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第01讲 勾股定理（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 常用勾股数熟记计算
典型例题二 已知直角三角形两边求第三边
典型例题三 勾股逆定理（判断直角三角形）
典型例题四 勾股定理简单面积题
典型例题五 勾股定理与网格问题
典型例题六 勾股定理与折叠问题
典型例题七 利用勾股定理证明线段平方关系
典型例题八 勾股定理的证明方法
典型例题九 以弦图为背景的计算题
典型例题十 用勾股定理构造图形解决问题
知识点01：勾股数
1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数.
2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方.
3.勾股数组的特点
（1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）；
（2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）.
4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下：
①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15……
5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）下列各组数中，属于勾股数的是（ ）
A．5，7，10 B．5，12，13 C．，， D．，6，
2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为________．
知识点02：勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.
勾股定理的变式：.
1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中；
2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·广西南宁·期中）一个直角三角形的一条直角边长是3，斜边长是5，则另一条直角边长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，则的值为______．
知识点03：勾股定理的证明
1.证法一
如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.
由图示可得，即；
2.证法二
如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形.
由图示可得，即；
3.证法三
如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形.
由图示可得，即.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·山西阳泉·阶段检测）勾股定理在我国有着悠久的历史．三国时期的数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理．后人通常把如图所示的“勾股圆方图”称为“赵爽弦图”．赵爽利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理所运用的数学思想是（ ）
A．数形结合 B．方程思想 C．转化思想 D．统计思想
2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）在一次数学实践活动中，宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，大正方形边长为．请你写出之间的关系式是______．（化到最简）
【典型例题一 常用勾股数熟记计算】
【例1】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）下列各组数中，是勾股数的是（）
A． B．5，12，13 C．0.6，0.8，1 D．1，2，3
【例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列几个数中，能与3、4组成勾股数的是（ ）
A． B．1 C．7 D．5
【例3】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为________．
【例4】（24-25七年级上·山东济宁·期中）下面各组a、b、c，是勾股数的是___________．（填序号）
（1），，
（2），，
（3），，
（4），，
1．（25-26八年级下·广东中山·期中）阅读理解并解答问题
如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数．
(1)请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数；
(2)如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数．
2．（25-26八年级下·江西赣州·期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等．
(1)请你写出另外两组勾股数：6，___________，___________；7，___________，___________；
(2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：
（Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么是一组勾股数
（Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么是一组勾股数
在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）（Ⅱ），求出符合要求的所有勾股数；
3．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）综合与实践
一个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形．（这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”）
探究活动
（1）如图1，中间围成的小正方形的边长为__________（用含有a，b的代数式表示）；根据大正方形的面积表示可以得出，，的一个等式：__________，并给出证明过程；
【证明】
初步运用
（2）利用上述的结论完成下列问题：
①直角三角形两边长分别是6，8，则第三边的平方为__________；
②如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的边长是__________．
【典型例题二 已知直角三角形两边求第三边】
【例1】（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（ ）
A．27 B．24 C．21 D．15
【例2】（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，在中，已知，以为直角边向外作，分别以为直径向外作半圆，面积分别记为．已知，则的大小是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3】 （25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）的两条直角边为a，b，斜边为c，若，则的面积为__________．
【例4】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，两个较小正方形的面积分别为4，10，则字母A所代表的正方形的边长是____．
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，以、两条边为边分别向外作正方形、，已知正方形的面积比正方形的面积多．求的长．
2．（24-25八年级上·江西九江·阶段检测）如图，以各边长为直径的三个半圆围成两个新月形（阴影部分），已知，，．
(1)求的长．
(2)计算新月形（阴影部分）的面积和．
3．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：
(1)的长；
(2)四边形的面积．
【典型例题三 勾股逆定理（判断直角三角形）】
【例1】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，3，5 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，10
【例3】（24-25八年级下·全国·暑假作业）若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为______三角形．
【例4】 （24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，为的边上一点，已知 ，，，，则的长为________．

1．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，已知在四边形中，，．求出四边形的面积．
2．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）如图，在中，为边上一点，连接，过点作交的延长线于点，已知．求证：为直角三角形．
3．（25-26七年级上·山东东营·期中）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．
【典型例题四 勾股定理简单面积题】【例1】（24-25七年级上·山东东营·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（ ）
A．25 B．36 C．49 D．64
【例2】（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例3】 （24-25八年级上·福建宁德·期中）在中，，则的面积是______．
【例4】（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）如图，，正方形和正方形的面积分别是169和144，则以为直径的半圆的面积是___________．
1．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积.此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．
(1)如图，若的三边长依次为，，．请利用以上公式（任选一个），求该三角形的面积；
(2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积．
2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整．
证明：添加辅助线，如图，整个图形的面积有两种表示方法：方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________；方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________；根据面积相等，得到等式________，化简这个等式，得________，从而证明了勾股定理．
3．（24-25八年级下·广西南宁·期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．

(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，结论①；图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：　 　，结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：　 　，结论③；
(2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式　 　；结合结论②和结论③，可以得到一个等式　 　；
(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作，且，求的值．
(4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边，，斜边，求图中阴影部分面积和．
【典型例题五 勾股定理与网格问题】
【例1】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，若“车”“炮”两枚棋子均放置在格点上，则这两枚棋子所在格点之间的距离为（ ）
A．3 B． C． D．
【例2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（ ）

A． B． C． D．
【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，这是边长为1的的正方形网格，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边上的高是__________．
【例4】（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为_____．
1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）图1、图2、图3、图4均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，任意连接这些小正方形的顶点，可得到一些线段．请分别在图1、图2、图3、图4中画出线段、、、，使、、、．
2．（25-26八年级下·河南漯河·期中）定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形．
(1)如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是________；
(2)如图2，在方格纸中，两点在格点上，请画出一个符合条件的对直四边形，且点都在格点上．
3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．
操作发现：小颖在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，她借助此图求出了的面积．
(1)在图1中，小颖所画的的三边长分别是______，______，______；的面积为______．
解决问题：
(2)已知中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并直接写出的面积．
【典型例题六 勾股定理与折叠问题】
【例1】（24-25八年级下·湖北黄石·阶段检测）已知，如图长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级下·山西大同·阶段检测）在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．1.6
【例3】（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E．若，，则的面积为___________．

