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第2章 简单事件发生的概率
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.已知☉O的半径是5，直线l与☉O相交，圆心O到直线l的距离可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.10
2.有下列命题：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过同一直径两端的两条切线平行；③经过半径外端点的直线是圆的切线；④经过切点且垂直于切线的线段是半径。其中正确的是( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
3.如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的两点，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E。若∠E=40°，则∠D的度数为( )
A.20° B.25° C.28° D.30°
　　　
4.如图，AB是☉O的切线，A为切点，连结OA，点C在☉O上，OC⊥OA，连结BC并延长，交☉O于点D，连结OD。若∠B=65°，则∠DOC的度数为( )
A.45° B.50° C.65° D.75°
　第4题图 　第5题图
5.如图，线段AB 经过☉O的圆心，AC，BD分别与☉O相切于点C，D。若AC=BD=4，∠A=45°，则的长为( )
A.π B.2π C.2π D.4π
6.如图，△ABC的内心为I，连结AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，则线段DI与DB的关系是( )
A.DI=DB B.DI＞DB C.DI＜DB D.不确定
　　　
7.如图，在平面直角坐标系中，已知☉M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别相交于点B(0，4)与点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离为( )
A.10 B.8 C.4 D.2
　　　
8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E。若AB=15，BC=17，则AD的长为( )
A.8 B.8.5 C.5 D.9
　　　
【解析】 如答图，连结BE，过点D作DH⊥BC于点H，则∠BHD=∠CHD=90°。
∵AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E，AB=15，BC=17，
∴AB=EB=15，AD⊥AB，CD⊥EB，AD=ED，
∴∠BAD=∠BEC=90°，∴CE=8。
∵AD∥BC，∴∠ADH=∠CHD=90°。
∵∠BAD=∠ADH=∠BHD=90°，∴四边形ABHD是矩形，
∴BH=AD，DH=AB=15，∴CH=BC－BH=17－AD。
∵DH2＋CH2=CD2，且CD=CE＋ED=8＋AD，
∴152＋(17－AD)2=(8＋AD)2，解得AD=9。
9.如图，△OAB的边AB与☉O相切于点C，OB交☉O于点D，延长AO交☉O于点E，连结DE。若DE∥OC，OE=5，DE=6，则AB的长为( )
A.15 B. D.12
　　　
【解析】 ∵DE∥OC，
∴∠AOC=∠E，∠BOC=∠ODE。
∵OE=OD，
∴∠E=∠ODE，∴∠AOC=∠BOC。
∵AB与☉O相切于点C，∴OC⊥AB，
∴易证△AOC≌△BOC(ASA)，∴AC=BC。
如答图，过点O作OH⊥DE于点H，
∴∠EHO=90°，EH=DE=3，
∴OH=
==4。
∵∠OHE=∠ACO=90°，∠E=∠AOC，
∴△AOC∽△OEH，
∴，∴，
∴AC=，∴AB=2AC=。
10.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作☉O，交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，连结AD。有下列结论：①CD=BD；②DE为☉O的切线；③△ADE∽△ACD；④AD2=AE·AC。其中所有正确的结论是( )
A.① B.①② C.②③ D.①②③④
　　　
【解析】 ∵AC为☉O的直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC。
又∵AB=AC，∴BD=CD，①正确。
如答图，连结OD。
易知D为BC的中点，O为AC的中点，∴DO为△ABC的中位线，∴OD∥AB。
又∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∴DE为☉O的切线，②正确。
∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD。
又∵∠DEA=∠CDA=90°，∴△ADE∽△ACD，∴，即AD2=AE·AC，③④正确。
