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湖南省衡阳市八中教育集团2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1． 如图，这是某绿色植物的细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为0.000009米，将数据0.000009用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2． 若分式的值等于0，则x的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
3．为了在2025年高中生创新能力大赛中取得优异成绩，某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组，参加本次比赛，下表反映的是各小组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛，那么应选的小组是（　　）
　 甲小组 乙小组 丙小组 丁小组
92 92 95 95
1 1.3 1 1.6
A．甲小组 B．乙小组 C．丙小组 D．丁小组
4． 解分式方程，去分母得（　　）
A． B．
C． D．
5． 如图，在中，，的平分线交于点，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6． 在古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，则符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
7． 关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为-1.当时，x的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
9． 如图，在菱形中，对角线，相交于点，交于点，若，，则的长为（　　）
A．2 B． C． D．
10． 如图，在正方形中，点在对角线上，连接，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，若点是的中点，，则的长度为（　　）
A．4 B．5 C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11． 在函数中，自变量的取值范围是　 　．
12． 点在第　 　象限．
13．某校进行三好学生评比，其中一名同学的三项素质测试成绩（单位：分）为：学科知识；综合素质；体育与健康．根据实际需要将学科知识综合素质、体育与健康三项按3：5：2的比例确定最终得分，则最终得分是　 　．
14． 已知关于的分式方程有增根，则的值是　 　．
15． 如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则　 　．
16． 反比例函数 的图像如图所示，若的面积是3，则k 的值为　 　．
17． 如图，在四边形中，，且，，点、分别从点、同时出发，点以的速度由点向点运动，点以的速度由点向点运动，当点、中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则　 　后四边形是平行四边形．
18． 如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19． 计算：
20． 先化简，再求值：，其中．
21． 西安市2024年中考，综合素质测试满分为100分．某校为了调查学生对于综合素质的掌握程度，在九年级学生中随机抽取了部分学生进行模拟测试，并将测试成绩绘制成下面两幅统计图．试根据统计图中提供的数据，回答下面问题：
（1）本次调查的学生人数共有 人，并补全条形统计图．
（2）样本中，测试成绩的中位数是　 　分，众数是　 　分．
（3）若该校九年级共有2000名学生，根据此次模拟成绩估计该校九年级中考综合速度测试将有多少名学生可以获得满分．
22．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系，其图像如图所示．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）当气体体积为60ml时，气体的压强为　 　kPa．
（3）若注射器内气体的压强不能超过500kPa，则其体积V要控制在什么范围？
23． 如图，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、．
（1）求证：；
（2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
24． “雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”.2024年青岛樱桃节期间，张大爷购进了一批质量相等的大小樱桃，已知每千克小樱桃的进价比每千克大樱桃少8元．受污损的进货清单如表所示：
品名 大樱桃 小樱桃
进价／（元／千克）
总价／元 1134 630
（1）请你帮张大爷求出每千克大樱桃和小樱桃的进价各是多少元．
（2）若张大爷决定再次购进同种大樱桃和小樱桃共60千克，再次购进的费用不超过1000元，若每种樱桃的进价保持不变，大樱桃的销售单价为30元，小樱桃的销售单价为18元，张大爷应如何进货，才能使第二批大樱桃和小樱桃售完后获得最大利润？
（3）利润关系仍然满足（2）中的利润关系，张大爷推出福利活动，决定拿出销售利润的另购大、小樱桃赠送游客免费品尝，第二批购进大樱桃至少多少千克，能使剩余利润不少于450元？
25． 如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交轴于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）设点是坐标平面内一个动点，点在轴上运动，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．
26． 在平面内，为线段外的一点，若以，，为顶点的三角形为直角三角形，则称为线段的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称为线段的等腰直角点．
（1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在点，，中，线段的直角点是　 　；
（2）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，直线l的解析式为．
①如图2，是直线上的一个动点，若是以线段为直角边的直角点，求点的坐标；
②点是直线上的一个动点，将所有线段的等腰直角点称为直线关于点的伴随点．若某正方形的中心（对角线的交点）为原点，它的各边分别与两坐标轴平行，且该正方形上恰有两个点为直线关于点的伴随点，求出正方形边长的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】绝对值小于1的正数用表示，n为左起第一个非零数字前零的个数.
