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第05讲 立方根（1大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 立方根的概念理解
典型例题二 求一个数的立方根
典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数
典型例题四 与立方根有关的规律探索
典型例题五 立方根新定义运算
典型例题六 立方根的实际应用
典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用
知识点01 立方根
1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
总结：
类型项目 平方根 立方根
被开方数 非负数 任意实数
符号表示
性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；
重要结论
【即时训练】
1．（2026·河南·二模）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简：______，______，______．
【典型例题一 立方根的概念理解】
【例1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）若一个数的立方根等于它本身，则的值为（ ）
A．0或1 B．0或 C．1或 D．0或1或
【例2】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下：
甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值．
下列对甲、乙说法的判断正确的是（ ）
A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2
C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值
【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是_________．
【例4】（25-26七年级下·福建莆田·期中）填空题．
（1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 _________ ．
（2） ___________________ ；_____ ．
（3）的平方根是 _______ ；的立方根是 _____ ．
1．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）小颖和小聪对话如下：
请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题．
2．（24-25七年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，并解决问题
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
∵，，
∴是两位数，
∵的个位数是9
∴的个位数是9，
如果划去后面的三位得到数，而，，由此确定的十位数是3，
所以．
请你应用以上方法计算的立方根（要求写出解答过程）．
3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）口算求立方根：我国数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口说出答案．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗 请按照下面的方法试一试：
(1)求．
①由，可以确定计算的结果是_____位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是_______；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是_______，由此求得_________．
(2)请你根据（1）中求立方根的方法，请确定它们的立方根（直接写出结果）：
①19683 ②110592 ③ ④0.531441
【典型例题二 求一个数的立方根】
【例1】（25-26七年级下·四川广元·期中）下列各数中为无理数的是（ ）
A． B．0.8 C． D．
【例2】（25-26七年级下·云南昭通·期中）实数，0，，，，（相邻两个2之间依次多一个0），其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例3】（2026·安徽阜阳·二模）计算___________．
【例4】（25-26七年级下·广东江门·期中）_________，的算术平方根为_________，的平方根为_________．
1．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）求下列各式中的的值：
(1)
(2)
2．（25-26七年级下·重庆秀山·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
下面是小超的探究过程，请补充完整：
(1)求；
①由，，可以确定是 位数；
②由的个位上的数字是，可以确定的个位上的数字是 ；
③如果划去后面的三位得到数，而，，可以确定的十位上的数字是 ；由此求得 ．
(2)已知438976也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值．
3．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是；
③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1) ；
(2)若，则 ；
(3)已知，且与互为相反数，求，的值．
【典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数】
【例1】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）若，则x的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【例2】（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知是整数，则满足条件的正整数最小是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【例3】（25-26七年级下·河南焦作·期中）已知的算术平方根是5，的立方根是3，则的值为_________．
【例4】（25-26八年级上·全国·课前预习）填空：
（1）因为，所以8的立方根是________；因为，所以的立方根是________；
（2）的立方根是________，即________；
（3）的立方根是________；
（4）的立方根是________；
（5）________的立方根是0；
（6）9的立方根是________．
1．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，与互为相反数．
(1)求出，，的值；
(2)求的平方根．
2．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）按要求完成以下问答
(1)已知的算术平方根是7，的立方根是2．求的平方根；
(2)已知和是正数a的平方根，求正数a的值．
3．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分．
例如：，即，
的整数部分为，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分为是 ，小数部分为 ，的值为 ．
(2)已知的立方根为，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【典型例题四 与立方根有关的规律探索】【例1】（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（ ）
A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6
【例2】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（ ）
0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000
0.16 1.6 16 160 1600
A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35
【例3】（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）已知，那么________．
【例4】（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律．
a 8 8000 8000000
2 20 200
利用规律解答，若，，则________．
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）根据立方根的意义填空：
_____，_____，______，_____，_____．
观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？
2．（24-25七年级下·河南许昌·期中）观察下列计算过程，猜想立方根．
