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河北省保定市唐县2024-2025学年七年级下学期学业质量检测数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列方程中，二元一次方程是（　　）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（　　）
A．是的算术平方根 B．的立方根是
C．的平方根是 D．是的算术平方根
3．某地区7-18岁男女身高增长速度与年龄间的关系呈现如图所示，由图可以判断，下列说法中错误的是（　　）
A．男生在13岁时身高增长速度最快
B．随着年龄的增长，男女生的增长速度均趋于减慢
C．11岁时男女身高增长速度基本相同
D．女生身高增长的速度总比男生慢
4．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
5．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是(　　)
A． B． C． D．
6．下列命题中，真命题是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
C．平行于同一直线的两条直线互相平行
D．相等的角是对顶角
7．吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（　　）
A． B． C．4 D．6
9．有一个数值转换器，其工作原理如图所示．当输入x的值为8时，输出y的值为（　　）
A． B．2 C．4 D．
10．下面是晓晓的一次数学课后作业，请帮助晓晓检查一下她的解题过程．晓晓的解题过程开始错误的一步是（　　）
解不等式． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 系数化为1，得．⑤
A．① B．② C．③ D．④
11．我国民间流传这样一道数学名题：
数学原题： 只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两还缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少两银子？（1斤等于10两）
其大意是： 听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少银？
设有个人，共分两银子，根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位到位置．下列结论：
①，且；
②；
③若，则边扫过的图形的面积为5；
④若四边形的周长为a，三角形的周长为b，则．
其中正确的结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．利用如图的工具可以测得的大小是　 　°．
14．写出一个比大且比小的整数：　 　．
15．如图为一根弯折的铁丝，，工人师傅对该铁丝进一步加工，在C处进行第二次弯折．若要保证弯折后的部分与保持平行，则弯折后形成的的度数为　 　．
16．小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．小明是一个热爱研究的孩子，在阅读了《乌鸦喝水》的故事后，想研究物体对水位的影响，于是用小球模拟了乌鸦喝水的场景，根据图中信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高_____cm，放入一个大球水面升高_____cm；
（2）如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？
18．（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，请完成下列各题：
①过点P画的垂线，垂足为M；
②在射线上找一点N，使得直线；
（2）在上图中这三条线段大小关系是________________（用“<”号连接），并说明其中的数学理由：________________．
19．如图，在平面直角坐标系中，，，．将向左平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，可以得到，其中点、、分别与点、、对应．
（1）画出平移后的；
（2）写出坐标：（_____）、（_____）；
（3）求的面积．
（4）已知点，，直接写出的取值范围_____．
20．小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或．
【迁移应用】
（1）填空：的解集是_____；
（2）求绝对值不等式的解集；
（3）已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围_____．
21．科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础，某学校计划在八年级开设 “无人机”、“创客”、“AI”、“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出)．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，选择“航模”课程的学生占_____，所对应的圆心角为____．
（3）若该校八年级共有600名学生，试估计选择“AI”课程的学生有多少名？
22．如图，对于两条直线，被第三条直线所截的同旁内角，满足，则称是的关联角．
已知是的关联角．
（1）当时，_____；
（2）当时，求；并判断直线，的位置关系．
23．据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元．
（1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？
（2）因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？
24．综合与实践：
筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动．
（1）图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，交于点，，垂足为点，，则的度数为_____°．
（2）图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，，为上一点，射线与交于点，射线交于点．
若，与所在的直线存在什么位置关系？请说明理由．
（3）图3为“丁字型”抓法及示意图，，射线交于点，交于点，与交于点，射线交于点．（温馨提示：小学学过三角形内角和是）若，，，当，垂足为点时，请直接写出，，的数量关系_____．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A. 方程含三个未知数、、，属于三元一次方程，故该选项不符合题意；
B. 方程仅含一个未知数，且为二次项，属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
C. 方程含分式项，属于分式方程，故该选项不符合题意；
D．，满足两个未知数且次数均为，是整式方程，符合二元一次方程的定义，故该选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】只含有2个未知数，最高次项的次数是1的整式方程是二元一次方程. 根据二元一次方程的定义对每个选项逐一判断求解即可.
