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第09讲 轴对称与坐标变化（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 实际问题中用坐标表示位置
典型例题二 用方向角和距离确定物体的位置
典型例题三 根据方位描述确定物体的位置
典型例题四 求对称轴条数
典型例题五 镜面对称问题
典型例题六 坐标与图形变化——轴对称
典型例题七 坐标系中的对称
典型例题八 坐标系中的动点问题（不含函数）
知识点01 坐标与图形变化-对称
知识点01 平面上确定物体位置的方法
在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据，常用的方法如下：
1.行列定位法：用行数和列数表示物体的位置.
将平面分成若干行和若干列，然后利用平面上点所在的行数和列数表示平面上点的位置.
2.经纬定位法：只要知道一点的纬度和经度，就可以确定这点在地球仪上的位置.
3.方位角和距离定位法：用方向和距离确定平面上点的位置时，先要选择参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示.
PS：用方位角和距离确定物体的位置时，一般方向在前，距离在后，且方向和距离都要有，两者缺一不可.
4.区域定位法：一般先将平面划分成横纵区域，然后用横纵区域的编号表示物体的位置，区域定位法一般用大写英文字母或阿拉伯数字来确定位置，其优点是简单、明了，缺点是不够精准.
5.方格定位法：一般地，在方格纸上，一点所在的位置由横向格数和纵向各数确定，可以记作（横向格数，纵向格数）或（水平距离，纵向距离）.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·广东深圳·期末）五子棋，亦称“连珠”，是棋类竞技项目之一．某对弈情况如图所示，若在棋盘上建立了平面直角坐标系，黑子M的位置是，白子①的位置是，则白子②的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·山西长治·课后作业）用(20，50)表示向东行驶20米，再向北行驶50米，那么(-50，-30)表示的意义是________．
知识点02 点的对称与点的距离
【考点解读】对于平面内任意一点，都有唯一的有序实数对和它相对应;对于任意一个有序实数对，在坐标平面内都有唯一的一点和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对一一对应，所以我们可根据坐标描出点的位置.
1、点的对称
设点A坐标为（x，y），点A关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），点A关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），点A关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）
2、点的距离
若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（a，c），则线段AB的长为
若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（d，b），则线段AB的长为
若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），则线段AB的长为
【即时训练】
1．（25-26八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．（2026·山西阳泉·一模）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则_____．
【典型例题一 实际问题中用坐标表示位置】
【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列情形中，不能确定物体位置的是（ ）
A．北偏西 B．清林路130号
C．301室3排5列 D．东经，北纬
【例2】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．建立适当的平面直角坐标系，若表示“天玑”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天璇”的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25七年级下·天津·阶段检测）如果“2街5号”用坐标表示，那么表示___________．
【例4】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）2025年是红军长征胜利90周年，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标为，瑞金的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为________．
1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为．
(1)请你根据题意，补充原点O和y轴；
(2)写出黑棋③和白棋④的坐标；
(3)五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标．
2．（25-26七年级下·山西忻州·期中）如图，这是某校的平面示意图，以正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长均为．已知教学楼的坐标为，宿舍的坐标为．
(1)在图中画出平面直角坐标系．
(2)操场的坐标为___________．
(3)若小明从操场出发，向北走了，再向东走了到达食堂，请在图中标出食堂的位置，并直接写出食堂的坐标．
3．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）某校开展“坐标识校园·定位寻社团”的实践活动，引导学生运用平面直角坐标系知识标注校园社团活动室位置，七年五班的小恺将各个活动室的位置标注在如图所示的平面直角坐标系中（网格中每个小正方形的边长为1个单位长度），其中点表示“乐器社团”的位置，点表示“舞蹈社团”的位置．
根据以上信息，完成下面的作答：
(1)点的坐标为________，点的坐标为________；
(2)小恺在标注位置时，误将“书法社团”的坐标看成了，并在图中标注成点，则“书法社团”的正确位置对应的点应在第________象限；
(3)若表示“合唱社团”的点在轴负半轴上，距离原点2个单位长度，请在平面直角坐标系中标出“合唱社团”的位置；
(4)在平面直角坐标系中，若将点，点，点用线段依次连接起来，得到三角形，则三角形的面积为________．
【典型例题二 用方向角和距离确定物体的位置】
【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）根据下列表述，不能确定具体位置的是 （ ）
A．东经，北纬 B．深圳市深南大道4013号
C．某港口南偏东 D．城市影院6号厅6排6座
【例2】（25-26七年级上·重庆北碚·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则射线表示的方向是（ ）
A．北偏西方向 B．北偏东方向
C．南偏东方向 D．南偏东方向
【例3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，货船B在港口A南偏西方向处，则港口A在货船B_________方向________处．
【例4】 （2025八年级上·全国·专题练习）如图，关于小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是________（填序号）．
①在距离学校处； ②在学校的东南方向；
③在西北方向处； ④在学校西北方向处．
1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）灯塔A在灯塔B的南偏东，A，B相距4千米，轮船C在灯塔B的正东，在灯塔A的北偏东，选用适当的比例画图确定轮船C的位置．
2．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）如图是某地平面图．
(1)从图中可以看出：菜市场在中心广场西偏_____°方向_______米处．
(2)老年活动中心在中心广场东偏北方向400米处，幼儿园在中心广场南偏东方向600米处．请在图上标出它们的位置．
3．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）慧慧和敏敏对着下列示意图，描述了超市的位置（图中小正方形的边长代表）．慧慧说：“超市的坐标是．”敏敏说：“图书馆在超市的西南方向．”
(1)根据慧慧和敏敏所说，直接在图中建立平面直角坐标系，并标出原点和坐标轴；
(2)写出学校、少年宫的坐标；
(3)写出超市到少年宫的距离；
(4)乐乐说：“公园、图书馆、超市在同一条直线上．”你同意他的说法吗？如果公园与图书馆的直线距离约为，请写出图书馆相对于公园的位置．
【典型例题三 根据方位描述确定物体的位置】
【例1】（25-26七年级下·广东广州·期中）以下描述中，能确定具体位置的是（ ）
A．明扬坐在第5排 B．距广州南站2千米
C．北偏东 D．东经，北纬
【例2】（2025·河北唐山·二模）如图是某街道的局部图，小刚从A 处走往B 处(街道宽度忽略)，下列描述错误的是（ ）
A．向西走150m， 再向南走80m B．向西走150m，再向左走80m
C．向南走80m，再向西走150m D．向南走80m，再向左走150m
【例3】（24-25七年级上·山西晋城·期末）如图，A、B、C三点分别代表邮局、医院学校中的某一处，邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向，那么图中的点A应该是__________，点B应该是__________．
【例4】（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，,是的反向延长线.
（1）射线的方向是____________________________；
（2）的度数是_________________.