，，，，，，，，；
(1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ．
(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
①= ．
②= ．
3．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）探究某些数的算术平方根、立方根：
(1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整：
①由，可以确定是______位数；
②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______；
③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________．
(2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程．
【典型例题五 立方根新定义运算】
【例1】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）现对实数定义一种运算：．则等于（ ）
A． B． C．14 D．6
【例2】（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段检测）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根
C． D．
【例3】（24-25七年级下·河南商丘·期中）定义运算，如，那么____________．
【例4】（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）【新考向】阅读下列材料：要求59319的立方根，我们可以这样想：①，即59319的立方根是一个两位数；②因为59319的个位数字是9，而，所以能确定的个位数字是9；③如果划除59319后面的三位数，得到59，而，可得，所以的十位数字是3，所以．
请根据上面的材料回答下列问题：______．
1．（24-25七年级下·广西南宁·阶段检测）【阅读与应用】
【问题提出】
对于任意实数，定义一种新运算，例如：．
【初步感知】
（1）求的值；
【拓展运用】
（2）若实数满足，求的值．
2．（25-26八年级上·上海闵行·期中）认真阅读下面的材料，再解答问题．
根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义．
(1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______；
(2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______；
(3)求的值：．
3．（25-26七年级下·广东广州·期中）【定义】用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．
【运用】
(1)直接写出数对的开方对称数对______；
(2)若数对的一个开方对称数对是，求a，b的值；
(3)若数对的一个开方对称数对是，求的值．
【典型例题六 立方根的实际应用】
【例1】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃容器的水中，水位升高了，已知玻璃容器的底面积是，那么正方体铁块的棱长是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（ ）
A．3 B． C． D．
【例3】（24-25七年级下·浙江金华·期中）有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加________．
【例4】（24-25七年级上·浙江温州·期中）现有两个大小不等的正方体积木玩具，大正方体积木体积为，小正方体积木的体积为，将二者如图叠放于桌面上，则积木顶端点到桌面的距离是______．

1．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）把48个棱长为的正方体铸成一个长、宽、高的比为的长方体，求这个长方体的表面积．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）小林想测量一个铁球的半径，先将铁球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铁球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铁球的半径．（球的体积公式为，r为球的半径）
3．（24-25七年级下·湖北随州·期中）“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作．
(1)求正方形卡纸的边长．
(2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为，裁出的长方形的面积能是吗？请通过计算说明．
(3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积．
【典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用】
【例1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）若都是实数，且，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别是3x﹣1和4﹣4x，则这个数的立方根是___．
【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）立方根等于其本身的数是_________；若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是________．
1．（24-25七年级下·重庆长寿·期末）若实数的平方根是和，的立方根是，求的算术平方根．
2．（24-25七年级下·四川泸州·期末）已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为．
(1)求a，b的值；
(2)求的算术平方根．
3．（24-25七年级下·山东德州·期中）本学期《实数》中，我们学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算．
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
表示方法 正数a的平方根可以表示为“±”． 一个数a的立方根可以表示为“”．
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索：
（1）探索定义：填写下表：
x4 1 16 81
x
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
（2）探究性质
①1的四次方根是　 　；
②16的四次方根是　 　；
③的四次方根是　 　；
④12的四次方根是　 　；
⑤0的四次方根是　 　；
⑥﹣625　 　（填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：　 　．
（3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：　 　．
1．（24-25七年级下·广东东莞·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．的平方根与算术平方根都是 B．立方根等于本身的是
C．没有平方根 D．的平方根是
2．（24-25七年级下·福建福州·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是（ ）
A．3 B． C． D．
5．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
6．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号）
7．（24-25七年级下·全国·课后作业）若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则=_______.
8．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）根据下面的运算程序
若输入一个正数时，输出的值是12，则输入的的值是________．
9．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；
∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9；
又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位数字是3；
∴＝39；
【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为______．
10．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下：
①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________．
11．（25-26七年级下·北京·期中）解方程
(1)；
(2)
12．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