2．【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、根据算术平方根定义，因为，所以是的算术平方根，而非是的算术平方根，A错误；
B、由立方根定义，因为，所以的立方根是，B正确；
C、按照平方根定义，因为，所以的平方根是，不是的平方根是，C错误；
D、依据算术平方根定义，算术平方根是非负的，因为，所以是的算术平方根，是的平方根，D错误.
故答案为：B.
【分析】要判断这些说法是否正确，得先清晰掌握平方根、算术平方根、立方根的定义.
算术平方根：若一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数就是的算术平方根，记为 ，算术平方根只有非负的那个，平方根：若一个数的平方等于，即，那么这个数就是的平方根，记为 ，有正负两个，立方根：若一个数的立方等于，即，那么这个数就是的立方根，记为 ，立方根的符号和原数一致，解题思路就是依据这些定义，对每个选项逐一验证.
3．【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：A. 由图象可知，男生在13岁时身高增长速度最快，正确，不符合题意；
B. 由图象可知，随着年龄的增长，男女生的增长速度均趋于减慢，正确，不符合题意；
C. 由图象可知，11岁时男女身高增长速度基本相同，正确，不符合题意；
D. 由图象可知，女生身高增长的速度11岁前比男生快，故原说法错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】仔细观察图象，再对每个选项逐一判断求解即可.
4．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据图形可知目标在第四象限，
A. -3＜0，300＞0，所以该选项在第二象限，不符合题意；
B. 7＞0，500＞0，所以该选项在第一象限，不符合题意；
C. 9＞0，-600＜0，所以该选项在第四象限，符合题意；
D. -2＜0，-800＜0，所以该选项在第三象限，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】先求出目标在第四象限，其横坐标是正数，纵坐标是负数，再对每个选项逐一判断求解即可.
5．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据图示，可得：，，
，，
，
选项A不符合题意；
，，
，
选项B不符合题意；
，
，
又，
，
选项C不符合题意；
，
，
又，
，
选项D符合题意．
故答案为：D．
【解答】结合数轴先求出，，再对每个选项逐一判断求解即可.
6．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；真命题与假命题；平行公理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等的前提是两直线平行，否则不成立，故该选项错误；
B. 垂直于同一直线的两条直线在同一平面内应平行，而非互相垂直，故该选项错误；
C. 根据平行公理，平行于同一直线的两条直线互相平行，故该选项正确；
D. 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故该选项错误；
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质，平行线的判定与平行公理的含义以及对顶角的定义对每个选项逐一判断求解即可.
7．【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、由推出和是同位角，由两直线平行、同位角相等可知该选项正确，符合题意；
B、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意；
C、和不是同旁内角，由不能判定，故此选项不符合题意；
D、无法判断和关系，故此选项不符合题意．
故选：A．
【分析】本题考查平行线的性质，包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的应用，核心是根据角的位置关系判断适用的性质。已知，分析各选项：A选项中和是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可直接得出两角相等；B选项中和并非同位角或内错角，结合平行线同旁内角互补的性质及邻补角的特点，它们仅满足互补关系，不一定相等；C选项中和不构成同旁内角，无法依据平行线性质推出和为180°；D选项中和没有明确的位置关联，无法判断其数量关系，由此筛选出正确答案。
8．【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入得到，
解得
故选：B
【分析】将解代入方程可得关于m的一次方程，再解方程即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：根据题意，得， 是有理数，继续运算， 是无理数，符合题意， 即输出的的值是，
故答案为：D.
