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专题3　一元函数的导数及其应用
第17练　导数的几何意义
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.设函数f(x)=ln(x2+1)+sin x+1，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A. B. C. D.
2.函数y=f(x)的图象如图所示，f'(x)是函数f(x)的导函数，则下列大小关系正确的是(　　)
A.2f'(3)B.2f'(3)<2f'(5)C.f(5)-f(3)<2f'(3)<2f'(5)
D.2f'(5)<2f'(3)3.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=x3-x，则曲线y=f(x)在点(1，0)处的切线方程是(　　)
A.2x-y-2=0 B.4x-y-4=0
C.2x+y-2=0 D.4x+y-4=0
4.若点P是曲线y=ln x-x2上任意一点，则点P到直线l：x+y-4=0距离的最小值为(　　)
A. B. C.2 D.4
5.若函数f(x)=+ln(x+1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a的取值范围是(　　)
A.(-∞，1] B.(-∞，0)
C.[1，+∞) D.(-∞，0]
6.已知函数f(x)=的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f(x)在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.(1，+∞)
D.(-∞，-1)∪
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两个不同点处的切线相互平行，则下列等式一定不成立的是(　　)
A.x1+x2=2 B.x1+x2=
C.x1x2=2 D.x1x2=
8.已知函数f(x)=x3-mx，若过点P(-1，1)恰能作曲线y=f(x)的3条切线，则m的值可以为(　　)
A. B. C. D.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.若直线y=kx+1为曲线y=ln x的一条切线，则实数k=　　　　　　.
10.设点P在曲线y=e2x+2+1上，点Q在曲线y=1+ln上，则|PQ|的最小值为　　　　.
第17练　导数的几何意义
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.设函数f(x)=ln(x2+1)+sin x+1，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　f'(x)=+cos x，则f'(0)=1，即切线方程为y=x+1.
令x=0，则y=1，令y=0，则x=-1，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.
2.函数y=f(x)的图象如图所示，f'(x)是函数f(x)的导函数，则下列大小关系正确的是(　　)
A.2f'(3)B.2f'(3)<2f'(5)C.f(5)-f(3)<2f'(3)<2f'(5)
D.2f'(5)<2f'(3)答案　A
解析　由图可知，f'(3)<即2f'(3)3.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=x3-x，则曲线y=f(x)在点(1，0)处的切线方程是(　　)
A.2x-y-2=0 B.4x-y-4=0
C.2x+y-2=0 D.4x+y-4=0
答案　C
解析　当x<0时，f(x)=x3-x，
则f'(x)=3x2-1，所以f'(-1)=2，
由f(x)为偶函数，得f'(1)=-f'(-1)=-2，
则曲线y=f(x)在点(1，0)处的切线方程是
y=-2(x-1)，即2x+y-2=0.
4.若点P是曲线y=ln x-x2上任意一点，则点P到直线l：x+y-4=0距离的最小值为(　　)
A. B. C.2 D.4
答案　C
解析　过点P作曲线y=ln x-x2的切线，
当切线与直线l：x+y-4=0平行时，
点P到直线l：x+y-4=0的距离最小.
设切点为P(x0，y0)(x0>0)，
又y'=-2x，
所以切线斜率k=-2x0，
由题意知-2x0=-1，
解得x0=1或x0=-(舍)，
所以P(1，-1)，
此时点P到直线l：x+y-4=0的距离d==2.
5.若函数f(x)=+ln(x+1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a的取值范围是(　　)
A.(-∞，1] B.(-∞，0)
C.[1，+∞) D.(-∞，0]
答案　A
解析　因为函数f(x)=+ln(x+1)(x>-1)，
所以f'(x)=x+-a=x+1+-a-1
≥2-a-1=1-a，
当且仅当x+1=即x=0时，等号成立，
因为函数f(x)的图象上不存在互相垂直的切线，
所以f'(x)min≥0，即1-a≥0，解得a≤1.
6.已知函数f(x)=的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f(x)在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.(1，+∞)
D.(-∞，-1)∪
答案　B
解析　当x<0时，f(x)=x2+x+2a的导数为f'(x)=2x+1；
当x>0时，f(x)=-的导数为f'(x)=
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1当x1函数f(x)在点A(x1，f(x1))处的切线方程为y-(+x1+2a)=(2x1+1)(x-x1)，
函数f(x)在点B(x2，f(x2))处的切线方程为y+=(x-x2).
两直线重合的充要条件是=2x1+1， ①
-=-+2a， ②
由①及x1<0由①②，令t=则0且2a=(t4-2t2-8t+1)，记y=(t4-2t2-8t+1)，
则其导数为y'=t3-t-2=t(t+1)(t-1)-2，易知y'<0在(0，1)上恒成立，
则函数y=(t4-2t2-8t+1)在(0，1)上单调递减，
所以-2<2a<-1所以实数a的取值范围是.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两个不同点处的切线相互平行，则下列等式一定不成立的是(　　)
A.x1+x2=2 B.x1+x2=
C.x1x2=2 D.x1x2=
答案　ACD
解析　因为f(x)=x2+2ln x，x>0，
所以f'(x)=2x+x>0.
因为f(x)在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两个不同点处的切线相互平行，
所以f'(x1)=f'(x2)，即2x1+=2x2+
整理得(x1-x2)=0，
又x1≠x2，所以x1x2=1，故C，D不成立；
因为x1>0，x2>0，且x1≠x2，
所以x1+x2>2=2，故A不成立；
当x1=x2=3时，x1+x2=故B可能成立.
