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第02讲 勾股定理的应用（2大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 梯子靠墙实际应用题
典型例题二 求大树折断前的高度
典型例题三 解决水杯中筷子问题
典型例题四 航海 / 路程直角模型
典型例题五 求台阶上地毯长度
典型例题六 判断是否受台风影响
典型例题七 选址使到两地距离相等
典型例题八 求最短路径
知识点01 勾股定理的应用
1.用勾股定理解决一般问题的步骤
（1）由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题；
（2）将待求的量看成直角三角形的一条边；
（3）利用勾股定理求解.
2.求直角三角形边长的方法
若已知两边长，可直接由勾股定理求第三边长，若已知一边及另外两边的关系，可设未知数根据勾股定理求解.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
过B作于D，可知，，进而求出，根据计算即可．
【详解】解：过B作于D，
∴，，
∴（），
在中，，
∴（），
答：至少需要的彩旗带．
2．（24-25八年级上·上海·二轮复习）如图，在两面墙之间有一个底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点．已知，，点到地面的垂直距离．求点到地面的垂直距离．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用；在中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出的长．
【详解】解：在中，
，
，即梯子的总长为．
在中，
，
；
；
；
；
点到地面的垂直距离．
知识点02：利用勾股定理解决最短路线问题
1.求长方体表面上两点间最短路线的方法：
需将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离，构造直角三角形，通过勾股定理求解；
2.求几何体表面上最短路线长的方法
应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线，连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路线长.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值．
【答案】图见解析，的最小值为．
【分析】本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题．作点关于的对称点，连接与的交点就是点，点即为中转站的位置；然后根据勾股定理即可得的最小值．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与的交点就是点，
点即为中转站的位置；
过作的延长线于点，
则，，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
的最小值为．
2．（25-26八年级上·甘肃白银·期末）你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理解答即可．
【详解】解：如图，
根据题意得：，
∴，
即这根木条的长至少．
【典型例题一 梯子靠墙实际应用题】
【例1】（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，长的梯子斜靠在一竖直的墙边，梯子的底端离墙脚的距离为，则梯子顶端距离地面的高度为（ ）
A．1.8 B．2.4 C．2.5 D．2.6
【答案】B
【详解】解：由勾股定理得，．
【例2】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（ ）
A．米 B．米 C．2米 D．米
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键．
根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度．
【详解】解：根据题意得顶端距离地面的高度，
故选：D
【例3】（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________．
【答案】2.4
【分析】根据题意可知梯子、墙面与地面构成直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度．
【详解】解：由题意可知，梯子、墙面与地面构成直角三角形，且斜边长为 ，一条直角边长为 ，
根据勾股定理，得梯子顶端到地面的距离为：．
故答案为：2.4．
【例4】（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为_______米．
【答案】2.7
【分析】本题主要考查勾股定理，先根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论．
【详解】解：由题意可得：
，
在中，
∵米，
，
∵
∴，
∴，
∵，
∴米，
∴小巷的宽度为（米）．
故答案为：2.7．
1．（25-26八年级下·四川广元·期中）如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为．
(1)求这架云梯顶端A处的高度；
(2)当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗
【答案】(1)；
(2)底端沿向外移动距离不是
【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可；
（2）利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，
即，
∴，
答：这架云梯的顶端A处的高度是；
（2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点，
∴，
在中，由勾股定理得，
即 ，
∴，
∴
底端沿向外移动了，不是．
2．（25-26八年级下·江西上饶·阶段检测）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作：
①用皮尺测得的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段）的长为25米；
③小望拉风筝的手到地面的距离（线段的长）为米．
(1)求风筝的垂直高度（线段的长）；
(2)如果小望想使风筝沿下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的垂直高度为米
(2)他应该往回收线8米
【分析】（1） 先利用勾股定理求出中的长，再加上的长度得到．
（2）先算出的长，再用勾股定理求出的长，最后用得出回收线的长度．
【详解】（1）解：由题意得：米，米，米．
∴在中，（米），
∴（米）.