【分析】结合框图中的运算进行计算，如果结果是有理数，则继续输入，直到结果为无理数为止．
10．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
去分母，得，①
去括号，得，②
移项，得，③
合并同类项，得，④
系数化为1，得，⑤
由解题过程可知，晓晓的解题过程开始错误的一步是①，
故答案为：A.
【分析】根据解一元一次不等式的步骤计算求解即可.
11．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有个人，共分两银子，
根据题意，可列方程组为
．
故答案为：A.
【分析】根据“每人7两还缺7两，每人半斤多半斤”列方程组求解即可.
12．【答案】C
【知识点】平移的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，且，故①符合题意；
∵，
∴，
∴，故②符合题意；
当，，则边扫过的图形的面积为：，故③不符合题意；
四边形的周长为，
三角形的周长为，
由平移可知，，
∴，
∴，即，故④符合题意，
综上所述，符合题意的有①②④，
故答案为：C.
【分析】根据平移的性质，平行四边形的面积公式对每个结论逐一计算求解即可.
13．【答案】30
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据对顶角相等可得，
故答案为：30．
【分析】利用对顶角的定义和性质及量角器的使用方法分析求解即可.
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴比大且比小的整数可以是，0，1，2，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据题意可得出，再作答求解即可.
15．【答案】或
【知识点】平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：当点D在点C的左侧时，如图所示：
∵，，
∴；
当点D在点C的右侧时，如图所示：
∵，，
∴；
综上分析可知：的度数为：或．
故答案为：或．
【分析】分情况讨论：当点D在点C的左侧时，当点D在点C的右侧时，根据直线平行性质即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
如图，过点作，过点作，
，
，
，，，
，，
，，
，
故答案为：．
【分析】
过点作，过点作，利用平行线的性质（同旁内角互补，内错角相等）分别求出被分割的两个角的度数，最后求解即可．
17．【答案】（1）2；3
（2）解：设应放入大球x个，小球y个，
依题意得：
解得：，
答：应放入大球4个，小球6个．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1），
；
答：放入一个小球水面升高，放入一个大球水面升高.
【分析】（1）根据水面升高量除以球的个数计算求解即可；
（2）先设应放入大球x个，小球y个，再找出等量关系式列出方程组，最后计算求解即可.
（1）解：，
；
答：放入一个小球水面升高，放入一个大球水面升高；
（2）解：设应放入大球x个，小球y个，依题意有
解得：，
答：应放入大球4个，小球6个．
18．【答案】（1）解：①如图，即为所求；
②如图，即为所求．
（2）；垂线段最短．
【知识点】垂线的概念；垂线段最短及其应用；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：（2）由图可得，．
数学理由为：垂线段最短．
故答案为：；垂线段最短．
【分析】（1）①结合题意，根据垂线的定义作图求解即可；
②结合题意，根据垂线的定义作图求解即可；
（2）结合垂线段最短作答即可．
19．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2），
（3）解：，
的面积为.
（4）或
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）由图形可得：，；
（4）以、、为顶点的三角形面积为2，，，
三角形以、为底，高是到轴的距离，
，
，
当在的左侧时，当在的右侧时，
，，
或.
【分析】（1）分别确定平移后的对应点，再顺次连接即可作答；
（2）根据图形中点的位置求点的坐标即可；
（3）结合图形，利用割补法求三角形的面积即可；
（4）根据题意先求出，再计算求解即可.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由图形可得：，；
（3）解：，
的面积为.
（4）解：以、、为顶点的三角形面积为2，，，
三角形以、为底，高是到轴的距离，
，
，
当在的左侧时，当在的右侧时，
，，
或.
20．【答案】（1）或
（2）解：当时，则或，
解得或，
，
分界点把数轴分为三部分：
数左边的数与数的差的绝对值大于；
数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；
数2右边的数与的差的绝对值大于3，
∴的解集为或；
（3）
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）当时，，
∴根据题意可得的解集是或；
故答案为：或；
（3），
∴方程组中的两个方程相加可得，
∵，
∴，
当时，则或，
解得或，
，
分界点把数轴分为三部分：
数左边的数与数的差的绝对值大于；
数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；
数2右边的数与的差的绝对值大于3，
∴的解集为，
故答案为：.