综上所述，正确的是①②③④。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)在同一平面内，半径为4的☉P与直线AB相离，则圆心P到直线AB的距离d需满足的条件是 。
12.(3分)如图，☉O为△ABC的内切圆，D，E，F为切点，连结DE，DF。若∠A=80°，则∠EDF= °。
13.(3分)如图，AB是☉O的切线，B为切点，若AO=2AC=4，则阴影部分的面积为 (结果保留π)。
　　　
【解析】 如答图，连结OB。
∵AB是☉O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，∴∠OBA=90°。
∵AO=2AC=4，∴OC＋AC=2AC=4，∴OC=AC=2，∴OB=2。
在Rt△OAB中，cos∠AOB=，∴∠AOB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB=60°。
过点C作CH⊥OB于点H，∴∠OCH=30°，∴OH=OC=1，∴CH=，
∴S阴影=S扇形BOC－S△OBC=×2×π－。
14.(3分)如图，已知☉O的半径为1，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ与☉O相切于点Q，则PQ的长最短为 。
【解析】 ∵PQ与☉O相切于点Q，
∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2－OQ2。
∵OQ=1，∴PQ2=OP2－1，即PQ=，
∴当OP的长最短时，PQ的长最短。
∵点O到直线l的距离为3，∴OP的长最短为3，
∴PQ的长最短为=2。
15.(3分)如图，PA，PB，DE分别与☉O相切于点A，B，C，点D，E分别在线段PA，PB上。若PA=8 cm，则△PDE的周长为 cm；连结OD，OE，若∠P=40°，则∠DOE的度数为 °。
　　　
【解析】 ∵PA，PB，DE是☉O的切线，
∴DA=DC，EC=EB，PA=PB，
∴△PDE的周长为PD＋DC＋EC＋PE=PA＋PB=2PA=16 cm 。
如答图，连结OA，OB，OC，
由题意，得∠AOB=180°－∠P=140°，
∴易知∠DOE=∠COD＋∠COE=(∠AOC＋∠BOC)=×140°=70°。
16.(3分)如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A。D是边BC上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 。
　　　
【解析】 如答图，连结OA，过点A作AE⊥BC于点E。
∵AC是☉O的切线，∴∠CAO=90°。
设AO=BO=x，则CO=BC－BO=4－x。
在Rt△ACO中，AO2＋AC2=CO2，
即x2＋22=(4－x)2，解得x=，即AO=，∴CO=。
易得AO·AC=CO·AE，∴AE=。
当△ACD为直角三角形时，分两种情况讨论：
①若∠CAD=90°，则点D与点O重合，此时AD=AO=；
②若∠ADC=90°，则点D与点E重合，此时AD=AE=。
综上所述，AD的长为或。
三、 解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)如图，AB为☉O的直径，点D在AB的延长线上，CD是☉O的切线，C是切点，连结AC。已知∠D=2∠A。
(1)(4分)求∠D的度数。
(2)(4分)若CD=2，求BD的长。
　　　
18.(8分)司南是我国古代辨别方向用的一种仪器。其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖。如图1，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20。根据八个方位将圆形八等分(图2中点A~H)，过点E作☉O的切线，与AG的延长线相交于点M，连结EG。求：
(1)(4分)∠AEG的度数。
(2)(4分)线段MG的长。
19.(8分)如图，☉O是△ABC的外接圆，AC是直径，D是☉O上的一个点，且BD=BC。
(1)(4分)求证：∠A=∠BCD。
(2)(4分)E是DB延长线上的一点，连结CE，若CB恰好平分∠DCE。求证：CE是☉O的切线。
20.(8分)已知在△AOB中，∠ABO=30°，AB为☉O的弦，直线MN与☉O相切于点C。
(1)(4分)如图1，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的度数。
(2)(4分)如图2，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA=3，求线段OF的长。
21.(8分)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，点D在AB的延长线上，连结CD，∠BCD=∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E。
(1)(4分)求证：CD是☉O的切线。
(2)(4分)若B是AD的中点，且BE=3，求☉O的半径。
　　　
22.(10分)如图，AB是☉O的直径，C为AB延长线上的一点，E为☉O上一点，连结CE。过点A作AD⊥CE，垂足为D，AD交☉O于点F，E为的中点。
(1)(3分)求证：CD是☉O的切线。