答： 风筝的垂直高度为米．
（2）解：由题意得：米，(米)
在中，(米)，
(米)
答：他应该往回收线8米．
3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）年惠山区第十九届中小学生田径运动会在无锡市洛社初级中学（雅西分校）成功举办，该校“振勇”数学学习小组对学校宣传标语的悬挂高度开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量宣传标语的悬挂高度
【测量工具】卷尺、所有示意图均为其截面图
【活动过程】
活动1：测量宣传标语的高度
该小组开展对宣传标语悬挂高度的测量活动（如图1），测得此时绷直的标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后将其一部分紧贴墙壁，测得此时多余部分的长为，如图2．
（1）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）；
活动2：测量宣传标语的高度
该小组开展对不可以到达墙角（墙角处种有绿植，但不影响地面测量）的宣传标语悬挂高度的测量活动（如图3），测得此时绷直的宣传标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后移动到点处（此时绷直），测得此时，如图4．
（2）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）．
【答案】（1）宣传标语的悬挂高度为；（2）宣传标语的悬挂高度为．
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，运用方程建模思想与勾股定理变形技巧，解题关键是设未知数后利用直角三角形三边关系列方程并联立求解，易错点是混淆勾股定理中斜边与直角边的平方关系．
【详解】（1）解：设，则标语长为，
∴由勾股定理得：，解得：．
答：宣传标语的悬挂高度为．
（2）解：设 ，则标语长为，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：．
∴．
∴在中，由勾股定理得：．
答：宣传标语的悬挂高度为．
【典型例题二 求大树折断前的高度】
【例1】（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（ ）米．
A．13 B．17 C．18 D．20
【答案】C
【详解】解：图中树木与地面构成一个直角三角形，题目给出了两个直角边的长度，根据勾股定理得斜边长为（米）；
所以树折断之前的高度为（米）．
【例2】（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，某小区为加固围墙，将一根木质立柱垂直立在地面，立柱在离地面的处发生弯折，弯折后的立柱顶端恰好落在距离立柱底部点的位置处，则这根木质立柱原本的总高度为
A． B．7 C．5 D．4
【答案】A
【分析】根据勾股定理，得到,结合这根木质立柱原本的总高度为求解即可；
【详解】解：根据勾股定理，得到，
故木质立柱原本的总高度为；
【例3】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有______米．
【答案】8
【分析】根据勾股定理，计算，再根据旗杆高度为计算即可．
【详解】如图：
由题意得：，，，
∴，
∴（米）
答：这根旗杆被吹断裂前至少有8米．
【例4】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）《九章算术》中有这样一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：如图，一根竹子，原高1丈（1丈尺），风将其折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断处离地面的高度是______尺．
【答案】
【详解】解：设折断处离地面的高度是尺，则该直角三角形的斜边长为尺，由勾股定理可得：
，
解得：，
即折断处离地面的高度是尺．
1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）台风过后，某校的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部C的远处．已知旗杆长，求旗杆的断裂处距离底部的高度．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键.设BC=x米，由题意得米，米，在中，利用勾股定理建立方程即可求解.
【详解】解：设米，由题意得米，米，
在中，
，即
解得
即旗杆的断裂处距离底部的高度为．
2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米）
(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？
【答案】(1)米；
(2)米
【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出；
（2）由勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米），
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米），
答：至少飞了米；
（2）解：由勾股定理得：，
，
解得：，
答：树折断处距离地面米．
3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为4米．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)工人在修复的过程中发现在折断点的下方1.25米的点处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？
【答案】(1)旗杆距地面3米处折断
(2)在距离旗杆底部5米处有被砸伤的风险
【分析】（1）设长为米，则长为米，根据勾股定理即可得到结论；
（2）设旗杆再次折断时，旗杆顶新的着地点为，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意知，，
设长为米，则长为，
根据勾股定理得，
解得．
答：旗杆距地面3米处折断；
（2）解：如图，设旗杆再次折断时，旗杆顶新的着地点为，
连接．
（米），
（米）．
（米）．
即距离旗杆底部周围6米的范围内有被砸伤的风险．
在距离旗杆底部5米处有被砸伤的风险．
【典型例题三 解决水杯中筷子问题】
【例1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并能求出箭在投壶内部的最大长度是解题的关键．先利用勾股定理求出箭在投壶内部的最大长度，再用箭的总长度减去这个最大值，得到箭在投壶外面部分的最小长度，最后判断选项中哪个数值小于这个最小长度．
【详解】解：如图，
∵投壶内部底面直径，内壁高，
∴箭在投壶内部的最大长度
∵箭总长为，
∴箭在投壶外面部分的最小长度为：，
箭在投壶外面部分的最大长度为：，
∴箭在投壶外面部分的长度不可能为．
故选：．
【例2】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，因为水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．可得，整理得，即可作答．
【详解】解：设芦苇的长度是尺，
∵水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．
∴
整理得，
故选：D．
【例3】（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，一个圆桶底面直径为，高，则桶内所能容下的最长木棒为______．

【答案】
【分析】根据题意画出示意图，再根据勾股定理求解，即可．
【详解】解：如图，为圆桶底面直径，为圆桶的高，
∵，，
∴，
∴桶内所能容下的最长木棒为：．
故答案为：．

【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，灵活运用勾股定理．
【例4】（25-26八年级上·四川成都·期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是______尺．
【答案】4
【分析】本题考查了解决水池中荷花问题（勾股定理的应用），设水池的深度为h尺，利用勾股定理，列出关于h的方程求解．
【详解】解：设水池的深度为h尺，则：
，
解得：，
所以，水池的深度是4尺．
故答案为：4．
1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？
【答案】13尺
【分析】设这根芦苇的长度是x尺，则水深为尺，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可．
【详解】解：设这根芦苇的长度是x尺，则水深为尺，
由勾股定理得，
解得，
即这根芦苇的长度为13尺．
2．（25-26八年级下·江西赣州·期中）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．求水池的深度及芦苇的长度；
【答案】水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺．
【分析】设尺，则尺，利用勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设尺，则尺，
由题意得，尺，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺．
3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．
(1)求水池的深度．
(2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性．
【答案】(1)12尺
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用；
（1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；
