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河北衡水市第二中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若函数，则的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为若（ ，），则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．某校6个社团进行作品展示，其中体育类2个、绘画类1个、演讲类1个、科技制作类2个，若体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻，则不同的展示方法有（ ）
A．432种 B．144种 C．96种 D．48种
5．在的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A． B．256 C．960 D．3840
6．函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线：，椭圆：，若， 分别是，上的动点，为坐标原点，若，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C．或 D．或
二、多选题
9．已知变量，之间的经验回归方程是，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，经验回归直线过点，当时，的预测值为0.6，则下列说法正确的是（ ）
6 8 12
6 3 2
提示：相关系数，．
A． B．变量，之间成负相关关系
C．数据的残差平方和较大 D．
10．一袋中装有10个小球，小球表面印有长城、九寨沟、张家界三种图案，其数量分别为4，3，3，小球除表面的图案不同外，其余均相同．每次从中随机摸出1个小球，连续摸球两次．设事件为“第一次摸到印有长城图案的小球”，事件为“第二次摸到印有张家界图案的小球”，则下列结论正确的有（ ）
A．若摸出后放回，则第5次摸出印有九寨沟图案的小球的概率是
B．若摸出后不放回，则
C．若摸出后不放回，则
D．若摸出后不放回，则
11．已知函数（），其中是在处的导数值，，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则是奇函数且在上单调递增
B．若函数在定义域上无极值点，则
C．若，则函数的图象的对称中心是
D．若，有三个不相等的实数根，则当取得最大值时，等于16
三、填空题
12．已知随机变量服从正态分布，，则________．
13．已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则，，的大小关系是________．
14．盒子中装有编号依次为1，2，3，4的4个除编号外均相同的小球，现从中有放回地摸次，每次摸出1个小球，记这次摸出的小球中最大编号为，若要求成立，则当最小时________．
四、解答题
15．某社区花鼓队有50名队员，男队员与女队员的人数相同，计划到北京旅游，对选择乘飞机和坐高铁进行了问卷调查，得到了如下的列联表．
乘飞机 坐高铁
男队员 5
女队员 10
(1)补全列联表；
(2)根据小概率值 的独立性检验，分析喜爱乘飞机和坐高铁是否与性别有关．
附：临界值表供参考．
0.15 0.010 0.005
2.072 6.635 7.879
16．已知数列的前 项和为,,且．
(1)若是，的等比中项，求正整数的值；
(2)若，求数列的前 项和．
17．2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；
(2)在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望；
(3)假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差．
18．已知抛物线（）的焦点为 ，抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线 的距离少．
(1)求抛物线的方程．
(2)若 ， 为抛物线上异于点的两点，直线的斜率为．求证：的重心在定直线上运动．
(3)过焦点的直线与抛物线交于 ， 两点,为坐标原点，直线，与直线分别相交于，两点，求的最小值．
19．已知函数（）．
(1)若在处取得极值，求的值；
(2)求函数的最值；
(3)设，若，，恒成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
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《河北衡水市第二中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D B C A C B BD ABD
题号 11
答案 BCD
12．/
13．
14．
15．(1)
乘飞机 坐高铁 合计
男队员 20 5 25
女队员 10 15 25
合计 30 20 50
(2)认为喜爱乘飞机和坐高铁与性别有关.
16．(1)
(2)
17．(1)
(2) 的分布列为
0 1 2
数学期望为
(3) 的分布列为
0 1 2 3
方差为
18．(1)
(2)设，则的重心．
由于直线 的斜率，
则，所以，
故 的重心在直线上运动．
(3)
19．(1)
(2)当时，函数无最值；当时，函数的最大值为，无最小值
(3)
答案第1页，共2页
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