2．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：若，则有，解得x=-1.
故答案为：A.
【分析】分式的值为0，要求分子为0的同时分母不为0.
3．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表格可知，丙小组的平均成绩最高，且方差最小，
∴丙小组的成绩较好且状态稳定，
故应选的小组为丙小组；
故选C．
【分析】
需先比较各小组的平均数确定成绩好的小组，再利用方差确定状态稳定的小组，综合选择即可.
4．【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
两边同时乘以x-1，得
故答案为：A.
【分析】等式两边同时乘以x-1即可.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，
∴.
∵是平行四边形，
∴，，
∴.
∴是等腰三角形，且.
∴.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形以及角平分线先证明是等腰三角形，也就知道CE长，从而可以用BC长减去CE得到BE长.
6．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：千克木材制作的榫的数量是， 25千克木材制作卯的数量是，二者相等，得到方程 .
故答案为：A.
【分析】根据题意列出分式方程即可.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当时， 函数图像上升，并与y轴负半轴相交；函数 图像出现在第一、三象限内，因此A选项正确，B、D选项均错误；
当时，函数图像出现在第二、四象限内，且函数图像下降，因此C选项也错误.
故答案为：A.
【分析】通过分析k的正负性对一次函数y = kx - k 和反比例函数 图象的影响，逐一验证选项中两个函数图象是否匹配，从而确定正确答案.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为-1
∴点B的横坐标为1，
∴ 当时，x的取值范围是或.
故答案为：C.
【分析】利用反比例函数的对称性及已知正比例函数图象经过原点，可得到点B 的横坐标，观察图象，可得到时，x的取值范围.
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵是菱形，， 为对角线，且， ，
∴.
∴.
在中，有，即.
∴.
故答案为：D.
【分析】先利用菱形对角线互相垂直且平分的性质确定相关线段长度，再通过勾股定理求出另一条对角线的一半，最后用等积法建立等式计算.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如下图，作于，在上，并设，则.
∵，，且，
∴，即有.
∵是正方形 的对角线，
∴.
∴，.
∴.
∴，.
∵，
∴，整理得.
∵，
∴，解得.
∴.
故答案为：D.
【分析】通过辅助线以及设，构造出，这样就能利用正方形性质、中线定理等用表达出、、，运用勾股定理得到关于的方程，解出方程后，也就得到长，
11．【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解： 函数中，.
∴x的取值范围是.
故答案为：
【分析】由于分母不能为零，因此需解分母不为零的条件.
12．【答案】三
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴.
又∵，
∴ 在第三象限.
故答案为：三.
【分析】先分析横坐标的正负性，然后结合纵坐标的正负性确定点所在象限.
13．【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：首先计算三项成绩的权重总和：
再根据加权平均数的计算方法，该选手的最终得分为：
（分）．
故答案为：．
【分析】根据加权平均数的定义，代入数据计算就可以得到结果。
14．【答案】-2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：原方程 等号两边同时乘以，有，即.
若方程有增根，则，解得x=1.
∴m=-2.
故答案为：-2.
【分析】分式方程的增根是使分母为零的根. 首先将方程转化为整式方程，确定增根的可能值，再将增根代入整式方程求解参数m的值.
15．【答案】
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵是矩形，是其对角线，
∴.
∵，即，
∴.
∴是等腰三角形.
∴.
故答案为：50°.
【分析】结合矩形的性质，先证明出是等腰三角形，然后结合条件 计算出.
16．【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：根据题意，有.
∴.
故答案为：-6.