（2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证．
【详解】（1）设为x尺，
则，尺．
在中，，
由勾股定理，得
．
．
解得 ．
答：水池的深度为12尺．
（2）图中，，，
则，，
在中，，
由勾股定理，得．
．
解得．
【典型例题四 航海 / 路程直角模型】
【例1】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A．20海里 B．10海里 C．30海里 D．25海里
【答案】A
【分析】如图（见解析），先求出，的长，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，设向东北方向航行的轮船到达地为处，向东南方向航行的轮船到达地为处，连接，
由题意得：，（海里），（海里），
∴，
∴在中，海里，
即两船相距20海里．
【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握先根据速度、时间求斜边长度，再利用勾股定理求直角边是解题的关键．
先根据舟艇的速度与行驶时间计算出的长度，再结合礁石到河岸的距离垂直于河岸确定是直角三角形，最后用勾股定理的变形公式计算的长度．
【详解】解：∵舟艇速度为，用时，
∴
∵是礁石到河岸的距离，
∴，即是直角三角形
由勾股定理得：
．
故选：C．
【例3】 （24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要________天才能把隧道凿通．
【答案】18
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】解：，，，
，
（天)，
即需要18天才能将隧道凿通，
故答案为：18．
【例4】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距________．
【答案】30
【分析】根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：根据题意得到，，
．
1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以0.7米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？
【答案】9米
【分析】先算收绳后绳长，再分别在两个直角三角形中用勾股定理求出初始水平距离和收绳后水平距离，最后用得到船移动的距离．
【详解】解：∵此人以米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴收绳长度：（米），
∵开始时绳子的长为17米，
∴（米），
在中，米，米，
∴（米）
在中，米，米，
∴（米），
∴（米），
答：船向岸边移动了9米．
2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离．
【答案】18米
【分析】可证明，则，据此利用勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】解：∵米，米，米，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
又∵米，
∴米，
∴米，
答：点、之间的距离为18米．
3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）

(1)若工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？
(2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题．
（1）根据题意得到，再利用勾股定理求出，即可解题；
（2）利用勾股定理求出，根据题意得到，进而得到，再利用勾股定理算出，即可解题．
【详解】（1）解：由题知，，，，
工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置，
，
，
此时游轮距离岸边还有；
（2）解：由题知，，，，
，
游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，
，
，
，
∴，
工作人员手中的绳子被收上来．
【典型例题五 求台阶上地毯长度】
【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ）
A．4米 B．8米 C．9米 D．7米
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键.
先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和.
【详解】解：楼梯的水平宽度=，
∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和，
∴地毯的长度至少为：3+4=7米，
故选D.
【例2】（24-25八年级下·江西宜春·期末）如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边的长．
【详解】解∶如图，
由题意，得，，，
∴，
故选：B．
【例3】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______．
【答案】13
【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如下图，
因为，
所以，
所以，
所以蚂蚁爬行的最短线路为．
故答案为：．
【例4】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为______m，购买这种地毯至少需要______元．
【答案】 7 420
【分析】根据勾股定理可求得水平直角边的长．从而根据地毯的面积乘以每平方米的价格即可得到其所需的钱数．
【详解】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，
根据勾股定理得到：水平的直角边是=4(m)，
地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，
则购买这种地毯的长是3+4=7(m)，
则面积是2×7=14 (m2)，
总钱数是14×30=420（元）．
故答案为：7；420．
【点睛】本题考查了勾股定理，生活中的平移现象，正确计算地毯的长度是解决本题的关键．
1．（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
【答案】平方米
【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜．
【详解】解：棚高，棚宽，设棚顶的宽为b，
则，
棚的长d为，
∴．
【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力，理清题意，掌握勾股定理是解题的关键．
2．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？
【答案】
【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，

∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长，
由勾股定理得，
则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13．
3．（24-25八年级上·福建厦门·阶段检测）中山公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点（长度单位：）
(1)直接写出的值；
(2)现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/，求购买地毯需多少元？
(3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG在这个坐标系中的解析式．
【答案】(1)5
(2)900
(3)
【分析】（1）根据点在抛物线上易求得c；
（2）根据解析式求出A，B，C三点坐标，求出地毯的总长度，再根据地毯的价格求出购买地毯需要的钱；
（3）由已知矩形EFGH的周长，求出GF，EF边的长度，可得到点E，G的坐标，即可求解．
【详解】（1）解∶∵抛物线的解析式为且过顶点，
∴；
（2）解∶由（1）得：OC=5，抛物线解析式为，
令y=0，则，
解得：，
∴地毯的总长度为：，
∴元，
答：购买地毯需900元；
（3）解∶设点G的坐标为，其中a＞0，
根据题意得：，
∵矩形EFGH的周长为27.5m，
∴，
∴，
解得：（不合题意，舍去），
把代入，
∴点G的坐标为（5，3.75），点E的坐标为（-5，0），
设直线EG的解析式为，
把（-5，0），（5，3.75）代入得：
，
解得：，
∴斜面EG在这个坐标系中的解析式为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式，矩形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【典型例题六 判断是否受台风影响】
【例1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（ ）个小时开始受到台风影响．
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
时，
即A市经过个小时开始受到台风影响．
故选：D
【例2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点作，上取点，，使， 通过勾股定理求出，，则受噪音影响共有，然后求出时间即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作，上取点，，使，
由题意可得，，
当火车到点时对处产生噪音影响，此时，
由勾股定理得：，，
∴受噪音影响共有，
∴点处受噪音影响的时间为，
故答案为：．