【例4】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折得到，交于点G，连接交于点F，若，，，的面积为，则的长是__________．
1．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在长方形中，，，点在边上，将长方形沿折叠，点恰好落在边上的点处，求的长．
2．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践
(1)如图1，在中，，，．
①求的长；
②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长．
(2)如图2，在中，是边上的高，求的长．
3．（25-26七年级上·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c，三者之间的数量关系是．
(1)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，试说明：．
(2)如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长．
【典型例题七 利用勾股定理证明线段平方关系】
【例1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为，若，则（ ）
A．184 B．86 C．119 D．81
【例2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于( )
A．7 B．9 C．16 D．25
【例3】（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据奇异三角形的定义，请你判断：若某三角形的三边长分别为1、2、，则该三角形________（填“是”或者“不是”）奇异三角形．
【例4】（24-25八年级上·四川成都·期中）定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____．
1．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，．
(1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由：
(2)若，．求的长．
2．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究：
(1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”）
（ii）若，则___________；（填“”“”或“”）
(2)任选上述中的一个猜想证明其正确性．
3．（25-26八年级上·福建福州·期末）（1）【阅读材料】
如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________；
（2）【类比探究】
如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系．
（3）【应用结论】
如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证．
【典型例题八 勾股定理的证明方法】
【例1】（24-25八年级下·广东云浮·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想．下列选项中的图形，不能证明勾股定理得是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级上·河北邢台·期末）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．两人都对 D．两人都不对
【例3】（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么_______．

【例4】（24-25八年级下·天津东丽·期末）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是______．

1．（25-26八年级下·山东济宁·期中）图1和图2都是用四个直角边长分别为a和b，斜边长为c的直角三角形围成的正方形，请在图1或图2中任选一个，结合图形利用等面积法证明勾股定理．
2．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种．
(1)请用图1证明勾股定理；
(2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
3．（2026·安徽芜湖·二模）【阅读】
数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想．
(1)【理解】
如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理；
(2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：___________；
(3)【运用】
n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当，时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以．
①当，时，如图4，___________；当，___________时，；
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得___________（用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
【典型例题九 以弦图为背景的计算题】
【例1】（24-25八年级下·黑龙江伊春·阶段检测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为48，则小正方形的面积为（ ）
A．8 B．16 C．2 D．27
【例2】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，若，则正方形的边长是（ ）
A． B．2 C． D．
【例3】（24-25八年级下·福建莆田·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是______；
【例4】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为________．
1．（24-25八年级下·河北沧州·阶段检测）（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理；
（2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积．
2．（24-25八年级下·广西南宁·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．
方法1：______；
方法2：______；
根据以上信息，可以得到等式：______；
(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积．
3．（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题：
(1)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是多少？
(2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？
(3)图（1）“赵爽弦图”中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围（实线）周长．
【典型例题十 用勾股定理构造图形解决问题】
【例1】（24-25八年级下·陕西商洛·期中）如图，一文物C（看作一点）被探明位于地面A点垂直往下36米处，由于A点下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离A点15米的B处斜着挖掘，已知障碍物不在线段BC上，则要取出文物C至少要挖（ ）

A．39米 B．米 C．42米 D．51米
【例2】（2025·湖北十堰·模拟预测）小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是1m，1m，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是（　　）