13．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）已知4是的算术平方根，的立方根为．
(1)求和的值；
(2)求的平方根．
14．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表：
a 0.000008 0.008 8 8000
（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______；
（3）根据你发现的规律解答：
①已知，，，则介于哪两个整数之间？
②已知，则______；
③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米）
15．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7；
③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)______；
(2)若，则______；
(3)已知，且与互为相反数，求x，y的值．
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第05讲 立方根（1大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 立方根的概念理解
典型例题二 求一个数的立方根
典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数
典型例题四 与立方根有关的规律探索
典型例题五 立方根新定义运算
典型例题六 立方根的实际应用
典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用
知识点01 立方根
1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
总结：
类型项目 平方根 立方根
被开方数 非负数 任意实数
符号表示
性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；
重要结论
【即时训练】
1．（2026·河南·二模）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、是开方开不尽的数，是无理数；
B、0是整数，属于有理数；
C、3.14是有限小数，属于有理数；
D、是分数，属于有理数．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简：______，______，______．
【答案】 /0.5 /
【分析】本题考查了求一个数的立方根，正确掌握相关性质是解题的关键．根据立方根的定义进行逐个分析，即可作答．
【详解】解：，
，
，
故答案为：，，．
【典型例题一 立方根的概念理解】
【例1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）若一个数的立方根等于它本身，则的值为（ ）
A．0或1 B．0或 C．1或 D．0或1或
【答案】D
【分析】本题考查了求一个数的立方根，立方根概念理解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据立方根的定义求解．
【详解】解：一个数的立方根等于它本身，
这个数为或或，
故选：D．
【例2】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下：
甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值．
下列对甲、乙说法的判断正确的是（ ）
A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2
C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值
【答案】D
【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确．
【详解】解：设，则原方程变为．
∵一个数的立方根等于它本身的数是、、．
∴分三种情况讨论：
①当时，，解得．
②当时，，解得．
③当时，，解得．
∴的值为、、，共3个不同值．
∴甲、乙两人的说法都不对．
故选：D．
【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）若有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】任意实数
【分析】本题考查了立方根有意义的条件，熟练掌握立方根有意义的条件是解题的关键．
根据立方根的性质，立方根有意义的条件是被开方数可以是任意实数，因此的取值范围没有限制．
【详解】解：∵立方根运算对任意实数都有意义，
∴对于，可以是任意实数，
即的取值范围是任意实数．
故答案为：任意实数．
【例4】（25-26七年级下·福建莆田·期中）填空题．
（1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 _________ ．
（2） ___________________ ；_____ ．
（3）的平方根是 _______ ；的立方根是 _____ ．
【答案】 0或 8 2
【分析】（1）结合立方根的性质，得出0或都满足自身的立方根等于它本身，即可作答．
（2）结合立方根的性质，进行计算，即可作答．
（3）先开立方根再算平方根得出的平方根是；先求出64的算术平方根，再求出其立方根，即可作答．
【详解】解：（1）的立方根等于0，的立方根等于，的立方根等于
即如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0或；
（2），
（3）先化简得，的平方根为；
化简，的立方根为．
1．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）小颖和小聪对话如下：
请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题．
【答案】12
【分析】本题主要考查了平方根与立方根，先根据一个正数的平方根是互为相反数，列出关于m的方程，求出m，再根据立方根的定义列出关于n的方程，解方程求出n，然后求出，进而求出它的算术平方根即可．
【详解】解：∵这个正数的两个平方根是和，
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴，
解得：，
∴
，
∴的算术平方根是12．
2．（24-25七年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，并解决问题
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
∵，，
∴是两位数，
∵的个位数是9
∴的个位数是9，
如果划去后面的三位得到数，而，，由此确定的十位数是3，
所以．
请你应用以上方法计算的立方根（要求写出解答过程）．
【答案】67
【分析】本题主要考查了立方根的意义、数字变化的规律，熟练掌握题干中的解答方法是解题的关键．
利用题干中的解答步骤解答即可．
【详解】解：∵，，
∴是两位数，
∵的个位数是，
∴的个位数是，
如果划去后面的三位得到数，
而，，由此确定的十位数是，
∴，即的立方根是．
3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）口算求立方根：我国数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口说出答案．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗 请按照下面的方法试一试：
(1)求．
①由，可以确定计算的结果是_____位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是_______；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是_______，由此求得_________．
(2)请你根据（1）中求立方根的方法，请确定它们的立方根（直接写出结果）：
①19683 ②110592 ③ ④0.531441
【答案】(1)①二；②9；③；
(2)①；②；③；④．
【分析】本题主要考查了立方根的估算与求解，熟练掌握立方数的特征（不同位数立方数的范围、个位数字对应关系等 ）是解题的关键．
（1）对于求，思路是先根据与的范围确定立方根的位数；再依据立方数个位数字特征确定个位数字；最后通过划去后三位，对比立方数确定十位数字．
（2）对于求其他数的立方根，同样按照（1）的步骤，先定位数，再定个位、十位数字（或小数位对应数字 ）．
【详解】（1）解：①因为，，，
所以是两位数．
故答案为：二；
②因为只有个位数字是，
所以个位数字是．
故答案为：9；
③划去后面三位得，，，，
所以十位数字是，故 ．
故答案为：；
（2）解：①，，，是两位数；个位，
因为个位是，
所以个位是；
划去后三位得，，，，十位是，即 ．
②，，，是两位数（实际是 ，按步骤：个位，个位，个位是；
划去后三位得，，，，十位是 ），即 ．
③，，，是两位数；个位， ，按步骤：个位，个位，个位是；划去后三位得，，，，十位是，即 ．
④，，，是一位小数；个位，， ，这里看小数， ，按步骤：个位（对应个位 ）；，，在与之间，划去后三位（小数三位 ）得，接近，更准确计算得 ．
【典型例题二 求一个数的立方根】
【例1】（25-26七年级下·四川广元·期中）下列各数中为无理数的是（ ）
A． B．0.8 C． D．
【答案】D