【分析】分析函数图象可知， 的面积可代入y值，以及-x值计算得到，结合反比例函数，可得到关于k的方程，解之即可.
17．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设t秒后，是平行四边形，则此时，，且.
∴，解得.
故答案为：.
【分析】若是平行四边形，则必有. 结合条件，用t分别表示出DP与CQ，则可建立关于t的一元一次方程，解之即可.
18．【答案】2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵是正方形，且、均为其对角线，
∴.
∵.
∴.
由图①可知，当D、P、E三点共线时，取得最小值.
∵是的中点，
∴，解得.
故答案为：2.
【分析】利用正方形的对称性，将转化为，从而. 根据两点之间线段最短可知，当P点在DE与AC的交点时，y取得最小值，也就得到. 最后结合勾股定理，计算出DA，也就是 正方形的边长.
19．【答案】解：
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】先分别计算-1的幂运算、负整数幂运算、零次幂、绝对值后，再计算加减.
20．【答案】解：
.
将 代入，得.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先将括号内的分式通分并合并，然后将除法转化为乘法，利用因式分解约分，最后代入x=2求值.
21．【答案】（1）50，补全条形统计图如下，
（2）98；100
（3）解：∵名.
∴估计该校九年级中考综合素质测试将有800名学生可以获得满分.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查的人数共有10÷20%＝50人，而98分的人数为50-20-10-4-2=14人.
补充条形统计图如下：
故答案为：50.
（2）本次测试成绩的中位数为分，众数是100分.
故答案为：98，100；
【分析】（1）先根据96分人数及其百分比求得总人数，再根据各组人数之和等于总数可得98分的人数，然后即可补全统计图；
（2）根据中位数和众数的定义可得；
（3）利用样本中100分人数所占比例乘以总人数可得结果．
22．【答案】（1）解：设反比例函数的表达式为，
将代入，得，解得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）100
（3）解：当时，，
∴为了安全起见，气体的体积应不少于．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（2）∵，
∴当时，，
故答案为：100．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将代入反比例函数解析式求出p的值即可；
（3）将代入解析式求出V的值即可。
23．【答案】（1）证明：∵是平行四边形，
∴.
∵延长至点，
∴.
∴.
∵ 点是边的中点，
∴.
又∵.
∴ .
证毕.
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
由（1）可知，，且，
∴四边形是平行四边形.
∵，且，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴四边形是矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）利用平行四边形性质，先证明得到，然后结合已知条件、，即由ASA可证；
（2）利用（1）的过程与结论，易知四边形是平行四边形. 在此基础上，通过证明其对角线，从而可知四边形是矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）.
24．【答案】（1）解：设每千克大樱桃进价a元，则每千克小樱桃进价为a-8元.
则根据题意，有.
解方程，得a=18
则每千克小樱桃进价为18-8=10元.
答：每千克大樱桃的进价为18元，每千克小樱桃的进价为10元
（2）解：设购买了m千克大樱桃，则购买了(60-m)千克小樱桃.
根据题意，得.
解得.
再设销售利润为元.
根据题意，得.
化简得.
当时，取得最大值.
此时（千克）
答： 张大爷应进货50千克大樱桃，10千克小樱桃.
（3）解：∵利润不少于450元，
∴.，解得.
答：张大爷第二批购进大樱桃至少30千克，能使剩余利润不少于450元.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）可设每千克大樱桃进价a元，则每千克小樱桃进价为a-8元，然后由于大小樱桃各购进的质量相等，因此可据此列出分式方程，解之即可；
（2）设购买了m千克大樱桃，则购买了(60-m)千克小樱桃，然后表示出大小樱桃的总购进费用（大樱桃购进质量×购进价+小樱桃购进质量×购进价），让其小于等于1000，求解出m的取值范围. 然后再再设销售利润为元，并表示出的表达式，根据的表达式判断m的具体取值，从而计算出大小樱桃进货质量；
（3）根据（2）得到的利润表达式，根据题意列出不等式，求解m的取值范围即可.