A．2.6m B．2.4m C．2.2m D．2m
【例3】（24-25八年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，此时绳子末端距离地面，则绳子的总长度为______．
【例4】（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是时，有人为了抄近道而避开路的拐角，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路.某学习实践小组通过测量可知，的长约为6米，的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行______米．
1．（24-25八年级上·河南平顶山·阶段检测）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题： “问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？ ”问题大意：如图，在中， 里，里，里， 求 的面积． 请你解决该问题．
2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图1所示，人只要移至该门口及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，如图2所示．求此时该学生头顶C到门铃A的距离．
3．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某校数学课外活动小组用一张长为5，宽为4的长方形纸片（如图1）进行探究活动．
(1)动手操作：如图2，妙妙沿虚线裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，并按图3拼成与原纸片面积相等的正方形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余），根据妙妙的拼接过程，求线段的长．
(2)深入探究：多多说：“将图1的纸片沿着的中点剪成四块，也可以拼成正方形．”请根据多多的说法设计一种方案．在图4上画出裁剪线，并直接写出各裁剪线的长．
1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）下列以为三边长的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知直角三角形的三条边分别为，，其中为斜边，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形中，．则四边形的面积是（ ）
A．72 B．66 C．42 D．36
4．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，分别以的两条直角边为边作正方形，面积分别记为．若 ，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级下·山东济宁·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若”生长”了2026次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．
6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是的三边长，若，则的形状是________．
7．（25-26八年级下·天津和平·期中）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为____．
8．（25-26八年级下·湖北十堰·期中）如图，一张三角形纸片，，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与点B重合，则的长是______．
9．（2026·江苏徐州·二模）“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第7个图形里的正方形比第5个图形多_______个．
10．（2026九年级·吉林·专题练习）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”其大意为：有一架秋千（如图），当它静止时，踏板离地距离为1尺．将它往前水平推送10尺（尺），则秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高……若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索的长为尺，则可列方程为_________________．
11．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
12．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）张大爷要修建一个如图所示的蔬菜大棚，大棚的横截面是直角三角形，棚宽米，高米，长米，求覆盖在棚顶的塑料薄膜至少需要多少平方米？
13．（25-26七年级上·江苏·期末）如图．在正方形网格中，每个小方格的边长都为单位1，点在正方形网格的格点上．请按下述要求画图并回答问题：
(1)确定一个格点，画直线，使得垂直；
(2)画射线，则与所在直线的位置关系是：__________；（填“平行”或“相交”）；
(3)画线段，则四边形的面积是__________．
14．（2026·浙江温州·二模）如图1是一个底面为直角三角形的直三棱柱包装盒，，其表面展开图如图2所示．
(1)根据表面展开图填写实物尺寸：侧棱_______，底面斜边_______．
(2)求直三棱柱的全面积．
15．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积．
【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为．
(1)由此得到等式________；
(2)【探索研究】数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为、，斜边长为，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边、、的等式，整理后发现，，请说明此等式成立；
【推广应用】数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边、，斜边都存在的等量关系，利用此发现，解决下面问题：
(3)如图3，是直角三角形，，大于，将绕点顺时针旋转得点的对应点为，点的对应点为，连接，若，，，，的面积为10，求的面积．
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第01讲 勾股定理（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 常用勾股数熟记计算
典型例题二 已知直角三角形两边求第三边
典型例题三 勾股逆定理（判断直角三角形）
典型例题四 勾股定理简单面积题
典型例题五 勾股定理与网格问题
典型例题六 勾股定理与折叠问题
典型例题七 利用勾股定理证明线段平方关系
典型例题八 勾股定理的证明方法
典型例题九 以弦图为背景的计算题
典型例题十 用勾股定理构造图形解决问题
知识点01：勾股数
1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数.
2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方.
3.勾股数组的特点
（1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）；
（2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）.
4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下：
①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15……
5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）下列各组数中，属于勾股数的是（ ）
A．5，7，10 B．5，12，13 C．，， D．，6，
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义进行判断即可．
【详解】解：A、，故选项A不符合题意；
B、，且都是正整数，故选项B符合题意；
C、都不是正整数，故选项C不符合题意；
D、都不是正整数，故选项D不符合题意；
故选：B．
2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为________．
【答案】6
【分析】本题考查了以勾股定理为背景的计算，掌握正方形面积的计算，勾股定理的计算是解题的关键．
根据题意可得，由此即可求解．
【详解】解：所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，
∴，，
∴，
故答案为：6 ．
知识点02：勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.
勾股定理的变式：.
1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中；
2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·广西南宁·期中）一个直角三角形的一条直角边长是3，斜边长是5，则另一条直角边长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，已知一条直角边和斜边长，可直接利用勾股定理计算另一条直角边的长度．
【详解】解：设另一条直角边长为，，
∵直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，已知一条直角边长为，斜边长为，
∴，
整理得 ，
∵，
∴．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，则的值为______．
【答案】8
【分析】本题考查勾股定理．利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵，，
由勾股定理得
∴．
知识点03：勾股定理的证明
1.证法一
如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.
由图示可得，即；
2.证法二
如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形.
由图示可得，即；
3.证法三
如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形.
由图示可得，即.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·山西阳泉·阶段检测）勾股定理在我国有着悠久的历史．三国时期的数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理．后人通常把如图所示的“勾股圆方图”称为“赵爽弦图”．赵爽利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理所运用的数学思想是（ ）
A．数形结合 B．方程思想 C．转化思想 D．统计思想
【答案】A
【详解】解：赵爽弦图是通过几何图形的面积关系来推导代数的勾股定理公式，
把数和形结合起来，这种思想是数形结合思想．
2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）在一次数学实践活动中，宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，大正方形边长为．请你写出之间的关系式是______．（化到最简）
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算与图形面积的计算，掌握整式的混合运算是关键．
根据题意，分别算出大正方形的面积为，4个直角三角形的面积为，小正方形的面积为，由4个直角三角形的面积与小正方形的面积的和为大正方形的面积，列式求解即可．
【详解】解：根据题意及图示可得，大正方形的边长为，即直角三角形斜边长，
∴大正方形的面积为，
三角形的直角边长分别为，
∴4个直角三角形的面积为，
小正方形的边长为，
∴小正方形的面积为，
∵4个直角三角形的面积与小正方形的面积的和为大正方形的面积，
∴，即，
故答案为： ．
【典型例题一 常用勾股数熟记计算】
【例1】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）下列各组数中，是勾股数的是（）
A． B．5，12，13 C．0.6，0.8，1 D．1，2，3
【答案】B
【分析】根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方进行分析判断即可．
【详解】解：A．，
∵，
∴
不是勾股数；
B．∵，且5，12，13都是正整数，
∴5，12，13是勾股数；
C．∵0.6，0.8，1不都是正整数，
∴0.6，0.8，1不是勾股数；
D．，
∴1，2，3不能构成三角形，
∴1，2，3不是勾股数．
【例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列几个数中，能与3、4组成勾股数的是（ ）
A． B．1 C．7 D．5
【答案】D
【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数是满足勾股定理的三个正整数，即两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一分析选项即可．
【详解】解：∵勾股数是正整数，且满足两数平方和等于第三数的平方，
∴先排除选项A（不是整数），
对于选项B：，不满足勾股定理，排除，
对于选项C：，不满足勾股定理，排除，
对于选项D：，且3、4、5均为正整数，符合勾股数定义，
∴能与3、4组成勾股数的是5，
故选：D．
【例3】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为________．
【答案】12
【分析】本题考查了勾股数．勾股数是正整数且满足较大的数的平方等于较小的两个数的平方和，理解题意，先分情况讨论m是斜边或13是斜边，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：依题意，当m为斜边时，由勾股定理得，
即，
解得，不是正整数，舍去；
当13为斜边时，由勾股定理得，
即，
∴，
解得（负值已舍去），
故答案为：12．
【例4】（24-25七年级上·山东济宁·期中）下面各组a、b、c，是勾股数的是___________．（填序号）
（1），，
（2），，
（3），，
（4），，
【答案】（1）（2）
【分析】此题考查的知识点是勾股数．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形，据此逐项判定即可．
【详解】解：（1），能构成勾股数，故符合题意；
（2），能构成勾股数，故符合题意；
（3），不能构成勾股数，故不符合题意．
（4），，均不是整数，故不符合题意；
故答案为：（1）（2）．
1．（25-26八年级下·广东中山·期中）阅读理解并解答问题
如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数．
(1)请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数；
(2)如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用勾股数的定义去验证即可；
（2）得到即可得到这是一组勾股数．
【详解】（1）解：∵都是正整数，
且，，
∴，
∴是一组勾股数；
（2）解：∵表示大于1的整数，
∴，，都是正整数，
∵，，
∴，
∴、、是一组勾股数．
2．（25-26八年级下·江西赣州·期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等．
(1)请你写出另外两组勾股数：6，___________，___________；7，___________，___________；
(2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：
（Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么是一组勾股数
（Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么是一组勾股数
在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）（Ⅱ），求出符合要求的所有勾股数；
【答案】(1)8，10；24，25
(2)勾股数为5、12、13或12、35、37
【分析】（1）根据勾股数的定义解决此题．
（2）①根据题干中法则（Ⅰ）解决此题．
②根据题干给出的法则（Ⅰ）和（Ⅱ）进行分类讨论求解．
【详解】（1）解：依题意，6，8，10；7，24，25；
（2）解：根据法则（Ⅰ），∵是大于1的奇数，
∴，
则或．
或（不是奇数，舍去）．
．
．
勾股数为5、12、13．
根据法则（Ⅱ），
则或或，
或（舍去）或（舍去）．
则，，
勾股数为12、35、37．
综上所述，勾股数为5、12、13或12、35、37．
3．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）综合与实践
一个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形．（这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”）
探究活动
（1）如图1，中间围成的小正方形的边长为__________（用含有a，b的代数式表示）；根据大正方形的面积表示可以得出，，的一个等式：__________，并给出证明过程；
【证明】
初步运用
（2）利用上述的结论完成下列问题：
①直角三角形两边长分别是6，8，则第三边的平方为__________；
②如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的边长是__________．
【答案】（1）；；（2）①或；②正方形E的边长为；
【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的证明方法，因为勾股定理涉及到各边的平方，而边长的平方正是正方形的面积，所以勾股定理与正方形的面积密切相关，理解勾股定理与正方形或其它图形的关系，对后面的解题非常重要．
（1）小正方形的边长为较长的直角边减去较短的直角边；再利用等面积法推导即可；
（2）①分两种情况讨论：①当6，8为直角边时，当8为斜边时，再计算即可；②直接利用勾股定理推导即可．
【详解】解：（1）中间围成的小正方形的边长为较长的直角边减去较短的直角边，即，
∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积＋中间的小正方形的面积，
可表示为：
正方形的面积还可以表示为：
∴，化简得．
（2）①当6，8为直角边时，
斜边的平方；
当8为斜边时，
第三边的平方；
②如图，设正方形的边长分别为
根据勾股定理可得：
∴正方形的面积之和等于正方形E的面积，
同理可得：正方形E的面积等于正方形A，B，C，D的面积的和，
∴正方形E的面积为，
∴正方形E的边长为．
【典型例题二 已知直角三角形两边求第三边】
【例1】（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（ ）
A．27 B．24 C．21 D．15
【答案】A
【分析】根据正方形的面积为可得，再在中利用勾股定理求出的值，即为正方形的面积．
【详解】解：∵四边形为正方形，且面积为，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴正方形的面积为．
【例2】（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，在中，已知，以为直角边向外作，分别以为直径向外作半圆，面积分别记为．已知，则的大小是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理及其应用，解题关键在于把握题中各半圆面积之间的隐含关系．先根据圆的面积公式将，，，分别用含，，，的式子表示，再根据勾股定理得出等式，再转化为，即可求出结果．
【详解】解：，，
根据勾股定理，得．
，
同理可得，，，
，
又，，，
．
故选：C
【例3】 （25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）的两条直角边为a，b，斜边为c，若，则的面积为__________．
【答案】7
【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，先由勾股定理得出，利用完全平方公式的变形得出，再根据的面积为，整体代入计算即可得解．
【详解】解：直角三角形的两条直角边为和，斜边，
，
，
，
的面积为．
故答案为：．
【例4】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，两个较小正方形的面积分别为4，10，则字母A所代表的正方形的边长是____．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积之和．进而可求出边长．
【详解】解：字母A所代表的正方形的面积．
则字母A所代表的正方形的边长是．
故答案为：．
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，以、两条边为边分别向外作正方形、，已知正方形的面积比正方形的面积多．求的长．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理易知以为边的正方形面积等于正方形的面积减去正方形的面积，进而求得的长．
【详解】解：在中，，
由勾股定理得，，
，
，即的长为．
2．（24-25八年级上·江西九江·阶段检测）如图，以各边长为直径的三个半圆围成两个新月形（阴影部分），已知，，．
(1)求的长．
(2)计算新月形（阴影部分）的面积和．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
（1）根据题勾股定理即可解答；
（2）根据即可解答．
【详解】（1）解：∵，，，
∴
（2）解：
．
3．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：
(1)的长；
(2)四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的综合运用、三角形面积的计算等知识点；由勾股定理求出是解题的关键．
（1）由垂直的定义得出，由勾股定理求出，再求出，然后根据勾股定理求解即可；
（2）由勾股定理求出，再求出，再根据 求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【典型例题三 勾股逆定理（判断直角三角形）】
【例1】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】验证各选项中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则可组成直角三角形，反之则不能．
【详解】解：选项A：最长边为2，∵，∴能组成直角三角形；
选项B：最长边为5，∵，∴能组成直角三角形；
选项C：最长边为4，∵，∴不能组成直角三角形；
选项D：最长边为，∵，即，∴能组成直角三角形．
【例2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．1，3，5 B．2，3，4 C．4，5，6 D．6，8，10
【答案】D
【详解】解：对于选项A：∵，
∴无法构造三角形，故A错误；
对于选项B：∵，
∴无法构造直角三角形，故B错误；
对于选项C：∵，
∴无法构造直角三角形，故C错误；
对于选项D：∵，
∴能构成直角三角形，故D正确．
【例3】（24-25八年级下·全国·暑假作业）若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为______三角形．
【答案】直角
【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【详解】解：∵一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，
设三边分别为，，，
而，
∴三角形构成直角三角形，
故答案为：直角
【例4】 （24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，为的边上一点，已知 ，，，，则的长为________．