【分析】（1）先求出时的x的值，再结合题意求解即可；
（2）根据题意先求出或，再结合分界点把数轴分为三部分作答求解即可；
（3）把方程组中的两个方程相加可得，再求出，最后求解即可.
（1）解：当时，，
∴根据题意可得的解集是或；
（2）解：当时，则或，
解得或，
，
分界点把数轴分为三部分：
数左边的数与数的差的绝对值大于；
数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；
数2右边的数与的差的绝对值大于3，
∴的解集为或；
（3）解：，
∴方程组中的两个方程相加可得，
∵，
∴，
当时，则或，解得或，
，
分界点把数轴分为三部分：
数左边的数与数的差的绝对值大于；
数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；
数2右边的数与的差的绝对值大于3，
∴的解集为．
21．【答案】（1）解：参加问卷调查的学生人数为（名），
选择“AI”课程的学生人数为（名）．
补全条形统计图如图所示：
（2）10；36
（3）解：（名）．
答：估计选择“AI”课程的学生有100名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴选择“航模”课程的学生占．
∵，
∴扇形统计图中选择“航模”课程的学生部分所对的圆心角的度数为，
故答案为：10；36．
【分析】（1）根据题意先求出参加问卷调查的学生人数为50名，再求出选择“AI”课程的学生人数为20名，最后补全条形统计图即可；
（2）根据题意先求出选择“航模”课程的学生占10%，再乘以即可求得其对应的圆心角的度数；
（3）用学生数乘以样本中“AI”课程所占的百分比列式计算求解即可.
（1）解：参加问卷调查的学生人数为名，
选择“AI”课程的学生人数为名．
补全条形统计图如图所示：
（2）解：因为，
所以选择“航模”课程的学生占．
因为。
所以扇形统计图中选择“航模”课程的学生部分所对的圆心角的度数为．
故答案为：10，36．
（3）解：（名）．
答：估计选择“AI”课程的学生有100名．
22．【答案】（1）80
（2）解：是的关联角，
，
解得：，
∴，
，
.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】（1）解：是的关联角，，
，
故答案为：80.
【分析】（1）根据关联角的定义解答求解即可；
（2）根据题意先求出，再求出，最后根据平行线的判定方法证明求解即可.
（1）解：是的关联角，，
；
（2）是的关联角，
，
解得：，，
，
23．【答案】（1）解：设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，
由题意得，，
解得，
∴，
答：每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元.
（2）解：设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个．
由题意得，
解得，
∵y为正整数，
∴y的值可以为48或49或50，
当时，，此时费用为（元），
当时，，此时费用为（元），
当时，，此时费用为（元），
∵，
∴一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，再根据等量关系求出即可作答；
（2）设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个，再求出，最后计算求解即可.
（1）解：设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，
由题意得，，
解得，
∴，
答：每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元；
（2）解：设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个．
根据题意，得，
解得，
∵y为正整数，
∴y的值可以为48或49或50，
当时，，此时费用为元，
当时，，此时费用为元，
当时，，此时费用为元，
∵，
∴一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱．
24．【答案】（1）70
（2）解：，理由如下：
，
，，
，
，
.
（3）
【知识点】垂线的概念；平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
，
故答案为：.
（3），，，，
∴
，
，
即，
，
，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据垂直的性质求出，再求出，最后计算求解即可；
（2）根据平行线的性质求出，，再求出，最后根据平行线的判定方法证明求解即可；
（3）根据题意先求出，再根据平行线的性质求出，最后求解即可.
（1）解：，
，
，
，
，
故答案为：.
（2）解：；理由如下：
，
，
，
，
．
（3）解：，，，，
，
，即，
，
，
.