1．（24-25七年级上·河北张家口·期中）（1）用数对表示出下面地点的位置．
学校：（ ， ）；公园：（ ， ）
（2）小明家在学校以西100米，再往北200米处；小红家在学校以东300米处．在图中1分别标出他们两家的位置．
2．（24-25七年级上·广东广州·期末）某部队在大西北戈壁滩上进行军事演习，部队司令部把部队分为“蓝军”、“黄军”两方．蓝军的指挥所在地，黄军的指挥所地地，地在地的正西边（如图）．部队司令部在地．在的北偏东方向上、在的北偏东方向上．
（1）______°；
（2）请在图中确定（画出）的位置，标出字母；
（3）演习前，司令部要蓝军、黄军派人到地汇报各自的准备情况．黄军一辆吉普车从地出发、蓝军一部越野车在吉普车出发3分钟后从地出发，它们同时到达地．已知吉普车行驶了18分钟．到的距离是到的距离的1.7倍．越野车速度比吉普车速度的2倍多4千米．求越野车、吉普车的速度及地到地的距离（速度单位用：千米/时）．
3．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）
在向红星镇居民介绍王家庄位置的时候，我们可以这样说∶如图，在以红星镇为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向的平面直角坐标系（1单位长度表示的实际距离为）中，王家庄的坐标为；也可以说，王家庄在红星镇东北方向的地方．
还有一种方法广泛应用于航海、航空、气象、军事等领域．如右下图：在红星镇所建的雷达站O的雷达显示屏上，把周角每分成一份，正东方向为，相邻两圆之间的距离为1个单位长度（1单位长度表示的实际距离为），现发现2个目标，我们约定用表示点M在雷达显示器上的坐标，则：
（1）点N可表示为 ；王家庄位置可表示为 ；点N关于雷达站点0成中心对称的点P的坐标为 ；
（2）= ；
（3）若有一家大型超市A在图中的地方，请直接标出点A，并将超市A与雷达站O连接，现准备在雷达站周围建立便民服务店B，使得为底角的等腰三角形，请直接写出B点在雷达显示屏上的坐标．
【典型例题四 求对称轴条数】【例1】（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，图中雪花的对称轴条数是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【例2】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）两个圆如图摆放，这个图的对称轴条数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3】（24-25七年级下·江西赣州·阶段检测）数学中有许多精美的曲线．如图，这是“三叶玫瑰线”，该图形有_______条对称轴．
【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，由三个相同的等边三角形组成的轴对称图形上有一些虚线，其中是对称轴的有_______（填序号）．
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）平面上的两条相交直线是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？作图试试看．
2．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图1，棋盘上已经摆放好了3个棋子，如图2所示，再添加一个棋子后，这4个棋子恰好构成一个轴对称图形，直线m为对称轴．
(1)请仿照图2，用新方法在图3的棋盘格点上添加1个棋子，使4个棋子构成一个轴对称图形，并画出对称轴
(2)这样的添加方法共有_______种（含图2方法）．
3．（24-25七年级上·山东青岛·期末）在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形，有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：
(1)非等边的等腰三角形有______条对称轴，非正方形的长方形有______条对称轴，等边三角形有______条对称轴；
(2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图和图都可以看作由图修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图和图中，分别修改图和图，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；
(3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；
(4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．
【典型例题五 镜面对称问题】
【例1】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段检测）一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（ ）
A．JM—G9329 B．JM—G6356
C．JM—C6326 D．JM—G6326
【例2】（2025八年级上·全国·专题练面镜中电子钟示数为“”，实际时间是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______．

【例4】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是_______．
1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？

3．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图所示是某一日小明从镜中看到的一串数字，请你说出实际上述数字是什么？
【典型例题六 坐标与图形变化——轴对称】
【例1】（25-26八年级下·山西临汾·期中）点关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）蝴蝶颜色绚丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于轴对称，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级下·重庆·期中）点和点关于轴对称，则的值为______．
【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC与关于x轴对称，则点A的对应点的坐标为______．
1．（25-26八年级上·四川成都·期末）的各顶点坐标分别为，，．
(1)在如图的网格中，画出坐标系；
(2)作关于轴对称的图形的(点、是对应点；点、是对应点)；
(3)在（2）的条件下，求四边形的面积．
2．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C均在格点上，直线l过且平行于y轴．
(1)点A的坐标为_________，点与点B关于x轴对称，则_________，_________．
(2)画出关于直线l的轴对称图形，并求出的面积．
(3)在直线l上找到一点P，使得周长最小，请画出点P的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
3．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
(1)请以轴为对称轴，画出与对称的；
(2)点与点关于轴对称，求的值；
(3)如果要使与全等，那么不同于点的格点的坐标是_________．
【典型例题七 坐标系中的对称】
【例1】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，与点关于轴对称的点是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知关于轴的对称点为，则的值是（　　）
A．5 B． C． D．1
【例3】（2026·山东枣庄·一模）平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是______．
【例4】（25-26八年级下·北京·期中）我们规定：若在平面内，一个图形从点A出发沿着水平竖直水平（或者竖直水平竖直）方向平移到点B的位置，则称连接点A、B的这条折线为“孙氏二级折线”（如图1）．数学组准备编写一个“连连看”游戏参加科技节展示活动，同学们将游戏页面中的全等形按规则连线并消掉，消掉全等形多者为胜．其中一项规则是：如果两个全等形被“孙氏二级折线”连接（如图2），那么这两个图形就可以消掉．但编写“孙氏二级折线”的程序遇到算法问题，这时聪明的小孙想出一种方法：建立平面直角坐标系（如图3），先作点A关于轴的对称点，然后作点关于轴的对称点，便可得到点与点的坐标关系．老朱夸奖小孙巧妙地利用数形结合的数学思想解决了问题，并把这种对称命名为“孙氏原点对称”．例如已知点，经过“孙氏原点对称”后得到点的坐标就是．若点坐标为，点经过“孙氏原点对称”得到的对应点坐标为_____．小孙又对问题进行深入研究：若仍然先将点关于轴对称，再关于平行于轴的直线作对称，这样对于游戏中各种类似情况都可以解决了！老朱对小孙的想法赞不绝口，把这种点的对称关系命名为“孙氏超级对称”．若点与“孙氏超级对称”，则_____．
1．（25-26八年级上·陕西西安·周测）平面直角坐标系内，已知点，点，点是点关于的对称点．
(1)求点的坐标；
(2)若点在轴上，过点作直线轴，点关于直线的对称点是点，那么当的面积等于24时，求点的坐标．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中有四个格点（网格线交点）A，B，C，D．以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称．
(1)请在网格中建立平面直角坐标系．
(2)①原点是格点________；
②格点A，B，C，D中，关于坐标轴对称的两点是________．
(3)若格点A到x轴的距离为2，则格点D关于y轴对称的点的坐标为________．
3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题：
(1)将A，B，C三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为D，E，F；在平面直角坐标系中画出；
(2)在平面直角坐标系中画出关于y轴对称的（其中点D，E，F的对称点分别为点M，N，P）；
(3)在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点G在线段上的对应点的坐标为________．
【典型例题八 坐标系中的动点问题（不含函数）】
【例1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【例2】（24-25七年级下·天津北辰·期中）如图，在平面直角坐标系中，，一动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿循环运动，则第100秒点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点，经过点A的直线轴．若为直线上的一个动点，则当线段的长度最小时，点的坐标为_______．
【例4】（24-25七年级下·湖北黄石·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________．
1．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，连接、，．
(1)直接写出点A、点B的坐标；
(2)动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻，若存在，请求出时间t，并说明理由．
2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点在x轴负半轴上，点在x轴正半轴上，点C在y轴负半轴上，，且m，n满足．设直线经过点且直线轴．
(1)求A，B两点坐标．
(2)若点P是射线上异于点D的一个动点，设点P的纵坐标为t，用含t的式子表示的面积S．