25．【答案】（1）解：将 代入，得，解得.
即；
将 代入，得，即点坐标为.
再将、代入 ，有
，解得.
即.
（2）解：∵，
∴一次函数与轴交点坐标为.
∴.
∴
.
（3）或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；菱形的性质；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（3）解：由函数图象可知，.
如果四边形为菱形，
①若在点下，且，则点若向下平移个单位，得到点.
∴.
②若在点下，且，则点与点关于对称.
∴.
③若在点上，且，则点若向上平移个单位，得到点.
∴.
④若为对角线，则中点为，中点也为，那么点横坐标为.
设，则有，，解得. 那么点纵坐标为，即.
综上所述，M点坐标为或或或.
故答案为：或或或.
【分析】（1）利用待定系数法，先通过点A坐标确定反比例函数表达式，再求点B坐标，最后代入A、B坐标求一次函数表达式；
（2）先求直线AB与y轴交点C的坐标，再通过分割三角形计算面积；
（3）根据菱形的性质（四边相等、对角线互相平分），分AC为边和AC为对角线两种情况，结合点Q在y轴上的条件，利用距离公式和中点坐标公式求解点M的坐标.
26．【答案】（1） ，
（2）解：（2）①若，将点纵坐标4代入 ，计算得点横坐标为3，此时；
若，将点纵坐标-6代入，计算得到点横坐标为13，此时.
若∠ACB=90°，这种情况不符合题意；
综上所述，点的坐标是或；
②如图2，设点P（m，-m+7），以AP为边向下作正方形APC3C1，连接PC1，AC3交于点C2，则C1、C2、C3是线段AP的等腰直角点，过点A作x轴的平行线，分别过点P、C1作y轴的平行线，得到Rt△AMP，Rt△ANC1，
∵∠M=∠N=∠PAC1=90°，
∴∠NAC1+∠MAP=90°，∠MAP+∠APM=90°，
∴∠NAC1=∠APM
∵AC1=AP
∴△ANC1≌△PMA（AAS）
∴AN=PM=4-（-m+7）=m-3，NC1=AM=m-1，
∴点C1（4-m，5-m），C2（2，6-m）
∴C3（3，8-2m）
∴点C1的运动轨迹是直线y=x+1，点C2的运动轨迹是直线x=2，点C3的运动轨迹是直线x=3，
当边长为a的正方形与直线y=x+1、直线x=2，直线x=3的交点只有两个时，满足条件，
此时1＜a＜4，
当以AP为边的正方形时，边长为a的正方形存在的伴随点，不至于两个，不符合题意
综上所述1＜a＜4
【知识点】勾股定理的逆定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，，，，，，，.
∵，，
∴，.
∴ 线段的直角点是，.
故答案为：，；
【分析】（1）利用点的坐标求出OM2、OP12、OP22、OP32、MP12、MP22、MP32的值，可推出，，再根据线段的直角点的定义可得答案.
（2）①分情况讨论：若时；若时；若∠ACB=90°时，分别求出符合题意的点C的坐标；②如图2，设点P（m，-m+7），以AP为边向下作正方形APC3C1，连接PC1，AC3交于点C2，则C1、C2、C3是线段AP的等腰直角点，过点A作x轴的平行线，分别过点P、C1作y轴的平行线，得到Rt△AMP，Rt△ANC1，利用正方形的性质和余角的性质可证得∠NAC1=∠APM，∠M=∠N=∠PAC1=90°，AC1=AP，利用AAS可证得△ANC1≌△PMA，利用全等三角形的性质可表示出NC1、AN、PM的长，可得到点C1、C2、C3的坐标，利用点的坐标可知点C1的运动轨迹是直线y=x+1，点C2的运动轨迹是直线x=2，点C3的运动轨迹是直线x=3，当边长为a的正方形与直线y=x+1、直线x=2，直线x=3的交点只有两个时，满足条件；当以AP为边的正方形时，边长为a的正方形存在的伴随点，不至于两个，不符合题意；综上所述可得到a的取值范围.