(2)(3分)求证：△CEB∽△CAE。
(3)(4分)若☉O的半径为1，CE=2，求AE的长。
　　　
23.(10分)如图，锐角三角形ABC内接于☉O，CD平分∠ACB，交AB于点E，交☉O于点F，AF平分∠BAD，连结AO并延长交CD于点P。
(1)(3分)若∠OAB=20°，请写出∠ACB，∠DAF的度数。
(2)(3分)求证：AD是☉O的切线。
(3)(4分)若AO平分∠CAB，CP∶PE=3∶2，求sin D的值。
　　　
　　 　
24.(12分)如图，在☉O中，AB是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H。
(1)(4分)求证：AD∥HC。
(2)(4分)若=2，求tan∠FAG的值。
(3)(4分)连结BC交AD于点N，若☉O的半径为5，AH=，求△ANB的周长。
　　　
　　 　第2章 简单事件发生的概率
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.已知☉O的半径是5，直线l与☉O相交，圆心O到直线l的距离可能是(　A　)
A.4 B.5 C.6 D.10
2.有下列命题：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过同一直径两端的两条切线平行；③经过半径外端点的直线是圆的切线；④经过切点且垂直于切线的线段是半径。其中正确的是(　A　)
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
3.如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的两点，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E。若∠E=40°，则∠D的度数为(　B　)
A.20° B.25° C.28° D.30°
　　　
第3题答图
【解析】 如答图，连结OC。
由切线的性质，得∠OCE=90°，
∴∠COE=180°－∠OCE－∠E=50°。
∵，
∴∠D=∠COB=25°。
4.如图，AB是☉O的切线，A为切点，连结OA，点C在☉O上，OC⊥OA，连结BC并延长，交☉O于点D，连结OD。若∠B=65°，则∠DOC的度数为(　B　)
A.45° B.50° C.65° D.75°
【解析】 ∵AB是☉O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB。
又∵OC⊥OA，
∴AB∥OC，
∴∠OCD=∠B=65°。
又∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=65°，
∴∠DOC=180°－65°－65°=50°。
　第4题图 　第5题图
5.如图，线段AB 经过☉O的圆心，AC，BD分别与☉O相切于点C，D。若AC=BD=4，∠A=45°，则的长为(　B　)
A.π B.2π C.2π D.4π
【解析】 如答图，连结CO，DO。
第5题答图
∵AC，BD分别与☉O相切于点C，D，∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC=∠A=45°，∴CO=AC=4。
∵AC=BD，CO=DO，∴△ACO≌△BDO(SAS)，
∴∠DOB=∠AOC=45°，∴∠DOC=180°－∠DOB－∠AOC=90°，∴=2π。
6.如图，△ABC的内心为I，连结AI并延长，交△ABC的外接圆于点D，则线段DI与DB的关系是(　A　)
A.DI=DB B.DI＞DB C.DI＜DB D.不确定
　　　
第6题答图
【解析】 如答图，连结BI。
∵△ABC的内心为I，∴∠CAD=∠BAD，∠CBI=∠ABI。
又∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CBD=∠BAD，
∴∠BID=∠BAD＋∠ABI=∠CBD＋∠CBI=∠DBI，
∴DI=DB。
7.如图，在平面直角坐标系中，已知☉M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别相交于点B(0，4)与点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离为(　D　)
A.10 B.8 C.4 D.2
　　　
第7题答图
【解析】 如答图，过点M作MD⊥y轴于点D，连结MA，MO。
∵☉M与x轴相切于点A(8，0)，∴MA⊥OA，OA=8，
∴∠OAM=∠AOD=∠ODM=90°，∴四边形OAMD是矩形。
∵点B(0，4)，C(0，16)，∴OB=4，OC=16，
∴易知BD=CD=BC=6，∴AM=OD=OB＋BD=10，
∴在Rt△OMA中，OM==2。
8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E。若AB=15，BC=17，则AD的长为(　D　)
A.8 B.8.5 C.5 D.9
　　　
第8题答图
【解析】 如答图，连结BE，过点D作DH⊥BC于点H，则∠BHD=∠CHD=90°。
∵AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E，AB=15，BC=17，
