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第03讲 实数的认识与运算（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 无理数
典型例题二 实数的性质
典型例题三 实数与数轴
典型例题四 实数的大小比较
典型例题五 无理数的大小估算
典型例题六 勾股定理与无理数
典型例题七 实数的混合运算
典型例题八 新定义下的实数运算
典型例题九 与实数运算相关的规律题
典型例题十 实数运算的实际应用
知识点01 实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
【即时训练】
1．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下列说法中正确的是（　　）
A．无限小数都是无理数 B．无理数都是无限小数
C．实数可以分为正实数和负实数 D．两个无理数的和一定是无理数
【答案】B
【分析】根据实数的分类对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、无限循环小数是有理数，故本选项错误；
B、无理数都是无限小数符合无理数的定义，故本选项正确；
C、实数可以分为正实数和负实数和0，故本选项错误；
D、当两个无理数互为相反数时，此和为有理数，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是实数的分类，解答此类问题的关键是熟练掌握实数按定义分类和按正负性质分类的两种分类方法．
2．（25-26七年级下·安徽亳州·阶段检测）实数的相反数是______．
【答案】
【详解】解：的相反数为：．
知识点02 实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
【即时训练】
1．（2026·山东菏泽·二模）下列四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，且，
∴绝对值最大的数是．
2．（2026·安徽六安·二模）在电子制作的过程中，我们发现电阻的阻值为，电阻的阻值为，比较大小：_____2.3（填“＞”或“＜”）．
【答案】
【分析】要比较两个正数的大小，可将两个数分别平方，通过比较平方结果的大小得到原数的大小关系，正数中平方更大的数更大．
【详解】解： ， ，
，， ，
．
知识点03实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）计算的结果为（ ）
A．11 B． C．1 D．
【答案】D
【详解】解：．
2．（2026·浙江丽水·模拟预测）______．
【答案】1
【详解】解：
【典型例题一 无理数】
【例1】（2026·山东德州·二模）下列四个选项中，无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据无理数和有理数的定义，逐一判断选项即可得到答案．
【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，
∴、是整数，属于有理数，不符合题意；
、是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合题意；
、是整数，属于有理数，不符合题意；
、是整数，属于有理数，不符合题意．
【例2】（2026·河北·二模）已知数据：，，，，．其中有理数出现的频率为（ ）
A．0.2 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】B
【分析】先根据有理数的定义，找出题目中所有有理数，得到有理数的频数，再根据频率=频数÷数据总数计算结果．先化简含根号的数（如），再区分有理数与无理数；易错点是误将当作无理数，或忘记频率的计算方法．
【详解】∵ 数据总数为个，根据有理数的定义判断：
是分数，属于有理数；是无理数；是整数，属于有理数；是无理数；是有限小数，属于有理数．
∴ 有理数的频数为，
∴ 有理数出现的频率为．
【例3】（25-26七年级下·陕西延安·期中）实数中是无理数的是______．
【答案】
【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，对给出的每个实数逐一判断，即可得到结果．
【详解】解：是分数，分数属于有理数，
是有限小数，属于有理数，
，是整数，属于有理数，
开立方开不尽，是无限不循环小数，无理数．
【例4】（25-26七年级下·河南安阳·期中）在实数，，，（相邻两个之间依次多个），，中，无理数有_____________个．
【答案】
【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，对各数逐一判断即可．
【详解】解：，，，，（相邻两个之间依次多个），，中，无理数有，，（相邻两个之间依次多个），，共个．
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法正确与否．如果不正确，请举反例说明．
(1)无限小数都是无理数．
(2)无限小数都是实数．
(3)带根号的数都是无理数．
(4)实数都是有理数．
(5)实数都是无理数．
【答案】(1)不正确，反例：（无限循环小数）
(2)正确
(3)不正确，反例：
(4)不正确，反例：
(5)不正确，反例：1
【分析】本题考查了实数、有理数、无理数和无限小数的概念．有理数包括整数和分数（无限循环小数），无理数是无限不循环小数，实数包括有理数和无理数．无限小数包括无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数）．带根号的数不一定都是无理数，有些是有理数．实数包括有理数和无理数，因此不都是有理数或不都是无理数．
（1）根据无限小数和无理数的概念判断即可；
（2）根据无限小数和实数的概念判断即可；
（3）根据无理数的概念判断即可；
（4）根据实数的概念判断即可；
（5）根据实数的概念判断即可．
【详解】（1）解：∵无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，不是无理数，例如是有理数，
∴说法不正确．
（2）解：∵所有无限小数都是实数，因为实数包括有理数和无理数，而无限小数要么是有理数（循环），要么是无理数（不循环），
∴说法正确．
（3）解：∵带根号的数不一定都是无理数，例如，2是有理数，
∴说法不正确．
（4）解：∵实数包括有理数和无理数，例如π是无理数，也是实数，但π不是有理数，
∴说法不正确．
（5）解：∵实数包括有理数和无理数，例如1是有理数，也是实数，但1不是无理数，
∴说法不正确．
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”．
(1)甲、乙、丙三个人中，说错的是______．
(2)请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．
【答案】(1)甲
(2)见解析
【分析】本题考查了实数的分类识别，明确基本概念并准确区分是解题关键．
（1）根据无理数的概念即可判断；
（2）根据实数相关概念填空即可．
【详解】（1）解：是有理数，和是无理数，
说错的是甲，
故答案为：甲；
（2），，
3．（24-25七年级下·福建厦门·阶段检测）【阅读理解】
定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明：
解：设，a与b是互质的两个整数，且，
则，即_________①．
∵是整数且不为，
∴是的倍数．
设（是整数，且），
则．
∴_________②．
∴也是的倍数，与，是互质的整数矛盾．
∴是无理数．
【解决问题】
(1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；
①__________________；②__________________
(2)证明：是无理数．
【答案】(1)①；②
(2)证明见解析
【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三．
（1）根据等式性质得出结论即可；
（2）类比是无理数的证明进行证明即可．
【详解】（1）解：设，与是互质的两个整数，且，
则
即．
因为是整数且不为，
所以是不为的偶数．
设（是整数，且），
则．
所以．
所以也是偶数，与，是互质的整数矛盾．
所以是无理数．
故答案为：，．
（2）设，与是互质的两个整数，且，则，
所以，
，是整数且不为，
为的倍数．
设（是整数），
，
也是的倍数，与与是互质的整数矛盾，
是无理数．
【典型例题二 实数的性质】
【例1】（2026·重庆巴南·模拟预测）实数7的绝对值是（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：．
【例2】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．两个无理数的积仍为无理数
B．两个整数相除，如果被除数除以除数永远除不尽，那么结果一定是个无理数
C．无理数可以用分数来表示，例如
D．任意一个无理数的绝对值都是正数
【答案】D
【分析】本题考查了无理数、绝对值，理解无理数的概念是解答的关键．根据无理数、绝对值的定义逐一判断即可求解，
【详解】解：A．两个无理数的积可能是有理数，例如，原说法错误，不符合题意；
B．两个整数相除，而无限循环小数是有理数，原说法错误，故不符合题意；