【答案】
【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可判断出为直角三角形，即，在中利用勾股定理可得出的长度．
【详解】，，，
，
是直角三角形，，
是直角三角形，
在中，．
故答案为：
1．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，已知在四边形中，，．求出四边形的面积．
【答案】
【分析】连接，利用勾股定理求出的值，利用勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，最后利用三角形面积公式求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，且，
∴由勾股定理得，
∵，且，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积为．
2．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）如图，在中，为边上一点，连接，过点作交的延长线于点，已知．求证：为直角三角形．
【答案】见解析
【分析】根据勾股定理及其逆定理进行证明即可.
【详解】证明：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即：是直角三角形.
3．（25-26七年级上·山东东营·期中）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．
(1)判断的形状，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．
【答案】(1)直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可证明；
（2）过点作，交于点，利用勾股定理求出，利用等积法求出，由点到地面的距离为即可求解．
【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下：
在中，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形．
（2）解：如图所示，过点作，交于点，
∵，
∴，
∵，
即，
∴，
∴点到地面的距离为：．
【典型例题四 勾股定理简单面积题】
【例1】（24-25七年级上·山东东营·期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是（ ）
A．25 B．36 C．49 D．64
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据题意求得大正方形的边长，根据勾股定理求出直角三角形的小直角边长为3，从而得小正方形的边长，即可得出结果．
【详解】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的小直角边为a，
∵大正方形的面积是169，
∴，
∵直角三角形的长直角边是12，
∴，
∴小正方形的边长，
∴小正方形的面积．
故选：C．
【例2】（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．
根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“”，依此规律即可解决问题．
【详解】解：如图所示，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【例3】 （24-25八年级上·福建宁德·期中）在中，，则的面积是______．
【答案】54
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴的面积是．
故答案为：54．
【例4】（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）如图，，正方形和正方形的面积分别是169和144，则以为直径的半圆的面积是___________．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理，先根据正方形的面积得出，，再利用勾股定理得出，再利用圆的面积公式即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：正方形和正方形的面积分别是169和144，
，，
，
，
，
故答案为：．
1．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积.此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．
(1)如图，若的三边长依次为，，．请利用以上公式（任选一个），求该三角形的面积；
(2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的运算．
（1）利用题干给出的海伦公式即可求解；
（2）连接，先利用勾股定理求出，再结合题干的海伦公式计算即可作答．
【详解】（1）解：选择海伦提出的公式，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
即：，
∴该四边形的面积．
2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整．
证明：添加辅助线，如图，整个图形的面积有两种表示方法：方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________；方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________；根据面积相等，得到等式________，化简这个等式，得________，从而证明了勾股定理．
【答案】，，，
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正确理解题意是解题关键．利用两种方法表示出整个图形的面积，根据面积相等得到等式并化简，即可获得答案．
【详解】证明：添加辅助线，如图，
整个图形的面积有两种表示方法：
方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得；
方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得；
根据面积相等，得到等式，
化简这个等式，得，从而证明了勾股定理．
故答案为：，，，．
3．（24-25八年级下·广西南宁·期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．