【例3】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．
【答案】70
【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案．
【详解】解：如图，设米，
∵，米，
∴（米），
∵米，米，
∴（米），
∴（米），
∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒），
故答案为：70．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【例4】（25-26八年级下·陕西延安·阶段检测）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由．
【答案】在进行爆破时，公路段有危险，理由见解析
【分析】过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，再比较的长与的大小即可得到结论．
【详解】解：如图，过点C作于点D．
，，，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴在进行爆破时，公路段有危险．
1．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，又，以台风中心周围以内为受影响区域．海港受台风影响吗？若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间是多长？如果不会，请说明理由．
【答案】海港受台风影响，台风影响该海港持续的时间是7小时．
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长；在上取点E和点F，连接，使得，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点C作于D，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴海港受台风影响；
如图所示，在上取点E和点F，连接，使得，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
小时，
答：海港受台风影响，台风影响该海港持续的时间是7小时．
2．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为．
(1)求台风中心从点移到点的距离的长？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？
【答案】(1)的长为
(2)市受到台风影响的时间持续小时
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意并正确计算是关键．
（1）使用勾股定理直接计算即可；
（2）以点为圆心，为半径作圆，交于点、，使用勾股定理求出，再除以台风的速度求出持续时间．
【详解】（1）解：由题意可得，，
在直角中，．
答：的长为．
（2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点、，
由题意可知，台风在段时，对市有影响．
在直角中，，
同理，，
∴，
∴影响持续的时间为．
答：市受到台风影响的时间持续小时．
3．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶．
(1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据：
(2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？
【答案】(1)A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒
(2)小明出发4秒后会受到噪音影响
【分析】（1）过作于，过点B作于H，根据题意得，，根据含30度和45度直角三角形的性质求出米，得到，于是得到小区会受到噪音干扰，设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，连接，，根据勾股定理即可得到结论．
（2）假设当小明开始受影响时行到E处，此时行到F处，则此时米，
又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则，，则，，利用勾股定理得到，从而得到得到关于t的方程，即可得解．
【详解】（1）解：过作于，过点B作于H，
由题意得，，，
，
，米，
(米，
∴米，
，
，
小区会受到噪音干扰，
设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，
连接，，
则米，
米，
(米，
(米，
干扰的时间(秒，
答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒．
（2）假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时米，
又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则，
又∵
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
答：小明出发4秒后会受到噪音影响．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【典型例题七 选址使到两地距离相等】
【例1】（24-25八年级上·云南文山·期末）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（ ）
A．60m B．80m C．100m D．160m
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键．
直接由勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可得，小明向正东方向走了
故选：B．
【例2】 （24-25八年级下·河南安阳·阶段检测）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　）
A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定
【答案】B
【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可．
【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，
∴，
∴ ，
∴，
解得：x＝16，
则煤栈E应距A点16km．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键．
【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站_____千米的地方．
【答案】12
【详解】设AE=x千米,则BE=（36－x）千米,
在Rt△AEC中,CE2=AE2+AC2=x2+242,
在Rt△BED中,
DE2=BE2+BD2=+122,
∵CE=ED,
∴x2+242=+122,
解得x=12,
所以E站应建在距A站12千米的地方,能使蔬菜基地C,D到E的距离相等,
故答案为12．
【例4】（24-25八年级上·江苏常州·期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器．
【答案】8
【分析】本题考查了勾股定理，等量代换，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作于点N，根据题意，求得，后计算即可．
【详解】解：过点作于点N，根据题意，得，
又，
故，
设，
∴，
∴，
∴，
故，
故答案为：8．
1．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？
【答案】E站应建在离A站处
【分析】设，可将和的长表示出来，然后根据勾股定理可得，即可列出方程进行求解．
【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等，
∴．
∵于A，于B，
∴，
∴，
∴，
设，则．
∵，，
∴，
解得：，
∴．
答：E站应建在离A站处．
2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，观景台到马路的距离（的长）为，凉亭到马路的距离（的长）为，的长为．现计划在路段之间放置一个自动售货点，使得到、两处的距离相等，该自动售货点应该修建在离点多远处？
【答案】该自动售货点应该修建在离点处
【分析】连接，设，则，利用勾股定理列方程即可解答．
【详解】解：如图，连接，
设，则，
根据勾股定理可得，
，
，
，
解得，
答：该自动售货点应该修建在离点处．
3．（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等．
设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．

(1)（______）千米；
(2)煤栈应建在距点多少千米处？
【答案】(1)
(2)千米处
【分析】（）连接，则，由勾股定理可得，解之即可求解；
（）根据（）的结果即可求解；
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，连接，则，
∵，，
∴，
∵千米，
∴千米，
∵，
∴，
解得，
∴千米，
故答案为：；
（2）解：由（）得，千米，
∴煤栈应建在距点千米处．
【典型例题八 求最短路径】
【例1】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】将正方体沿着它的一条棱展开，由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：将正方体展开，连接A、B，
由两点之间，线段最短可知，蚂蚁走过的最短路程即为线段的长，
由题意得，在中，，
∴，
∴蚂蚁走过的最短路程为．