C．无理数不可以用分数来表示，是无理数，不是分数，原说法错误，故不符合题意；
D．任意一个无理数的绝对值都是正数，正确，故符合题意．
故选：D．
【例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数的相反数是__________．
【答案】
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可获得答案．
【详解】解：实数的相反数是．
【例4】（24-25七年级下·山西大同·阶段检测）若互为相反数，互为倒数，的绝对值为，则______．
【答案】7
【分析】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值的性质，掌握以上知识的计算是关键．
根据题意，，由此即可求解．
【详解】解：互为相反数，互为倒数，的绝对值为，
∴，
∴当时，
；
当时，
；
故答案为：．
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明．
(1)已知两个实数a，b，则．
(2)两个无理数的和一定是无理数．
【答案】(1)不正确；举例见详解
(2)不正确；举例见详解
【分析】本题考查实数的性质，通过举反例判断说法的正确性．
（1）考虑b的符号并举例即可判断．
（2）考虑互为相反数的无理数即可求解．
【详解】（1）解：不正确，理由如下：
当时，，例如，则，因此说法不正确．
（2）解：不正确，理由如下：
两个无理数的和不一定是无理数，例如无理数和，
它们的和为0（有理数），因此说法不正确．
2．（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）数轴上两点A、B在数轴上分别表示数a、b．那么A、B两点之间的距离可表示为．
(1)当点A表示的数为4，点B表示的数为9时，AB＝　　　；
当点A表示的数为﹣2，点B表示的数为时，AB＝　　　；
当点A表示的数为x，点B表示的数为2，且AB＝3时，点A表示的数x为　　　．
(2)当取最小值时，求x的取值范围，并求出的最小值．
【答案】(1)5，，5或者-1
(2)，
【分析】（1）根据题目给出的计算方法计算即可；
（2）所求的等式，可以看作是数轴上点x到和两个点的距离之和，据此即可作答．
【详解】（1）依据，
当，时，；
当，时，；
根据，，有，
即有x=5，或者x=-1，
故答案为：5，，5或者-1；
（2）根据题意可知：可以看作是数轴上点x到的距离和点x到的距离的和，如图所示：
此时可知，
当点x处在和之间，x到和的距离之和为定值，即，
当x不在和之间时，x到和的距离之和必定大于，
则的最小值为：，
此时x的取值范围：．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的意义．理解可以看作是数轴上点x到的距离和点x到的距离的和，是解答本题的关键．
3．（24-25八年级上·山东东营·期中）阅读与理解
上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：，
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0，
所以，
所以当时，的值最小，最小值是1，
所以的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________；
(2)知识应用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________；
(3)知识拓展：若，求的最小值．
【答案】(1)3,3
(2)1, 大，
(3)
【分析】（1）根据，结合提供的解题方法，解答即可；
（2）根据题意，得，根据提供方法解答即可；
（3）把，变形为，仿照题干示例的解题思路，解答即可．
本题考查了配方的应用，实数的非负性，熟练掌握配方，实数的非负性是解题的关键．
【详解】（1）解：，
∵，
∴当时，的值最小，最小值是0，
∴，
∴当时，的值最小，最小值是3，
∴的最小值是3，
故答案为：3,3．
（2）解：根据题意，得，
∵，
∴当时，的值最小，最小值是0，
∴
∴当时，的值最大，最大值是0，
∴，
∴当时，的值最大，最大值是，
∴的最大值是，
故答案为：1, 大，．
（3）解：根据题意，得变形为，
故，
∵，
∴当时，的值最小，最小值是0，
∴当时，的值最小，最小值是，
∴的最小值为．
【典型例题三 实数与数轴】
【例1】（2026·宁夏·一模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】数轴上点到原点的距离为该数的绝对值，比较各数绝对值的大小即可求解．
【详解】解：，，，，
∵，
∴，
∴离原点最近．
【例2】（25-26八年级下·河南许昌·期中）根据图中尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出，然后求解即可．
【详解】解：根据题意得，，，，
∴，
∵点C在原点左边，
∴点C所表示的实数为．
【例3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在数轴上点A表示的实数是_____________；
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想．
根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点A的位置可得答案．
【详解】解：如图，由勾股定理可得
∴，
∴在数轴上点A表示的实数是，
故答案为：．
【例4】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图所示，已知在长方形中，，，，则数轴上点所表示的数是__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数，勾股定理，
先根据勾股定理求出，即可求出，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴点E所表示的数是．
故答案为：．
1．（25-26八年级下·北京西城·期中）利用勾股定理在数轴上画出的点P
【答案】
【分析】在数轴原点的正半轴上取点，使（单位长度）；过点作数轴的垂线，在垂线上截取（单位长度）；连接，由勾股定理得，再以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，点就是表示的点．
【详解】略
2．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点．
(1)写出数轴上点所表示的数为______；
(2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”）
(3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹）
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
（1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可；
（2）先求出，，根据，得出即可；
（3）过点D作，且，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点即为所求作的点．
【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得：，
∴，
∴点所表示的数为，
故答案为：；
（2）解：∵，，
又∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图，点表示的数为．
∵，，，
∴，
∴．
3．（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．
(1)阅读理解：图1中大正方形的边长为_______，图2中点表示的数为______；
(2)迁移应用：
请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图；
②利用①中的结论，在图4的数轴上标出表示数的点．
【答案】(1)，
(2)①图见详解；②数轴见详解
【分析】（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的边长，即可解决问题；
（2）①先根据图3的面积为5，可得所拼得的大正方形边长为，进而在图3中画出裁剪线和所拼得的正方形即可；
②先在数轴上找到表示数的点，然后向左移动3个单位即可．
【详解】（1）解：由图可得，点到原点的距离为：，点在原点左侧，
∴点表示的实数为，
故答案为：，；
（2）解：①如图所示：
②点表示，如图所示：
【典型例题四 实数的大小比较】
【例1】（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）在，，，这组数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】D
【详解】解：∵正数大于0，0大于负数，
∴最小的数是．
【例2】（2026·安徽安庆·一模）在，，0，这四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】本题考查实数的大小比较，利用实数大小比较的基本规则即可求解.