(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，结论①；图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：　 　，结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：　 　，结论③；
(2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式　 　；结合结论②和结论③，可以得到一个等式　 　；
(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作，且，求的值．
(4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边，，斜边，求图中阴影部分面积和．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
(4)
【分析】（1）图2的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，图3的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积；
（2）根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解；
（3）根据结论②求出，然后进行计算即可得解；
（4）根据结论③求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解．
【详解】（1）解：图2：；
图3：；
（2）解：结合结论①和结论②，可以得到一个等式：；
结合结论②和结论③，可以得到一个等式：，
即，；
（3）解：，，，
，
，
，
，
解得；
（4）解：由“应用”的解答过程可知：
∴阴影部分面积和，
，，
阴影部分面积和．
【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式的几何背景，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键．
【典型例题五 勾股定理与网格问题】
【例1】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，若“车”“炮”两枚棋子均放置在格点上，则这两枚棋子所在格点之间的距离为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】通过网格确定水平与竖直距离，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：观察图形可知，“车”与“炮”在水平方向上相距1个单位长度，在竖直方向上相距3个单位长度．
∴这两枚棋子所在格点之间的距离为．
故选：B．
【例2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理及网格求出各线段的长．先结合网格特征，运用勾股定理列式计算出每条线段，再进行比较，即可作答．
【详解】解：依题意，，，， ，
∵，
∴线段的长度最长，
故选：C．
【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，这是边长为1的的正方形网格，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边上的高是__________．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积等知识，设边上的高为h，由勾股定理求出的长，再由割补法求出的面积，即可解决问题．
【详解】解：设边上的高为h，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
即边上的高为，
故答案为：．
【例4】（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理．连接，则，在中，由勾股定理得求出即可得出答案．
【详解】连接，
由题意知：，
在中，由勾股定理得：
1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）图1、图2、图3、图4均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，任意连接这些小正方形的顶点，可得到一些线段．请分别在图1、图2、图3、图4中画出线段、、、，使、、、．
【答案】见解析
【分析】利用勾股定理，将二次根式转化为两个整数的平方和，再在网格中构造对应直角边的线段．在图1中，连接横向相差格、纵向相差格的两个顶点，，所得线段即为；在图2中，连接横向相差2格、纵向相差1格的两个顶点，，所得线段即为；在图3中，连接横向相差3格、纵向相差2格的两个顶点，，所得线段即为；在图4中，连接横向相差4格、纵向相差1格的两个顶点，，所得线段即为．
【详解】解：如图：线段、、、即为所求
2．（25-26八年级下·河南漯河·期中）定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形．
(1)如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是________；
(2)如图2，在方格纸中，两点在格点上，请画出一个符合条件的对直四边形，且点都在格点上．
【答案】(1)
(2)如图，（答案不唯一）
【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，然后求出，利用勾股定理求解；
（2）根据网格的特点和对直四边形的定义画图．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵四边形是对直四边形，
∴，
∴；
（2）略
3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．
操作发现：小颖在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，她借助此图求出了的面积．
(1)在图1中，小颖所画的的三边长分别是______，______，______；的面积为______．
解决问题：
(2)已知中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并直接写出的面积．
【答案】(1)，，；
(2)
【分析】（１）利用勾股定理求出的三边长，再根据求出的面积；
（2）借助勾股定理画出，并把放在的正方形网格中，借助正方形求出的面积．
【详解】（1）解：，，
，
，，
；
，，
；
；
（2）解：，，，
借助勾股定理画图如下：
．
【典型例题六 勾股定理与折叠问题】
【例1】（24-25八年级下·湖北黄石·阶段检测）已知，如图长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
根据题意，设，则，在中由勾股定理得到，则，结合三角形面积的计算公式即可求解．
【详解】解：根据折叠可得，，
∴设，则，
在中，，
∴，
整理得，，
解得，，
∴，
∴，
∴的面积为，
故选：D ．
【例2】（24-25八年级下·山西大同·阶段检测）在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．1.6
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，则，根据折叠的性质，勾股定理列方程求解即可；
【详解】解：设，则，
由题意得，
由勾股定理得，
∴，
解得，
即的长为；
故答案为：C
【例3】（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E．若，，则的面积为___________．

