，再利用，其中。
12．【答案】-1
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴
取，符合条件
故答案为：
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式。方程有两个实数根时，判别式；由得，因此可写出任意一个满足条件的数，如。
13．【答案】3.6
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：
【分析】本题考查相似三角形的应用。小孔成像模型中，由平行线可得到两组对应角相等，从而判定两个三角形相似；相似三角形对应边成比例，像的高度与物体高度之比等于两者到小孔距离之比。
14．【答案】8
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ 当x=-2时， 代数式 ax+b+1的值为-6.
∴-2a+b+1=-6，
∴2a-b=7，
∴当x=2时： ax-b+1 =2a-b+1=7+1=8.
故答案为：8.
【分析】首先根据当x=-2时， 代数式 ax+b+1的值为-6. 可得出2a-b=7，进而即可得出当x=2时： ax-b+1 =2a-b+1=7+1=8.
15．【答案】
【知识点】利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设二次函数关系式为。
∵图象经过点，
∴，
∴
∴，即
故答案为：或
【分析】本题考查二次函数顶点式。已知顶点为时，可设；把另一个已知点坐标代入求出，即可确定函数关系式。
16．【答案】解：小明解答过程不正确，从第一步开始出错，
原因是：不等式左右两边同乘以负数，不等号需要改变方向
正确的解答过程如下：
不等号左右两边同乘以（-2），得：-2（x+3）去括号，得：-2x-6移项，得：-2x-x<6-2
合并同类项，得：-3x<4
系数化成1，得：
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式的解法。不等式与等式运算的主要区别在于：两边同时乘或除以负数时，不等号方向必须改变。小明第一步两边乘以后仍保留“”，所以从第一步出错；之后按去括号、移项、合并同类项、系数化为的顺序求解即可。
17．【答案】解：连接OC，如图：
∵CE是⊙O的切线
∴OC⊥CE
∵CE⊥DB
∴OC∥DE
∴∠D=∠DCO
由条件可知：∠A=∠D
∴∠DCO=∠A
∵OA=OC
∴∠ACO=∠A
∴∠ACD=∠DCO+∠ACO=2∠A=2×25°=50°
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】本题考查切线性质、平行线性质、等腰三角形性质与圆周角定理。连接OC，由切线可得半径垂直切线，再结合得出，从而把转化为；同弧所对圆周角相等得，又得，最后将分成两个角相加即可。
18．【答案】（1）解：根据表中数据看出x每增加1，y每增加0.25，
∴y与x成一次函数关系，
设y=kx+b，
把x=2时，y=1，x=6时，y=2代入
得：解得：
（2）把x=10代入
得：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）本题考查一次函数的实际应用。表中增量相同，的增量也相同，说明可设为一次函数；选择两组数据代入构成方程组，求出和后得到解析式。
（2）已确定一次函数关系后，求指定物重对应的水平距离就是函数求值，将代入解析式计算即可。
19．【答案】（1）解：如图，筝形EFGH即为所求.
（2）①角的性质：筝形有一组对角相等.
②对角线的性质：筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线.
角的性质证明如下：连接AC，
根据定义
易证△ABC≌△ADC，
∴∠ABC=∠ADC.
故筝形有一组对角相等.
对角线的性质证明如下：连接AC、BD，交点为O
∵AB=AD，CB=CD，
∴点A在BD的中垂线上，点C在BD的中垂线上，
∴AC为BD的中垂线，
即AC⊥BD，BO=DO
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）画图时要扣住筝形定义，即两组邻边分别相等。只要所选四个格点连接后能满足和，就能构成筝形。
（2）证明角性质时，关键是添加公共对角线，把筝形分成两个三角形；利用三边分别相等判定全等，再得到对应角相等。证明对角线性质时，关键是利用“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，从而说明都在的垂直平分线上，直线就是的垂直平分线。
20．【答案】（1）解：补全条形统计图如图所示：
；
8分.
（2）解：15÷300×100%=5%
∴3600×（25%+5%）
=3600×30%
=1080（人），
答：该市大约有1080人评分达9分及以上.