【详解】根据实数大小比较规则，
∵ 是负数，负数小于0，0小于正数，
∴ ，，
又∵ ，，可得，
∴ ，
因此四个数中最大的数是，答案选D.
【例3】（25-26七年级下·四川南充·期中）比较大小：_______1(用>，<，=填空)
【答案】<
【详解】解：∵，
∴．
【例4】（25-26八年级上·陕西西安·期中）若，，则a______b（填“”“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．先求出，再估算，则，从而可得，由此即可得．
【详解】解：∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
1．（25-26八年级上·全国·单元复习）已知：3，0.66666…，0，，，0.2020020002…（每相邻两个2之间依次多1个0），．
(1)写出以上所有的有理数；
(2)写出以上所有的无理数；
(3)把这些数按从小到大的顺序排列起来．
【答案】(1)
(2)，0.2020020002…（每相邻两个2之间依次多1个0）
(3)（每相邻两个2之间依次多1个0）
【分析】本题考查实数的分类，实数比较大小：
（1）有理数包括整数、分数，其中无限循环小数可以写成分数的形式，也是有理数；
（2）无限不循环小数为无理数；
（3）正数大于0，0大于负数，由此可解．
【详解】（1）解：有理数：．
（2）解：无理数：，0.2020020002 （每相邻两个2之间依次多1个0）．
（3）解：（每相邻两个2之间依次多1个0）．
2．（25-26七年级下·全国·周测）小云的作业中有一道题目如下：
请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接．
(1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________．
(2)请你帮助小云完成剩下的任务．
【答案】(1)C
(2)见解析
【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系及实数的大小比较，掌握估算无理数的取值范围，结合数轴上点的位置和实数大小比较规则是解题的关键．
（1）先估算 的取值范围，再确定它在数轴上的对应点；
（2）先化简绝对值、估算无理数的近似值，再根据实数大小比较规则，将个数按从小到大的顺序连接．
【详解】（1）解：
因此在数轴上位于和之间，对应点．
（2）解：将个实数在数轴上表示出来如图所示．
由图可知，．
3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小
小明的解法如下：
解：
因为，所以
所以，所以
所以
我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小
【答案】
【分析】本题考查了作差比较大小，掌握作差的方法是解题的关键．直接作差，再通分计算即可．
【详解】解：
，
，
，
，
．
故答案为：．
【典型例题五 无理数的大小估算】
【例1】（25-26七年级下·安徽六安·期中）数轴上点表示的数是，点表示的数是，则数轴上，两点之间的整数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】先估算无理数和的取值范围，再找出，两点之间的整数即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵点表示数，点表示数，
∴数轴上，之间的整数满足，符合条件的整数为．
【例2】（2026·湖北荆州·模拟预测）将5个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形，如图，则估计与这个大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：根据题意得大正方形的边长为，
，，，
，
估计与这个大正方形的边长最接近的整数是．
【例3】（25-26七年级下·重庆开州·期中）比较大小：_______．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【分析】先比较两个数绝对值的大小，再根据负数比较大小的规则得出结论．
【详解】解：，且 ，
∴，即，
∴．
【例4】（2026·广东肇庆·一模）斐波那契数列中的第n项可以用表示，随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值，因此斐波那契数列又称黄金分割数列．在上述式子中，最接近的整数为______．
【答案】2
【分析】估算出，从而可得，由此即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴最接近的整数为2．
1．（25-26七年级下·湖南·阶段检测）阅读下面求近似值的方法，回答问题：
第1步：任取正数；
第2步：令，则；
第3步：令，则；
…
以此类推，得到．
其中称为的阶过剩近似值，称为的阶不足近似值．
仿照上述方法，求的近似值．取，则：
(1)_____．
(2)求的三阶不足近似值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据所给公式求解即可；
（2）根据（1）所求求出的值，进而求出的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，
（2）解：由（1）得，
∴，
∴的三阶不足近似值为．
2．（25-26八年级上·北京·单元测试）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．
小明的方法：
∵，设，
∴，
∴，
∴，解得，
∴．
（上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用）
问题：
(1)请你依照小明的方法，估算（结果保留两位小数）；
(2)请结合上述实例，概括出估算的公式．已知非负整数、、，若，则（用含、的代数式表示）．
【答案】(1)8.25
(2)
【分析】本题考查完全平方公式，估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提，理解题目中所提供的方法是解决问题的关键．
（1）仿照提供的解法进行解答即可；
（2）根据题目中提供的方法用含有、的代数式表示即可．
【详解】（1）解：∵，
设，
，
，解得，
，
故答案为：8.25；
（2）解：∵，
设，
，
，
．
3．（24-25七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)到底有多大？
下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．
由面积公式，可得________．
因为x值很小，所以更小，略去，得方程________，解得_______（保留到0.001），即______．
(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏的做法，现有8个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
【答案】(1)，0.014，1.414
(2)见解析
【分析】本题考查无理数的估算，看懂所给材料是解题的关键．
（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；
（2）画出分割线，拼出新正方形即可．
【详解】（1）解：由面积公式，可得．
因为x值很小，所以更小，略去，得方程，
解得（保留到0.001），即．
故答案为：，0.014，1.414；
（2）解：
【典型例题六 勾股定理与无理数】
【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（ ）
A． B．0．8 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理与无理数．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
如图，连接，则，由图可知，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可．
【详解】解：如图，连接，则，
由图可知，，
由勾股定理得，，
，
故选：D．
【例2】（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在长方形中，，若以A为圆心，的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，则M为（　　）

A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及如何在数轴上表示一个无理数，会用勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理求出的长度，进而得到的长度，再根据A点表示的数为，可得点M表示的数．
【详解】在长方形中，，
，，
在中，由勾股定理得：
，
以A点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，
点M表示的数为：．
故选：B．
【例3】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是 ___________．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解．
【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长，
∴点A表示的实数是，
故答案为：．
【例4】（2025·河南·模拟预测）如图，正方形的顶点A，B分别与数轴上表示数0，2的点重合，点C在上，则与数轴正半轴的交点E表示的数为__________．
【答案】
【分析】本题主要查了圆的基本性质，正方形的性质，勾股定理，实数与数轴．连接，根据正方形的性质可得，，再由勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵正方形的顶点A，B分别与数轴上表示数0，2的点重合，
∴，，
∴，
∵点C在上，
∴的半径为，
∴与数轴正半轴的交点E表示的数为．
故答案为：
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的一边长是无理数，另外两边长是有理数；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
(3)在图③中，画一个面积最大的直角三角形，使它的三边长都是无理数．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）画一个两条直角边分别为2，1的直角三角形即可；
（2）画一个直角边为的等腰直角三角形即可；
（3）根据网格特点，画出一个直角边长为的等腰直角三角形即可.