∴AB=EB=15，AD⊥AB，CD⊥EB，AD=ED，
∴∠BAD=∠BEC=90°，∴CE=8。
∵AD∥BC，∴∠ADH=∠CHD=90°。
∵∠BAD=∠ADH=∠BHD=90°，∴四边形ABHD是矩形，
∴BH=AD，DH=AB=15，∴CH=BC－BH=17－AD。
∵DH2＋CH2=CD2，且CD=CE＋ED=8＋AD，
∴152＋(17－AD)2=(8＋AD)2，解得AD=9。
9.如图，△OAB的边AB与☉O相切于点C，OB交☉O于点D，延长AO交☉O于点E，连结DE。若DE∥OC，OE=5，DE=6，则AB的长为(　B　)
A.15 B. D.12
　　　
第9题答图
【解析】 ∵DE∥OC，
∴∠AOC=∠E，∠BOC=∠ODE。
∵OE=OD，
∴∠E=∠ODE，∴∠AOC=∠BOC。
∵AB与☉O相切于点C，∴OC⊥AB，
∴易证△AOC≌△BOC(ASA)，∴AC=BC。
如答图，过点O作OH⊥DE于点H，
∴∠EHO=90°，EH=DE=3，
∴OH=
==4。
∵∠OHE=∠ACO=90°，∠E=∠AOC，
∴△AOC∽△OEH，
∴，∴，
∴AC=，∴AB=2AC=。
10.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作☉O，交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，连结AD。有下列结论：①CD=BD；②DE为☉O的切线；③△ADE∽△ACD；④AD2=AE·AC。其中所有正确的结论是(　D　)
A.① B.①② C.②③ D.①②③④
　　　
第10题答图
【解析】 ∵AC为☉O的直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC。
又∵AB=AC，∴BD=CD，①正确。
如答图，连结OD。
易知D为BC的中点，O为AC的中点，∴DO为△ABC的中位线，∴OD∥AB。
又∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∴DE为☉O的切线，②正确。
∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD。
又∵∠DEA=∠CDA=90°，∴△ADE∽△ACD，∴，即AD2=AE·AC，③④正确。
综上所述，正确的是①②③④。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)在同一平面内，半径为4的☉P与直线AB相离，则圆心P到直线AB的距离d需满足的条件是　d＞4　。
12.(3分)如图，☉O为△ABC的内切圆，D，E，F为切点，连结DE，DF。若∠A=80°，则∠EDF=　50　°。
13.(3分)如图，AB是☉O的切线，B为切点，若AO=2AC=4，则阴影部分的面积为 π－　(结果保留π)。
　　　
第13题答图
【解析】 如答图，连结OB。
∵AB是☉O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，∴∠OBA=90°。
∵AO=2AC=4，∴OC＋AC=2AC=4，∴OC=AC=2，∴OB=2。
在Rt△OAB中，cos∠AOB=，∴∠AOB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB=60°。
过点C作CH⊥OB于点H，∴∠OCH=30°，∴OH=OC=1，∴CH=，
∴S阴影=S扇形BOC－S△OBC=×2×π－。
14.(3分)如图，已知☉O的半径为1，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ与☉O相切于点Q，则PQ的长最短为　2　。
【解析】 ∵PQ与☉O相切于点Q，
∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2－OQ2。
∵OQ=1，∴PQ2=OP2－1，即PQ=，
∴当OP的长最短时，PQ的长最短。
∵点O到直线l的距离为3，∴OP的长最短为3，
∴PQ的长最短为=2。
15.(3分)如图，PA，PB，DE分别与☉O相切于点A，B，C，点D，E分别在线段PA，PB上。若PA=8 cm，则△PDE的周长为　16　cm；连结OD，OE，若∠P=40°，则∠DOE的度数为　70　°。
　　　
第15题答图
【解析】 ∵PA，PB，DE是☉O的切线，
∴DA=DC，EC=EB，PA=PB，
∴△PDE的周长为PD＋DC＋EC＋PE=PA＋PB=2PA=16 cm 。
如答图，连结OA，OB，OC，
由题意，得∠AOB=180°－∠P=140°，
∴易知∠DOE=∠COD＋∠COE=(∠AOC＋∠BOC)=×140°=70°。
16.(3分)如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A。D是边BC上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 或　。
　　　
第16题答图
【解析】 如答图，连结OA，过点A作AE⊥BC于点E。
∵AC是☉O的切线，∴∠CAO=90°。