8.已知函数f(x)=x3-mx，若过点P(-1，1)恰能作曲线y=f(x)的3条切线，则m的值可以为(　　)
A. B. C. D.
答案　BC
解析　设切点为(x0，y0)，则f'(x)=3x2-m，
所以切线的斜率为k=3-m，
则切线的方程为y-y0=(3-m)(x-x0)，
因为点P(-1，1)在切线上，且y0=-mx0，
所以1-+mx0=(3-m)(-1-x0)，
即m=2+3+1，
令g(x)=2x3+3x2+1，则g'(x)=6x2+6x，
令g'(x)=0，得x=0或x=-1，
当x<-1或x>0时，g'(x)>0；
当-1所以当x=-1时，g(x)取得极大值g(-1)=2，
当x=0时，g(x)取得极小值g(0)=1，
因为过点P(-1，1)恰能作曲线y=f(x)的3条切线，所以直线y=m与y=g(x)的图象有3个交点，
如图所示，
所以m的取值范围是1三、填空题(每小题5分，共10分)
9.若直线y=kx+1为曲线y=ln x的一条切线，则实数k=　　　　　　.
答案　
解析　设直线y=kx+1在曲线y=ln x上的切点为P(x0，y0)，
因为y=ln x，所以y'=
所以切线斜率k=y'=
所以曲线y=ln x在点P(x0，y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0)，
又y0=ln x0，
所以切线方程为y=·x-1+ln x0，
又切线方程为y=kx+1，
所以解得
10.设点P在曲线y=e2x+2+1上，点Q在曲线y=1+ln上，则|PQ|的最小值为　　　　.
答案　
解析　将函数y=e2x+2+1与y=1+ln的图象分别向右、再向下各平移1个单位长度，得到函数y=e2x与y=ln 的图象.
易知y=e2x与y=ln 的图象关于直线y=x对称，则这两条曲线的最短距离即为所求|PQ|的最小值.
对y=e2x求导得y'=2e2x，设函数y=e2x图象上的点M的坐标为(x0，y0)，则过点M且与直线y=x平行的切线的斜率为2
令2=1，得x0=-ln 2，则y0==
则点M到直线y=x的最短距离d==
则点M到曲线y=ln 的最短距离为2d=
即|PQ|的最小值为.第18练　公切线问题
(分值：40分)
一、单项选择题(每小题5分，共10分)
1.若直线y=3x+m是曲线y=x3(x>0)与曲线y=-x2+nx-6(x>0)的公切线，则m+n等于(　　)
A.4 B.5 C.6 D.8
2.已知函数f(x)=x3-x，则与曲线y=f(x)和y=x2+均相切的直线l有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
二、多项选择题(共6分)
3.若两曲线y=x2-1与y=aln x-1存在公切线，则正实数a的取值可能是(　　)
A.1 B.e C.2e D.6
三、填空题(每小题5分，共10分)
4.已知函数g(x)=的图象与函数f(x)=aln x的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为　　　　　　　　.
5.若曲线y=kx-1(k<0)与曲线y=ex有三条公切线，则k的取值范围是　　　　.
四、解答题(共14分)
6.(14分)已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.
(1)当a取何值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(7分)
(2)若C1和C2有两条公切线，证明：相应的两条公切线段互相平分.(7分)
第18练　公切线问题
(分值：40分)
一、单项选择题(每小题5分，共10分)
1.若直线y=3x+m是曲线y=x3(x>0)与曲线y=-x2+nx-6(x>0)的公切线，则m+n等于(　　)
A.4 B.5 C.6 D.8
答案　B
解析　设直线y=3x+m与曲线y=x3(x>0)相切于点(a，a3)，与曲线y=-x2+nx-6(x>0)相切于点(b，3b+m)，
对于函数y=x3(x>0)，y'=3x2，
则3a2=3(a>0)，
解得a=1，
所以13=3+m，即m=-2.
对于函数y=-x2+nx-6(x>0)，y'=-2x+n，
则-2b+n=3(b>0)，
又-b2+nb-6=3b-2，
所以-b2+b(3+2b)-6=3b-2，
又b>0，所以b=2，n=7.
所以m+n=-2+7=5.
2.已知函数f(x)=x3-x，则与曲线y=f(x)和y=x2+均相切的直线l有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案　C
解析　f(x)=x3-x，所以f'(x)=3x2-1，
所以y=f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为
y-(-x1)=(3-1)(x-x1)，
整理得y=(3-1)x-2.
设g(x)=x2+直线l与g(x)的图象相切于点(x2，g(x2))，因为g'(x)=2x，
所以切线方程为y-=2x2(x-x2)，
整理得y=2x2x-+
则 (*)
整理得-2-=-2-=(9-8x1-6)=0，
当9-8x1-6=0时，Δ=82+4×9×6>0，方程有两个非零实数根，
x1=0也满足方程，故上述方程有3个解，所以方程组(*)有3组解，故满足题中条件的直线l有3条.
二、多项选择题(共6分)
3.若两曲线y=x2-1与y=aln x-1存在公切线，则正实数a的取值可能是(　　)
A.1 B.e C.2e D.6
答案　ABC
解析　设两曲线上的两点分别为A(x1-1)，B(x2，aln x2-1)，x2>0，
由两曲线y=x2-1与y=aln x-1分别求导得y'=2x，y'=
故在A处的切线方程为y-(-1)=2x1(x-x1)，
整理得y=2x1x--1，
在B处的切线方程为y-(aln x2-1)=(x-x2)，
整理得y=x-a+aln x2-1，
所以
又a>0，解得a=4(1-ln x2)，
构造函数f(x)=4x2(1-ln x)，x>0，
f'(x)=4x(1-2ln x)，
令f'(x)>0，解得0
故f(x)在(0)上单调递增，在(+∞)上单调递减，
故f(x)max=f()=2e，
因为a>0，所以a的取值范围是(0，2e]，故A，B，C正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
4.已知函数g(x)=的图象与函数f(x)=aln x的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为　　　　　　　　.