【详解】（1）解：由题意作图如下：
（2）解：由题意，作图如下：
（3）解：由题意，作图如下：
2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）甲同学用如图所示的方法作出点表示数．在中，，且点在同一数轴上，．
(1)请说明甲同学这样做的理由；
(2)仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示的点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理．
（1）利用勾股定理求出，由即可证明；
（2）如图，在数轴上构造在中，，则，即可得到解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴点表示数．
（2）解：如图，在中，，
则，即点F表示．
3．（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点．
(1)正方形的面积是 ，点表示的数是 ；
(2)请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹）
(3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值．
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）用割补法进行计算正方形的面积即可；再根据勾股定理求出边长即可得到答案；
（2）以原点为圆心，正方形的边长为为半径画弧，交数轴负半轴于点，即可得到答案；
（3）由题意可得：，再根据，得到答案即可．
【详解】（1）解：个小正方形的总面积是，阴影正方形的面积等于个小正方形面积的一半，
即；
根据勾股定理，正方形边长，
以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点，因此点表示的数为；
（2）解：以原点为圆心，正方形的边长为为半径画弧，交数轴负半轴于点，即可得到答案；
（3）解：由题意可得：，
，数轴正半轴上的点表示的数为，
，
．
【典型例题七 实数的混合运算】
【例1】（24-25七年级下·广西玉林·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平方根、立方根的概念及实数的运算．根据算术平方根、平方根、立方根以及实数的加法逐项分析即可．
【详解】A．符号表示算术平方根，结果非负，故，而非，选项A错误．
B．，选项B正确．
C．表示正负两个结果，即，但等式右边仅写为2，未包含负值，选项C错误．
D．根号表示立方根．若，则需满足，显然不成立，选项D错误．
故选B．
【例2】（24-25七年级下·广东东莞·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为5，1，则图中两块阴影部分的面积之和为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了实数的运算，根据正方形面积计算公式可得正方形和正方形的边长分别为，1，据此可得，再根据列式求解即可．
【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为5，1，
∴正方形和正方形的边长分别为，1，
∴，
∴
，
故选：B．
【例3】（25-26八年级上·北京大兴·期中）计算：
（1）______．
（2）______．
【答案】 1
【分析】（1）先根据立方根的定义，负整数指数幂的运算性质，零指数幂的运算性质化简各项，再进行有理数的加减运算；
（2）根据二次根式的乘除运算法则化简计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【例4】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，实数，，在数轴上对应点的位置，化简的结果为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可得，则，据此计算算术平方根，立方根和绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可．
【详解】解：由数轴可得，
∴，
∴
，
故答案为：．
1．（2026·河南周口·模拟预测）计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)
2
(2)
【分析】（1）先化简算术平方根，去绝对值符号，计算立方根，再合并同类项得到结果．
（2）利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则展开各项，再合并同类项得到化简结果．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解： 原式
．
2．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）计算．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
3．（2026·贵州贵阳·一模）解答以下问题：
(1)计算：；
(2)杨老师给出了一道“挑战题”：，小明和南南围绕这道题展开了讨论：
请你观察方程的特点，选择喜欢的方式解这个方程．
【答案】(1)0
(2)见详解
【分析】（1）根据绝对值、乘方、零指数幂分别计算即可；
（2）按照解一元一次方程的步骤求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：小明：，
，
，
，
，
∴；
南南：，
方程两边同乘去分母，得： ，
去括号得： ，
移项得：，
合并同类项得：．
【典型例题八 新定义下的实数运算】
【例1】（24-25七年级下·湖南株洲·期中）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如，，．现对17进行如下操作：，这样对17只需进行3次操作后变成1，类似的，401变为1需要进行的操作次数是（ ）
A．2次 B．3次 C．4次 D．5次
【答案】C
【分析】本题考查了实数的估值和对取整的定义的理解，其中理解题意是解题关键，本题应根据规定，每次取当前数的平方根并向下取整，直到结果为1．需逐步计算401经过各次操作后的结果，统计次数即可求解．
【详解】解：第1次操作：计算，
因，，故，向下取整得；
第2次操作：计算，
因，，故，向下取整得；
第3次操作：计算
，直接取整得；
第4次操作：计算，
因，向下取整得；
综上，401经过4次操作后变为1，
故选C．
【例2】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）十六世纪的数学家试图求解方程时，陷入了困境．在实数范围内，任何实数的平方都为非负数，这意味着该方程在实数领域内无解．为了突破这一局限，数学家们大胆引入了一个全新的概念——虚数，定义：，其中是虚数单位，如．虚数与实数结合形成复数，复数的形式为，其中是叫实部，叫虚部，如复数中，2是实部，3是虚部，那么的实部为（ ）
A． B． C．1 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义计算出的结果即可得到答案．
【详解】解：
，
∴的实部为，
故选：B．
【例3】（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算※：，如：，则___________．
【答案】
【分析】先依据新运算公式计算出括号内※的结果，再将该结果作为新的值，与一同代入新运算公式，最后得到最终化简结果．
【详解】解：．
【例4】（25-26七年级上·河北唐山·期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为，，，，如果，那么我们把这个四位正整数叫作“进步数”．例如四位正整数1234：因为，所以1234叫作“进步数”．则四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”之差为________．
【答案】8888
【分析】本题主要考查新定义运算，准确理解“进步数”是解题的关键．
根据进步数的定义，四位正整数中千位数字最小为1，且满足，因此最小进步数为1111，最大进步数为9999，计算它们的差值即可．
【详解】解：∵四位正整数的千位数字不能为0，
∴最小进步数为1111，最大进步数为9999，
∴它们的差值为，
故答案为：8888．
1．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）我们规定，若任意实数满足，则称与是关于的对称数．例如：，则5与3是关于4的对称数．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)若数与是关于的对称数，求数的值；
(2)若，判断与是否是关于7的对称数，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是关于7的对称数
【分析】（1）根据“对称数”的定义代入计算即可．
（2）根据实数的运算得出x，y的值，然后再根据“对称数”的定义代入计算并判断即可．
【详解】（1）解：∵数与是关于的对称数，
∴，
．
∴．
（2）解：是关于7的对称数，理由如下：
，
∵；，
∴，
∴与是关于7的对称数．
2．（25-26七年级下·全国·阶段检测）若整数，，满足，则称为，的“平方和数”．
例如：，为3，4的“平方和数”．
请你根据以上材料回答下列问题：
(1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________；
②5还可以是数_________，_________的“平方和数”．
(2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________；
(3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值．
【答案】(1)
(2) 2
(3)或
【分析】（1）① 根据“平方和数”的定义，数3，4的“平方和数”满足，求的另一个整数解；
② 同理，寻找另外两个整数，使它们的平方和等于；
（2）“平方和数” 为，意味着两个数的平方和为，根据平方的非负性，这两个数必须都为，从而列方程求解；
（3）根据“平方和数”的定义列出方程，求解一元二次方程得到的值．
【详解】（1）解：（1）①∵，
∴数，的另一个“平方和数”为．
②∵，且，
∴还可以是数，的“平方和数”．
（2）解：（2）由题意得
∵平方数具有非负性，
∴，
要使两个非负数的和为，必须两个数都为：
解得 ：，．
（3）解：（3）根据题意，得
当时，；
当时，．
∴或．
【点睛】本题考查了平方和数的定义、平方的非负性、解一元二次方程．解题关键是准确理解“平方和数”的定义，利用平方的非负性和方程思想求解．
3．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）阅读与思考：
请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
若任意一个实数设为，则不大于的最大整数表示为，例如．善思小组的同学根据上述定义，求的值．解答过程如下：，．．．继续计算，得到．由此善思小组得出结论：若为正整数，则．
任务：
(1)填空：___________，___________．
(2)求的值．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据定义，直接可得到答案；
（2）仿照例题求解，估算的大小，结合定义，即可求解；
（3）根据进行化简，即可求解．
【详解】（1），；
（2），
．
，
．
（3）据材料，得，
．
【典型例题九 与实数运算相关的规律题】
【例1】（24-25八年级上·山东威海·阶段检测）为了求的值，可令，则，因此，所以，即，仿照以上推理计算的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】仿照题干中的推理过程，令，则，再利用，求出的值，即可得到答案．