1 / 1湖南省衡阳市八中教育集团2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1． 如图，这是某绿色植物的细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为0.000009米，将数据0.000009用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】绝对值小于1的正数用表示，n为左起第一个非零数字前零的个数.
2． 若分式的值等于0，则x的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：若，则有，解得x=-1.
故答案为：A.
【分析】分式的值为0，要求分子为0的同时分母不为0.
3．为了在2025年高中生创新能力大赛中取得优异成绩，某校准备从甲、乙、丙、丁四个小组中选出一组，参加本次比赛，下表反映的是各小组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛，那么应选的小组是（　　）
　 甲小组 乙小组 丙小组 丁小组
92 92 95 95
1 1.3 1 1.6
A．甲小组 B．乙小组 C．丙小组 D．丁小组
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表格可知，丙小组的平均成绩最高，且方差最小，
∴丙小组的成绩较好且状态稳定，
故应选的小组为丙小组；
故选C．
【分析】
需先比较各小组的平均数确定成绩好的小组，再利用方差确定状态稳定的小组，综合选择即可.
4． 解分式方程，去分母得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
两边同时乘以x-1，得
故答案为：A.
【分析】等式两边同时乘以x-1即可.
5． 如图，在中，，的平分线交于点，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，
∴.
∵是平行四边形，
∴，，
∴.
∴是等腰三角形，且.
∴.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形以及角平分线先证明是等腰三角形，也就知道CE长，从而可以用BC长减去CE得到BE长.
6． 在古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，则符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：千克木材制作的榫的数量是， 25千克木材制作卯的数量是，二者相等，得到方程 .
故答案为：A.
【分析】根据题意列出分式方程即可.
7． 关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当时， 函数图像上升，并与y轴负半轴相交；函数 图像出现在第一、三象限内，因此A选项正确，B、D选项均错误；
当时，函数图像出现在第二、四象限内，且函数图像下降，因此C选项也错误.
故答案为：A.
【分析】通过分析k的正负性对一次函数y = kx - k 和反比例函数 图象的影响，逐一验证选项中两个函数图象是否匹配，从而确定正确答案.
8．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为-1.当时，x的取值范围是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为-1
∴点B的横坐标为1，
∴ 当时，x的取值范围是或.
故答案为：C.
【分析】利用反比例函数的对称性及已知正比例函数图象经过原点，可得到点B 的横坐标，观察图象，可得到时，x的取值范围.
9． 如图，在菱形中，对角线，相交于点，交于点，若，，则的长为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：∵是菱形，， 为对角线，且， ，
∴.
∴.
在中，有，即.
∴.
故答案为：D.
【分析】先利用菱形对角线互相垂直且平分的性质确定相关线段长度，再通过勾股定理求出另一条对角线的一半，最后用等积法建立等式计算.
10． 如图，在正方形中，点在对角线上，连接，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，若点是的中点，，则的长度为（　　）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如下图，作于，在上，并设，则.
∵，，且，
∴，即有.
∵是正方形 的对角线，
∴.
∴，.
∴.
∴，.
∵，
∴，整理得.
∵，
∴，解得.
∴.
故答案为：D.
【分析】通过辅助线以及设，构造出，这样就能利用正方形性质、中线定理等用表达出、、，运用勾股定理得到关于的方程，解出方程后，也就得到长，
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11． 在函数中，自变量的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解： 函数中，.
∴x的取值范围是.
故答案为：
【分析】由于分母不能为零，因此需解分母不为零的条件.
12． 点在第　 　象限．
【答案】三
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴.
又∵，
∴ 在第三象限.
故答案为：三.
【分析】先分析横坐标的正负性，然后结合纵坐标的正负性确定点所在象限.
