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第4章 相似三角形
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.正方形纸片的平行投影不可能是( )
A.线段 B.矩形 C.正方形 D.梯形
2.如图是某食品包装盒组成的立体图形，其主视图为( )
A. B. C. D.
3.如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是( )
A.安 B.全 C.校 D.园
4.底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是( )
A. B. C. D.
5.如图1，用一个平面截长方体，得到如图2的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”。图2中“堑堵”的俯视图是( )
A. B. C. D.
　
第5题图
第6题图
6.如图，一块面积为4 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1。若OB∶BB1=2∶3，则△A1B1C1的面积是( )
A.6 cm2 B.9 cm2 C.10 cm2 D.25 cm2
7.一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
8.若一个圆锥的主视图是等边三角形，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是( )
A.90° B.120° C.150° D.180°
9.图1中的长方体的三视图如图2所示，若用S表示面积，S主=x2＋2x，S左=x2＋x，则S俯=( )
图1　　 　图2
A.x2＋3x＋2 B.x2＋2
C.x2＋2x＋1 D.2x2＋3x
10.一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为( )
A.66 B.48 C.48＋36 D.57
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)已知圆锥底面半径为2 cm，母线长为6 cm，则该圆锥的侧面积是　12π　cm2。
12.(3分)已知一个长方体的主视图和左视图如图所示(单位：cm)，则其俯视图的面积为　 　cm2。
第12题图　　　 第13题图　　　 第14题图
13.(3分)如图是一个几何体的三视图(单位：cm)，根据图中数据，计算这个几何体的全面积为　 　cm2。
14.(3分)一个几何体由几个大小相同的小立方体搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体最多有　　个。
15.(3分)如图，一个圆柱的高为12 cm，底面周长为32 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路径的长为　 　cm。
第15题图　　　　 　　第16题图
16.(3分)一名艺术家有14个边长为1 m的立方体，他在地面上把它们摆成如图的形状，然后他把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的总面积为　33　m2。
三、解答题(本题有7小题，共72分)
17.(10分)如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体。
(1)(6分)已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图。
(2)(4分)若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭　3　个小立方体。
18.(10分)如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥。
(1)(5分)若圆锥的母线长为3 cm，求圆锥的侧面积。
(2)(5分)若圆锥底面圆的半径为2 cm，求扇形的半径。
19.(10分)学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律。如图，在同一时间，身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长为3 m，而小颖(EH)刚好在路灯灯盏正下方的点H处，并测得HB=6 m。
(1)(5分)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯盏所在的位置G。
(2)(5分)求路灯灯盏的垂直高度GH。
20.(10分)如图，已知圆锥的底面半径r=10 cm，母线长为40 cm。
(1)(5分)求圆锥侧面展开图的圆心角和面积。
(2)(5分)若一甲虫从点A出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B，则它所走的最短路程是多少？
21.(10分)如图1是一个粮仓的示意图，这个粮仓可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体。
(1)(5分)请画出这个几何体的俯视图。
(2)(5分)图2是这个几何体的正面示意图，已知粮仓的顶部离地面的高度EO1=6 m，圆柱部分的高OO1=4 m，底面直径BC=8 m，求这个几何体的全面积(包含粮仓底面面积)。
图1　　　 图2
22.(10分)如图是一个直三棱柱的立体图和三视图，根据立体图中的尺寸，求：
(1)(5分)主视图中线段AB的长。
(2)(5分)左视图的面积。
23.(12分)根据以下素材，探索完成任务。
设计合适的盒子
素材1 有一块长为90 cm、宽为60 cm的矩形硬纸板(纸板的厚度忽略不计)。
素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形(如图1)，再折叠成一个无盖的长方体盒子(如图2)，使得该长方体盒子的底面的周长是220 cm。 图1　 　图2
素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的矩形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子(如图3或4)，该盒子底面的宽和长分别是x(cm)和y(cm)(x和y都是整数，y＞x)。 图3　 　图4
问题解决
任务1 确定无盖盒子的高 (1)(4分)根据素材2，求出该长方体盒子的高。
任务2 研究底面长、宽的关系 (2)(4分)根据素材3，选择一种折叠成有盖盒子的方法，写出x，y的关系(用含x的代数式表示y)。
任务3 确定有盖盒子的大小 (3)(4分)若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，请写出符合条件的一对x，y的值。第4章 相似三角形
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.正方形纸片的平行投影不可能是(　D　)
A.线段 B.矩形 C.正方形 D.梯形
2.如图是某食品包装盒组成的立体图形，其主视图为(　B　)