【详解】解：令，
则，
因此，
所以，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，正确理解题干中的推理过程是解题关键．
【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有一列数按如下顺序排列：，…，则第2023个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
数列中的数按负数、负数、正数循环出现，
又因为余1，
所以第个数是负数．
将改写成可发现，
分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2，
所以第2023个数的分母是；
分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2，
所以第2023个数的分子上的被开方数是2024，
所以第2023个数是．
故选：D．
【例3】（24-25七年级上·山东德州·期末）一列数，其中则，则______．
【答案】
【分析】本题主要考查数字规律题，根据题意，分别计算出的值即可找出规律，由此即可求解．
【详解】解：，，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【例4】（2023·内蒙古·模拟预测）观察下列各式：
，，，…
请利用你所发现的规律，计算：________．
【答案】/
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．
1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象：
(1)具体运算，发现规律，
①；
②；
③；
④_________；
(2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律；
(3)证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索：
（1）仿照①化简求解即可；
（2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可；
（3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：①；
②；
③；
④；
……．，
以此类推，可知；
（3）证明：
．
2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______
(3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，
计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键．
（1）根据题干例举的等式，即可答案；
（2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案；
（3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意：；
（2）解：；
（3）解：原式
．
3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段检测）先观察等式，再解答问题：
①；②；
③．
(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______；
(2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）；
(3)应用上述结论，请计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了实数运算相关的规律的探究．
（1）利用题中等式的计算规律得到的结果为；
（2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；
（3）根据规律得到，，，，，相加即可求解．
【详解】（1）解：的结果为；
故答案为：；
（2）解：∵①；
②；
③，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，
，
，
，
，
∴
．
【典型例题十 实数运算的实际应用】
【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．2，3，4 C．7，14，15 D．1，1，
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是分别计算各组数的平方，判断是否满足两条较短边的平方和等于最长边的平方．
【详解】解：A、，，，此选项不符合题意；
B、，，，此选项不符合题意；
C、，，，此选项不符合题意；
D、，，，此选项符合题意．
故选：D．
【例2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．
【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2，
∴两个正方形的边长分别是，2，
∴阴影部分的面积
故选A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长.
【例3】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）写出两个无理数，使它们的和为2________．
【答案】和（答案不唯一）
【分析】写出两个无理数，使无理数部分为相反数即可．
【详解】解：，
故答案为和．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【例4】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案．
【详解】解：千米/时，
∴
故答案为：>．
1．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：
；
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空： ___，___；
(2)计算：
(3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式
【答案】(1)，1
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目中给出的进行计算即可；
（2）根据题意得到规律的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：，据此求解即可；
（3）仿照分母有理化的方法对分子分母同时乘以进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；；
故答案为：；1；
（2）解：∵，，，，…，
∴的结果是4个一循环，且每4个的结果和为：，
∵，
∴
；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了新定义下的运算，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键．
2．（24-25八年级下·福建福州·期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
，．
(1)请你写出的有理化因式：___________；
(2)请仿照上面给出的方法简化；
(3)已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；
（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；
（3）通过分母有理化可化简、，从而求出、，根据，将，的值代入即可求解．
【详解】（1）解：，
是的有理化因式，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：，，
，，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．
3．（24-25七年级上·四川成都·期末）为庆祝元旦，某校甲、乙两个校区准备举行联合文艺汇演，甲、乙两校区共112位学生参与演出，其中甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，现准备统一购买服装（一人购买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1套至55套 56套至110套 110套及以上
每套服装的价格 70元 60元 50元
如果两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元．
(1)若甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省多少钱？
(2)甲、乙两校区各有多少学生参加本次演出？
(3)若甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，丙学校购买的服装比甲校区少12套，那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元．
【答案】(1)1640元
(2)甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人
(3)元
【分析】本题考查实数计算，一元一次方程实际应用，
（1）根据题意列出合起来购买服装的算式，再减去分开购买即为本题答案；
（2）根据题意设甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人，可知甲校参演人数大于人小于人，乙校区参演人数小于人，再列出一元一次方程即可；
（3）根据题意先求出服装厂一件成本，再求出丙校区购买套数，继而求出本题答案．
【详解】（1）解：根据题意：（元），
∵两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元，
∴（元），
答：甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省1640元；
（2）解：设甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人，
∵甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，
∴，解得：，
乙校区参演人数为：（人），
答：甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人；
（3）解：∵甲校区参演人数为60人，
又∵甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，
∴设服装厂每套服装成本元，
，即：，
∵丙学校购买的服装比甲校区少12套，
∴丙校区购买了：（套），
∴（元），
答：服装厂卖给丙学校服装时共获利1440元．
1．（2026·宁夏固原·二模）若将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】逐一确定，，，各在数轴上的大体位置进行确定结果．
【详解】解：由数轴可知盖住的数大于0小于3，
，，，，
四个数，，，，只有被墨迹覆盖．
2．（25-26七年级下·河北邢台·期中）若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据实数的分类即可求解．
【详解】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示正整数，则能正确表示它们之间关系的是