13．某校进行三好学生评比，其中一名同学的三项素质测试成绩（单位：分）为：学科知识；综合素质；体育与健康．根据实际需要将学科知识综合素质、体育与健康三项按3：5：2的比例确定最终得分，则最终得分是　 　．
【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：首先计算三项成绩的权重总和：
再根据加权平均数的计算方法，该选手的最终得分为：
（分）．
故答案为：．
【分析】根据加权平均数的定义，代入数据计算就可以得到结果。
14． 已知关于的分式方程有增根，则的值是　 　．
【答案】-2
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：原方程 等号两边同时乘以，有，即.
若方程有增根，则，解得x=1.
∴m=-2.
故答案为：-2.
【分析】分式方程的增根是使分母为零的根. 首先将方程转化为整式方程，确定增根的可能值，再将增根代入整式方程求解参数m的值.
15． 如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵是矩形，是其对角线，
∴.
∵，即，
∴.
∴是等腰三角形.
∴.
故答案为：50°.
【分析】结合矩形的性质，先证明出是等腰三角形，然后结合条件 计算出.
16． 反比例函数 的图像如图所示，若的面积是3，则k 的值为　 　．
【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：根据题意，有.
∴.
故答案为：-6.
【分析】分析函数图象可知， 的面积可代入y值，以及-x值计算得到，结合反比例函数，可得到关于k的方程，解之即可.
17． 如图，在四边形中，，且，，点、分别从点、同时出发，点以的速度由点向点运动，点以的速度由点向点运动，当点、中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则　 　后四边形是平行四边形．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设t秒后，是平行四边形，则此时，，且.
∴，解得.
故答案为：.
【分析】若是平行四边形，则必有. 结合条件，用t分别表示出DP与CQ，则可建立关于t的一元一次方程，解之即可.
18． 如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为　 　．
【答案】2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵是正方形，且、均为其对角线，
∴.
∵.
∴.
由图①可知，当D、P、E三点共线时，取得最小值.
∵是的中点，
∴，解得.
故答案为：2.
【分析】利用正方形的对称性，将转化为，从而. 根据两点之间线段最短可知，当P点在DE与AC的交点时，y取得最小值，也就得到. 最后结合勾股定理，计算出DA，也就是 正方形的边长.
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19． 计算：
【答案】解：
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】先分别计算-1的幂运算、负整数幂运算、零次幂、绝对值后，再计算加减.
20． 先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
.
将 代入，得.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先将括号内的分式通分并合并，然后将除法转化为乘法，利用因式分解约分，最后代入x=2求值.
21． 西安市2024年中考，综合素质测试满分为100分．某校为了调查学生对于综合素质的掌握程度，在九年级学生中随机抽取了部分学生进行模拟测试，并将测试成绩绘制成下面两幅统计图．试根据统计图中提供的数据，回答下面问题：
（1）本次调查的学生人数共有 人，并补全条形统计图．
（2）样本中，测试成绩的中位数是　 　分，众数是　 　分．
（3）若该校九年级共有2000名学生，根据此次模拟成绩估计该校九年级中考综合速度测试将有多少名学生可以获得满分．
【答案】（1）50，补全条形统计图如下，
（2）98；100
（3）解：∵名.
∴估计该校九年级中考综合素质测试将有800名学生可以获得满分.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次调查的人数共有10÷20%＝50人，而98分的人数为50-20-10-4-2=14人.
补充条形统计图如下：
故答案为：50.
（2）本次测试成绩的中位数为分，众数是100分.
故答案为：98，100；
【分析】（1）先根据96分人数及其百分比求得总人数，再根据各组人数之和等于总数可得98分的人数，然后即可补全统计图；
（2）根据中位数和众数的定义可得；
（3）利用样本中100分人数所占比例乘以总人数可得结果．
22．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系，其图像如图所示．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）当气体体积为60ml时，气体的压强为　 　kPa．
（3）若注射器内气体的压强不能超过500kPa，则其体积V要控制在什么范围？
【答案】（1）解：设反比例函数的表达式为，
将代入，得，解得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）100
（3）解：当时，，
∴为了安全起见，气体的体积应不少于．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（2）∵，
∴当时，，
故答案为：100．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将代入反比例函数解析式求出p的值即可；
（3）将代入解析式求出V的值即可。
23． 如图，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、．
（1）求证：；
（2）当时，请判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵是平行四边形，
∴.