【例2】（25-26八年级下·四川德阳·阶段检测）如图，有一个圆柱，它的高为12，底面周长为18，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，需要爬行的最短路程是（ ）
A．10 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【分析】画出圆柱侧面展开图，根据“两点之间，线段最短”，线段长度即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程，求出的长，根据勾股定理即可求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图，长方形为圆柱的侧面展开图，B为边中点，根据“两点之间，线段最短”可知，线段的长度即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程．
由题意得，
在中，根据勾股定理得，
∴需要爬行的最短路程是15．
【例3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，正方体的棱长为，蚂蚁从顶点A沿表面爬到顶点B的最短路程为_______．
【答案】
【分析】先将点A和点B所在的各面展开为矩形，根据“两点之间线段最短”知为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离；然后利用勾股定理求得的长．
【详解】解：将点A和点B所在的各面展开为矩形，为矩形对角线的长，
如图所示：
∵正方体的棱长为，
∴矩形的长为、宽为，
∴．
【例4】（25-26八年级下·山西大同·期中）一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______．
【答案】
【分析】蚂蚁爬行的最短路径长度为圆柱侧面展开图对角线的长度．
【详解】解：该圆柱形饮料罐底面周长为，高为，
如下图，其侧面展开图长为，宽为，
由勾股定理得，其侧面展开图对角线长为，
蚂蚁爬行的最短路径长度为．
1．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）如图所示，一只蚂蚁在长方体（长10厘米，宽5厘米，高20厘米）的底面上的点A处，蚂蚁想吃到底面上与点A相对的点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？
【答案】25厘米
【分析】本题考查的是平面展开—最短路径问题，关键在于要考虑到将长方体展开成长方形有三种情况，分别计算出点A到点的距离，通过比较找到最小的．将该长方体展开得到长方形，使点A、点位于同一平面，有三种情况：长方形、长方形、长方形；分别计算对角线的长度，其中最小的即为所求．
【详解】解：在长方形中，厘米，厘米，
则（厘米）；
在长方形中，厘米，厘米，则厘米；
在长方形中，厘米，厘米，则厘米；
答：蚂蚁需要爬行的最短路程是25厘米．
2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘．小诚是一名滑板爱好者，若他从点处滑到点处，他滑行的最短距离是多少米？（边缘部分的厚度忽略不计）
【答案】他滑行的最短距离是米
【分析】本题考查最短路径，勾股定理．根据题意可知，型池的展开图为长方形，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，长方形是型池的展开图，
根据题意可得，
连接，则的长为滑行的最短距离，
在中，，，，
∴
∴他滑行的最短距离是米．
3．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，一圆柱的底面半径为是底面直径，高为，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点（点与点正对）的最短路线，小明设计了两条路线．
路线1：侧面展开图中的线段，如图2所示．
设路线1的长度为，则．
路线2：高线底面直径．
设路线2的长度为，则．
为比较的大小，采用“作差法”：
因为，所以，所以，所以小明认为路线2较短．
(1)小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为，高为”．请你用上述方法帮小亮比较出与的大小．
(2)请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为，高为．蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短？请说明理由．
【答案】(1)路线1较短，
(2)当时，路线2较短
【分析】(1) 分别求出两种路线的长度的平方，利用作差法比较大小．
(2) 用表示两种路线的长度的平方，通过作差法建立不等式，求解的范围．
【详解】（1）解：由题意，圆柱底面半径，高，
路线1：侧面展开图中，水平距离为半圆弧长，垂直距离为，
，
路线2：，
，
，
又，
，
，
路线1较短．
（2）解：圆柱底面半径为，高为，
路线1：，
路线2：，
，
，
，
，
当路线2较短时，，
即，
，
，
，
又，
，
．
1．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高为1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即），问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为（1丈尺）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程．
【详解】解：设木杆长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺，
在中，
∵，
∴．
2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适于岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是：“有一个边长为10尺的正方形水池，在水池的正中央（底面中点）长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到水池一边，芦苇的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？”该题所求的水深为（　　）
A．9尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．设水深为尺，根据勾股定理解答即可．
【详解】解：设水深尺，则芦苇长度为尺，
由勾股定理，可得，
解得，
∴水深12尺．
故选：C．
3．（24-25八年级下·山东·阶段检测）如图，甲渔船以16海里/时的速度从港口A出发沿北偏东方向航行，乙渔船以12海里/时的速度同时从港口A出发沿南偏东航行，2小时后，甲船到B岛，乙船刚好到达C岛，则两岛相距（ ）
A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，方位角问题，解题的关键是熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】解：∵甲渔船以16海里/时的速度从港口A出发沿北偏东方向航行，乙渔船以12海里/小时的速度同时从港口A出发沿南偏东航行，
∴，
两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里），
根据勾股定理得：（海里）．
故选：D
4．（24-25八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度．
【详解】解：在中，根据勾股定理得到，
即，
解得，
故选：D．
5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）某公园有一处荷花池如图所示，池边有一观景栈道长100米. 为了方便市民赏花，公园决定规划一条步行观光路线(折线 )，为起点，为终点．已知、到观景栈道的距离米、米，要使池边观景路线为40米，则步行观光路线的最短长度为（ ）．
A．100米 B．120米 C．140米 D．160米
【答案】C
【分析】将定长线段平移，把折线 的最短问题，转化为两点之间线段最短求解．先平移线段，再作对称点，利用勾股定理计算最短距离．
【详解】解： 米（定长），
要使折线 最短，只需使 最短，
过点作 ，交的延长线于点，在上取，
又，
，
四边形为平行四边形，四边形为矩形，
则，即，
作点关于直线的对称点，连接，交于点，
此时最短，
有即，则四点共线，
根据米，米，米，米，
米，
米，
根据勾股定理，米，
所以步行观光路线最短长度米．
6．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）一支长为厘米的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米和厘米的细长的长方形水槽中，那么水槽至少要放进_______厘米深的水才能完全淹没筷子．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题目信息画出示意图并熟练运用勾股定理是解题的关键．
根据题中所给出的条件构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
由题意可知，，，；为筷子，即， 为水的深度，
由勾股定理得，
，
故答案为：．
7．（24-25八年级下·甘肃陇南·阶段检测）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少高_____m？
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理，计算，后根据树高为计算即可．
【详解】解：根据题意，得，
∴米，
∴这根旗杆被吹断裂前高为米，
∴这根旗杆被吹断裂前至少有米高．
故答案为：．
8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500 m和300 m，且C、D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走__________m.