【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，先化简各选项，再判断即可得到结果．
【详解】解：选项A．是分数，属于有理数；
选项B．是有限小数，可化为分数，属于有理数；
选项C．，是整数，属于有理数；
选项D．是无限不循环小数，∴是无理数．
【例2】（25-26七年级下·云南昭通·期中）实数，0，，，，（相邻两个2之间依次多一个0），其中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：，3是整数，属于有理数；
0是整数，是分数，均为有理数；
，，（相邻两个2之间依次多一个0）都是无限不循环小数，均为无理数；
∴无理数共有3个．
【例3】（2026·安徽阜阳·二模）计算___________．
【答案】
【详解】解：．
【例4】（25-26七年级下·广东江门·期中）_________，的算术平方根为_________，的平方根为_________．
【答案】
【分析】本题依次根据立方根的定义，绝对值的性质.有理数乘方的意义，算术平方根的定义，平方根的定义逐步计算，即可得到结果．
【详解】解：；
∵，，
∴的算术平方根为6；
∵，的平方根为；
∴的平方根为．
1．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）求下列各式中的的值：
(1)
(2)
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）解：，
，
解得：或．
（2）解：，
，
．
2．（25-26七年级下·重庆秀山·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
下面是小超的探究过程，请补充完整：
(1)求；
①由，，可以确定是 位数；
②由的个位上的数字是，可以确定的个位上的数字是 ；
③如果划去后面的三位得到数，而，，可以确定的十位上的数字是 ；由此求得 ．
(2)已知438976也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值．
【答案】(1)①两；②9；③2，
(2)
【分析】（1）①由知，，可知是两位数；
②只有数字9的立方的个位数是9，可知个位上的数字是9；
③由知，十位上的数字是2，可知；
（2）仿照（1）计算即可．
【详解】（1）解：∵①，
，
∴是两位数；
②∵的个位上的数字是9，只有数字9的立方的个位数是9，
个位上的数字是9；
③，
十位上的数字是2，
；
（2）解：∵，
，
是两位数；
∵的个位上的数字是6，只有数字6的立方的个位数是6，
个位上的数字是6；
划去438976后面的三位976得到数438，
，
十位上的数字是7，
．
3．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是；
③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1) ；
(2)若，则 ；
(3)已知，且与互为相反数，求，的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
或或
【分析】（1）依照题干中的解题思路求出；
（2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值；
（3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值．
【详解】（1）解：，，，
是两位数，
，
的个位数字应是，
将的小数点向前移动后约为，
，，
的十位数字应为，
，
依据“负数的立方根是负数”得到：；
（2）解：，
，
解得：；
（3）解：，
，
，
或或，
或或，
当时，可得：，
与互为相反数，
，
解得：，
即；
当时，可得：，
与互为相反数，
，
即，
解得：，
即；
当时，可得：，
与互为相反数，
，
即，
解得：．
【典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数】
【例1】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）若，则x的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【详解】解：∵
∴．
【例2】（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知是整数，则满足条件的正整数最小是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】先得出是一个整数的立方，再根据要求满足条件的正整数最小解答即可．
【详解】解：∵是整数，
∴是一个整数的立方，
又∵要求满足条件的正整数最小，
∴正整数最小是，此时，符合题意．
【例3】（25-26七年级下·河南焦作·期中）已知的算术平方根是5，的立方根是3，则的值为_________．
【答案】12
【分析】直接利用算术平方根以及立方根的定义得出a，b的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵的算术平方根是5，
∴，
解得：，
∵的立方根是3，
∴，
解得：，
∴．
【例4】（25-26八年级上·全国·课前预习）填空：
（1）因为，所以8的立方根是________；因为，所以的立方根是________；
（2）的立方根是________，即________；
（3）的立方根是________；
（4）的立方根是________；
（5）________的立方根是0；
（6）9的立方根是________．
【答案】 2 3 3 / / 0
【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解决问题的关键．如果一个数的立方是a，则这个数的立方根是， 根据立方根的定义即可得到结论．
【详解】解：（1）∵，
∴8的立方根是2；
，
的立方根是；
（2），
的立方根是3，即；
（3）∵，∴的立方根是；
（4）∵，∴的立方根是；
（5）∵，∴0的立方根是0；
（6）∵，∴9的立方根是 ．
故答案为：2，，3，3，，，0，．
1．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，与互为相反数．
(1)求出，，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题主要考查了平方根，立方根的定义及相反数的性质，熟练掌握相关的知识点是解决本题的关键．
【详解】（1）解：的算术平方根是，
∴，
∴；
的立方根是，
，
；
∵与互为相反数，
；
（2），，，
，
的平方根为．
2．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）按要求完成以下问答
(1)已知的算术平方根是7，的立方根是2．求的平方根；
(2)已知和是正数a的平方根，求正数a的值．
【答案】(1)
(2)或64
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义，求出的值，再根据平方根的定义进行求解即可；
（2）分和互为相反数和和是同一个数，两种情况进行讨论求解即可.
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，．
，
的平方根为，
的平方根为；
（2）解：和是正数a的平方根，
或，
即或，
当时，，，
；
当时，，
；
综上，正数a的值为或64.
3．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分．
例如：，即，
的整数部分为，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分为是 ，小数部分为 ，的值为 ．
(2)已知的立方根为，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根．
【答案】(1)4；；8
(2)
【分析】本题考查无理数的估算，代数式求值，算术平方根、平方根和立方根的定义．掌握无理数的估算方法是解题关键．
（1）结合阅读材料可求出m和n的值，再代入求值即可；
（2）根据算术平方根和立方根的定义可求出a和b的值，再结合阅读材料可求出c的值，从而可求出的值，最后计算其平方根即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为是4，小数部分为，
∴．
（2）解：∵的立方根为，
∴，
∴．
∵的算术平方根是5，
∴，
∴，
∵，即，
又∵是的整数部分，
∴，
∴，
∴的平方根为．
【典型例题四 与立方根有关的规律探索】
【例1】（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（ ）
A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6
【答案】A
【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可．
【详解】，
，
又 ，
．
【例2】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（ ）
0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000
0.16 1.6 16 160 1600
A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35
【答案】D
【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题.