∵延长至点，
∴.
∴.
∵ 点是边的中点，
∴.
又∵.
∴ .
证毕.
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
由（1）可知，，且，
∴四边形是平行四边形.
∵，且，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴四边形是矩形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-ASA；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）利用平行四边形性质，先证明得到，然后结合已知条件、，即由ASA可证；
（2）利用（1）的过程与结论，易知四边形是平行四边形. 在此基础上，通过证明其对角线，从而可知四边形是矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）.
24． “雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”.2024年青岛樱桃节期间，张大爷购进了一批质量相等的大小樱桃，已知每千克小樱桃的进价比每千克大樱桃少8元．受污损的进货清单如表所示：
品名 大樱桃 小樱桃
进价／（元／千克）
总价／元 1134 630
（1）请你帮张大爷求出每千克大樱桃和小樱桃的进价各是多少元．
（2）若张大爷决定再次购进同种大樱桃和小樱桃共60千克，再次购进的费用不超过1000元，若每种樱桃的进价保持不变，大樱桃的销售单价为30元，小樱桃的销售单价为18元，张大爷应如何进货，才能使第二批大樱桃和小樱桃售完后获得最大利润？
（3）利润关系仍然满足（2）中的利润关系，张大爷推出福利活动，决定拿出销售利润的另购大、小樱桃赠送游客免费品尝，第二批购进大樱桃至少多少千克，能使剩余利润不少于450元？
【答案】（1）解：设每千克大樱桃进价a元，则每千克小樱桃进价为a-8元.
则根据题意，有.
解方程，得a=18
则每千克小樱桃进价为18-8=10元.
答：每千克大樱桃的进价为18元，每千克小樱桃的进价为10元
（2）解：设购买了m千克大樱桃，则购买了(60-m)千克小樱桃.
根据题意，得.
解得.
再设销售利润为元.
根据题意，得.
化简得.
当时，取得最大值.
此时（千克）
答： 张大爷应进货50千克大樱桃，10千克小樱桃.
（3）解：∵利润不少于450元，
∴.，解得.
答：张大爷第二批购进大樱桃至少30千克，能使剩余利润不少于450元.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）可设每千克大樱桃进价a元，则每千克小樱桃进价为a-8元，然后由于大小樱桃各购进的质量相等，因此可据此列出分式方程，解之即可；
（2）设购买了m千克大樱桃，则购买了(60-m)千克小樱桃，然后表示出大小樱桃的总购进费用（大樱桃购进质量×购进价+小樱桃购进质量×购进价），让其小于等于1000，求解出m的取值范围. 然后再再设销售利润为元，并表示出的表达式，根据的表达式判断m的具体取值，从而计算出大小樱桃进货质量；
（3）根据（2）得到的利润表达式，根据题意列出不等式，求解m的取值范围即可.
25． 如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交轴于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）设点是坐标平面内一个动点，点在轴上运动，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：将 代入，得，解得.
即；
将 代入，得，即点坐标为.
再将、代入 ，有
，解得.
即.
（2）解：∵，
∴一次函数与轴交点坐标为.
∴.
∴
.
（3）或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；菱形的性质；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：（3）解：由函数图象可知，.
如果四边形为菱形，
①若在点下，且，则点若向下平移个单位，得到点.
∴.
②若在点下，且，则点与点关于对称.
∴.
③若在点上，且，则点若向上平移个单位，得到点.
∴.
④若为对角线，则中点为，中点也为，那么点横坐标为.
设，则有，，解得. 那么点纵坐标为，即.