答案　(e2，e)
解析　函数f(x)=aln x的定义域为(0，+∞)，
可得f'(x)=由g(x)=
可得g'(x)=设曲线f(x)=aln x与曲线g(x)=的公共点为(x0，y0)，x0>0，
由于在公共点处有相同的切线，所以=
所以x0=4a2(a>0)，
由f(x0)=g(x0)，可得aln x0=
联立
解得x0=e2，所以y0=e，所以公共点坐标为(e2，e).
5.若曲线y=kx-1(k<0)与曲线y=ex有三条公切线，则k的取值范围是　　　　.
答案　
解析　令f(x)=kx-1(k<0)，g(x)=ex，
则f'(x)=-g'(x)=ex，
设点A(x1，f(x1))，则曲线y=f(x)在点A处的切线方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)，
即y=-x+
设点B(x2，g(x2))，
则曲线y=g(x)在点B处的切线方程为
y-g(x2)=g'(x2)(x-x2)，
即y=x+(1-x2)
由题意
消去x1得-4k=(1-x2)2
由题意，方程-4k=(1-x)2ex有三个不同的实数根，
令φ(x)=(1-x)2ex，
则φ'(x)=(x2-1)ex=(x-1)(x+1)ex，
当x<-1或x>1时，φ'(x)>0，φ(x)单调递增；
当-1φ(x)单调递减；
故当x=-1时，φ(x)取极大值φ(-1)=；
当x=1时，φ(x)取极小值φ(1)=0，
当x→-∞时，φ(x)→0；
当x→+∞时，φ(x)→+∞，
y=φ(x)的大致图象如图所示，
由图可知0<-4k<即-四、解答题(共14分)
6.(14分)已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.
(1)当a取何值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(7分)
(2)若C1和C2有两条公切线，证明：相应的两条公切线段互相平分.(7分)
(1)解　函数y=x2+2x的导数y'=2x+2，
曲线C1在点P(x1+2x1)处的切线方程是y-(+2x1)=(2x1+2)(x-x1)，
即y=(2x1+2)x- ①
函数y=-x2+a的导数y'=-2x，
曲线C2在点Q(x2，-+a)处的切线方程是y-(-+a)=-2x2(x-x2)，
即y=-2x2x++a. ②
如果直线l是过P和Q的公切线，
则①式和②式都是l的方程，则2x1+2=-2x2，-=+a，
消去x2得方程2+2x1+1+a=0，
当判别式Δ=4-4×2(1+a)=0，即a=-时，解得x1=-此时点P与Q重合.
即当a=-时，C1和C2有且仅有一条公切线，
由①得公切线方程为y=x-.
(2)证明　由(1)可知，当a<-时，Δ>0，C1和C2有两条公切线，
设一条公切线上的切点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
其中P在C1上，Q在C2上，
则由(1)得x1+x2=-1，
y1+y2=+2x1+(-+a)
=+2x1-(x1+1)2+a=-1+a，
故线段PQ的中点为
同理求得另一条公切线段P'Q'的中点也是
所以公切线段PQ和P'Q'互相平分，即若C1和C2有两条公切线，则相应的两条公切线段互相平分.第19练　导数与函数的单调性
(分值：40分)
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.若函数f(x)=x2-3x-4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A.(4，+∞) B.(0，1)
C.(0，4) D.(1，4)
2.已知f(x)=3-x2-2cos x，设a=2-0.5，b=c=log2则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)
A.f(c)>f(a)>f(b) B.f(b)>f(a)>f(c)
C.f(b)>f(c)>f(a) D.f(c)>f(b)>f(a)
3.已知函数f(x)=-ax，当0A.(-∞，e) B.(-∞，e]
C. D.
二、多项选择题(共6分)
4.若函数f(x)=-x3+x2+2x+1是区间(m-1，m+4)上的单调函数，则实数m的值可以是(　　)
A.-5 B.-3 C.3 D.4
三、填空题(共5分)
5.已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式(x2-2x-3)f'(x)>f(-2)的解集为　　　　　　　　　.
四、解答题(共14分)
6.(14分)已知函数f(x)=ax2+(2-a)x-ln x(a∈R).
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(4分)
(2)求函数y=f(x)的单调区间.(10分)
第19练　导数与函数的单调性
(分值：40分)
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.若函数f(x)=x2-3x-4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A.(4，+∞) B.(0，1)
C.(0，4) D.(1，4)
答案　C
解析　函数f(x)=x2-3x-4ln x，定义域为(0，+∞)，
由f'(x)=x-3-==
令f'(x)<0，解得0则函数f(x)的单调递减区间为(0，4).
2.已知f(x)=3-x2-2cos x，设a=2-0.5，b=c=log2则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)
A.f(c)>f(a)>f(b) B.f(b)>f(a)>f(c)
C.f(b)>f(c)>f(a) D.f(c)>f(b)>f(a)
答案　B
解析　由题意知，函数f(x)的定义域为R，
且f(-x)=3-(-x)2-2cos(-x)=f(x)，
所以f(x)为偶函数.
又f'(x)=2(sin x-x)，
当x≥0时，令g(x)=2(sin x-x)，
则g'(x)=2(cos x-1)≤0，
所以g(x)在[0，+∞)上单调递减，
所以g(x)≤g(0)=0，
即f'(x)≤0，所以f(x)在[0，+∞)上单调递减.
a=2-0.5=>=b，
|c|==log23>1，
故|c|>a>b，从而f(b)>f(a)>f(|c|)，
即f(b)>f(a)>f(c).