3．（25-26八年级下·山西阳泉·阶段检测）如图，在数轴上点A，B表示的数分别为0，2，过点A作，且，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点A的左侧），则点D表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，，为直角三角形，再利用勾股定理求出的长，即可知点D所表示的数．
【详解】解：由图可知为直角三角形，
∵数轴上点A，表示的数分别为0，2，，
∴，．
∵以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，
∴，
∴点表示的数为．
4．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）如图，若数轴上的点，分别与实数，对应，用圆规在数轴上画点，则与点对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数与数轴上的点一一对应，先求出，再根据半径相等得到，即可求出与点对应的实数．
【详解】解：数轴上的点，分别与实数，对应，
，
，
与点对应的实数是：，
故选：．
5．（25-26八年级下·重庆巴南·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第7行从左向右数第8个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察得出被开方数是连续自然数，且第k行有个数，先计算前6行的总个数，第7行从左向右数第8个数的被开方数，化简后即可得到结果．
【详解】解：观察数阵可知，被开方数是从1开始的连续自然数，且第行共有个数，
∴前6行的数的总个数为，
∴第7行从左向右数第8个数是整个数阵的第个数，即被开方数为50，
∴所求数为．
6．（24-25七年级下·福建福州·期末）请你写出一个无理数a，使得，则a可以是______（写出一个满足条件的a即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数是解题的关键；因此此题可根据“”进行求解即可．
【详解】解：一个无理数a，使得，则，则a可以是；
故答案为：（答案不唯一）．
7．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）已知，，均为正整数．
（1）若，则___________；
（2）若，，则满足条件的的个数比的个数少________．
【答案】
【分析】（1）由即可得到答案；
（2）由，，可得，，进一步分析即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，而，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∵a，b均为正整数．
∴满足条件的有个，满足条件的有个，
∴满足条件的a的个数比b的个数少（个）．
8．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2个单位长度的半圆，该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动地滚动，半圆直径的一个端点从原点O到达点（如图），则点对应的数是______．（结果保留）
【答案】/
【分析】根据题意得，点对应的数为该半圆的周长，即可．
【详解】解：点对应的数是半圆周长，为直径半圆弧长，即．
9．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列各式：
，，…
请利用你所发现的规律，
计算，其结果为______．
【答案】
【分析】根据已知等式总结规律，将所求算式各项展开后，利用裂项相消法计算即可．
【详解】解：由已知各式可得规律：，
因此
．
10．（24-25七年级下·广东梅州·期末）如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为_________．
【答案】18
【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解．
【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，
∴，
∵，
∴，
∴阴影面积为，
∵
∴，
∴，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积．
11．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与4．
(2)与3．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了立方根的性质和实数的大小比较，掌握立方法比较立方根大小的方法是解题的关键．
（1）比较含立方根的数与正数的大小，使用立方法，对两数同时立方后比较结果；
（2）比较正数的立方根与正数的大小，使用立方法，对两数同时立方，通过立方结果的大小判断原数大小．
【详解】（1）解：∵，，，
∴．
（2）解：∵，，，
∴．
12．（25-26八年级下·甘肃陇南·阶段检测）如图，方格中每个小正方形的边长都为1．
(1)图1中正方形的边长为______；
(2)在图2的数轴上，用尺规准确地找出表示实数的点的位置．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由勾股定理求出正方形的边长即可；
（2）由构造直角三角形，可得出长度为的线段，再以原点为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点即可．
【详解】（1）解：观察图形，正方形每条边均可作为直角边分别为、的直角三角形的斜边，
由勾股定理可得边长为，
故答案为：．
（2）解：，
故可作为直角边分别为、的直角三角形的斜边，
作图如下，点即为所求：
13．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3．
(1)三角形的面积为： ；（结果保留根号）
(2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键：
（1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可；
（2）利用分割法求出阴影部分的面积即可．
【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为；
（2）由题意，
．
14．（25-26七年级下·福建莆田·期中）在学习二次根式后，某数学爱好小组探索的近似值的过程如下：
∵，
∴，
∵面积为的正方形的边长是，
设，其中，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积，
又，∴，
当时，可忽略，得，解得，
∴
(1)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）；
(2)结合上述具体实例，已知非负整数，，，若，且，直接写出的近似值（用含有，的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先判断，设，画出示意图，得，当时，可忽略，可得，求得，即可求解；
（2）设，正方形的面积为，当时，可忽略，可得，结合，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
面积为的正方形的边长是，且，
设，其中，
画出示意图，如图所示，
根据示意图，可得图中正方形的面积，
又∵，
∴，
当时，可忽略，得，
解得，
∴．
（2）解：设，
如图所示，

正方形的面积为，
∵，
当时，可忽略，则，即，
∴，
．
15．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．
它有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：
．
②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为．
(1)填空：① ；② ；
(2)若是的共轭复数，求的值；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)①；②；
(2)
(3)
【分析】（）按照定义及积的乘方计算即可；
（）先按照完全平方式及定义展开运算，求出和的值，再代入要求的式子求解即可；
（）按照定义计算及的值，再利用配方法得出的值；由于，个一组，从而可得答案．
【详解】（1）解：（1）①原式，
②原式．
（2）解：∵，是的共轭复数，
∴，
∴；
（3）解：由条件可知：，
即，
∴，
解得：，
∴，
∵，
有个加数，，
∴，则，
∴．
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第03讲 实数的认识与运算（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 无理数
典型例题二 实数的性质
典型例题三 实数与数轴
典型例题四 实数的大小比较
典型例题五 无理数的大小估算
典型例题六 勾股定理与无理数
典型例题七 实数的混合运算
典型例题八 新定义下的实数运算
典型例题九 与实数运算相关的规律题
典型例题十 实数运算的实际应用
知识点01 实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
【即时训练】
1．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下列说法中正确的是（　　）
A．无限小数都是无理数 B．无理数都是无限小数
C．实数可以分为正实数和负实数 D．两个无理数的和一定是无理数
2．（25-26七年级下·安徽亳州·阶段检测）实数的相反数是______．
知识点02 实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
【即时训练】
1．（2026·山东菏泽·二模）下列四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A． B．0 C． D．
2．（2026·安徽六安·二模）在电子制作的过程中，我们发现电阻的阻值为，电阻的阻值为，比较大小：_____2.3（填“＞”或“＜”）．
知识点03实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）计算的结果为（ ）
A．11 B． C．1 D．
2．（2026·浙江丽水·模拟预测）______．
【典型例题一 无理数】
【例1】（2026·山东德州·二模）下列四个选项中，无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2026·河北·二模）已知数据：，，，，．其中有理数出现的频率为（ ）
A．0.2 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【例3】（25-26七年级下·陕西延安·期中）实数中是无理数的是______．
【例4】（25-26七年级下·河南安阳·期中）在实数，，，（相邻两个之间依次多个），，中，无理数有_____________个．
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法正确与否．如果不正确，请举反例说明．
(1)无限小数都是无理数．
(2)无限小数都是实数．
(3)带根号的数都是无理数．
(4)实数都是有理数．
(5)实数都是无理数．
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，，，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”．
(1)甲、乙、丙三个人中，说错的是______．
(2)请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．
3．（24-25七年级下·福建厦门·阶段检测）【阅读理解】
定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明：