【答案】10
【分析】设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：长方形中，
∴，
∴，
由折叠的性质知，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
则，
则．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键．
【例4】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折得到，交于点G，连接交于点F，若，，，的面积为，则的长是__________．
【答案】
【分析】本题考查了三角形与折叠问题，勾股定理等知识点．根据题意推出是解题关键．
【详解】解：∵，的面积为，
∴
∴
∵沿着直线翻折得到，
∴，，
∵，，
∴
∵，
∴
∴
∴
故答案为：
1．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在长方形中，，，点在边上，将长方形沿折叠，点恰好落在边上的点处，求的长．
【答案】5
【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．因为将折叠使点恰好落在边上的点，，已知，由勾股定理可求得长，则可求，设，则，，在中用勾股定理列方程即可．
【详解】解：∵在长方形中，，，
∴，，，
又∵将折叠使点恰好落在边上的点，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
即，
解得，
即的长为5．
2．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践
(1)如图1，在中，，，．
①求的长；
②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长．
(2)如图2，在中，是边上的高，求的长．
【答案】(1)①10；②
(2)12
【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用勾股定理列出方程是解题的关键．
（1）①直接运用勾股定理求解即可；②由折叠的性质以及线段的和差可得，再根据勾股定理列方程求解即可；
（2）设，则．由勾股定理可得、，然后列出关于x的方程求解即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴．
②由折叠得：，
∴，
∴．
在中，，
∴，解得：，
∴的长为．
（2）解：设，则．
∵是边上的高，
∴．
在中，，
在中，，
∴，解得：，
∴．
3．（25-26七年级上·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c，三者之间的数量关系是．
(1)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，试说明：．
(2)如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据题意，结合图形，根据完全平方公式进行计算即可；
（2）根据翻折变换的特点、结合勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：，，，且，
整理得，，
；
（2）解：设，则，
由折叠的性质可知，，
在中，，
则，
解得，，
则的长为3．
【点睛】本题考查了勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
【典型例题七 利用勾股定理证明线段平方关系】
【例1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为，若，则（ ）
A．184 B．86 C．119 D．81
【答案】B
【分析】连接BD，根据勾股定理可得，，即，即可求解．
【详解】解：连接BD，
根据勾股定理可得，，
即，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，根据直角的信息提示，作出辅助线，构造出直角三角形，是解题的关键．
【例2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于( )
A．7 B．9 C．16 D．25
【答案】C
【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得，在与中，利用勾股定理可得，在与中，继续利用勾股定理可得，求解即可得．
【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，
∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．
【例3】（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据奇异三角形的定义，请你判断：若某三角形的三边长分别为1、2、，则该三角形________（填“是”或者“不是”）奇异三角形．
【答案】是
【分析】根据奇异三角形的定义，即可求解．
【详解】解，
∴该三角形是奇异三角形．
故答案是：是．
【点睛】本题主要考查了新定义的理解，明确题意，理解新定义是解题的关键．
【例4】（24-25八年级上·四川成都·期中）定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____．
【答案】或
【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可．
【详解】解：在Rt中，，
∴，
当时，
∴，，
∵Rt是“和美三角形”，
∴，
∴，
∴，
∴（负值已舍去），
当，
∴，，
∵Rt是“和美三角形”，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
故或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
1．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，．
(1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由：
(2)若，．求的长．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】（1）利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，利用勾股定理可得；
（2）利用勾股定理可以求出，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出的长度．
【详解】（1）解：，
理由如下，，
，
，
又，，
在和中，，
，
，，
，
，
中，，
；
（2）解：中，，
，
，
，
．
2．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究：
(1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”）
（ii）若，则___________；（填“”“”或“”）
(2)任选上述中的一个猜想证明其正确性．
【答案】(1)（i）>；（ii）<
(2)见解析
【分析】（1）根据题意写出猜想；
（2）利用勾股定理分别证明猜想即可．
【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>，
（ii）若，则．
（2）若，则>；证明如下：
如图，过点A作于点D，设，则，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
∴，即．
∵
∴
若，则．证明如下：
如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
∴，即．
∵，
∴．
3．（25-26八年级上·福建福州·期末）（1）【阅读材料】
如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________；
（2）【类比探究】
如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系．
（3）【应用结论】
如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质：
（1）根据面积的不同算法即可得乘法公式；
（2）结合全等三角形的性质可得到，再由，即可解答；
（3）由（2）得：，根据，可得，从而得到，即可求证．
【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
由面积的不同算法可得乘法公式：；
故答案为：
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（3）由（2）得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【典型例题八 勾股定理的证明方法】
【例1】（24-25八年级下·广东云浮·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想．下列选项中的图形，不能证明勾股定理得是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的证明，根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项．
【详解】解：A、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意；
B、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意；
C、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，不能证明勾股定理，符合题意；
D、通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意；
故选：C．
【例2】（24-25八年级上·河北邢台·期末）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，则方案正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．两人都对 D．两人都不对
【答案】A
【分析】根据图形列代数式即可得出结果．
【详解】解：甲得出的结果为：，
即，符合题意；
乙得出的结果为：，不符合题意；
故选：A．
【点睛】题目主要考查根据图形列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．
【例3】（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么_______．

【答案】20
【分析】由题意可知:大正方形的边长为，，根据勾股定理和正方形的面积以及题目给出的已知数据即可求的长度．
【详解】解：由题意可知：大正方形的边长为：，
直角三角形边长分别为，
根据勾股定理可得：，
又，
可得：，，
．
故答案为：20
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用几何直观和图形面积，本题属于基础题形．
【例4】（24-25八年级下·天津东丽·期末）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是______．