1 / 1河北省保定市唐县2024-2025学年七年级下学期学业质量检测数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列方程中，二元一次方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A. 方程含三个未知数、、，属于三元一次方程，故该选项不符合题意；
B. 方程仅含一个未知数，且为二次项，属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
C. 方程含分式项，属于分式方程，故该选项不符合题意；
D．，满足两个未知数且次数均为，是整式方程，符合二元一次方程的定义，故该选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】只含有2个未知数，最高次项的次数是1的整式方程是二元一次方程. 根据二元一次方程的定义对每个选项逐一判断求解即可.
2．下列说法正确的是（　　）
A．是的算术平方根 B．的立方根是
C．的平方根是 D．是的算术平方根
【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、根据算术平方根定义，因为，所以是的算术平方根，而非是的算术平方根，A错误；
B、由立方根定义，因为，所以的立方根是，B正确；
C、按照平方根定义，因为，所以的平方根是，不是的平方根是，C错误；
D、依据算术平方根定义，算术平方根是非负的，因为，所以是的算术平方根，是的平方根，D错误.
故答案为：B.
【分析】要判断这些说法是否正确，得先清晰掌握平方根、算术平方根、立方根的定义.
算术平方根：若一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数就是的算术平方根，记为 ，算术平方根只有非负的那个，平方根：若一个数的平方等于，即，那么这个数就是的平方根，记为 ，有正负两个，立方根：若一个数的立方等于，即，那么这个数就是的立方根，记为 ，立方根的符号和原数一致，解题思路就是依据这些定义，对每个选项逐一验证.
3．某地区7-18岁男女身高增长速度与年龄间的关系呈现如图所示，由图可以判断，下列说法中错误的是（　　）
A．男生在13岁时身高增长速度最快
B．随着年龄的增长，男女生的增长速度均趋于减慢
C．11岁时男女身高增长速度基本相同
D．女生身高增长的速度总比男生慢
【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：A. 由图象可知，男生在13岁时身高增长速度最快，正确，不符合题意；
B. 由图象可知，随着年龄的增长，男女生的增长速度均趋于减慢，正确，不符合题意；
C. 由图象可知，11岁时男女身高增长速度基本相同，正确，不符合题意；
D. 由图象可知，女生身高增长的速度11岁前比男生快，故原说法错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】仔细观察图象，再对每个选项逐一判断求解即可.
4．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据图形可知目标在第四象限，
A. -3＜0，300＞0，所以该选项在第二象限，不符合题意；
B. 7＞0，500＞0，所以该选项在第一象限，不符合题意；
C. 9＞0，-600＜0，所以该选项在第四象限，符合题意；
D. -2＜0，-800＜0，所以该选项在第三象限，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】先求出目标在第四象限，其横坐标是正数，纵坐标是负数，再对每个选项逐一判断求解即可.
5．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据图示，可得：，，
，，
，
选项A不符合题意；
，，
，
选项B不符合题意；
，
，
又，
，
选项C不符合题意；
，
，
又，
，
选项D符合题意．
故答案为：D．
【解答】结合数轴先求出，，再对每个选项逐一判断求解即可.
6．下列命题中，真命题是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．垂直于同一直线的两条直线互相垂直
C．平行于同一直线的两条直线互相平行
D．相等的角是对顶角
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；真命题与假命题；平行公理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等的前提是两直线平行，否则不成立，故该选项错误；
B. 垂直于同一直线的两条直线在同一平面内应平行，而非互相垂直，故该选项错误；
C. 根据平行公理，平行于同一直线的两条直线互相平行，故该选项正确；
D. 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故该选项错误；
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质，平行线的判定与平行公理的含义以及对顶角的定义对每个选项逐一判断求解即可.