综上所述，M点坐标为或或或.
故答案为：或或或.
【分析】（1）利用待定系数法，先通过点A坐标确定反比例函数表达式，再求点B坐标，最后代入A、B坐标求一次函数表达式；
（2）先求直线AB与y轴交点C的坐标，再通过分割三角形计算面积；
（3）根据菱形的性质（四边相等、对角线互相平分），分AC为边和AC为对角线两种情况，结合点Q在y轴上的条件，利用距离公式和中点坐标公式求解点M的坐标.
26． 在平面内，为线段外的一点，若以，，为顶点的三角形为直角三角形，则称为线段的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称为线段的等腰直角点．
（1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在点，，中，线段的直角点是　 　；
（2）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，直线l的解析式为．
①如图2，是直线上的一个动点，若是以线段为直角边的直角点，求点的坐标；
②点是直线上的一个动点，将所有线段的等腰直角点称为直线关于点的伴随点．若某正方形的中心（对角线的交点）为原点，它的各边分别与两坐标轴平行，且该正方形上恰有两个点为直线关于点的伴随点，求出正方形边长的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）解：（2）①若，将点纵坐标4代入 ，计算得点横坐标为3，此时；
若，将点纵坐标-6代入，计算得到点横坐标为13，此时.
若∠ACB=90°，这种情况不符合题意；
综上所述，点的坐标是或；
②如图2，设点P（m，-m+7），以AP为边向下作正方形APC3C1，连接PC1，AC3交于点C2，则C1、C2、C3是线段AP的等腰直角点，过点A作x轴的平行线，分别过点P、C1作y轴的平行线，得到Rt△AMP，Rt△ANC1，
∵∠M=∠N=∠PAC1=90°，
∴∠NAC1+∠MAP=90°，∠MAP+∠APM=90°，
∴∠NAC1=∠APM
∵AC1=AP
∴△ANC1≌△PMA（AAS）
∴AN=PM=4-（-m+7）=m-3，NC1=AM=m-1，
∴点C1（4-m，5-m），C2（2，6-m）
∴C3（3，8-2m）
∴点C1的运动轨迹是直线y=x+1，点C2的运动轨迹是直线x=2，点C3的运动轨迹是直线x=3，
当边长为a的正方形与直线y=x+1、直线x=2，直线x=3的交点只有两个时，满足条件，
此时1＜a＜4，
当以AP为边的正方形时，边长为a的正方形存在的伴随点，不至于两个，不符合题意
综上所述1＜a＜4
【知识点】勾股定理的逆定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，，，，，，，.
∵，，
∴，.
∴ 线段的直角点是，.
故答案为：，；
【分析】（1）利用点的坐标求出OM2、OP12、OP22、OP32、MP12、MP22、MP32的值，可推出，，再根据线段的直角点的定义可得答案.
（2）①分情况讨论：若时；若时；若∠ACB=90°时，分别求出符合题意的点C的坐标；②如图2，设点P（m，-m+7），以AP为边向下作正方形APC3C1，连接PC1，AC3交于点C2，则C1、C2、C3是线段AP的等腰直角点，过点A作x轴的平行线，分别过点P、C1作y轴的平行线，得到Rt△AMP，Rt△ANC1，利用正方形的性质和余角的性质可证得∠NAC1=∠APM，∠M=∠N=∠PAC1=90°，AC1=AP，利用AAS可证得△ANC1≌△PMA，利用全等三角形的性质可表示出NC1、AN、PM的长，可得到点C1、C2、C3的坐标，利用点的坐标可知点C1的运动轨迹是直线y=x+1，点C2的运动轨迹是直线x=2，点C3的运动轨迹是直线x=3，当边长为a的正方形与直线y=x+1、直线x=2，直线x=3的交点只有两个时，满足条件；当以AP为边的正方形时，边长为a的正方形存在的伴随点，不至于两个，不符合题意；综上所述可得到a的取值范围.
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