【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位；
∵，且是将的小数点向右移动三位得到，
∴需要将的小数点向右移动一位，即.
【例3】（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）已知，那么________．
【答案】
【分析】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的性质．根据立方根的性质，即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为： ．
【例4】（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律．
a 8 8000 8000000
2 20 200
利用规律解答，若，，则________．
【答案】
【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍．
根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．
【详解】解：根据图表中的规律得，
，
故答案为：．
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）根据立方根的意义填空：
_____，_____，______，_____，_____．
观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？
【答案】2，，0，，；；当为偶数时，；当为奇数时，
【分析】此题考查立方根的定义及性质，求一个数的立方根，探究实数的计算规律，正确求出一个数的立方根是解题的关键．
先根据立方根定义填空，以此总结出的结果；对于式子（是整数）需要分为偶数和奇数进行讨论，得到偶次方根和奇次方根的结果．
【详解】解：；；；；，
则对于实数；
对于式子（是整数），
当为偶数时，；
当为奇数时，．
2．（24-25七年级下·河南许昌·期中）观察下列计算过程，猜想立方根．
，，，，，，，，；
(1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ．
(2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空：
①= ．
②= ．
【答案】(1)2，27
(2)①；②
【分析】本题考查了数的立方根的估算，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键
（1）观察所给数的立方，7的立方的个位数是3，由此估计19683的立方根的个位数为7，继而由猜想19683的立方根的十位数这2，由此进行验证即可；
（2）根据（2）中的方法先进行猜想，然后进行验证即可
【详解】（1）∵的个位数是3，而末位数为3，
∴猜想的立方根的个位数为7，
又∵，
∴猜想的立方根的十位数为2，
验证：，
∴19683的立方根是27；
故答案为2，27；
（2）解：①∵的个位数是，而，末位数为 ，
∴猜想的立方根的个位数为．
又， ，且 ．
∴猜想的立方根的十位数为7，
验证： ．
∴ ．
②∵的末位数是1，而，
∴猜想的立方根的末位数为1，
又∵，
∴猜想的立方根的十分位数为8，
验证：；
故答案为，；
3．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）探究某些数的算术平方根、立方根：
(1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整：
①由，可以确定是______位数；
②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______；
③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________．
(2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程．
【答案】(1)①两；②3或7；③43或47；43
(2)见解析
【分析】（1）根据所提供的方法进行计算即可；（2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可．
（1）①因为要确定算术平方根的位数，所以利用平方数的位数规律，通过对比已知的整十数、整百数的平方与1849的大小关系来判断．
②因为一个数的平方的个位数字由原数的个位数字决定，所以根据1849的个位数字，结合平方的个位特征来确定算术平方根的个位数字．
③因为要确定算术平方根的十位数字，所以划去后两位得到的数，对比相邻整数的平方，再结合给定的判断方法缩小范围，最终确定算术平方根．
（2）因为求立方根的思路与求算术平方根类似，所以先利用立方数的位数规律确定立方根的位数；再根据立方数的个位数字特征确定立方根的个位数字；最后划去后三位得到的数，对比相邻整数的立方，结合类似的判断方法缩小范围确定十位数字，进而得到立方根．
【详解】（1）解：①∵，，且，
∴，
∴是两位数；
②∵1849的个位上的数是9，一个数平方后的数个位上为9的只有3和7，
∴的个位上的数是3或7；
③划去1849后面的两位49得到数18，而，，
∴十位上的数是4，
∴1849的算术平方根可能是43或47；
∵十位上的数是4，若个位上的数是7，需进位，，而，
∴个位上的数是3，
∴．
（2）解：，，
103823的立方根是两位数；
103823个位上的数字是3，
103823的立方根个位上的数字是7；
如果划去103823后面的三位“823”得到数103，而，，
由此可确定103823的立方根十位上的数字是4，
那么103823的立方根是47．
【典型例题五 立方根新定义运算】
【例1】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）现对实数定义一种运算：．则等于（ ）
A． B． C．14 D．6
【答案】B
【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，再依据新定义规定的运算计算可得．
【详解】解：
，
故选：B．
【例2】（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段检测）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根
C． D．
【答案】D
【分析】利用n次方根的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数，
∴负数a没有偶数次方根，
∴A选项的结论不符合题意；
∵任何实数a都有奇数次方根，
∴B选项的结论不符合题意；
∵，
∴
∴C选项的结论不符合题意；
∵，
∴
∴D选项的结论符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方根的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用n次方根的定义是解题的关键．
【例3】（24-25七年级下·河南商丘·期中）定义运算，如，那么____________．
【答案】5
【分析】根据定义的运算法则求解即可．
【详解】解：．
故答案为：5．
【点睛】此题考查了新定义运算，算术平方根和立方根的计算，解题的关键是正确列出算式求解．
【例4】（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）【新考向】阅读下列材料：要求59319的立方根，我们可以这样想：①，即59319的立方根是一个两位数；②因为59319的个位数字是9，而，所以能确定的个位数字是9；③如果划除59319后面的三位数，得到59，而，可得，所以的十位数字是3，所以．
请根据上面的材料回答下列问题：______．
【答案】56
【分析】本题考查了求一个数的立方根，模仿题干的解题过程，先找出，再确定的个位数是，接着得出，确定的十位数是5，据此即可作答．
【详解】解：依题意，∵，
∴的立方根是一个两位数；
∵的个位数是，且
∴能确定的个位数字是6；
如果划除后面的三位数，得到175，
∵，
∴，
∴的十位数字是5，
即，
故答案为：56