(3)在（2）的条件下，点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当的面积等于的面积的2倍时，求点P运动的时间．
3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【阅读材料】“辅助线法”是常见的一种构造全等的方法，如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，你能在图中构造全等吗？小胖在图1中做了全等的构造，你能在图2中按此方法构造全等吗？请补全图形．
【解决问题】如图3，在平面直角坐标系中，，，以A为旋转中心将线段顺时针旋转形成线段．求出点C坐标及的面积；
【拓展延伸】如图4，点为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰直角三角形，过D作轴于点E，求的长（用含m的式子表示）？
1．（24-25七年级下·广西贵港·期末）下列轴对称图形中，对称轴条数最少的图形是(　　)
A．B．C． D．
2．（24-25七年级下·全国·单元测试）确定一个地点的位置，下列说法正确的是（ ）
A．偏东30°，1000米 B．西北方向
C．距此500米 D．正南方向，距此600米
3．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图是2026年米兰一科尔蒂纳冬奥会的吉祥物蒂娜（），建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
5．（2025·海南海口·模拟预测）如图，与关于y轴对称．如果中的任意一点M的坐标为，它的对应点N的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25六年级上·河南商丘·期中）圆是轴对称图形，它有_____条对称轴，每条对称轴都是这个圆的_____所在的直线．
7．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________．
8．（24-25七年级下·山东济宁·期中）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用表示，“炮”所在的位置用表示，那么“帅”所在的位置可表示为______．

9．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B．C．D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负、如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中(______，______)，(______，______)，______(，______)；
（2）若图中另有两个格点M．N，且，，则应记为______．
10．（25-26八年级上·广东深圳·期中）平面镜成像的本质是轴对称，镜面为对称轴，像与物关于镜面所在的直线成轴对称．如图是人眼看到烛焰在平面镜中成的像，若以桌面所在直线为x轴，以镜面所在直线为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某一时刻烛焰S的坐标为，虚像对应点的坐标为，则的值为__________．
11．（25-26七年级下·重庆永川·期中）小明从A处出发向北偏东走了，到达B处；小刚也从A处出发、向南偏东走了，到达C处．
(1)用表示，画图表示A、B、C三处的位置；
(2)用表示方向的角和距离表示A处相对于C处的位置；
(3)在图上量出B处和C处之间的距离、求出小明和小刚两人实际相距多少米．
12．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点A和点B的坐标分别为和．
(1)在图中建立适当的平面直角坐标系；
(2)点C的坐标为______，点C关于x轴的对称点的坐标为______．
13．（2025八年级上·江苏·专题练习）认真观察图甲，其中每个小正方形的边长都是1．
(1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，请说明理由．
②图甲中阴影部分的面积是多少？
(2)请在图乙中设计出至少有两条对称轴且面积与图甲中阴影部分面积相等的一个轴对称图形．
14．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，正方形网格中，建立平面直角坐标系，是格点三角形（顶点都在格点上的三角形）．
(1)画出关于轴对称的：
(2)若点为边上一点，请直接写出点经过（1）中的一次图形变换后的对应点的坐标________．
15．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动．
(1)点的坐标为___________；当点移动5秒时，点的坐标为___________．
(2)在移动过程中，当点移动11秒时，求的面积．
(3)在（2）的条件下，轴上是否存在点，使与的面积相等．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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第09讲 轴对称与坐标变化（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 实际问题中用坐标表示位置
典型例题二 用方向角和距离确定物体的位置
典型例题三 根据方位描述确定物体的位置
典型例题四 求对称轴条数
典型例题五 镜面对称问题
典型例题六 坐标与图形变化——轴对称
典型例题七 坐标系中的对称
典型例题八 坐标系中的动点问题（不含函数）
知识点01 坐标与图形变化-对称
知识点01 平面上确定物体位置的方法
在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据，常用的方法如下：
1.行列定位法：用行数和列数表示物体的位置.
将平面分成若干行和若干列，然后利用平面上点所在的行数和列数表示平面上点的位置.
2.经纬定位法：只要知道一点的纬度和经度，就可以确定这点在地球仪上的位置.
3.方位角和距离定位法：用方向和距离确定平面上点的位置时，先要选择参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示.
PS：用方位角和距离确定物体的位置时，一般方向在前，距离在后，且方向和距离都要有，两者缺一不可.
4.区域定位法：一般先将平面划分成横纵区域，然后用横纵区域的编号表示物体的位置，区域定位法一般用大写英文字母或阿拉伯数字来确定位置，其优点是简单、明了，缺点是不够精准.
5.方格定位法：一般地，在方格纸上，一点所在的位置由横向格数和纵向各数确定，可以记作（横向格数，纵向格数）或（水平距离，纵向距离）.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·广东深圳·期末）五子棋，亦称“连珠”，是棋类竞技项目之一．某对弈情况如图所示，若在棋盘上建立了平面直角坐标系，黑子M的位置是，白子①的位置是，则白子②的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查点的坐标在实际中的应用，根据题意确定坐标系的原点的位置，进而求解即可．
【详解】解：∵黑子M的位置是，白子①的位置是，
∴如图，坐标系的原点如图：
∴白子②的坐标是，
故选：B．
2．（24-25八年级上·山西长治·课后作业）用(20，50)表示向东行驶20米，再向北行驶50米，那么(-50，-30)表示的意义是________．
【答案】向西行驶50米，再向南行驶30米；
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量进行求解即可．
【详解】∵(20，50)表示向东行驶20米，再向北行驶50米，
∴(-50，-30)表示的意义是向西行驶50米，再向南行驶30米.
故答案是：向西行驶50米，再向南行驶30米.
【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
知识点02 点的对称与点的距离
【考点解读】对于平面内任意一点，都有唯一的有序实数对和它相对应;对于任意一个有序实数对，在坐标平面内都有唯一的一点和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对一一对应，所以我们可根据坐标描出点的位置.
1、点的对称
设点A坐标为（x，y），点A关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），点A关于y轴对称的点的坐标为（-x，y），点A关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）
2、点的距离
若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（a，c），则线段AB的长为
若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（d，b），则线段AB的长为
若点A坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），则线段AB的长为
【即时训练】
1．（25-26八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
即，．
2．（2026·山西阳泉·一模）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则_____．
【答案】
【分析】直接利用关于轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：∵与点关于轴对称，
∴，
∴.
【典型例题一 实际问题中用坐标表示位置】
【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列情形中，不能确定物体位置的是（ ）
A．北偏西 B．清林路130号
C．301室3排5列 D．东经，北纬
【答案】A
【分析】本题考查用有序数对确定位置，方位角，掌握其相关性质是解题的关键．
根据平面内的点与有序实数对一一对应，对各选项进行判断即可．
【详解】解：确定位置需要两个要素，如方向与距离或具体坐标，
A．该情形缺少距离，不能确定物体位置，故此选项符合题意；
B．该情形能确定物体位置，故此选项不符合题意；
C．该情形能确定物体位置，故此选项不符合题意；
D．该情形能确定物体位置，故此选项不符合题意．
故选：A．
【例2】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．建立适当的平面直角坐标系，若表示“天玑”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天璇”的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知点“天玑”和“开阳”的坐标确定平面直角坐标系的单位长度及原点位置，再结合图形中“天璇”与“天玑”的相对位置关系求解即可．
【详解】解： “天玑”的坐标为 ，“开阳”的坐标为 ，
网格中每个小正方形的边长代表个单位长度，
观察图形可知，“天璇”位于“天玑”的右侧个单位，上方个单位处，
“天璇”的横坐标为，纵坐标为，
“天璇”的坐标为．
【例3】（24-25七年级下·天津·阶段检测）如果“2街5号”用坐标表示，那么表示___________．
【答案】3街1号
【分析】本题考查了用坐标表示位置，理解用坐标表示位置的两个数的实际含义是解题关键．根据用坐标表示位置的两个数的实际含义求解即可．
【详解】解：如果“2街5号”用坐标表示，那么表示3街1号，
故答案为：3街1号．
【例4】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）2025年是红军长征胜利90周年，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标为，瑞金的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为________．