3.已知函数f(x)=-ax，当0A.(-∞，e) B.(-∞，e]
C. D.
答案　D
解析　因为当0即x1f(x1)令g(x)=xf(x)=ex-ax2，
则g(x1)又因为0所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以g'(x)=ex-2ax≥0在(0，+∞)上恒成立，
分离参数得2a≤在(0，+∞)上恒成立，
令h(x)=(x>0)，
则只需2a≤h(x)min，而h'(x)=ex·
令h'(x)>0，得x>1，令h'(x)<0，得0所以h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)=e，故2a≤e，
即a≤.
二、多项选择题(共6分)
4.若函数f(x)=-x3+x2+2x+1是区间(m-1，m+4)上的单调函数，则实数m的值可以是(　　)
A.-5 B.-3 C.3 D.4
答案　ACD
解析　f'(x)=-x2+x+2，令f'(x)=0，
即-x2+x+2=0，解得x=2或x=-1，
当f'(x)>0时，-1当f'(x)<0时，x<-1或x>2，函数f(x)单调递减；
因为函数f(x)在区间(m-1，m+4)上是单调函数，所以有以下两种情况：
当(m-1，m+4) (-∞，-1)时，则解得m≤-5；
当(m-1，m+4) (2，+∞)时，则解得m≥3，结合选项，故A，C，D正确.
三、填空题(共5分)
5.已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式(x2-2x-3)f'(x)>f(-2)的解集为　　　　　　　　　.
答案　(-∞，-1)∪(-1，1)∪(3，+∞)
解析　由题图可知f(-2)=0，且当x∈(-∞，-1)和(1，+∞)时，f'(x)>0，
当x∈(-1，1)时，f'(x)<0，则原不等式等价于(x2-2x-3)f'(x)>0，
等价于或
等价于或
解得x<-1或x>3或-1即原不等式的解集为(-∞，-1)∪(-1，1)∪(3，+∞).
四、解答题(共14分)
6.(14分)已知函数f(x)=ax2+(2-a)x-ln x(a∈R).
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(4分)
(2)求函数y=f(x)的单调区间.(10分)
解　(1)由a=2，得f(x)=2x2-ln x，f(1)=2，切点为(1，2)，
f'(x)=4x-f'(1)=4-1=3，
则切线方程为y-2=3(x-1)，
即3x-y-1=0.
(2)f(x)=ax2+(2-a)x-ln x，
定义域为(0，+∞)，
则f'(x)=2ax+(2-a)-==
①当a≥0时，由f'(x)<0，得0由f'(x)>0，得x>
则f(x)的单调递减区间为单调递增区间为.
②当a<0时，令f'(x)=0，
解得x=或x=-
当-2
由f'(x)>0，得由f'(x)<0，得0-
则f(x)的单调递增区间为单调递减区间为.
当a=-2时，f'(x)=-≤0恒成立，
f(x)的单调递减区间为(0，+∞)，无单调递增区间.
当a<-2时，-<
由f'(x)>0，得-由f'(x)<0，得0
则f(x)的单调递增区间为单调递减区间为.
综上，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为单调递减区间为；
当-2当a=-2时，f(x)的单调递减区间为(0，+∞)，无单调递增区间；
当a<-2时，f(x)的单调递增区间为单调递减区间为.第20练　导数与函数的极值、最值
(分值：40分)
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.函数f(x)=x2+(a+4)x-2ln x在区间(1，2)上存在最值，则实数a的取值范围为(　　)
A.(5，9) B.(-5，9)
C.(-9，5) D.(-9，-5)
2.函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为(　　)
A.- B.-
C.-+2 D.-+2
3.已知函数f(x)=x3-在(0，+∞)内既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，1)∪(1) B.(0，1)
C.(+∞) D.(1)
二、多项选择题(共6分)
4.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，下列命题中正确的是(　　)
A.-3是函数y=f(x)的极值点
B.y=f(x)在区间(-3，1)上单调递增
C.-1是函数y=f(x)的最小值点
D.y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零
三、填空题(共5分)
5.已知函数f(x)=若x1四、解答题(共14分)
6.(14分)已知函数f(x)=x2-4ax+a2ln x在x=1处取得极大值.
(1)求实数a的值；(9分)
(2)求f(x)在区间上的最大值.(5分)
第20练　导数与函数的极值、最值
(分值：40分)
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.函数f(x)=x2+(a+4)x-2ln x在区间(1，2)上存在最值，则实数a的取值范围为(　　)
A.(5，9) B.(-5，9)
C.(-9，5) D.(-9，-5)
答案　D
解析　f'(x)=3x+(a+4)-x>0，
因为函数y=3x+a+4，y=-在(1，2)上单调递增，则f'(x)在(1，2)上单调递增，
所以题中问题等价于f'(1)f'(2)<0，即(a+5)(a+9)<0，解得-92.函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为(　　)
A.- B.-
C.-+2 D.-+2
答案　D
解析　f(x)=cos x+(x+1)sin x+1，x∈[0，2π]，则f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)·cos x=(x+1)cos x，x∈[0，2π].
令f'(x)=0，
解得x=-1(舍去)或x=或x=.
因为f =cos +sin +1
=2+
f =cos +sin +1=-
又f(0)=cos 0+(0+1)sin 0+1=2，
f(2π)=cos 2π+(2π+1)sin 2π+1=2，
所以f(x)max=f =2+
f(x)min=f =-.
3.已知函数f(x)=x3-在(0，+∞)内既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，1)∪(1) B.(0，1)
C.(+∞) D.(1)
答案　D
解析　f(x)=x3-则f'(x)=x2-ax，
要使函数f(x)=x3-在(0，+∞)内既有极大值也有极小值，
只需方程x2-ax=0在(0，+∞)内有两个不相等的实根.
即ln a=令g(x)=(x>0)，
则g'(x)=
当x∈(0，e)时，g'(x)>0，
当x∈(e，+∞)时，g'(x)<0，
则g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，当x>e时，g(x)>0恒成立，g(e)=
g(x)的大致图象如图所示.