1．（24-25七年级下·广西南宁·阶段检测）【阅读与应用】
【问题提出】
对于任意实数，定义一种新运算，例如：．
【初步感知】
（1）求的值；
【拓展运用】
（2）若实数满足，求的值．
【答案】（1）1；（2）
【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，立方根的应用．
（1）运用运算公式，计算即可；
（2）利用公式，列出方程，求解方程即可．
【详解】解：（1）根据题意得：
；
（2）根据题意得：，即，
整理得：，
，
，
．
2．（25-26八年级上·上海闵行·期中）认真阅读下面的材料，再解答问题．
根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义．
(1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______；
(2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______；
(3)求的值：．
【答案】(1)；
(2)；任意实数
(3)或
【分析】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关定义是解此题的关键．
（1）根据，，，并结合题意即可得解；
（2）根据四次方根和三次方根的意义解答即可；
（3）根据四次方根的定义计算即可得解．
【详解】（1）解：∵，，
∴81的四次方根为，
∵，
∴的五次方根为，
故答案为：；；
（2）解：若有意义，则，
故的取值范围是；
若有意义，则的取值范围是任意实数，
故答案为：；任意实数；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
3．（25-26七年级下·广东广州·期中）【定义】用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．
【运用】
(1)直接写出数对的开方对称数对______；
(2)若数对的一个开方对称数对是，求a，b的值；
(3)若数对的一个开方对称数对是，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)24或
【分析】本题考查了立方根及算术平方根，
（1）根据题意求出即可；
（2）分情况讨论即可；
（3）分情况讨论求出的值，再代入求值即可．
【详解】（1）解：由题意得，
∴数对的开方对称数对为；
（2）解：数对的一个开方对称数对是，
①，
此时无意义，故舍去；
②，
解得；
综上，；
（3）解：数对的一个开方对称数对是，
①，
解得，
∴；
②，
解得；
∴；
综上，的值为24或．
【典型例题六 立方根的实际应用】
【例1】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃容器的水中，水位升高了，已知玻璃容器的底面积是，那么正方体铁块的棱长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】水位上升部分的体积等于正方体铁块的体积，据此求出正方体铁块的体积，再根据正方体体积公式计算棱长即可．
【详解】解：∵ 正方体铁块完全浸入水中，
∴上升部分水的体积等于正方体铁块的体积．
，
∴正方体铁块的棱长是．
【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是立方根的实际应用，理解题意，建立方程是解本题的关键．设每个方块的边长为，可得，则，再利用立方根的含义解方程即可．
【详解】解：设每个方块的边长为，
，
，
，
故选：D．
【例3】（24-25七年级下·浙江金华·期中）有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到，则它的棱长需要增加________．
【答案】2
【分析】先根据正方体的体积求出原棱长和扩容后的棱长，再计算棱长的差值即可得到结果．
【详解】解：设原正方体集装箱的棱长为．
原正方体体积为．
．
设扩容后正方体的棱长为，扩容后体积为．
．
棱长增加量为．
【例4】（24-25七年级上·浙江温州·期中）现有两个大小不等的正方体积木玩具，大正方体积木体积为，小正方体积木的体积为，将二者如图叠放于桌面上，则积木顶端点到桌面的距离是______．

【答案】
【分析】本题主要考查立方根，正确得出各条棱长是解题的关键．直接利用立方根得出正方体的棱长，即可得出答案．
【详解】大立方体积木体积为，
且，
，
大正方体积木的棱长为，
小正方体积木的体积为，
且，
，
小正方体积木的棱长为，
积木顶端点到桌面的距离是，
故答案为：．
1．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）把48个棱长为的正方体铸成一个长、宽、高的比为的长方体，求这个长方体的表面积．
【答案】．
【详解】解：依题意设长方体的长、宽、高分别为、、．
列方程：
,
解得：，
所以长方体的长、宽、高分别为、、，
长方体的表面积：．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）小林想测量一个铁球的半径，先将铁球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铁球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铁球的半径．（球的体积公式为，r为球的半径）
【答案】铁球的半径为
【分析】本题主要考查了利用立方根解决几何问题，解题的关键是掌握立方根运算法则．
设铁球的半径为，根据球体的体积等于水下降的体积，列出方程，利用立方根求解即可．
【详解】解：设铁球的半径为，根据题意得，
铁球的体积，
，
解得，
∴铁球的半径为．
3．（24-25七年级下·湖北随州·期中）“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作．
(1)求正方形卡纸的边长．
(2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为，裁出的长方形的面积能是吗？请通过计算说明．
(3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积．
【答案】(1)
(2)裁出的长方形的面积不能为；理由见解析
(3)
【分析】（1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可；
（2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论；
（3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可．
【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为．
根据题意，得，
解得或（舍去）．
答：正方形卡纸的边长为．
（2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下：
设裁出的长方形的长为，宽为．
根据题意，得，
解得或（舍去），
∵，
∴裁出的长方形的面积不能为；
（3）解：∵正方体的体积为，
∴该正方体的棱长为，
∴该正方体的表面积为．
【典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用】
【例1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平方根、立方根定义与性质，熟记平方根、立方根定义与性质是解决问题的关键．由平方根、立方根定义与性质逐一分析各选项的等式是否成立，即可得到答案．
【详解】解：A、，选项中左边是两个值，而右边仅取正根，显然不等，故等式不成立，不符合题意；
B、，故等式不成立，不符合题意；
C、，故等式不成立，不符合题意；
D、，故等式成立，符合题意；
故选：D．
【例2】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）若都是实数，且，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由算术平方根的意义可知6-x≥0,则x-6≤0,从而≤0，≥0.