设AO=BO=x，则CO=BC－BO=4－x。
在Rt△ACO中，AO2＋AC2=CO2，
即x2＋22=(4－x)2，解得x=，即AO=，∴CO=。
易得AO·AC=CO·AE，∴AE=。
当△ACD为直角三角形时，分两种情况讨论：
①若∠CAD=90°，则点D与点O重合，此时AD=AO=；
②若∠ADC=90°，则点D与点E重合，此时AD=AE=。
综上所述，AD的长为或。
三、 解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)如图，AB为☉O的直径，点D在AB的延长线上，CD是☉O的切线，C是切点，连结AC。已知∠D=2∠A。
(1)(4分)求∠D的度数。
(2)(4分)若CD=2，求BD的长。
　　　
第17题答图
解：(1)如答图，连结OC。
∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∴∠COD=∠A＋∠OCA=2∠A。
又∵∠D=2∠A，∴∠COD=∠D。
∵CD与☉O相切于点C，∴OC⊥CD，即∠OCD=90°，∴∠D=45°。
(2)由(1)得，△OCD是等腰直角三角形，∴OB=OC=CD=2，
∴OD==2，∴BD=OD－OB=2－2。
18.(8分)司南是我国古代辨别方向用的一种仪器。其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖。如图1，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20。根据八个方位将圆形八等分(图2中点A~H)，过点E作☉O的切线，与AG的延长线相交于点M，连结EG。求：
(1)(4分)∠AEG的度数。
(2)(4分)线段MG的长。
解：(1)∵，∴AG=EG。
∵AE是☉O的直径，∴∠AGE=90°，
∴∠GEA=∠GAE=45°。
(2)∵EM与☉O相切于点E，∴∠AEM=90°。
∵∠EAG=45°，∴∠M=90°－∠EAG=45°，∴AE=ME=20。
∵∠AGE=90°，∴∠EGM=180°－∠AGE=90°，
∴在Rt△EMG中，MG=EM·cos 45°=20×=10，
∴线段MG的长为10。
19.(8分)如图，☉O是△ABC的外接圆，AC是直径，D是☉O上的一个点，且BD=BC。
(1)(4分)求证：∠A=∠BCD。
(2)(4分)E是DB延长线上的一点，连结CE，若CB恰好平分∠DCE。求证：CE是☉O的切线。
证明：(1)∵BD=BC，∴∠D=∠BCD。
∵∠A=∠D，∴∠A=∠BCD。
(2)∵☉O是△ABC的外接圆，AC是直径，
∴∠ABC=90°，∴∠A＋∠ACB=90°。
∵CB平分∠DCE，∴∠BCD=∠BCE。
∵∠A=∠BCD，∴∠A=∠BCE，
∴∠BCE＋∠ACB=90°，即∠ACE=90°。
又∵OC是半径，∴CE是☉O的切线。
20.(8分)已知在△AOB中，∠ABO=30°，AB为☉O的弦，直线MN与☉O相切于点C。
(1)(4分)如图1，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的度数。
(2)(4分)如图2，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA=3，求线段OF的长。
解：(1)∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO=30°，∴∠AOB=180°－2∠ABO=120°。
∵直线MN与☉O相切于点C，CE为☉O的直径，∴∠ECM=90°。
∵AB∥MN，∴∠CDB=∠ECM=90°，
∴∠BOE=90°－∠ABO=60°，∴∠BCE=∠BOE=30°。
(2)如答图，连结OC。
第20题答图
同(1)，得∠COB=90°。
∵CG⊥AB，∴∠FGB=90°。
又∵∠ABO=30°，∴∠BFG=90°－∠ABO=60°，∴∠CFO=∠BFG=60°。
在Rt△COF中，tan∠CFO=，OC=OA=3，
∴OF=。
21.(8分)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，点D在AB的延长线上，连结CD，∠BCD=∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E。
(1)(4分)求证：CD是☉O的切线。
(2)(4分)若B是AD的中点，且BE=3，求☉O的半径。
　　　
第21题答图
解：(1)如答图，连结OC。
∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A＋∠ABC=90°。
∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB。
又∵∠BCD=∠A，∴∠BCD＋∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴OC⊥CD。
又∵OC为☉O的半径，∴CD是☉O的切线。
(2)∵B是AD的中点，∴BD=AB=2OC。
∵OB=OC，∴OD=OB＋BD=3OC，∴。
∵BE⊥AD，∴∠DBE=90°。
又∵∠OCD=90°，∴sin D=，∴DE=3BE=9。