【答案】1000
【分析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，则CE=BD，CD=BE，再利用勾股定理求出A′B的长即可．
【详解】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵CD=600m，BD=300m，AC=500m，
∴A′C=AC=500m，CE=BD=300m，CD=BE=600m，
∴A′E=A′C+CE=500+300=800m，
在Rt△A′EB中，
A′B===1000（m）．
即牧童最少要走1000米．
故答案为1000．
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，解题关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形．
9．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，圆柱底面圆的周长为8cm，、分别是上、下底面的直径，高，用一条无弹性的丝带从至按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为______cm．
【答案】
【分析】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理的应用，把立体图形展开成平面图形，依题意，从A到C缠绕了一圈半，则，，根据两点之间线段最短求出长即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
∵无弹性的丝带从A至C，绕了圈，圆柱底面圆的周长为，
∴展开后，，
由勾股定理得：；
故答案为：．
10．（24-25八年级上·全国·单元测试）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则B处与灯塔A的距离是__________海里．
【答案】
【分析】根据在B处观测到的灯塔A和C处的方向确定，且B处在C处的北偏西方向上，再结合在C处观测到的灯塔A的方向确定，进而求出，然后根据等腰三角形的判定定理确定AC=BC=25海里，再根据勾股定理可求出B处与灯塔A的距离．
【详解】解：∵灯塔A在B处南偏东方向上，C处在B处南偏东方向上，
∴，B处在C处的北偏西方向上．
∴．
∴．
∴．
∴AC=BC．
∵轮船从B处以每小时50海里的速度航行半小时到达C处，
∴海里．
∴AC=25海里．
∴海里．
故答案为：．
【点睛】本题考查方位角，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定定理，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题关键．
11．（25-26八年级下·广西崇左·期中）路边有一根电线杆，工人师傅在电线杆顶部向地面拉一根拉线固定．拉线的底端距离电线杆底部3米．已知拉线比电线杆长1米，求拉线的长度．
【答案】米
【分析】设拉线的长度为米，则电线杆长度为米，结合勾股定理计算即可得出结果．
【详解】解：设拉线的长度为米，则电线杆长度为米，
由勾股定理可得，
解得，
∴拉线的长度为米．
12．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）某校八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们在保证安全的情况下把一根竹竿AB垂直插到离湖边3dm的水底（即），只见竹竿高出水面OC的距离，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变），竿顶A和湖沿的水面C处平齐（即），求湖水的深度OB和竹竿AB的长．
【答案】湖水的深度OB为4dm，竹竿AB的长为5dm ．
【分析】设湖水的深度OB=h dm，则竹竿AB的长为( h+1) dm，再根据勾股定理求出h的值即可．
【详解】解∶设湖水的深度OB=h dm，则竹竿AB的长为( h+1) dm，
在Rt△BOC中，
∵OB=h dm， BC= ( h+1) dm， CO=3dm，
∴32+h2= (h+1)2，
解得h=4，
∴h+1=5．
答∶湖水的深度OB为4dm，竹竿AB的长为5dm ．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理构造方程是解题的关键．
13．（24-25八年级下·山东德州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
（2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）

【答案】（1）36；（2）船向岸边移动了米
【分析】（1）根据勾股定理，可以得到的长，再根据勾股定理的逆定理，可以判断是直角三角形由此解答即可；
（2）在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴四边形的面积
；
解：（2）在中，
∵，
∴，
∴米，
∴船向岸边移动了米
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答．
14．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．
(1)求的距离；
(2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据）
【答案】(1)米
(2)大巴车超速了
【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键．
（1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案；
（2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得，
的距离为米；
（2）解：大巴车的速度为，
则，
，
大巴车超速了．
15．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”

(1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________．
【模型应用】
(2)代数式的最小值是__________．
【模型拓展】
(3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值．
【答案】(1)线段最短，5，12，13
(2)
(3)
【分析】（1）根据"两点之间线段最短"，当 、、三点共线时，最小，即线段 就是最小值．延长 至 ，使 ，连接 ，可证四边形 是矩形，从而得 ，，最后在 中由勾股定理求 ．
（2）将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，仿照例题方法构造图形求最小值．
（3）将 和 理解为已知斜边、一条直角边为 时，另一条直角边的长，结合备用图构造图形，转化为折线最短路径问题求解．
【详解】（1）解：根据：两点之间线段最短，得到：线段 就是 的最小值．
延长 至 ，使 ，连接 ．
，，
四边形 是平行四边形．
,
四边形 是矩形．
，．
在 中，由勾股定理：
，
的最小值是 ．
（2）解：原式理解为：中，，；中，，；
如图，构造两个直角三角形，令两直角三角形的水平边 和 在同一直线上，平移使 、重合，则总水平长度为 ，竖直高， ．
延长到，构造矩形，竖直总高 ，水平总长 ，
，
的最小值是 ．
（3）解：如图，令 ，，，则：
，．
．
设 ，，则 ，
由勾股定理，得，两式相减：
，即 ，
，
，
解得：，．
代入 ：
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第02讲 勾股定理的应用（2大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 梯子靠墙实际应用题
典型例题二 求大树折断前的高度
典型例题三 解决水杯中筷子问题
典型例题四 航海 / 路程直角模型
典型例题五 求台阶上地毯长度
典型例题六 判断是否受台风影响
典型例题七 选址使到两地距离相等
典型例题八 求最短路径
知识点01 勾股定理的应用
1.用勾股定理解决一般问题的步骤
（1）由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题；
（2）将待求的量看成直角三角形的一条边；
（3）利用勾股定理求解.