【答案】
【分析】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标，由吴起镇会师的坐标为，瑞金的坐标为，建立平面直角坐标系，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵表示吴起镇会师的坐标为，瑞金的坐标为，
∴建立平面直角坐标系如图所示：
∴表示会宁会师的点的坐标为，
故答案为：．
1．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为．
(1)请你根据题意，补充原点O和y轴；
(2)写出黑棋③和白棋④的坐标；
(3)五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)黑③坐标为，白④坐标为
(3)或
【分析】（1）根据白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为即可建立坐标系；
（2）由坐标系直接得出坐标；
（3）根据比赛规则，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜，即可找出黑棋要放置的位置坐标．
【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系：
（2）结合（1），可知黑③坐标为，白④坐标为；
（3）要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标系的建立，利用坐标确定位置，确定坐标轴的位置是解题的关键．
2．（25-26七年级下·山西忻州·期中）如图，这是某校的平面示意图，以正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长均为．已知教学楼的坐标为，宿舍的坐标为．
(1)在图中画出平面直角坐标系．
(2)操场的坐标为___________．
(3)若小明从操场出发，向北走了，再向东走了到达食堂，请在图中标出食堂的位置，并直接写出食堂的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析；食堂的坐标为
【分析】（1）根据教学楼的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）根据（1）中坐标系写出操场的坐标即可；
（3）根据行走路线，在图中标出食堂的位置，并写出食堂的坐标即可．
正确建立坐标系是解题的关键．
【详解】（1）解：画出平面直角坐标系如图所示：
（2）解：由上图可知，操场的坐标为；
（3）解：食堂的位置如图所示：
食堂的坐标为．
3．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）某校开展“坐标识校园·定位寻社团”的实践活动，引导学生运用平面直角坐标系知识标注校园社团活动室位置，七年五班的小恺将各个活动室的位置标注在如图所示的平面直角坐标系中（网格中每个小正方形的边长为1个单位长度），其中点表示“乐器社团”的位置，点表示“舞蹈社团”的位置．
根据以上信息，完成下面的作答：
(1)点的坐标为________，点的坐标为________；
(2)小恺在标注位置时，误将“书法社团”的坐标看成了，并在图中标注成点，则“书法社团”的正确位置对应的点应在第________象限；
(3)若表示“合唱社团”的点在轴负半轴上，距离原点2个单位长度，请在平面直角坐标系中标出“合唱社团”的位置；
(4)在平面直角坐标系中，若将点，点，点用线段依次连接起来，得到三角形，则三角形的面积为________．
【答案】(1)；；
(2)四
(3)见详解
(4)
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）先求出“书法社团”的正确位置，即可解答；
（3）先求出点的坐标，再在平面直角坐标系中标注即可；
（4）利用割补法：用矩形框住三角形，减去周围三个直角三角形的面积即可求解．
【详解】（1）解：根据平面直角坐标系可得： 的坐标为，的坐标为．
（2）解：由图得误标点的坐标为，
小恺在标注位置时，误将“书法社团”的坐标看成了，并在图中标注成点，
因此，，
则“书法社团”的正确位置对应的点为，在第四象限．
（3）解：点在轴负半轴上，距离原点2个单位长度，
因此的坐标为：
标注点如图：
（4）解：．
【典型例题二 用方向角和距离确定物体的位置】
【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）根据下列表述，不能确定具体位置的是 （ ）
A．东经，北纬 B．深圳市深南大道4013号
C．某港口南偏东 D．城市影院6号厅6排6座
【答案】C
【分析】本题考查坐标确定位置、方向角，东经，北纬能确定具体位置，深圳市深南大道4013号能确定具体位置，某港口南偏东不能确定具体位置，城市影院6号厅6排6座能确定具体位置．
【详解】解：东经，北纬能确定具体位置，故A选项不符合题意；
深圳市深南大道4013号能确定具体位置，故B选项不符合题意；
某港口南偏东不能确定具体位置，故C选项符合题意；
城市影院6号厅6排6座能确定具体位置，故D选项不符合题意．
故选：C．
【例2】（25-26七年级上·重庆北碚·期末）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则射线表示的方向是（ ）
A．北偏西方向 B．北偏东方向
C．南偏东方向 D．南偏东方向
【答案】D
【分析】本题考查了方位角，根据概念，结合射线的方位角以及的度数，求出，进而确定的方位角．
【详解】解：射线与射线成角，
，
是北偏东方向的一条射线，
，
，
，
即射线表示的方向是南偏东．
故选：D．
【例3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，货船B在港口A南偏西方向处，则港口A在货船B_________方向________处．
【答案】 北偏东 25
【分析】本题考查了方位角，由货船B在港口A南偏西方向处，结合方位角的定义，即可求解．
【详解】解：由图得：
港口A在货船B北偏东方向处．
故答案为：北偏东，．
【例4】 （2025八年级上·全国·专题练习）如图，关于小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是________（填序号）．
①在距离学校处； ②在学校的东南方向；
③在西北方向处； ④在学校西北方向处．
【答案】④
【分析】本题考查了方向角表示位置，用方向角描述位置时，不仅要说明方向，还要表示距离，熟记方向角表示位置的方法是解决问题的关键．通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述南北、后叙述东西，再表示距离即可得到具体位置．根据图中小明家相对于学校的方向角为西北方向，距离即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
小明家在学校西北方向处
故答案为：④．
1．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）灯塔A在灯塔B的南偏东，A，B相距4千米，轮船C在灯塔B的正东，在灯塔A的北偏东，选用适当的比例画图确定轮船C的位置．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查学生的作图能力以及对方向角的认识和在实际中的应用．根据题意，构建坐标系，以B点为坐标原点，按要求画出A点的位置即可．
【详解】解：如图所示，C点即为轮船所在的位置．
2．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）如图是某地平面图．
(1)从图中可以看出：菜市场在中心广场西偏_____°方向_______米处．
(2)老年活动中心在中心广场东偏北方向400米处，幼儿园在中心广场南偏东方向600米处．请在图上标出它们的位置．
【答案】(1)北，
(2)见解析
【分析】本题主要考查了用方向角表示位置，解题的关键是熟练掌握方向角的定义．
（1）根据线段长度求出距离，根据方向角说明方向即可得出答案；
（2）根据距离和方向角在图中画出它们的位置即可．
【详解】（1）解：（米），
则菜市场在中心广场西偏北方向米处．
（2）老年活动中心、幼儿园的位置，如图所示：
3．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）慧慧和敏敏对着下列示意图，描述了超市的位置（图中小正方形的边长代表）．慧慧说：“超市的坐标是．”敏敏说：“图书馆在超市的西南方向．”
(1)根据慧慧和敏敏所说，直接在图中建立平面直角坐标系，并标出原点和坐标轴；
(2)写出学校、少年宫的坐标；
(3)写出超市到少年宫的距离；
(4)乐乐说：“公园、图书馆、超市在同一条直线上．”你同意他的说法吗？如果公园与图书馆的直线距离约为，请写出图书馆相对于公园的位置．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)
(4)同意，见解析，东北方向上，且距离为
【分析】（1）根据超市的坐标是，向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到原点，建立坐标系解答即可．
（2）根据坐标系，直接写出学校、少年宫的坐标即可；
（3）超市的坐标是，少年宫的坐标是，两地距离为（米）；
（4）根据公园、图书馆、超市点坐标即可判定都在一三象限的象限角的平分线上，即可写出图书馆相对于公园的位置．
本题考查了坐标系的建立，平移的应用，写出点的坐标，正确建立坐标系是解题的关键．
【详解】（1）解：超市的坐标是，向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到原点，建立坐标系如下：
（2）解：根据前面建立的坐标，得学校的坐标为，少年宫的坐标为．
（3）解：根据题意，得超市的坐标是，少年宫的坐标是，
故两地距离为（米）．
（4）解：同意，
∵超市的坐标是，图书馆的坐标是，公园的坐标是，
∴都在一三象限的象限角的平分线上，
由此可以判定，图书馆在公园的东北方向上，且距离为．
【典型例题三 根据方位描述确定物体的位置】
【例1】（25-26七年级下·广东广州·期中）以下描述中，能确定具体位置的是（ ）
A．明扬坐在第5排 B．距广州南站2千米
C．北偏东 D．东经，北纬
【答案】D
【详解】解：A．仅给出第5排，未给出列数，不能确定具体位置，不符合题意；
B．仅给出距离广州南站2千米，未给出方向，不能确定具体位置，不符合题意；
C．仅给出北偏东的方向，未给出距离，不能确定具体位置，不符合题意；
D．给出东经、北纬，可以唯一确定具体位置，符合题意．
【例2】（2025·河北唐山·二模）如图是某街道的局部图，小刚从A 处走往B 处(街道宽度忽略)，下列描述错误的是（ ）
A．向西走150m， 再向南走80m B．向西走150m，再向左走80m
C．向南走80m，再向西走150m D．向南走80m，再向左走150m
【答案】D
【分析】此题主要考查依据方向和距离判定物体位置的方法，结合示意图，是解答此类题的关键．
依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”判断即可．
【详解】解：A、向西走150m， 再向南走80m，故本选项不符合题意；
B、向西走150m，再向左走80m，故本选项不符合题意；
C、向南走80m，再向西走150m；故本选项不符合题意；
D、向南走80m，应该再向右走150m，故本选项符合题意．
故选：D．
【例3】（24-25七年级上·山西晋城·期末）如图，A、B、C三点分别代表邮局、医院学校中的某一处，邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向，那么图中的点A应该是__________，点B应该是__________．
【答案】 邮局 医院
【分析】结合图和已知条件可直接判断出A、B、C三点．
【详解】解：由题意知：邮局和医院分别在学校的北偏西方向，邮局又在医院的北偏东方向，
∴ 可推断出A点是邮局，B点是医院，C点是学校．
故答案为：邮局；医院
【点睛】本题考查了方位的概念以及在生活中的应用．熟练记忆各个方位是解答本题的关键．
【例4】（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，,是的反向延长线.