解：设，a与b是互质的两个整数，且，
则，即_________①．
∵是整数且不为，
∴是的倍数．
设（是整数，且），
则．
∴_________②．
∴也是的倍数，与，是互质的整数矛盾．
∴是无理数．
【解决问题】
(1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；
①__________________；②__________________
(2)证明：是无理数．
【典型例题二 实数的性质】
【例1】（2026·重庆巴南·模拟预测）实数7的绝对值是（ ）
A．7 B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．两个无理数的积仍为无理数
B．两个整数相除，如果被除数除以除数永远除不尽，那么结果一定是个无理数
C．无理数可以用分数来表示，例如
D．任意一个无理数的绝对值都是正数
【例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数的相反数是__________．
【例4】（24-25七年级下·山西大同·阶段检测）若互为相反数，互为倒数，的绝对值为，则______．
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明．
(1)已知两个实数a，b，则．
(2)两个无理数的和一定是无理数．
2．（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）数轴上两点A、B在数轴上分别表示数a、b．那么A、B两点之间的距离可表示为．
(1)当点A表示的数为4，点B表示的数为9时，AB＝　　　；
当点A表示的数为﹣2，点B表示的数为时，AB＝　　　；
当点A表示的数为x，点B表示的数为2，且AB＝3时，点A表示的数x为　　　．
(2)当取最小值时，求x的取值范围，并求出的最小值．
3．（24-25八年级上·山东东营·期中）阅读与理解
上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：，
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0，
所以，
所以当时，的值最小，最小值是1，
所以的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________；
(2)知识应用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________；
(3)知识拓展：若，求的最小值．
【典型例题三 实数与数轴】
【例1】（2026·宁夏·一模）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A． B． C． D．3
【例2】（25-26八年级下·河南许昌·期中）根据图中尺规作图的痕迹判断数轴上点C所表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在数轴上点A表示的实数是_____________；
【例4】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图所示，已知在长方形中，，，，则数轴上点所表示的数是__________．
1．（25-26八年级下·北京西城·期中）利用勾股定理在数轴上画出的点P
2．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点．
(1)写出数轴上点所表示的数为______；
(2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”）
(3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹）
3．（25-26八年级上·山西运城·阶段检测）如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．
(1)阅读理解：图1中大正方形的边长为_______，图2中点表示的数为______；
(2)迁移应用：
请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图；
②利用①中的结论，在图4的数轴上标出表示数的点．
【典型例题四 实数的大小比较】【例1】（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）在，，，这组数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【例2】（2026·安徽安庆·一模）在，，0，这四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【例3】（25-26七年级下·四川南充·期中）比较大小：_______1(用>，<，=填空)
【例4】（25-26八年级上·陕西西安·期中）若，，则a______b（填“”“”或“”）．
1．（25-26八年级上·全国·单元复习）已知：3，0.66666…，0，，，0.2020020002…（每相邻两个2之间依次多1个0），．
(1)写出以上所有的有理数；
(2)写出以上所有的无理数；
(3)把这些数按从小到大的顺序排列起来．
2．（25-26七年级下·全国·周测）小云的作业中有一道题目如下：
请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接．
(1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________．
(2)请你帮助小云完成剩下的任务．
3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小
小明的解法如下：
解：
因为，所以
所以，所以
所以
我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小
【典型例题五 无理数的大小估算】
【例1】（25-26七年级下·安徽六安·期中）数轴上点表示的数是，点表示的数是，则数轴上，两点之间的整数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【例2】（2026·湖北荆州·模拟预测）将5个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形，如图，则估计与这个大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3】（25-26七年级下·重庆开州·期中）比较大小：_______．（填“>”“<”或“=”）
【例4】（2026·广东肇庆·一模）斐波那契数列中的第n项可以用表示，随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值，因此斐波那契数列又称黄金分割数列．在上述式子中，最接近的整数为______．
1．（25-26七年级下·湖南·阶段检测）阅读下面求近似值的方法，回答问题：
第1步：任取正数；
第2步：令，则；
第3步：令，则；
…
以此类推，得到．
其中称为的阶过剩近似值，称为的阶不足近似值．
仿照上述方法，求的近似值．取，则：
(1)_____．
(2)求的三阶不足近似值．
2．（25-26八年级上·北京·单元测试）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．
小明的方法：
∵，设，
∴，
∴，
∴，解得，
∴．
（上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用）
问题：
(1)请你依照小明的方法，估算（结果保留两位小数）；
(2)请结合上述实例，概括出估算的公式．已知非负整数、、，若，则（用含、的代数式表示）．
3．（24-25七年级下·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
(1)到底有多大？
下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．
由面积公式，可得________．
因为x值很小，所以更小，略去，得方程________，解得_______（保留到0.001），即______．
(2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏的做法，现有8个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
【典型例题六 勾股定理与无理数】
【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（ ）
A． B．0．8 C． D．
【例2】（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在长方形中，，若以A为圆心，的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点M，则M为（　　）

A．2 B． C． D．
【例3】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是 ___________．
【例4】（2025·河南·模拟预测）如图，正方形的顶点A，B分别与数轴上表示数0，2的点重合，点C在上，则与数轴正半轴的交点E表示的数为__________．
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的一边长是无理数，另外两边长是有理数；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
(3)在图③中，画一个面积最大的直角三角形，使它的三边长都是无理数．
2．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）甲同学用如图所示的方法作出点表示数．在中，，且点在同一数轴上，．
(1)请说明甲同学这样做的理由；
(2)仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示的点．
3．（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点．
(1)正方形的面积是 ，点表示的数是 ；
(2)请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹）
(3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值．
【典型例题七 实数的混合运算】
【例1】（24-25七年级下·广西玉林·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级下·广东东莞·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为5，1，则图中两块阴影部分的面积之和为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【例3】（25-26八年级上·北京大兴·期中）计算：
（1）______．
（2）______．
【例4】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，实数，，在数轴上对应点的位置，化简的结果为________．
1．（2026·河南周口·模拟预测）计算
(1)；
(2)．
2．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）计算．
(1)；
(2)；
(3)．
3．（2026·贵州贵阳·一模）解答以下问题：
(1)计算：；
(2)杨老师给出了一道“挑战题”：，小明和南南围绕这道题展开了讨论：
请你观察方程的特点，选择喜欢的方式解这个方程．
【典型例题八 新定义下的实数运算】