7．吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A、由推出和是同位角，由两直线平行、同位角相等可知该选项正确，符合题意；
B、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意；
C、和不是同旁内角，由不能判定，故此选项不符合题意；
D、无法判断和关系，故此选项不符合题意．
故选：A．
【分析】本题考查平行线的性质，包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的应用，核心是根据角的位置关系判断适用的性质。已知，分析各选项：A选项中和是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可直接得出两角相等；B选项中和并非同位角或内错角，结合平行线同旁内角互补的性质及邻补角的特点，它们仅满足互补关系，不一定相等；C选项中和不构成同旁内角，无法依据平行线性质推出和为180°；D选项中和没有明确的位置关联，无法判断其数量关系，由此筛选出正确答案。
8．已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（　　）
A． B． C．4 D．6
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入得到，
解得
故选：B
【分析】将解代入方程可得关于m的一次方程，再解方程即可求出答案.
9．有一个数值转换器，其工作原理如图所示．当输入x的值为8时，输出y的值为（　　）
A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：根据题意，得， 是有理数，继续运算， 是无理数，符合题意， 即输出的的值是，
故答案为：D.
【分析】结合框图中的运算进行计算，如果结果是有理数，则继续输入，直到结果为无理数为止．
10．下面是晓晓的一次数学课后作业，请帮助晓晓检查一下她的解题过程．晓晓的解题过程开始错误的一步是（　　）
解不等式． 解：去分母，得．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ 系数化为1，得．⑤
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
去分母，得，①
去括号，得，②
移项，得，③
合并同类项，得，④
系数化为1，得，⑤
由解题过程可知，晓晓的解题过程开始错误的一步是①，
故答案为：A.
【分析】根据解一元一次不等式的步骤计算求解即可.
11．我国民间流传这样一道数学名题：
数学原题： 只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两还缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少两银子？（1斤等于10两）
其大意是： 听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少银？
设有个人，共分两银子，根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有个人，共分两银子，
根据题意，可列方程组为
．
故答案为：A.
【分析】根据“每人7两还缺7两，每人半斤多半斤”列方程组求解即可.
12．如图，将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位到位置．下列结论：
①，且；
②；
③若，则边扫过的图形的面积为5；
④若四边形的周长为a，三角形的周长为b，则．
其中正确的结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平移的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，且，故①符合题意；
∵，
∴，
∴，故②符合题意；
当，，则边扫过的图形的面积为：，故③不符合题意；
四边形的周长为，
三角形的周长为，
由平移可知，，
∴，
∴，即，故④符合题意，
综上所述，符合题意的有①②④，
故答案为：C.
【分析】根据平移的性质，平行四边形的面积公式对每个结论逐一计算求解即可.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．利用如图的工具可以测得的大小是　 　°．
【答案】30
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：根据对顶角相等可得，
故答案为：30．
【分析】利用对顶角的定义和性质及量角器的使用方法分析求解即可.
14．写出一个比大且比小的整数：　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴比大且比小的整数可以是，0，1，2，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据题意可得出，再作答求解即可.
15．如图为一根弯折的铁丝，，工人师傅对该铁丝进一步加工，在C处进行第二次弯折．若要保证弯折后的部分与保持平行，则弯折后形成的的度数为　 　．
【答案】或
【知识点】平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：当点D在点C的左侧时，如图所示：
∵，，
∴；
当点D在点C的右侧时，如图所示：
∵，，
∴；
综上分析可知：的度数为：或．
故答案为：或．
【分析】分情况讨论：当点D在点C的左侧时，当点D在点C的右侧时，根据直线平行性质即可求出答案.
16．小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
如图，过点作，过点作，
，
，
，，，
，，
，，
，
故答案为：．
【分析】
过点作，过点作，利用平行线的性质（同旁内角互补，内错角相等）分别求出被分割的两个角的度数，最后求解即可．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．小明是一个热爱研究的孩子，在阅读了《乌鸦喝水》的故事后，想研究物体对水位的影响，于是用小球模拟了乌鸦喝水的场景，根据图中信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高_____cm，放入一个大球水面升高_____cm；
（2）如果放入10个球且使水面恰好上升到，应放入大球、小球各多少个？
【答案】（1）2；3
（2）解：设应放入大球x个，小球y个，
依题意得：
解得：，
答：应放入大球4个，小球6个．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1），
；
答：放入一个小球水面升高，放入一个大球水面升高.
