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四川省眉山市2026届中考数学试卷
一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．眉山市彭山区的江口沉银遗址历经六期围堰考古，累计出水文物万余件．将76000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．我市举行“东坡诗词”朗诵比赛，决赛中五位评委给某位选手的评分分别为，，，，，则这组数据的众数和中位数是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．如图，已知直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，其中记载了一道方程的应用题，大意为：五只雀，六只燕，共重16两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀，燕各重多少？设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，菱形中，对角线 与 相交于点O， ， ，点P为线段 上的一个动点（不与端点重合），过点P作 于点M， 于点N，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，矩形中，点在线段上，连接，平分交于点 ，过点 作，垂足为点，交于点．若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ______ ．
12．如图，，，，，则的长度是_______．
13．若方程的两个根是，，则的值为________．
14．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程 的解为正数，则符合条件的所有整数的值为_______．
15．如图，在矩形中，， ，点在边上，且，点 是边上的一个动点，将沿翻折，点 的对应点为点，连接．点 在线段上，若，连接，则的最小值为_______．
三、解答题
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中，满足 ．
18．为激发学生热爱劳动的兴趣，培养学生尊重劳动成果的意识，某校计划利用课后服务时间以“我劳动·我快乐”为主题开展系列劳动教育活动，为学生提供“组装维修”“手工烹饪”“整理收纳”和“蔬菜种植”四种课程（依次用A，B，C，D表示）．为了解学生对这四种课程的喜欢情况，学校随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种劳动课程（必选且只选一种）”的问卷调查，并根据调查结果绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息）．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)参加问卷调查的学生人数是______人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小为_____°，估计全校2400名学生中最喜欢C课程的人数约为______人；
(2)补全条形统计图；
(3)现从喜欢“组装维修”的甲，乙，丙，丁四位同学中任选两人，合作展示组装维修小技巧，请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲和乙两位同学的概率．
19．人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥 ．为确定跨湖桥的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为；从点C处沿方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为，求桥的长度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，）
20．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，对角线平分交于点，点在的延长线上，且满足．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
21．2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动．
(1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率；
(2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)将直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，交轴于点，连接，，求的面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接，已知点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P是直线上一个动点，连接， ，当的长度最小时，求点P的坐标；
(3)点Q是二次函数图象上一个动点，当时，请直接写出点Q的坐标．
24．【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质．
已知，如图1，中， ， ， ，点D是 边上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接， ，与 交于点F．

(1)【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究 与的数量关系，并说明理由．
(2)【深入探究】如图2，当点D运动到 时，求的长．
(3)【拓展延伸】如图3，点M为 延长线上一点，且满足 ，当时，求的值（用含k的式子表示）．
参考答案
1．C
解：．
2．A
解：．
3．D
解：∵ 选项A，根据完全平方公式得 ，计算错误，不符合题意．
∵ 选项B，根据积的乘方法则得 ，计算错误，不符合题意．
∵ 选项C，根据合并同类项法则得 ，计算错误，不符合题意．
∵ 选项D， 和 是同类项，合并得 ，计算正确，符合题意．
4．D
解：∵这组数据中，出现次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为，
将这组数据从小到大重新排列，得：，，，，，
∵第个数为，
∴这组数据的中位数为．
5．C
解：如图，设直线与截线的夹角为
，
是三角形的外角
．
6．B
【解】由作图可知，直线 是线段 的垂直平分线，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
7．A
解：设雀每只两，燕每只两，
∵五只雀，六只燕共重16两，
∴可得第一个方程 ，互换其中一只后，一方剩余4只雀，得到1只燕，另一方剩余5只燕，得到1只雀，此时二者重量相等，
∴可得第二个方程 ，
因此列出的方程组为．