【例1】（24-25七年级下·湖南株洲·期中）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如，，．现对17进行如下操作：，这样对17只需进行3次操作后变成1，类似的，401变为1需要进行的操作次数是（ ）
A．2次 B．3次 C．4次 D．5次
【例2】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）十六世纪的数学家试图求解方程时，陷入了困境．在实数范围内，任何实数的平方都为非负数，这意味着该方程在实数领域内无解．为了突破这一局限，数学家们大胆引入了一个全新的概念——虚数，定义：，其中是虚数单位，如．虚数与实数结合形成复数，复数的形式为，其中是叫实部，叫虚部，如复数中，2是实部，3是虚部，那么的实部为（ ）
A． B． C．1 D．6
【例3】（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）对于任意不相等的两个实数，定义一种新运算※：，如：，则___________．
【例4】（25-26七年级上·河北唐山·期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为，，，，如果，那么我们把这个四位正整数叫作“进步数”．例如四位正整数1234：因为，所以1234叫作“进步数”．则四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”之差为________．
1．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）我们规定，若任意实数满足，则称与是关于的对称数．例如：，则5与3是关于4的对称数．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)若数与是关于的对称数，求数的值；
(2)若，判断与是否是关于7的对称数，并说明理由．
2．（25-26七年级下·全国·阶段检测）若整数，，满足，则称为，的“平方和数”．
例如：，为3，4的“平方和数”．
请你根据以上材料回答下列问题：
(1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________；
②5还可以是数_________，_________的“平方和数”．
(2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________；
(3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值．
3．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）阅读与思考：
请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
若任意一个实数设为，则不大于的最大整数表示为，例如．善思小组的同学根据上述定义，求的值．解答过程如下：，．．．继续计算，得到．由此善思小组得出结论：若为正整数，则．
任务：
(1)填空：___________，___________．
(2)求的值．
(3)已知，求的值．
【典型例题九 与实数运算相关的规律题】
【例1】（24-25八年级上·山东威海·阶段检测）为了求的值，可令，则，因此，所以，即，仿照以上推理计算的值是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有一列数按如下顺序排列：，…，则第2023个数是（　　）
A． B． C． D．
【例3】（24-25七年级上·山东德州·期末）一列数，其中则，则______．
【例4】（2023·内蒙古·模拟预测）观察下列各式：
，，，…
请利用你所发现的规律，计算：________．
1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象：
(1)具体运算，发现规律，
①；
②；
③；
④_________；
(2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律；
(3)证明你的猜想．
2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③
(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______
(3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，
计算：
3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段检测）先观察等式，再解答问题：
①；②；
③．
(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______；
(2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）；
(3)应用上述结论，请计算的值．
【典型例题十 实数运算的实际应用】
【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．2，3，4 C．7，14，15 D．1，1，
【例2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．2 D．
【例3】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）写出两个无理数，使它们的和为2________．
【例4】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”）
1．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i 叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：
；
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空： ___，___；
(2)计算：
(3)试一试：请利用以前学习的有关知识将，化简成的形式
2．（24-25八年级下·福建福州·期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
，．
(1)请你写出的有理化因式：___________；
(2)请仿照上面给出的方法简化；
(3)已知，，求的值．
3．（24-25七年级上·四川成都·期末）为庆祝元旦，某校甲、乙两个校区准备举行联合文艺汇演，甲、乙两校区共112位学生参与演出，其中甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，现准备统一购买服装（一人购买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1套至55套 56套至110套 110套及以上
每套服装的价格 70元 60元 50元
如果两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元．
(1)若甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省多少钱？
(2)甲、乙两校区各有多少学生参加本次演出？
(3)若甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，丙学校购买的服装比甲校区少12套，那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元．
1．（2026·宁夏固原·二模）若将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级下·河北邢台·期中）若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26八年级下·山西阳泉·阶段检测）如图，在数轴上点A，B表示的数分别为0，2，过点A作，且，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点A的左侧），则点D表示的数为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）如图，若数轴上的点，分别与实数，对应，用圆规在数轴上画点，则与点对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级下·重庆巴南·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第7行从左向右数第8个数是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·福建福州·期末）请你写出一个无理数a，使得，则a可以是______（写出一个满足条件的a即可）．
7．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）已知，，均为正整数．
（1）若，则___________；
（2）若，，则满足条件的的个数比的个数少________．
8．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，在数轴上竖直摆放一个直径为2个单位长度的半圆，该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动地滚动，半圆直径的一个端点从原点O到达点（如图），则点对应的数是______．（结果保留）
9．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期中）观察下列各式：
，，…
请利用你所发现的规律，
计算，其结果为______．
10．（24-25七年级下·广东梅州·期末）如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为_________．
11．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与4．
(2)与3．
12．（25-26八年级下·甘肃陇南·阶段检测）如图，方格中每个小正方形的边长都为1．
(1)图1中正方形的边长为______；
(2)在图2的数轴上，用尺规准确地找出表示实数的点的位置．
13．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3．
(1)三角形的面积为： ；（结果保留根号）
(2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号）
14．（25-26七年级下·福建莆田·期中）在学习二次根式后，某数学爱好小组探索的近似值的过程如下：
∵，
∴，
∵面积为的正方形的边长是，
设，其中，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积，
又，∴，
当时，可忽略，得，解得，
∴
(1)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）；
(2)结合上述具体实例，已知非负整数，，，若，且，直接写出的近似值（用含有，的式子表示）．
15．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．
它有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：
．
②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为．
(1)填空：① ；② ；
(2)若是的共轭复数，求的值；
(3)已知，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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