2.求直角三角形边长的方法
若已知两边长，可直接由勾股定理求第三边长，若已知一边及另外两边的关系，可设未知数根据勾股定理求解.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？
2．（24-25八年级上·上海·二轮复习）如图，在两面墙之间有一个底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点．已知，，点到地面的垂直距离．求点到地面的垂直距离．
知识点02：利用勾股定理解决最短路线问题
1.求长方体表面上两点间最短路线的方法：
需将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离，构造直角三角形，通过勾股定理求解；
2.求几何体表面上最短路线长的方法
应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线，连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路线长.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值．
2．（25-26八年级上·甘肃白银·期末）你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？
【典型例题一 梯子靠墙实际应用题】
【例1】（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，长的梯子斜靠在一竖直的墙边，梯子的底端离墙脚的距离为，则梯子顶端距离地面的高度为（ ）
A．1.8 B．2.4 C．2.5 D．2.6
【例2】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（ ）
A．米 B．米 C．2米 D．米
【例3】（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________．
【例4】（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为_______米．
1．（25-26八年级下·四川广元·期中）如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为．
(1)求这架云梯顶端A处的高度；
(2)当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗
2．（25-26八年级下·江西上饶·阶段检测）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作：
①用皮尺测得的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段）的长为25米；
③小望拉风筝的手到地面的距离（线段的长）为米．
(1)求风筝的垂直高度（线段的长）；
(2)如果小望想使风筝沿下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？
3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）年惠山区第十九届中小学生田径运动会在无锡市洛社初级中学（雅西分校）成功举办，该校“振勇”数学学习小组对学校宣传标语的悬挂高度开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量宣传标语的悬挂高度
【测量工具】卷尺、所有示意图均为其截面图
【活动过程】
活动1：测量宣传标语的高度
该小组开展对宣传标语悬挂高度的测量活动（如图1），测得此时绷直的标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后将其一部分紧贴墙壁，测得此时多余部分的长为，如图2．
（1）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）；
活动2：测量宣传标语的高度
该小组开展对不可以到达墙角（墙角处种有绿植，但不影响地面测量）的宣传标语悬挂高度的测量活动（如图3），测得此时绷直的宣传标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后移动到点处（此时绷直），测得此时，如图4．
（2）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）．
【典型例题二 求大树折断前的高度】
【例1】（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（ ）米．
A．13 B．17 C．18 D．20
【例2】（25-26七年级下·云南昭通·期中）如图，某小区为加固围墙，将一根木质立柱垂直立在地面，立柱在离地面的处发生弯折，弯折后的立柱顶端恰好落在距离立柱底部点的位置处，则这根木质立柱原本的总高度为
A． B．7 C．5 D．4
【例3】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有______米．
【例4】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）《九章算术》中有这样一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：如图，一根竹子，原高1丈（1丈尺），风将其折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断处离地面的高度是______尺．
1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）台风过后，某校的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部C的远处．已知旗杆长，求旗杆的断裂处距离底部的高度．
2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米）
(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？
3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为4米．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)工人在修复的过程中发现在折断点的下方1.25米的点处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？
【典型例题三 解决水杯中筷子问题】
【例1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，一个圆桶底面直径为，高，则桶内所能容下的最长木棒为______．

【例4】（25-26八年级上·四川成都·期末）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是______尺．
1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？
2．（25-26八年级下·江西赣州·期中）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．求水池的深度及芦苇的长度；
3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．
(1)求水池的深度．
(2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性．
【典型例题四 航海 / 路程直角模型】【例1】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图所示，一轮船以6海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以8海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A．20海里 B．10海里 C．30海里 D．25海里
【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（ ）
A． B． C． D．
【例3】 （24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要________天才能把隧道凿通．
【例4】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距________．
1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以0.7米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？
2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离．
3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）

(1)若工作人员以的速度收绳，后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少？
(2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？
【典型例题五 求台阶上地毯长度】
【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ）
A．4米 B．8米 C．9米 D．7米
【例2】（24-25八年级下·江西宜春·期末）如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______．
【例4】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为______m，购买这种地毯至少需要______元．
1．（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
2．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？
3．（24-25八年级上·福建厦门·阶段检测）中山公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为且过顶点（长度单位：）
(1)直接写出的值；
(2)现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元/，求购买地毯需多少元？
(3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG在这个坐标系中的解析式．
【典型例题六 判断是否受台风影响】
【例1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（ ）个小时开始受到台风影响．