【答案】
【分析】先由正方形A的边长得到正方形A的面积，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵正方形A的边长为，
∴正方形A的面积为45，
∴，整理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的几何意义，熟记公式是关键．
1．（25-26八年级下·山东济宁·期中）图1和图2都是用四个直角边长分别为a和b，斜边长为c的直角三角形围成的正方形，请在图1或图2中任选一个，结合图形利用等面积法证明勾股定理．
【答案】见解析
【分析】大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，由此列式即可．
【详解】证明：选择图1：
四个完全相同的直角三角形的直角边为a和b，
∴直角三角形的面积为，
小正方形的边长为，
∴小正方形的面积为．
大正方形由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形组成，
∴大正方形的面积为．
大正方形的边长为c，
∴大正方形的面积也可以表示为．
∴．
选择图2：
四个完全相同的直角三角形的直角边为a和b，
∴直角三角形的面积为，
小正方形的边长为，
∴小正方形的面积为．
大正方形由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形组成，
∴大正方形的面积为．
大正方形的边长为，
∴大正方形的面积也可以表示为．
∴，
∴．
2．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，据不完全统计，勾股定理的证明方法有400多种．
(1)请用图1证明勾股定理；
(2)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图2所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了勾股定理的几何背景和勾股定理的应用，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．
（1）利用大正方形的面积的不同表示方法进行证明即可；
（2）先由“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求得，设，则，再由勾股定理得，可得关于x的方程，解方程再进一步求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
；
（2）解：“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，
，
设，则，
在中，，
．
将，代入，可得，
解得，
小正方形的边长，，
风车图案的面积为．
3．（2026·安徽芜湖·二模）【阅读】
数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想．
(1)【理解】
如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理；
(2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：___________；
(3)【运用】
n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当，时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以．
①当，时，如图4，___________；当，___________时，；
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得___________（用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
【答案】(1)梯形的面积为或；见解析
(2)
(3)①6；3；②；见解析
【分析】（1）此等腰梯形的面积由三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程求解即可；
（2）由图可知行列的棋子排成一个正方形棋子个数为，将n行n列的棋子分割为图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，，，故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答；
（3）①根据条件画图即可解答；
②根据多边形的内角和以及分割后的所有三角形的内角和分别计算，即可得出方程求解．
【详解】（1）解：有三个直角三角形，其面积分别为，和，
直角梯形的面积为，
由图形可知：，
，
，
．
直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形中，；
（2）解：n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为，
将n行n列的棋子分割为如图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，，，
则；
（3）解： ①如图，当，时，；
如图，当，时，；
②．
验证：把n边形剪成y个三角形，内角和为，
在n边形内画m个点，内角和为n边形内角和与m个周角的和，
即，
可得，
故．
【典型例题九 以弦图为背景的计算题】
【例1】（24-25八年级下·黑龙江伊春·阶段检测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为48，则小正方形的面积为（ ）
A．8 B．16 C．2 D．27
【答案】D
【分析】本题考查了以勾股定理为背景的图形面积的计算，掌握勾股定理的计算是关键．
根据小正方形的面积与4个直角三角形的面积和为大正方形的面积，由此列式求解即可．
【详解】解：4个全等三角形的面积为，
∴小正方形的面积为，
故选：D ．
【例2】（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，若，则正方形的边长是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理．根据等腰三角形的判定可得，再由全等三角形的性质以及等腰三角形的性质可得是等腰直角三角形，根据勾股定理可得，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故选：A
【例3】（24-25八年级下·福建莆田·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是______；
【答案】13
【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示出面积．
根据题意判断出，，分别表示出，，，然后相加化简计算即可．
【详解】解：图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，
，，
，
，
，
，
，
的值是13．
故答案是13．
【例4】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为________．
【答案】1
【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．根据图形分析可得小正方形的边长为，据此即可求解．
【详解】解：，，，
，
中间正方形的边长为，
中间正方形的面积为．
故答案为：．
1．（24-25八年级下·河北沧州·阶段检测）（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理；
（2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积．
【答案】（1）见解析；（2）该飞镖状图案的面积是24
【分析】此题考查了勾股定理与弦图，完全平方公式，
（1）根据，，进行推理验证即可；
（2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求．
【详解】解：（1），
即
则；
（2）
设
依题意有
解得
．
故该飞镖状图案的面积是24．
2．（24-25八年级下·广西南宁·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．
方法1：______；
方法2：______；
根据以上信息，可以得到等式：______；
(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)；；
(2)见解析
(3)27
【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键．
（1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可；
（2），列式计算即可证明；
（3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可．
【详解】（1）解：方法1：；
方法2：；
∵，即，
故；
根据以上信息，可以得到等式：；
故答案为：；；；
（2）解：∵，
即，
整理得，
故；
（3）解：如图，，
∵，，
∴，
则，
∴，
故阴影部分的面积为27．
3．（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题：
(1)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是多少？
(2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？
(3)图（1）“赵爽弦图”中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围（实线）周长．
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)76
【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积：
（1）设直角三角形的斜边为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，利用大正方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可；
（2）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证；
（3）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，根据风车的外围周长是，计算求解即可．
【详解】（1）解：设斜边的长为，由题意，得：，
∵，
∴，
∴小正方形的面积为：；
（2）解：图形的总面积可以表示为
，
也可以表示为，
∴．
∴．
（3）解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且，
∴，
由勾股定理得，，
∴这个风车的外围周长是．
【典型例题十 用勾股定理构造图形解决问题】
【例1】（24-25八年级下·陕西商洛·期中）如图，一文物C（看作一点）被探明位于地面A点垂直往下36米处，由于A点下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离A点15米的B处斜着挖掘，已知障碍物不在线段BC上，则要取出文物C至少要挖（ ）

A．39米 B．米 C．42米 D．51米
【答案】A
【分析】根据题意可知：，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将实际问题抽象成勾股定理是解题的关键．
【例2】（2025·湖北十堰·模拟预测）小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是1m，1m，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是（　　）