由图可知ln a∈
∴1二、多项选择题(共6分)
4.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，下列命题中正确的是(　　)
A.-3是函数y=f(x)的极值点
B.y=f(x)在区间(-3，1)上单调递增
C.-1是函数y=f(x)的最小值点
D.y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零
答案　AB
解析　根据导函数图象可知，当x∈(-∞，-3)时，f'(x)<0，
当x∈(-3，1)时，f'(x)≥0，
∴函数y=f(x)在(-∞，-3)上单调递减，在(-3，1)上单调递增，故B正确；
则-3是函数y=f(x)的极小值点，故A正确；
∵函数y=f(x)在(-3，1)上单调递增，∴-1不是函数y=f(x)的最小值点，故C错误；
∵函数y=f(x)在x=0处的导数大于0，
∴函数y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于零，故D错误.
三、填空题(共5分)
5.已知函数f(x)=若x1答案　2ln 2+
解析　设f(x1)=f(x2)=t，
如图所示，由f(x)的图象知，
t>0，且x1<0则-=-2=t，
所以x1=-x2=ln(t+2)，
则x2-x1=ln(t+2)+.
令g(t)=ln(t+2)+(t>0)，
则g'(t)=-==
所以当t∈(0，2)时，g'(t)<0，函数g(t)单调递减；
当t∈(2，+∞)时，g'(t)>0，函数g(t)单调递增，
所以当t=2时，g(t)取得最小值，为g(2)=2ln 2+即x2-x1的最小值为2ln 2+.
四、解答题(共14分)
6.(14分)已知函数f(x)=x2-4ax+a2ln x在x=1处取得极大值.
(1)求实数a的值；(9分)
(2)求f(x)在区间上的最大值.(5分)
解　(1)由已知f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=3x-4a+=
=
令f'(x)=0得x=a或x=
当a=1时，令f'(x)>0得，01，
令f'(x)<0，得故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
此时函数f(x)在x=处取得极大值，在x=1处取得极小值，与函数f(x)在x=1处取得极大值矛盾；
当=1，即a=3时，
令f'(x)>0，得03，
令f'(x)<0，得1故函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增，
此时函数f(x)在x=1处取得极大值，在x=3处取得极小值，符合题意，
所以a=3.
(2)由(1)得f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减，
所以f(x)在区间上的最大值为f(1)=-12=-.第21练　三次函数的性质
(分值：40分)
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的性质
(1)奇偶性：f(x)不可能为偶函数；当且仅当b=d=0时，f(x)是奇函数.
(2)对称性：中心对称，且对称中心是.若f(x)有极值，则它的对称中心是两个取极值的点的中点.
引申性质：若y=f(x)是可导函数.
①若图象关于点(m，n)对称，则y=f'(x)的图象关于直线x=m对称；
②若图象关于直线x=m对称，则y=f'(x)的图象关于点(m，0)对称；
③奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
(3)根与系数的关系
设ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1，x2，x3，则ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3.
比较系数可得x1+x2+x3=-x1x2+x2x3+x3x1=x1x2x3=-.
(4)三次函数切线条数
设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在对称中心N处的切线为l，函数f(x)及l把坐标平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，如图1(a<0)、图2(a>0)所示.
①当定点P在对称中心N或在Ⅰ和Ⅲ区域时，过点P的切线有且仅有一条；
②当定点P在函数f(x)的图象上(除去对称中心)或在切线l上时，过点P的切线有两条；
③当定点P在Ⅱ和Ⅳ区域时，过点P的切线有三条.
一、单项选择题(每小题5分，共10分)
1.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上单调，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞，-]∪[+∞)
B.[-]
C.(-∞，-)∪(+∞)
D.(-)
2.过y轴上一点(0，a)可以作函数f(x)=x3+x2-x图象的3条切线，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
3.已知三次函数f(x)=x3+ax+2，下列叙述正确的是(　　)
A.当a=1时，函数f(x)无极值点
B.函数f(x)的图象关于点(0，2)中心对称
C.过点(0，2)的切线有两条
D.当a<-3时，函数f(x)有3个零点
4.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，且方程f(x)=0有3个实数根，它们分别是α，β，2，则(　　)
A.c=0
B.若(2，f(2))是f(x)图象的对称中心，则极小值是-12
C.f(1)≥2
D.|α-β|≥3
三、填空题(共5分)
5.已知三次函数y=f(x)有三个零点x1，x2，x3，且在点(xi，f(xi))处的切线的斜率为ki(i=1，2，3)，则++=　　　　　　.
四、解答题(共13分)
6.(13分)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：设f'(x)是函数y=f(x)的导数，f″(x)是f'(x)的导数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=x3-x2+.
(1)当m=1时，求f +f +…+f +f 的值；(6分)
(2)若不等式2xln x+f'(x)+3≥0恒成立，求实数m的取值范围.(7分)
第21练　三次函数的性质
(分值：40分)
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的性质
(1)奇偶性：f(x)不可能为偶函数；当且仅当b=d=0时，f(x)是奇函数.
(2)对称性：中心对称，且对称中心是.若f(x)有极值，则它的对称中心是两个取极值的点的中点.
引申性质：若y=f(x)是可导函数.
①若图象关于点(m，n)对称，则y=f'(x)的图象关于直线x=m对称；
②若图象关于直线x=m对称，则y=f'(x)的图象关于点(m，0)对称；
③奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
(3)根与系数的关系
设ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1，x2，x3，则ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3.
比较系数可得x1+x2+x3=-x1x2+x2x3+x3x1=x1x2x3=-.
(4)三次函数切线条数
设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在对称中心N处的切线为l，函数f(x)及l把坐标平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，如图1(a<0)、图2(a>0)所示.