A． B． C．6 D．
【例2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______．
【例3】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．
【例4】（25-26八年级下·陕西延安·阶段检测）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由．
1．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，又，以台风中心周围以内为受影响区域．海港受台风影响吗？若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间是多长？如果不会，请说明理由．
2．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为．
(1)求台风中心从点移到点的距离的长？
(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？
3．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶．
(1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据：
(2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？
【典型例题七 选址使到两地距离相等】
【例1】（24-25八年级上·云南文山·期末）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（ ）
A．60m B．80m C．100m D．160m
【例2】 （24-25八年级下·河南安阳·阶段检测）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　）
A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定
【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站_____千米的地方．
【例4】（24-25八年级上·江苏常州·期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器．
1．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？
2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，观景台到马路的距离（的长）为，凉亭到马路的距离（的长）为，的长为．现计划在路段之间放置一个自动售货点，使得到、两处的距离相等，该自动售货点应该修建在离点多远处？
3．（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等．
设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．

(1)（______）千米；
(2)煤栈应建在距点多少千米处？
【典型例题八 求最短路径】
【例1】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（ ）
A． B． C．3 D．
【例2】（25-26八年级下·四川德阳·阶段检测）如图，有一个圆柱，它的高为12，底面周长为18，在圆柱的底面点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B的食物，需要爬行的最短路程是（ ）
A．10 B．14 C．15 D．16
【例3】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，正方体的棱长为，蚂蚁从顶点A沿表面爬到顶点B的最短路程为_______．
【例4】（25-26八年级下·山西大同·期中）一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______．
1．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）如图所示，一只蚂蚁在长方体（长10厘米，宽5厘米，高20厘米）的底面上的点A处，蚂蚁想吃到底面上与点A相对的点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？
2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘．小诚是一名滑板爱好者，若他从点处滑到点处，他滑行的最短距离是多少米？（边缘部分的厚度忽略不计）
3．（25-26八年级下·北京·期中）如图1，一圆柱的底面半径为是底面直径，高为，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点（点与点正对）的最短路线，小明设计了两条路线．
路线1：侧面展开图中的线段，如图2所示．
设路线1的长度为，则．
路线2：高线底面直径．
设路线2的长度为，则．
为比较的大小，采用“作差法”：
因为，所以，所以，所以小明认为路线2较短．
(1)小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为，高为”．请你用上述方法帮小亮比较出与的大小．
(2)请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为，高为．蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短？请说明理由．
1．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）《九章算术》中有这样一道题目，大意为：如图，今有墙高为1丈，倚木杆于墙，使木杆之上端与墙的上端平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上（即），问木杆长是多少？设木杆长x尺，根据题意可列方程为（1丈尺）（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适于岸齐，问水深、葭长各几何？”这道题的意思是：“有一个边长为10尺的正方形水池，在水池的正中央（底面中点）长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺．若将芦苇拉到水池一边，芦苇的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？”该题所求的水深为（　　）
A．9尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
3．（24-25八年级下·山东·阶段检测）如图，甲渔船以16海里/时的速度从港口A出发沿北偏东方向航行，乙渔船以12海里/时的速度同时从港口A出发沿南偏东航行，2小时后，甲船到B岛，乙船刚好到达C岛，则两岛相距（ ）
A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里
4．（24-25八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）某公园有一处荷花池如图所示，池边有一观景栈道长100米. 为了方便市民赏花，公园决定规划一条步行观光路线(折线 )，为起点，为终点．已知、到观景栈道的距离米、米，要使池边观景路线为40米，则步行观光路线的最短长度为（ ）．
A．100米 B．120米 C．140米 D．160米
6．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）一支长为厘米的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米和厘米的细长的长方形水槽中，那么水槽至少要放进_______厘米深的水才能完全淹没筷子．
7．（24-25八年级下·甘肃陇南·阶段检测）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少高_____m？
8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500 m和300 m，且C、D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走__________m.
9．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，圆柱底面圆的周长为8cm，、分别是上、下底面的直径，高，用一条无弹性的丝带从至按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为______cm．
10．（24-25八年级上·全国·单元测试）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则B处与灯塔A的距离是__________海里．
11．（25-26八年级下·广西崇左·期中）路边有一根电线杆，工人师傅在电线杆顶部向地面拉一根拉线固定．拉线的底端距离电线杆底部3米．已知拉线比电线杆长1米，求拉线的长度．
12．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）某校八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们在保证安全的情况下把一根竹竿AB垂直插到离湖边3dm的水底（即），只见竹竿高出水面OC的距离，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变），竿顶A和湖沿的水面C处平齐（即），求湖水的深度OB和竹竿AB的长．
13．（24-25八年级下·山东德州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
（2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）

14．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．
(1)求的距离；
(2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据）
15．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”

(1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________．
【模型应用】
(2)代数式的最小值是__________．
【模型拓展】
(3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值．
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