A．2.6m B．2.4m C．2.2m D．2m
【答案】B
【分析】运用勾股定理求解即可．
【详解】如图：

根据勾股定理：
故
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
【例3】（24-25八年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，此时绳子末端距离地面，则绳子的总长度为______．
【答案】10
【分析】根据题意画出示意图，设绳子的长度为，可得，，，在中利用勾股定理可求出．
【详解】解：过作于，
设绳子的长度为，则，，，
在中，，即，
解得：，
即绳子的长度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
【例4】（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是时，有人为了抄近道而避开路的拐角，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路.某学习实践小组通过测量可知，的长约为6米，的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行______米．
【答案】4
【分析】根据题意利用勾股定理得出，再由线段的和差求解即可．
【详解】解：∵，的长约为6米，的长约为8米，
∴米，
∴米，
∴多行4米，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，理解题意是解题关键．
1．（24-25八年级上·河南平顶山·阶段检测）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题： “问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？ ”问题大意：如图，在中， 里，里，里， 求 的面积． 请你解决该问题．
【答案】平方里
【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点，主要利用了勾股定理进行解答．过点作于，设里，则里，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可．
【详解】解：如图，过点作于，
设里，则里，
在中，，即，
在中，，即，
，
解得：，
在中，，
（平方里）．
2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图1所示，人只要移至该门口及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，如图2所示．求此时该学生头顶C到门铃A的距离．
【答案】5米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确识图，理清题目中各线段的长度，运用勾股定理解题是本题的关键．
根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：过点C作，垂足为点E，
则，
由题意得：米，米，米
则，
在中，由勾股定理得： ,即，
解得米．
答：该生头顶C到门铃A的距离为5米．
3．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某校数学课外活动小组用一张长为5，宽为4的长方形纸片（如图1）进行探究活动．
(1)动手操作：如图2，妙妙沿虚线裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，并按图3拼成与原纸片面积相等的正方形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余），根据妙妙的拼接过程，求线段的长．
(2)深入探究：多多说：“将图1的纸片沿着的中点剪成四块，也可以拼成正方形．”请根据多多的说法设计一种方案．在图4上画出裁剪线，并直接写出各裁剪线的长．
【答案】(1)
(2)裁剪线见解析，和
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是树立数形结合思想，利用勾股定理求解；
（1）根据面积相等得出正方形边长，再利用勾股定理求解即可；
（2）在、上截取，顺次连接即可，再运用勾股定理求出裁剪线长．
【详解】（1）解：∵长方形的面积为，
∴
由拼接过程可知，，，
∴．
（2）解：裁剪线如图所示：
在、上截取，连接、、，
∵长方形纸片的长为5，宽为4，
∴，，
，．
1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）下列以为三边长的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
【详解】解：A．最长边为，，，能构成直角三角形，本选项符合题意；
B．最长边为，，，，不能构成直角三角形，本选项不符合题意；
C．最长边为，，，，不能构成三角形，本选项不符合题意；
D．最长边为，，，，不能构成直角三角形，本选项不符合题意．
2．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知直角三角形的三条边分别为，，其中为斜边，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用直角三角形的勾股定理有，结合完全平方公式化简，即可得到结果．
【详解】解：∵直角三角形的三条边分别为，，其中为斜边，
∴由勾股定理得 ，
∵，，
∴
3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形中，．则四边形的面积是（ ）
A．72 B．66 C．42 D．36
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理及直角三角形面积计算，解题的关键是通过连接对角线将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理分析三角形形状．
连接，先在中用勾股定理求；再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积并求和，得到四边形面积．
【详解】解：连接，如图：
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，
∴是直角三角形，
，
∴四边形的面积为．
4．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，分别以的两条直角边为边作正方形，面积分别记为．若 ，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理得，计算即可求的长．
【详解】解：在中，，
以的两条直角边为边作正方形，面积分别记为，
，
（负值舍去），
故选：B．
5．（25-26八年级下·山东济宁·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长“下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若”生长”了2026次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2027．
6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是的三边长，若，则的形状是________．
【答案】直角三角形
【分析】本题可根据绝对值、平方数和算术平方根的非负性求出三角形三边的长度，再根据三边长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．本题主要考查了绝对值、平方数和算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理．熟练掌握绝对值、平方数和算术平方根的非负性质（若干个非负数的和为，则每个非负数都为），以及勾股定理的逆定理（若三角形的三边、、满足，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键．
【详解】解：∵，，，且，
∴
解得
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
7．（25-26八年级下·天津和平·期中）如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为____．
【答案】3
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理得，进而可将阴影部分的面积求出．
【详解】解：由题意得：，
在中，，
，
．
8．（25-26八年级下·湖北十堰·期中）如图，一张三角形纸片，，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与点B重合，则的长是______．
【答案】
【分析】利用勾股定理求出的长，根据折叠的性质得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：，，，
，
由折叠的性质可得，，
设，则，
在中，，
，
整理得，
解得，
．
9．（2026·江苏徐州·二模）“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第7个图形里的正方形比第5个图形多_______个．
【答案】96
【分析】由已知图形观察规律，可得到第5个图形中正方形的个数，第7个图形中正方形的个数，即可．
【详解】解：由题意可知：第1个图形中正方形有个，
第2个图形中正方形有个，
第3个图形中正方形有个，
第4个图形中正方形有个，
……，
由此推出第n个图形中正方形有个，
∴第5个图形中正方形有个，第7个图形中正方形有个，
∴第7个图形里的正方形比第5个图形多个．
10．（2026九年级·吉林·专题练习）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”其大意为：有一架秋千（如图），当它静止时，踏板离地距离为1尺．将它往前水平推送10尺（尺），则秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高……若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索的长为尺，则可列方程为_________________．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
设绳索的长为尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可．
【详解】解：设绳索的长为尺，
由题意知：尺，尺，尺，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
11．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
【答案】
【分析】连接，先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理证明，最后根据四边形的面积等于与的面积之和求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，（舍负）
∵，
∴，
∴
∴
∴四边形的面积．
12．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）张大爷要修建一个如图所示的蔬菜大棚，大棚的横截面是直角三角形，棚宽米，高米，长米，求覆盖在棚顶的塑料薄膜至少需要多少平方米？
【答案】平方米
【分析】利用勾股定理求出的长，再求出长方形的面积即可得到答案．
【详解】解：在中，由勾股定理得（米），
（平方米），
答：覆盖在棚顶的塑料薄膜至少需要平方米．
13．（25-26七年级上·江苏·期末）如图．在正方形网格中，每个小方格的边长都为单位1，点在正方形网格的格点上．请按下述要求画图并回答问题：
(1)确定一个格点，画直线，使得垂直；
(2)画射线，则与所在直线的位置关系是：__________；（填“平行”或“相交”）；
(3)画线段，则四边形的面积是__________．
【答案】(1)见解析
(2)相交
(3)14.5
【分析】本题考查了网格作图，熟练掌握全等三角形的性质，平移性质，三角形面积公式，是解题的关键．
（1）取格点，画直线，使得垂直；
（2）画射线，与所在直线的位置关系是相交；
（3）画线段，四边形的面积等于的正方形面积减去周围３个三角形面积．
【详解】（1）解：取格点，画直线，使得垂直．
理由：如下图，∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：画射线，与所在直线的位置关系是相交，
理由：把线段平移到线段的位置，
则，
∵点H在外，
∴，
∴射线与直线在直线的右下方相交．
故答案为：相交．
（3）解：画线段，
∵四边形在一个的正方形中，
∴四边形的面积为
．
故答案为：14.5．
14．（2026·浙江温州·二模）如图1是一个底面为直角三角形的直三棱柱包装盒，，其表面展开图如图2所示．
(1)根据表面展开图填写实物尺寸：侧棱_______，底面斜边_______．
(2)求直三棱柱的全面积．
【答案】(1)5；5
(2)
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）两个三角形加一个矩形的面积即可求得全面积．
【详解】（1）解：由题可得：，
∵，,
∴，
（2）解：三角形的面积为：，
矩形的长为：，
则矩形的面积为：,
则直三棱柱的全面积为：．
15．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积．
【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为．
(1)由此得到等式________；
(2)【探索研究】数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为、，斜边长为，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边、、的等式，整理后发现，，请说明此等式成立；
【推广应用】数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边、，斜边都存在的等量关系，利用此发现，解决下面问题：
(3)如图3，是直角三角形，，大于，将绕点顺时针旋转得点的对应点为，点的对应点为，连接，若，，，，的面积为10，求的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）两种方法所表示的图形的面积相等即可得出答案；
（2）利用两种方法分别用代数式表示图2的面积即可；
（3）根据旋转的性质，勾股定理以及三角形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意得；
（2）解：图2中大正方形的边长为，因此大正方形的面积为，
拼成图2的五部分的面积和为，
所以有，
即，
；
（3）解：是直角三角形，，
，
由旋转可知，，，
，
，
即，
，
，
即，
，
，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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