【详解】∵6-x≥0,
∴x-6≤0,
∴≤0，≥0，
∴.
故选A.
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握负数没有算术平方根是解答本题的关键.
【例3】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别是3x﹣1和4﹣4x，则这个数的立方根是___．
【答案】4
【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数求出的值，进而确定出这个数，求出这个数的立方根即可．
【详解】解：一个正数的两个平方根互为相反数，
，
解得，
，
，
这个数为64，
这个数的立方根是．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解本题的关键．
【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）立方根等于其本身的数是_________；若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是________．
【答案】 ， 1或0
【分析】本题主要考查算术平方根和立方根等知识点．立方根等于其本身的数是，；设这个数为a，由立方根等于这个数的算术平方根可以列出方程，解方程即可求出a．
【详解】解：立方根等于其本身的数是，；
设这个数为a，由题意知，
，
解得：或0，
故答案为：，；1或0．
1．（24-25七年级下·重庆长寿·期末）若实数的平方根是和，的立方根是，求的算术平方根．
【答案】8
【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义及解一元一次方程，根据平方根的定义可得，解方程可求出a的值，即可得出m的值，根据立方根得定义可得b的值，根据算术平方根的定义即可得答案．
【详解】解：∵实数的平方根是和，
∴，
解得：．
∴，
∴．
∵的立方根是，
∴，
∴，
∴的算术平方根为．
2．（24-25七年级下·四川泸州·期末）已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为．
(1)求a，b的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，
(2)3
【分析】（1）根据平方根的定义列出方程进行解答便可;
（2）根据算术平方根进行计算便可;
【详解】（1）解：由题意得，
所以，
因为的立方根为 2，
所以，
；
（2）因为，，
所以．
【点睛】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，解题的关键是根据定义列出方程．
3．（24-25七年级下·山东德州·期中）本学期《实数》中，我们学方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
平方根 立方根
定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算．
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
表示方法 正数a的平方根可以表示为“±”． 一个数a的立方根可以表示为“”．
今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索：
（1）探索定义：填写下表：
x4 1 16 81
x
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：
（2）探究性质
①1的四次方根是　 　；
②16的四次方根是　 　；
③的四次方根是　 　；
④12的四次方根是　 　；
⑤0的四次方根是　 　；
⑥﹣625　 　（填“有”或“没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：　 　．
（3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：　 　．
【答案】（1）见解析；（2）①1；②2；③；④；⑤0；⑥没有；一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根．（3）类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想．
【分析】（1）计算即可求解；
（2）根据平方根、立方根的意义和特征，类推四次方根的意义和特征，根据四次方根的意义求一个数的四次方根．
（3）用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想．
【详解】解：（1）填写表格如下
x4 1 16 81
x 1 2 3
（2）①1的四次方根是：1；
②16的四次方根是：2；
③的四次方根是：；
④12的四次方根是：；
⑤0的四次方根是：0；
⑥﹣625没有四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根．
（3）拓展应用：
在探索过程中，用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想．
【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、方根的意义、特征，解题的关键是熟练掌握方根的意义．依据意义正确的计算是重要的环节．
1．（24-25七年级下·广东东莞·期中）下列说法不正确的是（ ）
A．的平方根与算术平方根都是 B．立方根等于本身的是
C．没有平方根 D．的平方根是
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根，平方根和立方根的知识，根据算术平方根、平方根和立方根的定义，逐一判断即可，解题的关键是掌握算术平方根，平方根和立方根的定义．
【详解】解：、的平方根与算术平方根都是，该说法正确，不合题意；
、立方根等于本身的是，该说法不正确，符合题意；
、没有平方根，该说法正确，不合题意；
、的平方根是，该说法正确，不合题意；
故选：．
2．（24-25七年级下·福建福州·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可．
【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69，
∴a=297.5625，b=-656.234909．
∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，
∴x=2.975625，y=656234.909，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．
3．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算
【详解】解：∵，而，
∴==
因此，的值约为，
故选B
4．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）小吴设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的值是，当输入的值是27时，输出的值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：输入的值是27时，取立方根为，为有理数，
则取算术平方根为，为无理数，
则输出的值是．
5．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【答案】A
【分析】本题主要考查了立方根的应用，求得每个小正方体的体积成为解题的关键．
先求出每个小正方体的体积，利用立方根定义求出棱长即可．
【详解】解：根据题意得每个小正方体的体积为，
∴每个小正方体的棱长为，
故选：A．
6．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号）
【答案】③
【分析】本题主要考查了立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的性质和运算法则．
利用立方根的性质和运算法则逐项进行判断即可．
【详解】解：①，成立；
②，成立；
③，不成立；
④，成立．
故答案为：③．
7．（24-25七年级下·全国·课后作业）若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则=_______.