【分析】（1）根据水面升高量除以球的个数计算求解即可；
（2）先设应放入大球x个，小球y个，再找出等量关系式列出方程组，最后计算求解即可.
（1）解：，
；
答：放入一个小球水面升高，放入一个大球水面升高；
（2）解：设应放入大球x个，小球y个，依题意有
解得：，
答：应放入大球4个，小球6个．
18．（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，请完成下列各题：
①过点P画的垂线，垂足为M；
②在射线上找一点N，使得直线；
（2）在上图中这三条线段大小关系是________________（用“<”号连接），并说明其中的数学理由：________________．
【答案】（1）解：①如图，即为所求；
②如图，即为所求．
（2）；垂线段最短．
【知识点】垂线的概念；垂线段最短及其应用；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：（2）由图可得，．
数学理由为：垂线段最短．
故答案为：；垂线段最短．
【分析】（1）①结合题意，根据垂线的定义作图求解即可；
②结合题意，根据垂线的定义作图求解即可；
（2）结合垂线段最短作答即可．
19．如图，在平面直角坐标系中，，，．将向左平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，可以得到，其中点、、分别与点、、对应．
（1）画出平移后的；
（2）写出坐标：（_____）、（_____）；
（3）求的面积．
（4）已知点，，直接写出的取值范围_____．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2），
（3）解：，
的面积为.
（4）或
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）由图形可得：，；
（4）以、、为顶点的三角形面积为2，，，
三角形以、为底，高是到轴的距离，
，
，
当在的左侧时，当在的右侧时，
，，
或.
【分析】（1）分别确定平移后的对应点，再顺次连接即可作答；
（2）根据图形中点的位置求点的坐标即可；
（3）结合图形，利用割补法求三角形的面积即可；
（4）根据题意先求出，再计算求解即可.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由图形可得：，；
（3）解：，
的面积为.
（4）解：以、、为顶点的三角形面积为2，，，
三角形以、为底，高是到轴的距离，
，
，
当在的左侧时，当在的右侧时，
，，
或.
20．小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或．
【迁移应用】
（1）填空：的解集是_____；
（2）求绝对值不等式的解集；
（3）已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围_____．
【答案】（1）或
（2）解：当时，则或，
解得或，
，
分界点把数轴分为三部分：
数左边的数与数的差的绝对值大于；
数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；
数2右边的数与的差的绝对值大于3，
∴的解集为或；
（3）
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）当时，，
∴根据题意可得的解集是或；
故答案为：或；
（3），
∴方程组中的两个方程相加可得，
∵，
∴，
当时，则或，
解得或，
，
分界点把数轴分为三部分：
数左边的数与数的差的绝对值大于；
数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；
数2右边的数与的差的绝对值大于3，
∴的解集为，
故答案为：.
【分析】（1）先求出时的x的值，再结合题意求解即可；
（2）根据题意先求出或，再结合分界点把数轴分为三部分作答求解即可；
（3）把方程组中的两个方程相加可得，再求出，最后求解即可.