在Rt△DBE中，BD==6，∴OC=3，即☉O半径为3。
22.(10分)如图，AB是☉O的直径，C为AB延长线上的一点，E为☉O上一点，连结CE。过点A作AD⊥CE，垂足为D，AD交☉O于点F，E为的中点。
(1)(3分)求证：CD是☉O的切线。
(2)(3分)求证：△CEB∽△CAE。
(3)(4分)若☉O的半径为1，CE=2，求AE的长。
　　　
第22题答图
解：(1)如答图，连结OE，BF。
∵AB是☉O的直径，∴BF⊥AD。
∵E为的中点，∴，∴OE⊥BF，∴OE∥AD。
∵AD⊥CD，∴OE⊥CD。
又∵OE是☉O的半径，∴CD是☉O的切线。
(2)∵CD是☉O的切线，∴∠CEO=90°，∴∠CEB＋∠BEO=90°。
∵AB是☉O的直径，∴∠AEB=90°，
∴∠BEO＋∠AEO=90°，∴∠CEB=∠OEA。
∵OE=OA，∴∠AEO=∠OAE，∴∠BEC=∠CAE。
又∵∠C=∠C，∴△CEB∽△CAE。
(3)∵☉O的半径为1，∴AB=2。
∵△CEB∽△CAE，∴，∴，∴BC=2(负值舍去)，∴。
设BE=x，AE=2x。
∵AE2＋BE2=AB2，∴4x2＋2x2=4，解得x=(负值舍去)，∴AE=。
23.(10分)如图，锐角三角形ABC内接于☉O，CD平分∠ACB，交AB于点E，交☉O于点F，AF平分∠BAD，连结AO并延长交CD于点P。
(1)(3分)若∠OAB=20°，请写出∠ACB，∠DAF的度数。
(2)(3分)求证：AD是☉O的切线。
(3)(4分)若AO平分∠CAB，CP∶PE=3∶2，求sin D的值。
　　　
第23题答图1　　 　第23题答图2
解：(1)如答图1，连结OB，OF，则OB=OA，∴∠OAB=∠OBA=20°，
∴∠BOA=180°－∠OAB－∠OBA=180°－20°－20°=140°，∴∠ACB=∠BOA=70°。
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=35°，∴∠AOF=2∠ACD=70°。
又∵OA=OF，∴∠OAF==55°，∴∠BAF=∠OAF－∠OAB=35°。
又∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=35°。
(2)如答图2，连结OB。
∵∠ACB=2∠BCF，∠BAD=2∠BAF，∠BCF=∠BAF，∴∠ACB=∠BAD。
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴2∠OAB＋∠AOB=180°。
∵∠AOB=2∠ACB=2∠BAD，∴2∠OAB＋2∠BAD=180°，
∴∠OAB＋∠BAD=90°，∴∠OAD=90°，即OA⊥OD。
又∵OA为☉O的半径，∴AD是☉O的切线。
(3)∵CD平分∠ACB，AF平分∠BAD，AO平分∠CAB，
由(2)可知，∠FCB=∠FAB=∠ACF，
∴∠CAP＋∠ACF=∠PAB＋∠FAB，∴∠FPA=∠FAP，∴FA=FP。
又∵AD是☉O的切线，∠PAD=90°，∴∠DAF=∠FDA，∴FA=FD=FP。
∵CP∶PE=3∶2，∴设CP=3t，PE=2t，EF=x，∴FA=FP=x＋2t。
∵∠FAB=∠ACF，∠AFE=∠CFA，∴△AEF∽△CAF，∴，
∴AF2=CF·EF=x(x＋5t)=(x＋2t)2，解得x=4t，
∴EF=4t，AF=PF=DF=6t，CF=9t，CD=15t。
∵∠D=∠DAF=∠FAB=∠FCB=∠ACF，∴△ADF∽△CDA，∴，
∴AD2=DF·DC=6t×15t=90t2，∴AP2=DP2－AD2=(12t)2－90t2=54t2，
∴AP=3t，∴sin D=。
24.(12分)如图，在☉O中，AB是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H。
(1)(4分)求证：AD∥HC。
(2)(4分)若=2，求tan∠FAG的值。
(3)(4分)连结BC交AD于点N，若☉O的半径为5，AH=，求△ANB的周长。
　　　
第24题答图1　　 　第24题答图2
解：(1)∵C，D是的三等分点，∴。
由CE是☉O的直径可得CE⊥AD。
∵HC是☉O的切线，∴HC⊥CE，∴AD∥HC。
(2)如答图1，连结OA。
∵，∴∠BAD=∠CAD。
由CE⊥AD，易证△CAG≌△FAG，∴CG=FG。
设CG=a，则FG=a。
又∵=2，∴OG=2a，∴AO=CO=3a。
在Rt△AOG中，由勾股定理，得AO2=AG2＋OG2，
∴(3a)2=AG2＋(2a)2，∴AG=a，∴tan∠FAG=。
(3)如答图2，连结AO，CD，易知CD=AC。
∵AD∥HC，FG=GC，∴AH=AF。
∵∠HCF=90°，∴AC=AH=AF=。
设CG=x，则FG=x，OG=5－x。
由勾股定理，得AG2=AO2－OG2=AC2－CG2，
即25－(5－x)2=10－x2，解得x=1，
∴AG=3，∴AD=6。
∵，∴∠DAC=∠BCD。
又∵∠CDN=∠ADC，∴△CND∽△ACD，
∴，∴ND=，∴AN=AD－DN=。
∵∠BAD=∠DAC，∠ABN=∠ADC，∴△ANB∽△ACD，
∴C△ANB=C△ACD×=(6＋2)×。

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