（1）射线的方向是____________________________；
（2）的度数是_________________.
【答案】 北偏东70° 70°
【分析】（1）先求出∠AOB＝55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向；
（2）根据∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，得出∠BOC＝110°，进而求出∠COD的度数．
【详解】（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°，
∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°，
∴∠AOB＝∠NOB＋∠NOA＝55°，
∵∠AOB＝∠AOC，
∴∠AOC＝55°，
∴∠NOC＝∠NOA＋∠AOC＝70°，
∴OC的方向是北偏东70°；
故答案为：北偏东70°；
（2）∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，
∴∠BOC＝110°．
又∵射线OD是OB的反向延长线，
∴∠BOD＝180°．
∴∠COD＝180° 110°＝70°．
【点睛】本题考查方向角和射线，解题的关键是掌握方位角的相关知识．
1．（24-25七年级上·河北张家口·期中）（1）用数对表示出下面地点的位置．
学校：（ ， ）；公园：（ ， ）
（2）小明家在学校以西100米，再往北200米处；小红家在学校以东300米处．在图中1分别标出他们两家的位置．
【答案】（1）；（2）坐标位置见解析．
【分析】（1）由图中表格，即可得到答案；
（2）根据题意，在图中表示出位置即可．
【详解】解：（1）根据题意，
学校的坐标为：（3，3）；
公园的位置为：（5，1）；
（2）如图所示：
【点睛】本题考查了坐标表示位置，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系，正确表示点的坐标．
2．（24-25七年级上·广东广州·期末）某部队在大西北戈壁滩上进行军事演习，部队司令部把部队分为“蓝军”、“黄军”两方．蓝军的指挥所在地，黄军的指挥所地地，地在地的正西边（如图）．部队司令部在地．在的北偏东方向上、在的北偏东方向上．
（1）______°；
（2）请在图中确定（画出）的位置，标出字母；
（3）演习前，司令部要蓝军、黄军派人到地汇报各自的准备情况．黄军一辆吉普车从地出发、蓝军一部越野车在吉普车出发3分钟后从地出发，它们同时到达地．已知吉普车行驶了18分钟．到的距离是到的距离的1.7倍．越野车速度比吉普车速度的2倍多4千米．求越野车、吉普车的速度及地到地的距离（速度单位用：千米/时）．
【答案】（1）；（2）画图见解析；（3）越野车为204千米/时、吉普车的速度为100千米/时，地到地的距离为30千米.
【分析】（1）由方位角的知识即可求解；
（2）根据题意画出方位角，交点即为C点位置；
（3）设吉普车的速度为x千米/时，则越野车的速度为（2x+4）千米/时，B到C距离为千米，A到C的距离为千米，根据“越野车在吉普车出发3分钟后从地出发，它们同时到达地”找到等量关系列出方程即可求解.
【详解】（1）由题意可知：
故答案为：；
（2）如图所示，点C即为所求.
（3）设吉普车的速度为x千米/时，则越野车的速度为（2x+4）千米/时，B到C距离为千米，A到C的距离为千米，
由题意，得=（2x+4），
解得x=100，
2x+4=204，=30，
答：越野车为204千米/时、吉普车的速度为100千米/时，地到地的距离为30千米.
【点睛】此题考查了方位角和一元一次方程的实际应用.设出合适的未知数，找到等量关系列出方程是解答此题的关键.
3．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）
在向红星镇居民介绍王家庄位置的时候，我们可以这样说∶如图，在以红星镇为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向的平面直角坐标系（1单位长度表示的实际距离为）中，王家庄的坐标为；也可以说，王家庄在红星镇东北方向的地方．
还有一种方法广泛应用于航海、航空、气象、军事等领域．如右下图：在红星镇所建的雷达站O的雷达显示屏上，把周角每分成一份，正东方向为，相邻两圆之间的距离为1个单位长度（1单位长度表示的实际距离为），现发现2个目标，我们约定用表示点M在雷达显示器上的坐标，则：
（1）点N可表示为 ；王家庄位置可表示为 ；点N关于雷达站点0成中心对称的点P的坐标为 ；
（2）= ；
（3）若有一家大型超市A在图中的地方，请直接标出点A，并将超市A与雷达站O连接，现准备在雷达站周围建立便民服务店B，使得为底角的等腰三角形，请直接写出B点在雷达显示屏上的坐标．
【答案】(1) ，，
(2)
(3) 或或或或或
【分析】本题考查理解题意能力以及看图能力，关键是明白坐标的基本表示方法和借鉴之处．
（1）根据题意及图，即可解答．
（2）过点M作于点E， 由，，可根据勾股定理求出，即可解答．
（3）根据等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，即可解答．
【详解】解：（1）由图可得，点N可表示为；王家庄位置可表示为；点N关于雷达站点0成中心对称的点P的坐标为；
故答案为：；；；
（2）过点M作于点E，如图
有，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
（3）①将绕点O顺时针旋转，即可得点B，
②将绕点O逆时针旋转，即可得点B，
③作出的垂直平分线，分别与，线的交点即为B．
如图所示
在中，,,,
∵
∴
解得,
④将绕点A顺时针旋转，即可得点B，
⑤将绕点A逆时针旋转，即可得点B，
与③同理可求得,即.
∴或或或或或．
【典型例题四 求对称轴条数】
【例1】（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，图中雪花的对称轴条数是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】C
【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴．
【详解】解：依据轴对称图形的意义，沿着对称轴所在的直线对折，对折后的两部分能够完全重合，
雪花有6条对称轴．
故选C．
【例2】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）两个圆如图摆放，这个图的对称轴条数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴条数，因为圆的对称轴是过圆心的直线，所以图中的对称轴是过两个圆心的直线，
【详解】解：如图，对称轴是过两个圆心的直线，只有一条．
故选A．
【例3】（24-25七年级下·江西赣州·阶段检测）数学中有许多精美的曲线．如图，这是“三叶玫瑰线”，该图形有_______条对称轴．
【答案】3
【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握定义是关键．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可．
【详解】解：该图形有3条对称轴．
故答案为：3．
【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，由三个相同的等边三角形组成的轴对称图形上有一些虚线，其中是对称轴的有_______（填序号）．
【答案】②④⑥
【分析】本题考查的是确定轴对称图形的对称轴，根据轴对称图形的定义可得对称轴的位置即可得到答案.