A. B. C. D.
3.如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是(　B　)
A.安 B.全 C.校 D.园
4.底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是(　A　)
A. B. C. D.
5.如图1，用一个平面截长方体，得到如图2的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”。图2中“堑堵”的俯视图是(　C　)
A. B. C. D.
　
第5题图
第6题图
6.如图，一块面积为4 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1。若OB∶BB1=2∶3，则△A1B1C1的面积是(　D　)
A.6 cm2 B.9 cm2 C.10 cm2 D.25 cm2
7.一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是(　C　)
A.6 B.5 C.4 D.3
8.若一个圆锥的主视图是等边三角形，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是(　D　)
A.90° B.120° C.150° D.180°
【解析】 θ=·360°=cos 60°×360°=180°。
9.图1中的长方体的三视图如图2所示，若用S表示面积，S主=x2＋2x，S左=x2＋x，则S俯=(　A　)
图1　　 　图2
A.x2＋3x＋2 B.x2＋2
C.x2＋2x＋1 D.2x2＋3x
【解析】 ∵S主=x2＋2x=x(x＋2)，S左=x2＋x=x(x＋1)，
∴俯视图的长为x＋2，宽为x＋1，
∴S俯=(x＋2)(x＋1)=x2＋3x＋2。
10.一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为(　A　)
A.66 B.48 C.48＋36 D.57
【解析】 根据三视图画出该长方体如答图所示。
第10题答图
易知AB=3，CE=4，AC2＋BC2=AB2，AC=BC，
∴AC=3，
∴S正方形ACBD=3×3=9，S侧=4×3×4=48，
∴S表=48＋9×2=66。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)已知圆锥底面半径为2 cm，母线长为6 cm，则该圆锥的侧面积是　12π　cm2。
12.(3分)已知一个长方体的主视图和左视图如图所示(单位：cm)，则其俯视图的面积为　6　cm2。
第12题图　　　 第13题图　　　 第14题图
13.(3分)如图是一个几何体的三视图(单位：cm)，根据图中数据，计算这个几何体的全面积为　16π　cm2。
14.(3分)一个几何体由几个大小相同的小立方体搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体最多有　6　个。
【解析】 根据俯视图发现最底层有4个小立方体，从主视图发现第二层最多有2个小立方体，故最多有4＋2=6(个)小立方体。
15.(3分)如图，一个圆柱的高为12 cm，底面周长为32 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路径的长为　20　cm。
【解析】 展开圆柱的半个侧面是矩形，矩形的长为圆柱的底面周长的一半，即16 cm，宽为圆柱的高12 cm。
根据两点之间线段最短，知最短路径是矩形的对角线，长为=20(cm)。
第15题图　　　　 　　第16题图
16.(3分)一名艺术家有14个边长为1 m的立方体，他在地面上把它们摆成如图的形状，然后他把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的总面积为　33　m2。
【解析】 由题意可知，该组合体露出的表面积为4×(1＋2＋3)＋9=33(m2)，即被涂上颜色的总面积为33 m2。
三、解答题(本题有7小题，共72分)
17.(10分)如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体。
(1)(6分)已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图。
(2)(4分)若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭　3　个小立方体。
解：(1)如答图所示。
第17题答图
18.(10分)如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥。
(1)(5分)若圆锥的母线长为3 cm，求圆锥的侧面积。
(2)(5分)若圆锥底面圆的半径为2 cm，求扇形的半径。
解：(1)∵圆锥的母线长为3 cm，
∴扇形的半径为3 cm，
∴扇形面积为=3π(cm2)，
∴圆锥的侧面积为3π cm2。
(2)设扇形的半径为r(cm)，
则·360°=120°，解得r=6(检验略)，
∴扇形的半径为6 cm。