8．B
解：连接，
∵在菱形中，
∴，，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
则的最小值为最小值，
∵点P为线段 上的一个动点，
∴时，最小，
此时，
∵，
∴，
∴的最小值为．
9．B
解：设，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
10．B
解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
故①错误；
∵抛物线过点 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故②正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时， 有最小值 ，
∴对于任意实数，都有 ，
∴ ，即 ，
故③正确；
抛物线顶点坐标为 ，且开口向上，
∴ 的最小值为，
∴直线 与抛物线 没有交点，
∴关于的方程 没有实数根，
故④错误．
综上所述，正确的结论有②，共2个．
11．
解：根据题意得：，
解得：．
12．15
解：
，，
．
13．
解：对于一元二次方程 ，两个根为，
根据根与系数的关系可得： ，
∵
∴将，代入得：原式．
14． ，
解：，
解不等式①得：，
不等式组无解，
，
整理分式方程 ，
得，
两边同乘 得：，
解得： ，
分式方程的解为正数，且分母不为，
且，
解得： 且，
综上可得，，且，
∴符合条件的所有整数的值为，1．
15．
解： 四边形是矩形，
，，，
点在 边上，，
，
由翻折的性质可知，，
在上取一点 ，使得，连接，
，
在 和中，
，，
，
，
，
点 是定点，长为定值，
点 在以点 为圆心，为半径的圆上运动，
连接 ，当点 在线段 上时， 的值最小，最小值为，
在 中，， ，
根据勾股定理得： ，
的最小值为．
16．
解：
．
17．，
解：
，
∵ ， ，且，
∴ ，
∴ ，，
∴原式．
18．(1)120，36，720
(2)
(3)
（1）解：∵参加问卷调查的学生中喜欢B种课程的有42人，占被调查人数的，
∴参加问卷调查的学生人数是（人）．
∵喜欢D种课程的有12人，占被调查人数的百分比为
∴扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小为，
∴喜欢C种课程的人数占被调查人数的百分比为，
∴估计全校2400名学生中最喜欢C种课程的人数约为（人）
（2）解：喜欢A种课程的人数为（人），
喜欢C种课程的人数（人），
补全条形统计图如图所示
：
（3）列表格如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
共12种情况，其中恰好选到甲和乙两位同学的有2种情况，
∴恰好选到甲和乙两位同学的概率为．
19．桥的长度约为米
解：过点作于点M，过点B作于点，则米，，
由题意得，
在中，，即
∴（米），
在中，，即
∴（米）
∵米，
∴（米）
答：桥的长度约为米．
20．(1)证明：连接，
∵
∴
∵
∴
∵是的直径
∴
∴
∴
又∵点C在上
∴是的切线；
(2)
【解】（1）略
（2）解：由（1）得，
∵，
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴的半径为．
21．(1)每月产量的增长率为 .
(2)应降价元，最大利润为 元.
（1）解：设每月产量的增长率为，
根据题意列方程得: ，
解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去，
答: 每月产量的增长率为；
（2）解：设降价元，每天总利润为 元，
根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件，
∴，
，
当时， 取得最大值，最大值为，
答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元．
22．(1)
(2)或
(3)24
（1）解：∵反比例函数的图象过，两点，
∴，，
∴，，
∴，，
将，代入一次函数，可得：
，
解得，
∴一次函数的表达式为．
（2）解：∵不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的范围，
∴不等式的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的范围，
∵反比例函数的自变量取值范围为，
当时，
∵反比例函数的图象与一次函数的图像交于，
∴当时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方，
当时，
∵反比例函数的图象与一次函数的图像交于，
∴当时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方，
综上，不等式的解集为或．
（3）解：∵直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，且直线所在一次函数的表达式为，
∴直线所在一次函数的表达式为，
如图，设与轴交于点，与轴交于点，
∴将代入得，
解得，
∴，
将代入得，
解得，
∴，
∴，
∵直线交轴于点，
∴将代入，
∴，
联立平移后直线与反比例函数，得：，
∴，即，
解得或，
∵点在第一象限，
∴，，
∴，
∵直线平移得到直线，直线和直线平行，
∴．
23．(1)
(2)
(3)或
（1）解：由抛物线经过点，对称轴为直线
得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：过点关于直线的对称点，连接，
∴，当点三点共线时，取得最小值，此时点为与直线的交点，
对于，当时，
∴
∵，对称轴为直线
∴
∴，而
∴，
由对称可得，，
∴
∴
设直线
则，解得
∴直线
设直线
∴
解得
∴直线
联立，
解得
∴点；
（3）解：当点在直线上方时，过点作交射线于点，
∵
∴，
过点作轴于点，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵，
同理可求直线，
与抛物线表达式联立可得，
解得或
∴；
当点在直线下方时，设直线与轴交于点，取点，连接，
则
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵，
同理可求直线，
与抛物线表达式联立可得，
解得或
∴，
综上：点Q的坐标为或．
24．(1) ，理由如下：
由旋转得
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ ；
(2)
(3)
【解】（1）略
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵
∴
∵
∴ ， ，
∴
∴，
在 中， ，
∴，
∴，
同理可求
∵ ，
∴
∴
∴
解得；
（3）解：由（1）可得，
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴．

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