【详解】解：由三个相同的等边三角形组成的轴对称图形上有一些虚线，其中是对称轴的有：②④⑥；
故答案为：②④⑥
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）平面上的两条相交直线是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？作图试试看．
【答案】直线与相交组成的图形是轴对称图形，对称轴为直线，，共两条对称轴
【详解】略
2．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图1，棋盘上已经摆放好了3个棋子，如图2所示，再添加一个棋子后，这4个棋子恰好构成一个轴对称图形，直线m为对称轴．
(1)请仿照图2，用新方法在图3的棋盘格点上添加1个棋子，使4个棋子构成一个轴对称图形，并画出对称轴
(2)这样的添加方法共有_______种（含图2方法）．
【答案】(1)图见解析
(2)4
【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键；
（1）直接利用轴对称图形的性质得出对称轴位置；
（2）直接利用轴对称图形的性质求解．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：这样的添加方法共有4种，如下图：
3．（24-25七年级上·山东青岛·期末）在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形，有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：
(1)非等边的等腰三角形有______条对称轴，非正方形的长方形有______条对称轴，等边三角形有______条对称轴；
(2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图和图都可以看作由图修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图和图中，分别修改图和图，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；
(3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；
(4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．
【答案】(1)1，2，3
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题主要考查了轴对称图形的设计，对称轴的条数，解题的关键是熟知轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合．
（1）根据对称轴的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴进行求解即可；
（2）仿照题意进行设计即可；
（3）仿照题意进行设计即可；
（4）仿照题意进行设计即可．
【详解】（1）解：非等边的等腰三角形有1条对称，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，
故答案为：1，2，3；
（2）解：恰好有1条对称轴的凸五边形，如图所示；
（3）解：恰好有2条对称轴的凸六边形，如图所示；
（4）解：恰好有3条对称轴的凸六边形，如图所示；
【典型例题五 镜面对称问题】
【例1】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段检测）一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（ ）
A．JM—G9329 B．JM—G6356
C．JM—C6326 D．JM—G6326
【答案】D
【分析】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字和字母．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称性质得出实际车牌号为JM—G6326，
故选：D．
【例2】（2025八年级上·全国·专题练面镜中电子钟示数为“”，实际时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称．
根据平面镜中的示数与实际时间左右对称，即可求解．
【详解】解：∵平面镜中电子钟示数为“”，与左右对称，
∴实际时间是“”，
故选：A．
【例3】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是______．

【答案】3265
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答．
【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265，
故答案为：3265．
【点睛】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．
【例4】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是_______．
【答案】B9365
【分析】根据抽对称的性质即可得出答案．
【详解】
根据镜面对称的性质，题中显示的图片中的数字“”成对称，则该汽车的号码为B9365．故答案为：B9365．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解决本题的关键．
1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？
【答案】120＋85＝205
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】由题意可知，该算式的实际情况是：120＋85＝205.
【点睛】本题考查了镜面对称，物体平行对着镜子时，镜中的成像改变了物体的左右位置，即关于一条竖直的直线对称，镜中的像与原像之间实际上只是进行了左右翻折.
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？

【答案】见解析
【分析】根据镜面对称的性质即可解答.
【详解】沿着镜面反射即可，如图所示．

【点睛】本题考查镜面对称，熟练掌握镜面对称的性质是解题关键.
3．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图所示是某一日小明从镜中看到的一串数字，请你说出实际上述数字是什么？
【答案】2006
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下颠倒，且关于镜面对称，分析可得答案．
【详解】图中所示是某一日小明从镜中看到的一串数字，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下颠倒，且关于镜面对称，即从左到右是2006，即实际上述数字是2006．
【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
【典型例题六 坐标与图形变化——轴对称】
【例1】（25-26八年级下·山西临汾·期中）点关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，利用规则直接求解即可．
【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为．
【例2】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）蝴蝶颜色绚丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于轴对称，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的性质，根据关于轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵点关于轴的对应点为，点的坐标为，
∴点的坐标为，
故选：．
【例3】（25-26八年级下·重庆·期中）点和点关于轴对称，则的值为______．
【答案】
【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律求出和的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵点和点关于轴对称，
∴根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得，，
∴．
【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC与关于x轴对称，则点A的对应点的坐标为______．
【答案】
【分析】点关于x轴对称的点坐标为．
【详解】解：∵点A坐标为，
∴点A的对应点的坐标为．
1．（25-26八年级上·四川成都·期末）的各顶点坐标分别为，，．
(1)在如图的网格中，画出坐标系；
(2)作关于轴对称的图形的(点、是对应点；点、是对应点)；
(3)在（2）的条件下，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)
【分析】本题考查了确定平面直角坐标系的绘制、关于轴对称的点的坐标特征以及在坐标系中的面积计算，关键是掌握关于轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的规律，同时能准确识别图形形状并运用梯形面积公式求解．
（1）根据各顶点的坐标，结合网格的单位格子，确定平面直角坐标系的坐标轴位置和单位长度，进而完成坐标系的绘制；
（2）先依据关于轴对称的点的坐标特征，求出点、的对称点、的坐标，再顺次连接、、，画出对应的；
（3）先根据对称点的坐标求出线段和的长度，结合图形特征判断出四边形为梯形，确定该梯形的上底、下底和高，最后代入梯形面积公式计算出四边形的面积．
【详解】（1）解：画出坐标系如图所示：
（2）解：如图，即为所求：
（3）解：由题意得，，，四边形是梯形，
∴．
2．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C均在格点上，直线l过且平行于y轴．
(1)点A的坐标为_________，点与点B关于x轴对称，则_________，_________．
(2)画出关于直线l的轴对称图形，并求出的面积．
(3)在直线l上找到一点P，使得周长最小，请画出点P的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)，，
(2)画图见详解，的面积
(3)见详解
【详解】（1）解：根据题意得：点A的坐标为；
点B的坐标为，
∵点与点B关于x轴对称，
∴，．
（2）解：如图即为所求，的面积．
（3）解：连接交直线l于点，连接，此时的周长，此时周长最小．
3．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
(1)请以轴为对称轴，画出与对称的；
(2)点与点关于轴对称，求的值；
(3)如果要使与全等，那么不同于点的格点的坐标是_________．
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)或或
【分析】本题主要考查了轴对称图形的绘制、关于坐标轴对称的点的坐标特征以及全等三角形的性质；
（1）根据关于轴对称的点的坐标特征来画出对称图形；
（2）利用关于轴对称的点的坐标关系求出、的值；
（3）依据全等三角形对应边相等的性质找出满足条件的点的坐标．
【详解】（1）解：如图所示
（2）解：∵点的坐标为，
又∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：要使与全等，
则或或，
如图，根据格点的特点，找到三个符合条件的点，
∴使与全等，那么不同于点的格点的坐标是或或，
故答案为：或或．
【典型例题七 坐标系中的对称】
【例1】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，与点关于轴对称的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了关于x轴对称的点的特征，理解题意是解决本题的关键．关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可．
【详解】解：∵点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标取相反数，
∴点关于x轴对称的点的横坐标为2，纵坐标为，
∴对称点为，
故选：A．
【例2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知关于轴的对称点为，则的值是（　　）
A．5 B． C． D．1
【答案】B
【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值．
【详解】解：点关于轴的对称点为，
，，
，
故选：B．
【例3】（2026·山东枣庄·一模）平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是______．
【答案】
【分析】需先明确关于x轴对称的点的坐标特征，再根据该特征计算点P的对称点坐标．
【详解】在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点，其横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点关于x轴的对称点为，
∴点关于x轴对称点坐标为．