【答案】―1
【详解】根据题意得：a+b=0，cd=-1，
则==-1.
故答案是:-1.
8．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）根据下面的运算程序
若输入一个正数时，输出的值是12，则输入的的值是________．
【答案】3或
【分析】分两种情况，当时，则，当，则，解方程即可．
【详解】解：当时，则，
解得：，
当，则，
解得：，
综上所述，的值可能是3或，
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了程序流程图与代数式求值，一元一次方程，立方根的定义，解题的关键是注意分类讨论，不要漏解．
9．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名的数学家华罗庚曾巧解开立方的智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是两位整数；
∵整数59319的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有＝729的末位数字是9，∴的末位数字是9；
又∵划去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位数字是3；
∴＝39；
【应用】＋59049＝0，其中x是整数则x的值为______．
【答案】-13
【分析】先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可．
【详解】∵＋59049＝0，
∴，
∵＜19683＜，
∴是两位整数；
∵整数19683的末位上的数字是3，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是3，
∴的末位数字是7；
又∵划去19683的后面三位683得到19，
而2＜＜3，
∴的十位数字是2；
∴＝27；
∴，
解得x=-13，
故答案为：-13．
【点睛】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键．
10．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下：
①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________．
【答案】68
【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答．
【详解】解：，
又，
，
∴能确定314432的立方根是个两位数．
314432的个位数是2，
又，
∴能确定314432的立方根的个位数是8．
划去314432后面的三位432得到数314，而，则，
可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6，
因此314432的立方根是68，
故答案为68．
11．（25-26七年级下·北京·期中）解方程
(1)；
(2)
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先移项，再开平方，若 ，则 ，从而进一步求出方程的解；
（2）先将系数化为1，再开立方，，从而进一步求出方程的解．
【详解】（1）解：，
，
，
或．
（2）解：
，
，
．
12．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根和代数式求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
（1）根据平方根，算术平方根，立方根的知识即可求解；
（2）先求出，再求其平方根即可．
【详解】（1）解：的算术平方根是3，的立方根是，的平方根是它本身，
，，，
，，．
（2）解：∵，，，
∴，
∵64的平方根为
的平方根为．
13．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）已知4是的算术平方根，的立方根为．
(1)求和的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)．
(2)
【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义，得到，，求出和的值即可；
（2）把和的值代入代数式求出代数式的值，根据平方根的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵4是的算术平方根，
∴，
∴，
∵的立方根为，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
64的平方根为，
∴的平方根为．
【点睛】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根，解题关键是熟记平方根、算术平方根、立方根的定义．
14．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表：
a 0.000008 0.008 8 8000
（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______；
（3）根据你发现的规律解答：
①已知，，，则介于哪两个整数之间？
②已知，则______；
③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米）
【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮
【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键．
（1）利用立方根的定义填表即可；
（2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解；
（3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解．
【详解】解：（1）填表如下：
a 0.000008 0.008 8 8000
0.02 0.2 2 20
（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；
（3）①，
，
介于整数12和13之间；
②，
；
③设正方体的棱长为a米，则，
由②知，
；
，
（平方米），
答：需要大约9.02平方米的铁皮．
15．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7；
③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1)______；
(2)若，则______；
(3)已知，且与互为相反数，求x，y的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或，或，
【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键．
（1）根据题目中给定的方法进行求解即可；
（2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可；
（3）根据算立方根的性质，根据立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可．
【详解】（1）解：因为，，所以是两位数，
因为；猜想的个位数字是9，
接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是；
最后再依据“负数的立方根是负数”得到；
（2）解：∵，
∴和 互为相反数，
∴，
∴；
故答案为：3．
（3）解：∵，即，
∴或1或
解得：或或
∵与互为相反数，即，
∴，即，
∴当时，
当时，；
当，．
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