（1）解：当时，，
∴根据题意可得的解集是或；
（2）解：当时，则或，
解得或，
，
分界点把数轴分为三部分：
数左边的数与数的差的绝对值大于；
数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；
数2右边的数与的差的绝对值大于3，
∴的解集为或；
（3）解：，
∴方程组中的两个方程相加可得，
∵，
∴，
当时，则或，解得或，
，
分界点把数轴分为三部分：
数左边的数与数的差的绝对值大于；
数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；
数2右边的数与的差的绝对值大于3，
∴的解集为．
21．科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础，某学校计划在八年级开设 “无人机”、“创客”、“AI”、“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出)．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，选择“航模”课程的学生占_____，所对应的圆心角为____．
（3）若该校八年级共有600名学生，试估计选择“AI”课程的学生有多少名？
【答案】（1）解：参加问卷调查的学生人数为（名），
选择“AI”课程的学生人数为（名）．
补全条形统计图如图所示：
（2）10；36
（3）解：（名）．
答：估计选择“AI”课程的学生有100名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴选择“航模”课程的学生占．
∵，
∴扇形统计图中选择“航模”课程的学生部分所对的圆心角的度数为，
故答案为：10；36．
【分析】（1）根据题意先求出参加问卷调查的学生人数为50名，再求出选择“AI”课程的学生人数为20名，最后补全条形统计图即可；
（2）根据题意先求出选择“航模”课程的学生占10%，再乘以即可求得其对应的圆心角的度数；
（3）用学生数乘以样本中“AI”课程所占的百分比列式计算求解即可.
（1）解：参加问卷调查的学生人数为名，
选择“AI”课程的学生人数为名．
补全条形统计图如图所示：
（2）解：因为，
所以选择“航模”课程的学生占．
因为。
所以扇形统计图中选择“航模”课程的学生部分所对的圆心角的度数为．
故答案为：10，36．
（3）解：（名）．
答：估计选择“AI”课程的学生有100名．
22．如图，对于两条直线，被第三条直线所截的同旁内角，满足，则称是的关联角．
已知是的关联角．
（1）当时，_____；
（2）当时，求；并判断直线，的位置关系．
【答案】（1）80
（2）解：是的关联角，
，
解得：，
∴，
，
.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】（1）解：是的关联角，，
，
故答案为：80.
【分析】（1）根据关联角的定义解答求解即可；
（2）根据题意先求出，再求出，最后根据平行线的判定方法证明求解即可.
（1）解：是的关联角，，
；
（2）是的关联角，
，
解得：，，
，
23．据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元．
（1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？
（2）因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？
【答案】（1）解：设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，
由题意得，，
解得，
∴，
答：每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元.
（2）解：设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个．
由题意得，
解得，
∵y为正整数，
∴y的值可以为48或49或50，
当时，，此时费用为（元），
当时，，此时费用为（元），
当时，，此时费用为（元），
∵，
∴一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，再根据等量关系求出即可作答；
（2）设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个，再求出，最后计算求解即可.
（1）解：设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，
由题意得，，
解得，
∴，
答：每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元；
（2）解：设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个．
根据题意，得，
解得，
∵y为正整数，
∴y的值可以为48或49或50，
当时，，此时费用为元，
当时，，此时费用为元，
当时，，此时费用为元，
∵，
∴一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱．
24．综合与实践：
筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动．
（1）图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，交于点，，垂足为点，，则的度数为_____°．
（2）图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，，为上一点，射线与交于点，射线交于点．
若，与所在的直线存在什么位置关系？请说明理由．
（3）图3为“丁字型”抓法及示意图，，射线交于点，交于点，与交于点，射线交于点．（温馨提示：小学学过三角形内角和是）若，，，当，垂足为点时，请直接写出，，的数量关系_____．
【答案】（1）70
（2）解：，理由如下：
，
，，
，
，
.
（3）
【知识点】垂线的概念；平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
，
故答案为：.
（3），，，，
∴
，
，
即，
，
，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据垂直的性质求出，再求出，最后计算求解即可；
（2）根据平行线的性质求出，，再求出，最后根据平行线的判定方法证明求解即可；
（3）根据题意先求出，再根据平行线的性质求出，最后求解即可.
（1）解：，
，
，
，
，
故答案为：.
（2）解：；理由如下：
，
，
，
，
．
（3）解：，，，，
，
，即，
，
，
.
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