【例4】（25-26八年级下·北京·期中）我们规定：若在平面内，一个图形从点A出发沿着水平竖直水平（或者竖直水平竖直）方向平移到点B的位置，则称连接点A、B的这条折线为“孙氏二级折线”（如图1）．数学组准备编写一个“连连看”游戏参加科技节展示活动，同学们将游戏页面中的全等形按规则连线并消掉，消掉全等形多者为胜．其中一项规则是：如果两个全等形被“孙氏二级折线”连接（如图2），那么这两个图形就可以消掉．但编写“孙氏二级折线”的程序遇到算法问题，这时聪明的小孙想出一种方法：建立平面直角坐标系（如图3），先作点A关于轴的对称点，然后作点关于轴的对称点，便可得到点与点的坐标关系．老朱夸奖小孙巧妙地利用数形结合的数学思想解决了问题，并把这种对称命名为“孙氏原点对称”．例如已知点，经过“孙氏原点对称”后得到点的坐标就是．若点坐标为，点经过“孙氏原点对称”得到的对应点坐标为_____．小孙又对问题进行深入研究：若仍然先将点关于轴对称，再关于平行于轴的直线作对称，这样对于游戏中各种类似情况都可以解决了！老朱对小孙的想法赞不绝口，把这种点的对称关系命名为“孙氏超级对称”．若点与“孙氏超级对称”，则_____．
【答案】 3.5
【详解】解：经过“孙氏原点对称”得到的对应点坐标为；
关于轴对称得；
关于平行于轴的直线对称得，
根据关于水平直线对称的性质：对称点的纵坐标中点在对称轴上，即．
1．（25-26八年级上·陕西西安·周测）平面直角坐标系内，已知点，点，点是点关于的对称点．
(1)求点的坐标；
(2)若点在轴上，过点作直线轴，点关于直线的对称点是点，那么当的面积等于24时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】本题主要考查了坐标与图形，对称变换，解题的关键是掌握对称的定义和性质．
（1）设，根据点C是点A关于的对称点，利用对称的性质即可求解；
（2）设，利用对称的性质求出，得到，再根据且，可得，即可得到答案．
【详解】（1）解：设，
根据题意，得，
解得，
则；
（2）解：设，
∵点关于直线的对称点是点，，过点作直线轴，
∴，
∴，
∵且，
∴，即，
解得或，
∴点的坐标为或．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中有四个格点（网格线交点）A，B，C，D．以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称．
(1)请在网格中建立平面直角坐标系．
(2)①原点是格点________；
②格点A，B，C，D中，关于坐标轴对称的两点是________．
(3)若格点A到x轴的距离为2，则格点D关于y轴对称的点的坐标为________．
【答案】(1)
(2)①B ②A和C
(3)
【分析】本题主要考查的是坐标与图形的性质，依据轴对称图形的性质和等腰直角三角形的性质确定出原点的位置和点的位置是解题的关键．
（1）以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案；
（2）①由（1）可得原点是格点；②由（1）可得点和点关于轴对称；
（3）根据格点到轴的距离为，得到格点的坐标，即可求出格点关于轴对称的点的坐标．
【详解】（1）解：当以点为原点时，设每个小正方形的边长均为时，则，，那么点和点关于轴对称，如图所示：
（2）解：①由（1）可得原点是格点；
②由（1）可得点和点关于轴对称，所以关于坐标轴对称的两点是点和点；
故答案为：① ②和．
（3）解：若格点到轴的距离为，那么每个小正方形的边长均为，
则格点的坐标为：，格点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题：
(1)将A，B，C三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为D，E，F；在平面直角坐标系中画出；
(2)在平面直角坐标系中画出关于y轴对称的（其中点D，E，F的对称点分别为点M，N，P）；
(3)在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点G在线段上的对应点的坐标为________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了轴对称变换，画轴对称图形，解题的关键是熟练掌握关于x轴对称和y轴对称的点的坐标特征．
（1）将，，三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则点，，的坐标分别为：，，，在平面直角坐标系中画出即可；
（2）先作出点，，关于y轴的对称点分别为点，，，然后顺次连接即可；
（3）根据关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行解答即可．
【详解】（1）解：为所求作的三角形，如图所示：
；
（2）解：如图，为所求作的三角形；
；
（3）解：∵与关于y轴对称，
∴点在线段上的对应点的坐标为．
【典型例题八 坐标系中的动点问题（不含函数）】
【例1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）已知点，点P为直线上一点，且，则点P的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意，建立绝对值方程并求解，得到两个符合条件的解．
本题考查了坐标与线段，绝对值方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：设，则点P一定在点A的下方，故，，根据题意，
得或，
解得或，
故点P的坐标为或，
故选：C．
【例2】（24-25七年级下·天津北辰·期中）如图，在平面直角坐标系中，，一动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿循环运动，则第100秒点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形，数形结合是正确解答此题的关键．
根据点的坐标得到，，则四边形的周长为，再求出点P运动100秒所走的路程为200个单位长度，,则点P相当于运动了14圈后又运动4个单位长度，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴四边形的周长为，
∵点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环运动，
∴点P运动100秒所走的路程为个单位长度，，
∴点P相当于运动14圈后又运动4个单位长度，即第100秒点所在的位置是，
故选：A．
【例3】（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点，经过点A的直线轴．若为直线上的一个动点，则当线段的长度最小时，点的坐标为_______．
【答案】
【分析】根据题意画出图形，由垂线段最短可知时最短．
【详解】解：如图，根据垂线段最短可知，时最短．
，轴，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是熟练掌握垂线段最短．
【例4】（24-25七年级下·湖北黄石·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________．
【答案】或
【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解．
【详解】解：设的边上的高为，
长方形的长为，宽为，
，
的面积等于四边形面积的，
，
即，
解得，
动点从点出发沿运动，
点的坐标为或
故答案为或
1．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，连接、，．
(1)直接写出点A、点B的坐标；
(2)动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻，若存在，请求出时间t，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)秒或秒，理由见解析
【分析】（）根据，，求出的长即可得点、点的坐标；
（2）先求出，即有，分点在和上两种情况，分别用表示出的长，利用面积法求出中边的高，根据列方程求出，即可得答案．
本题考查坐标与图形、几何图形的动点问题及三角形面积的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，
∴，；
（2）解：如图，当时，点在上，过点作于，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵从点出发，以每秒个单位的速度沿的方向运动，
∴，
∴，
解得；
如图，当时，点在线段上，
则，
∴，
解得，
综上，的值为秒或秒．
2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点在x轴负半轴上，点在x轴正半轴上，点C在y轴负半轴上，，且m，n满足．设直线经过点且直线轴．
(1)求A，B两点坐标．
(2)若点P是射线上异于点D的一个动点，设点P的纵坐标为t，用含t的式子表示的面积S．
(3)在（2）的条件下，点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，当的面积等于的面积的2倍时，求点P运动的时间．
【答案】(1)，
(2)
(3)点P运动的时间为9秒
【分析】（1）根据非负性求解即可；
（2）作轴，连接，根据求解即可；
（3）先求出，根据求出t，即可得解．
【详解】（1）解：，，，
∴，，
∴，，
∴，．
∴，．
（2）解：作轴，连接，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵直线经过点且直线轴，
∴．
．
∵P是射线上异于点D的一个动点，点P的纵坐标为t，．
∴，．
∴，，
．
（3）∵，，
∴，
，
∵，
，
，
，
∴点P运动的时间为9秒．
3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【阅读材料】“辅助线法”是常见的一种构造全等的方法，如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，你能在图中构造全等吗？小胖在图1中做了全等的构造，你能在图2中按此方法构造全等吗？请补全图形．
【解决问题】如图3，在平面直角坐标系中，，，以A为旋转中心将线段顺时针旋转形成线段．求出点C坐标及的面积；
【拓展延伸】如图4，点为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰直角三角形，过D作轴于点E，求的长（用含m的式子表示）？
【答案】【阅读材料】能，图见详解；【解决问题】，；【拓展延伸】
【分析】本题主要考查了坐标与图形及三角形全等的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．
[阅读材料]结合图形，作于，作于，即可求解；
[解决问题] 作轴于，证明，得，进而可得，；
[拓展延伸] 作轴于，证明，得，结合线段的和差关系即可求解．
【详解】解：
[阅读材料]能，作于，作于，如图，
，
，
，
，
；
[解决问题]
作轴于，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
；
；
[拓展延伸]
作轴于，
，
，
，
在和中，
，
，
，
轴， 轴，
，
轴，
，
点为y轴负半轴上一动点，
，
．
1．（24-25七年级下·广西贵港·期末）下列轴对称图形中，对称轴条数最少的图形是(　　)
A．B．C． D．
【答案】C
【详解】A图形有4条对称轴，
B图形有无数条对称轴，
C图形有2条对称轴，
D图形有6条对称轴，
∴对称轴最少的是C，
故选：C．
2．（24-25七年级下·全国·单元测试）确定一个地点的位置，下列说法正确的是（ ）
A．偏东30°，1000米 B．西北方向
C．距此500米 D．正南方向，距此600米
【答案】D
【分析】根据地点的位置确定应该有方向角以及相对距离据此回答．
【详解】解：根据地点确定的方法得出：只有由此向南600m可以确定一个地点的位置，其它选项都不准确．
故选D．
【点睛】本题考查坐标确定位置，解题关键是根据已知得出一个地点确定需要两个元素得出．
3．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图是2026年米兰一科尔蒂纳冬奥会的吉祥物蒂娜（），建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点的坐标和点的坐标建立直角坐标系，即可得到答案．
【详解】解：根据点的坐标和点的坐标建立直角坐标系，
则点的坐标是．
4．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意可得，再将动点分成在左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解．
【详解】解：∵，的面积为，
∴，即，
解得：，
当点在左侧时，，
当点在右侧时，，
∵动点在轴上，
∴，
综上可得点坐标为或，
故选：C．
5．（2025·海南海口·模拟预测）如图，与关于y轴对称．如果中的任意一点M的坐标为，它的对应点N的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此即可得出答案．
【详解】解：与关于y轴对称，M的坐标为，
点N的坐标是．
6．（24-25六年级上·河南商丘·期中）圆是轴对称图形，它有_____条对称轴，每条对称轴都是这个圆的_____所在的直线．
【答案】 无数 直径
【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义即可得．
【详解】解：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，每条对称轴都是这个圆的直径所在的直线．
故答案为：无数；直径．
7．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________．
【答案】3时35分
【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的性质是解题的关键.