①当定点P在对称中心N或在Ⅰ和Ⅲ区域时，过点P的切线有且仅有一条；
②当定点P在函数f(x)的图象上(除去对称中心)或在切线l上时，过点P的切线有两条；
③当定点P在Ⅱ和Ⅳ区域时，过点P的切线有三条.
一、单项选择题(每小题5分，共10分)
1.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上单调，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞，-]∪[+∞)
B.[-]
C.(-∞，-)∪(+∞)
D.(-)
答案　B
解析　由f(x)=-x3+ax2-x-1，得f'(x)=-3x2+2ax-1，
因为函数在R上单调，
所以f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立，则Δ=4a2-12≤0 -≤a≤
所以实数a的取值范围是[-].
2.过y轴上一点(0，a)可以作函数f(x)=x3+x2-x图象的3条切线，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为f(x)=x3+x2-x，
所以f'(x)=3x2+2x-1，
设切点为(x0+-x0)，
则切线方程为y=(3+2x0-1)(x-x0)++-x0，
而切线过点(0，a)，将(0，a)代入得a=-2-
令g(x)=-2x3-x2，g'(x)=-6x2-2x，
令g'(x)<0，得x∈∪(0，+∞)，此时g(x)的单调递减区间为和(0，+∞)，
令g'(x)>0，得x∈此时g(x)的单调递增区间为
故g(x)有极小值g=-有极大值g(0)=0，由题意可知g(x)的图象与直线y=a有3个交点，则得到a的取值范围为故A正确.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
3.已知三次函数f(x)=x3+ax+2，下列叙述正确的是(　　)
A.当a=1时，函数f(x)无极值点
B.函数f(x)的图象关于点(0，2)中心对称
C.过点(0，2)的切线有两条
D.当a<-3时，函数f(x)有3个零点
答案　ABD
解析　对于A，当a=1时，f(x)=x3+x+2，f'(x)=3x2+1>0，f(x)单调递增，无极值点，故A正确；
对于B，因为f(x)+f(-x)=4，所以函数f(x)的图象关于点(0，2)中心对称，故B正确；
对于C，设切点坐标为(x1，f(x1))，则切线方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)，
因为切线过点(0，2)，所以2-f(x1)=f'(x1)(-x1)，即2--ax1-2=-3-ax1，解得x1=0，
即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误；
对于D，f'(x)=3x2+a，当a<-3时，令f'(x)=0，得x=±
当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
则f(x)的极大值f >f(0)=2>0，所以若函数f(x)有3个零点，
则f(x)的极小值f=+2<0，解得a<-3，故D正确.
4.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，且方程f(x)=0有3个实数根，它们分别是α，β，2，则(　　)
A.c=0
B.若(2，f(2))是f(x)图象的对称中心，则极小值是-12
C.f(1)≥2
D.|α-β|≥3
答案　ACD
解析　已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞，0]上单调递增，在[0，2]上单调递减，所以在x=0处取得极大值，则f'(0)=0，由f'(x)=3x2+2bx+c，得f'(0)=c=0，所以A正确；
方程f(x)=0有一个根是2，则f(2)=8+4b+d=0，
由函数图象的对称中心是(2，0)，可得f(1)=-f(3)，
代入得1+b+d=-(27+9b+d)，
化简得5b+d+14=0，
联立解得
则f(x)=x3-6x2+16，
求导得f'(x)=3x2-12x，
令f'(x)=3x2-12x=0，解得x=0或x=4，
可知函数在(-∞，0)，(4，+∞)上单调递增，在(0，4)上单调递减，所以f(x)在x=4处取得极小值，
则f(4)=43-6×42+16=-16，所以B错误；
由f(x)=x3+bx2+d，可得f'(x)=3x2+2bx，因为f(x)在[0，2]上单调递减，所以f'(2)≤0，
即12+4b≤0，解得b≤-3.
由f(2)=8+4b+d=0，得d=-4b-8，则f(1)=1+b+d=-3b-7，
由b≤-3，可得-3b-7≥2，所以f(1)≥2，所以C正确；
因为方程f(x)=0有3个实数根α，β，2，所以设f(x)=(x-α)(x-β)(x-2)=x3-(α+β+2)x2-2αβ，
所以得
由f(2)=0，得d=-4b-8，
由(α-β)2=(α+β)2-4αβ，得(α-β)2=(b+2)2+2d=b2-4b-12=(b-2)2-16，
由选项C的分析知b≤-3，所以(b-2)2-16≥9，所以|α-β|≥3，所以D正确.
三、填空题(共5分)
5.已知三次函数y=f(x)有三个零点x1，x2，x3，且在点(xi，f(xi))处的切线的斜率为ki(i=1，2，3)，则++=　　　　　　.
答案　0
解析　设f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(a≠0)，则f'(x)=a(x-x1)(x-x2)+a(x-x1)(x-x3)+a(x-x2)(x-x3)，由导数的几何意义可得k1=f'(x1)=a(x1-x2)(x1-x3)，k2=f'(x2)=a(x2-x1)(x2-x3)，k3=f'(x3)=a(x3-x1)(x3-x2)，
所以++=++ ==0.
四、解答题(共13分)
6.(13分)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：设f'(x)是函数y=f(x)的导数，f″(x)是f'(x)的导数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=x3-x2+.
(1)当m=1时，求f +f +…+f +f 的值；(6分)
(2)若不等式2xln x+f'(x)+3≥0恒成立，求实数m的取值范围.(7分)
解　(1)函数f(x)=x3-x2+
当m=1时，f(x)=x3-x2+
∵f'(x)=x2-x，
∴f″(x)=2x-1，
令f″(x)=2x-1=0，解得x=
则对称中心的纵坐标为f =1，故对称中心为
∴f(x)+f(1-x)=2，
∴f +f =2，f +f =2，…，f +f =2，f =1，
则f +f +…+f +f =2×49+1=99.