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能结果，其中正好抽中甲、乙两名女生（记为事件A）的情况有2种.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数为（人），类人数为（人）。补全条形统计图时，类条形高度为。
∵评分为分的人数最多，
∴本次问卷中，众数是分
故答案为：8
【分析】（1）本题考查条形统计图、扇形统计图和众数。先用类人数除以其百分比求总人数，再利用类百分比求出类人数；众数是出现次数最多的数据，本题中类即分人数最多。
（2）估计总体人数时，用样本中评分达分及以上的比例乘以总体人数。代表分，代表分，所以应把与的比例相加。
（3）本题考查列表法或树状图求概率。两次抽取有先后顺序时共有种等可能结果，正好抽中甲、乙包括“甲后乙”和“乙后甲”两种情况，所以概率为。
21．【答案】（1）52米
（2）在中，
在中，
即
米
∴熙春塔AB的高度为52.5米
（3）两种方案均可测量熙春塔的高度，结果接近；多次测量取平均值可以减少误差；方案一容易受天气和太阳光线条件影响。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）解：由题意可知即
解得AB=52，
∴熙春塔AB的高度为52米
【分析】（1）方案一考查相似三角形的实际应用。标杆和塔都与地面垂直，太阳光线方向相同，因此形成的两个直角三角形相似，塔高与塔影长的比等于标杆长与标杆影长的比。
（2）方案二考查锐角三角函数的实际应用。塔高同时出现在两个直角三角形中，分别用和表示，再由建立方程求。
（3）实践评价应围绕测量方法、数据误差和可操作性进行。两种方案使用了不同数学模型，结果接近说明测量较合理；实际测量中多次测量取平均值能减少偶然误差。
22．【答案】（1）解：函数不是“减半函数”，
理由：∵若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，
∴函数的图像上不存在“减半点”，
∴函数不是“减半函数”
（2）由题意得：
∴函数图象上的“减半点”为（6，3）或（-6，-3）
（3）①∵抛物线图象上存在唯一的“减半点”，
∴抛物线G的解析式为：
②∵将抛物线G向上平移个单位长度，得到新抛物线H，
∴抛物线H的解析式为：
∵作直线x=t交抛物线H于点A，作直线x=2t+1交抛物线H于点B，
∴线段AB的中点横坐标为：纵坐标为：
∵直线AB的“减半点”恰好为线段AB的中点，
答：t的值为：或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）本题考查新定义与一次函数。判断函数是否为“减半函数”，就是看函数图象与直线是否有交点；将两个表达式联立即可发现无解。
（2）反比例函数上的“减半点”既满足反比例函数关系，又满足，所以联立方程并求出对应坐标。
（3）①抛物线存在唯一减半点，等价于抛物线与直线只有一个交点，即联立后的一元二次方程有两个相等实数根，因此令判别式等于求。②平移只改变常数项，先写出新抛物线的解析式，再根据两条竖直直线确定的坐标；线段中点坐标由中点公式得到，中点又是减半点，所以纵坐标等于横坐标的一半，由此建立关于的方程求解。
23．【答案】（1）DE；AE
（2）7
（3）解：理由如下，
∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵BE⊥MN，
∴∠BEC=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
∵AD⊥MN，∴∠CDA=90°，
∴∠CDA=∠BEC=90°，
∴△CDA∽△BEC，
∵AC=2BC，
∴AD=2CE，CD=2BE，
（4）在AC上找一点F使∠EFP=∠DAC，延长FE交AD的延长线于点G，过点G作AC的垂线，垂足为M，过点F作AD的垂线，垂足为N.
∵在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，
∴∠EFP=∠DAC=∠EPQ，
∵∠QPF=∠QPE+∠EPF=∠DAC+∠AQP，∠QPE=∠DAC，
∴∠EPF=∠AQP，
∴△AQP∽△FPE，AG=GF，
∴△GAF为等腰三角形，∴AM=MF，
设AM=MF=a，则AF=2a，
∵tan∠DGE=tan∠NGF，
∵DE=4，
∴DG=3，EG=5，
∴AG=GF=10，
∴EF=10-5=5，
设AQ=y，AP=x，
∵△AQP∽△FPE，
即
对称轴为直线.
∴当时，
即当时，
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，
，
故答案为：
（2）解：四边形的周长为，，
，
，
的周长为，，
，
，
，
故答案为：；
【分析】(1)本题考查全等三角形的性质及“一线三等角”基本模型的推导。利用同角的余角相等得到 ，结合已知的两个直角和 ，用AAS判定 ，根据全等三角形对应边相等的性质直接写出对应边的等量关系；
(2)本题考查“一线三等角”模型在三角形全等中的应用及周长的计算。根据 ，利用三角形内角和与平角定义推导出角相等，证明 ，得到 、，将 转化为 。结合四边形 的周长求出 的值，再代入 的周长公式，通过等量代换建立关于 的方程并求解；
(3)本题考查“一线三等角”模型的拓展应用及相似三角形的判定与性质。先根据 和两条垂线，利用同角的余角相等得到 ，结合两个直角判定 。根据相似三角形对应边成比例，结合 得到 与 、 与 的数量关系，再通过线段的和差关系推导 、、 三者之间的等式；
(4)本题考查“一线三等角”模型的综合应用，涉及矩形的性质、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题。先根据矩形性质和勾股定理求出对角线 的长度，计算出 的值，结合已知的 得到角相等。通过构造辅助线，证明 和 为等腰三角形，利用三角函数求出相关线段的长度。设 、，根据相似三角形对应边成比例建立 关于 的二次函数关系式，最后利用二次函数的性质求出 的最大值及对应的 长度。
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