大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称，图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反，据此作答即可.
【详解】解：∵大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称， 如图，
图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反，
∴实际时间是，即3时35分.
故答案为：3时35分.
8．（24-25七年级下·山东济宁·期中）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用表示，“炮”所在的位置用表示，那么“帅”所在的位置可表示为______．

【答案】
【分析】根据已知点的坐标建立平面直角坐标系，观察坐标系可得答案．
【详解】解：如图所示，取象棋棋盘中的正方形边长为1个单位长度，建立坐标系，

“帅”所在的位置可表示为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了根据位置确定坐标，解题关键是根据已知点的坐标建立平面直角坐标系．
9．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B．C．D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负、如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中(______，______)，(______，______)，______(，______)；
（2）若图中另有两个格点M．N，且，，则应记为______．
【答案】
【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负分别写出各点的坐标即可；
（2）根据已知条件，可知，，从而得到点向右走个格点，向上走个格点到点，反过来即可得到答案．
【详解】解：（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负
∴记为，记为，记为；
（2）∵，
∴，
∴点向右走个格点，向上走个格点到点
∴应记为．
故答案是：（1），，，，，；（2）
【点睛】本题考查了利用坐标确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示．
10．（25-26八年级上·广东深圳·期中）平面镜成像的本质是轴对称，镜面为对称轴，像与物关于镜面所在的直线成轴对称．如图是人眼看到烛焰在平面镜中成的像，若以桌面所在直线为x轴，以镜面所在直线为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某一时刻烛焰S的坐标为，虚像对应点的坐标为，则的值为__________．
【答案】5
【分析】本题考查了轴对称的性质以及平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是利用像与物关于轴对称，得出对应点的横、纵坐标关系．
【详解】解：∵ 像与物关于轴对称，烛焰的坐标为，虚像的坐标为，
∴ ，，
∴ ．
故答案为：．
11．（25-26七年级下·重庆永川·期中）小明从A处出发向北偏东走了，到达B处；小刚也从A处出发、向南偏东走了，到达C处．
(1)用表示，画图表示A、B、C三处的位置；
(2)用表示方向的角和距离表示A处相对于C处的位置；
(3)在图上量出B处和C处之间的距离、求出小明和小刚两人实际相距多少米．
【答案】(1)见解析
(2)A在C处北偏西方向，距离
(3)50米
【分析】（1）根据比例画图即可；
（2）根据方位角的表示方法求解即可；
（3）由图上测得距离约为，根据表示求解即可．
【详解】（1）解：如图，点A、B、C即为所求；
（2）解：∵小刚从A处出发、向南偏东走了，到达C处
∴A在C处北偏西方向，距离；
（3）解：由图上测得距离约为，
∵图上表示，
∴实际BC．
答：B、C实际相距约50米．
12．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知点A和点B的坐标分别为和．
(1)在图中建立适当的平面直角坐标系；
(2)点C的坐标为______，点C关于x轴的对称点的坐标为______．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立、点的坐标确定以及关于x轴对称点的坐标规律，解题的关键是根据已知点的坐标确定坐标系的原点、x轴和y轴的位置，并掌握关于x轴对称点的坐标变化规律．
（1） 根据点和点的坐标，确定坐标原点及坐标轴的位置，建立平面直角坐标系；
（2） 在建立好的坐标系中，读出点C的坐标；根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”的规律，求出点C关于x轴的对称点的坐标．
【详解】（1）解：以点A向左2个单位、向上4个单位的交点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系．
（2）解：在建立的坐标系中，可得点C的坐标为．
∵ 点关于x轴的对称点为，
∴ 点关于x轴的对称点的坐标为．
故答案为：．
13．（2025八年级上·江苏·专题练习）认真观察图甲，其中每个小正方形的边长都是1．
(1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，请说明理由．
②图甲中阴影部分的面积是多少？
(2)请在图乙中设计出至少有两条对称轴且面积与图甲中阴影部分面积相等的一个轴对称图形．
【答案】(1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形，有4条对称轴；②4
(2)见解析
【分析】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，同时考查了学生的动手实践能力和逻辑思维能力．
（1）观察图形即可得出答案．
（2）根据轴对称图形的定义及特点即可设计出满足条件的图形．
【详解】（1）解：①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形，有4条对称轴．
②∵每个小正方形的边长都是1，
∴图甲中阴影部分的面积．
（2）所设计图形如下所示：（答案不唯一）
14．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，正方形网格中，建立平面直角坐标系，是格点三角形（顶点都在格点上的三角形）．
(1)画出关于轴对称的：
(2)若点为边上一点，请直接写出点经过（1）中的一次图形变换后的对应点的坐标________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了画轴对称图形，关于轴对称的坐标特征；
（1）分别作出点、、关于轴对称的点，顺次连接即可；
（2） 根据轴对称的规律写出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）点关于轴对称的点为点，
15．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动．
(1)点的坐标为___________；当点移动5秒时，点的坐标为___________．
(2)在移动过程中，当点移动11秒时，求的面积．
(3)在（2）的条件下，轴上是否存在点，使与的面积相等．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)12
(3)存在，或
【分析】（）根据非负数的性质可求出的值，进而根据长方形的性质可得出点的坐标，点P移动5秒时，移动的路程为，可得点在线段上，且距离点为个单位，即可写出点P坐标；
（）由题意可得，即得，再根据三角形面积公式计算即可求解；
（）设，再根据三角形面积公式列出方程解答即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵四边形是长方形，
∴轴，轴，
∴，
∵点P移动5秒时，移动的路程为，
而，
∴点在线段上，且距离点为个单位，
∴；
（2）解：如图，
当点移动秒时，移动的路程为，
∵，，
此时点P在线段上，
∴此时距离点为个单位，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在，如图：
∵点在轴上时 ，设，则，
∵的面积与的面积相等，
∴，
解得，
∴或．
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