(2)∵2xln x+f'(x)+3≥0，f'(x)=x2-mx，
即mx≤2xln x+x2+3，
又x>0，
∴m≤在x∈(0，+∞)上恒成立.
令t(x)==2ln x+x+
∴m≤t(x)min.
∵t'(x)=+1-==
令t'(x)=0，得x=1或x=-3(舍去).
当x∈(0，1)时，t'(x)<0，函数t(x)在(0，1)上单调递减；
当x∈(1，+∞)时，t'(x)>0，函数t(x)在(1，+∞)上单调递增，
∴t(x)min=t(1)=4.
∴m≤t(x)min=4，
即m的取值范围为(-∞，4].第22练　函数中的构造问题
(分值：42分)
1.出现nf(x)+xf'(x)形式，构造函数F(x)=xnf(x).
2.出现xf'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=.
3.出现f'(x)+nf(x)形式，构造函数F(x)=enxf(x).
4.出现f'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=.
5.出现 f'(x)sin x+f(x)cos x形式，构造函数F(x)=f(x)sin x.
6.出现形式，构造函数F(x)=.
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20，且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)>6x2+2，则不等式f(x)>2x3+2x的解集为(　　)
A.{x|x>-2}
B.{x|x>2}
C.{x|x<2}
D.{x|x<-2或x>2}
2.已知函数y=f(x)，x∈R，f'(x)是其导函数，若f'(x)-4f(x)>0恒成立，且f =1，则不等式f(x)-e4x-1<0的解集为(　　)
A. B.
C. D.
3.已知α，β∈且αsin α-βsin β>0，则下列结论正确的是(　　)
A.α3>β3 B.α+β>0
C.|α|<|β| D.|α|>|β|
4.已知a，b，c∈(1，+∞)===则下列大小关系正确的是(　　)
A.c>b>a B.a>b>c
C.b>c>a D.c>a>b
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0，则下列结论正确的是(　　)
A.f(2)-ln 2>f(1)
B.f(4)-f(2)>ln 2
C.f(2)+ln 2>f(e)+1
D.f(e2)-f(e)>1
6.已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，导函数为f'(x)，满足xf'(x)-f(x)=(x-1)ex(e为自然对数的底数)，且f(1)=0，则(　　)
A.3f(2)>2f(3)
B.f(1)C.f(x)在x=1处取得极小值
D.f(x)无极大值
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知定义域为R的函数f(x)满足f(1)=且f(x)+f'(x)<0，则不等式ex+1f(x+1)>1的解集为　　　　.
8.已知函数f(x)定义在上，f'(x)是它的导函数，且恒有f(x)sin x的解集是　　　　　　　　.
第22练　函数中的构造问题
(分值：42分)
1.出现nf(x)+xf'(x)形式，构造函数F(x)=xnf(x).
2.出现xf'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=.
3.出现f'(x)+nf(x)形式，构造函数F(x)=enxf(x).
4.出现f'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=.
5.出现 f'(x)sin x+f(x)cos x形式，构造函数F(x)=f(x)sin x.
6.出现形式，构造函数F(x)=.
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20，且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)>6x2+2，则不等式f(x)>2x3+2x的解集为(　　)
A.{x|x>-2}
B.{x|x>2}
C.{x|x<2}
D.{x|x<-2或x>2}
答案　B
解析　令g(x)=f(x)-2x3-2x，因为f'(x)>6x2+2，则g'(x)=f'(x)-6x2-2>0，即g(x)在R上为增函数，
因为g(2)=f(2)-2×23-2×2=0，则不等式f(x)>2x3+2x等价于g(x)>g(2)，解得x>2，所以原不等式的解集为{x|x>2}.
2.已知函数y=f(x)，x∈R，f'(x)是其导函数，若f'(x)-4f(x)>0恒成立，且f =1，则不等式f(x)-e4x-1<0的解集为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　令g(x)=
则g'(x)=>0，所以g(x)在R上单调递增.
又不等式f(x)-e4x-1<0，等价于<即g(x)<==g所以x<
所以不等式f(x)-e4x-1<0的解集为.
3.已知α，β∈且αsin α-βsin β>0，则下列结论正确的是(　　)
A.α3>β3 B.α+β>0
C.|α|<|β| D.|α|>|β|
答案　D
解析　令f(x)=xsin x，x∈
则f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x)，
则f(x)为偶函数，
又f'(x)=sin x+xcos x，
当x∈时，f'(x)≥0，
所以f(x)在区间上单调递增，
f(x)在区间上单调递减.
又αsin α-βsin β>0，即f(α)>f(β)，
所以|α|>|β|.
4.已知a，b，c∈(1，+∞)===则下列大小关系正确的是(　　)
A.c>b>a B.a>b>c
C.b>c>a D.c>a>b
答案　B
解析　设f(x)=xln x(x>1)，
g(x)=(18-x)ln x(x≥10)，
因为===
所以aln a=8ln 10，bln b=7ln 11，
cln c=6ln 12，
即f(a)=g(10)，f(b)=g(11)，f(c)=g(12)，
g'(x)=(18-x)'ln x+(18-x)(ln x)'
=-ln x+-1，
令h(x)=g'(x)=-ln x+-1(x≥10)，
则h'(x)=--<0，g'(x)在[10，+∞)上单调递减，
所以g'(x)≤g'(10)<0，所以g(x)在[10，+∞)上单调递减，
所以g(10)>g(11)>g(12)，
即f(a)>f(b)>f(c)，
f'(x)=ln x+1，当x>1时，f'(x)>0，
所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以a>b>c.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0，则下列结论正确的是(　　)
A.f(2)-ln 2>f(1)
B.f(4)-f(2)>ln 2
C.f(2)+ln 2>f(e)+1
D.f(e2)-f(e)>1
答案　ABD
解析　构造函数g(x)=f(x)-ln x，x>0，
则g'(x)=f'(x)-=
因为xf'(x)-1>0，所以g'(x)>0，
故g(x)是增函数，
由g(2)>g(1)得，f(2)-ln 2>f(1)-ln 1，
即f(2)-ln 2>f(1)，故A正确；
由g(4)>g(2)得，f(4)-ln 4>f(2)-ln 2，
即f(4)-f(2)>ln 4-ln 2=ln 2，故B正确；
由g(e)>g(2)得，f(e)-ln e>f(2)-ln 2，
即f(e)+ln 2>f(2)+1，故C错误；
由g(e2)>g(e)得，f(e2)-ln e2>f(e)-ln e，
即f(e2)-2>f(e)-1，
即f(e2)-f(e)>1，故D正确.