19.(10分)学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律。如图，在同一时间，身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长为3 m，而小颖(EH)刚好在路灯灯盏正下方的点H处，并测得HB=6 m。
(1)(5分)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯盏所在的位置G。
(2)(5分)求路灯灯盏的垂直高度GH。
解：(1)如答图，CA与HE的延长线相交于点G，点G即为灯盏所在的位置。
第19题答图
(2)易知AB∥GH，∴△CBA∽△CHG，
∴。
又∵AB=1.6 m，BC=3 m，HB=6 m，
∴，∴GH=4.8 m。
答：路灯灯盏的垂直高度GH为4.8 m。
20.(10分)如图，已知圆锥的底面半径r=10 cm，母线长为40 cm。
(1)(5分)求圆锥侧面展开图的圆心角和面积。
(2)(5分)若一甲虫从点A出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B，则它所走的最短路程是多少？
解：(1)θ=·360°=×360°=90°，
∴圆锥侧面展开图的圆心角为90°。
圆锥侧面展开图的面积为π×10×40=400π(cm2)。
(2)如答图，由圆锥的侧面展开图可知，甲虫从点A出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA'的中点B所走的最短路线是线段AB。
第20题答图
在Rt△ASB中，SA=40 cm，SB=20 cm，
∴AB=20 cm，
∴甲虫走的最短路程是20 cm。
21.(10分)如图1是一个粮仓的示意图，这个粮仓可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体。
(1)(5分)请画出这个几何体的俯视图。
(2)(5分)图2是这个几何体的正面示意图，已知粮仓的顶部离地面的高度EO1=6 m，圆柱部分的高OO1=4 m，底面直径BC=8 m，求这个几何体的全面积(包含粮仓底面面积)。
图1　　　 图2
解：(1)画出俯视图如答图1所示。
图1　　 　图2
第21题答图
(2)如答图2，连结EO1。
由题意易知E，O，O1三点共线，AE=DE。
∵EO1=6 m，OO1=4 m，
∴EO=EO1－OO1=6－4=2(m)。
∵AD=BC=8 m，
∴OA=OD=4 m，
∴在Rt△AOE中，
AE==2(m)，
∴S全=S圆锥侧＋S圆柱侧＋S圆柱底=π·OA·AE＋π·BC·OO1＋π·B=(48＋8)π(m2)。
答：这个几何体的全面积为(48＋8)π m2。
22.(10分)如图是一个直三棱柱的立体图和三视图，根据立体图中的尺寸，求：
(1)(5分)主视图中线段AB的长。
(2)(5分)左视图的面积。
解：(1)如答图，在△ADC中，AD=4，AC=5，CD=3，DB⊥AC。
第22题答图
设AB=x，则有42－x2=32－(5－x)2，解得x=3.2，∴AB=3.2。
(2)DB==2.4。
∵左视图为长方形，其长为6，宽为2.4，∴左视图的面积=6×2.4=14.4。
23.(12分)根据以下素材，探索完成任务。
设计合适的盒子
素材1 有一块长为90 cm、宽为60 cm的矩形硬纸板(纸板的厚度忽略不计)。
素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形(如图1)，再折叠成一个无盖的长方体盒子(如图2)，使得该长方体盒子的底面的周长是220 cm。 图1　 　图2
素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的矩形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子(如图3或4)，该盒子底面的宽和长分别是x(cm)和y(cm)(x和y都是整数，y＞x)。 图3　 　图4
问题解决
任务1 确定无盖盒子的高 (1)(4分)根据素材2，求出该长方体盒子的高。
任务2 研究底面长、宽的关系 (2)(4分)根据素材3，选择一种折叠成有盖盒子的方法，写出x，y的关系(用含x的代数式表示y)。
任务3 确定有盖盒子的大小 (3)(4分)若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，请写出符合条件的一对x，y的值。
解：(1)设长方体盒子的高为a(cm)，则底面长为(90－2a)cm，底面宽为(60－2a)cm。
由题意，得2(90－2a＋60－2a)=220，∴a=10，∴长方体盒子的高为10 cm。
(2)图3或图4选择一种即可。
图3：由题意，得y＋2(30－x)=90，∴y=2x＋30。
图4：由题意，得y＋2(45－x)=60，∴y=2x－30。
(3)若选择图4中的方案。
∵盒子的高大于4 cm，∴45－x＞4，∴x＜41，∴y=2x－30＜52，∴2(x＋y)＜186，不合题意。
故选图3方案：
∵同上可得30－x＞4，∴x＜26。
∵2(x＋y)=2(x＋2x＋30)＞200，∴x＞。
又∵x，y是整数，∴x=24或25。∴x=24，y=78(或x=25，y=80)。

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