6.已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，导函数为f'(x)，满足xf'(x)-f(x)=(x-1)ex(e为自然对数的底数)，且f(1)=0，则(　　)
A.3f(2)>2f(3)
B.f(1)C.f(x)在x=1处取得极小值
D.f(x)无极大值
答案　BCD
解析　设g(x)=(x>0)，
则g'(x)==='，
可设g(x)=+c，
则g(1)=e+c=0，
解得c=-e，
故g(x)=-e，
即f(x)=ex-ex，x>0，
令g'(x)>0，则x>1，
故g(x)在(1，+∞)上单调递增，
所以g(2)则3f(2)<2f(3)，故A错误；
令f'(x)=ex-e>0，得x>1，
令f'(x)=ex-e<0，得0则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
所以f(1)三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知定义域为R的函数f(x)满足f(1)=且f(x)+f'(x)<0，则不等式ex+1f(x+1)>1的解集为　　　　.
答案　(-∞，0)
解析　令g(x)=exf(x)，则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]<0，所以g(x)在R上单调递减，
因为g(1)=e1f(1)=1，
所以不等式ex+1f(x+1)>1，
即g(x+1)>g(1)，所以x+1<1，即x<0.
故原不等式的解集为(-∞，0).
8.已知函数f(x)定义在上，f'(x)是它的导函数，且恒有f(x)sin x的解集是　　　　　　　　.
答案　
解析　∵f(x)∴f'(x)sin x-f(x)cos x>0，x∈
令g(x)=x∈
∴g'(x)=>0，
∴g(x)在上为增函数，
由f(x)>sin x，得>1=
即g(x)>g∴x>
又0∴不等式的解集为.第23练　指对同构
(分值：40分)
指对同构的常用形式
(1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)=xex；
②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)=xln x；
③取对构造形式：a+ln a≤ln b+ln(b>1)，构造函数f(x)=x+ln x.
(2)商型：≤一般有三种同构方式：
①同左构造形式：≤构造函数f(x)=；
②同右构造形式：≤构造函数f(x)=；
③取对构造形式：a-ln a≤ln b-ln(b>1)，构造函数f(x)=x-ln x.
(3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)=ex±x；
②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)=x±ln x.
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.若ex-ax≥-x+ln(ax)，则正实数a的取值范围为(　　)
A. B.(0，e]
C. D.(e，+∞)
2.已知a<0，不等式xa+1ex+aln x≥0对任意的实数x>1恒成立，则实数a的最小值为(　　)
A.- B.-2e C.- D.-e
3.若对任意x∈(0，1)<恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.[0，+∞)
C.[-1，+∞) D.
二、多项选择题(共6分)
4.若不相等的正数a，b满足aa=bb，则(　　)
A.a>1
B.b<1
C.a+b>
D.>(n∈N*)
三、填空题(共5分)
5.若f(x)=xex-a(x+ln x)有两个零点，则实数a的取值范围是　　　　.
四、解答题(共14分)
6.(14分)已知函数f(x)=xln x-x-ln x+1的导函数为f'(x).
(1)证明：函数f(x)有且只有一个极值点；(6分)
(2)若xf'(x)-f(x)≤-3-mxex恒成立，求实数m的取值范围.(8分)
第23练　指对同构
(分值：40分)
指对同构的常用形式
(1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)=xex；
②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)=xln x；
③取对构造形式：a+ln a≤ln b+ln(b>1)，构造函数f(x)=x+ln x.
(2)商型：≤一般有三种同构方式：
①同左构造形式：≤构造函数f(x)=；
②同右构造形式：≤构造函数f(x)=；
③取对构造形式：a-ln a≤ln b-ln(b>1)，构造函数f(x)=x-ln x.
(3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)=ex±x；
②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)=x±ln x.
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.若ex-ax≥-x+ln(ax)，则正实数a的取值范围为(　　)
A. B.(0，e]
C. D.(e，+∞)
答案　B
解析　不等式ex-ax≥-x+ln(ax)，
可化为ex+x≥eln (ax)+ln(ax)，
设g(x)=ex+x，则g'(x)=ex+1>0，
即g(x)在R上是增函数，
而g(x)≥g(ln(ax))，因为a>0，x>0，
所以x≥ln(ax)=ln a+ln x，
ln a≤x-ln x恒成立，
令f(x)=x-ln x，则f'(x)=1-
当01时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)≥f(1)=1，故只需ln a≤1，即a≤e.
又a>0，所以a的取值范围为(0，e].
2.已知a<0，不等式xa+1ex+aln x≥0对任意的实数x>1恒成立，则实数a的最小值为(　　)
A.- B.-2e C.- D.-e
答案　D
解析　xa+1ex+aln x≥0 xa+1ex≥-aln x xex≥- xex≥ln xex≥·ln ①
设f(x)=xex(x∈R)，则f(x)的大致图象如图所示，
不等式①即为f(x)≥f 因为x>1，所以f(x)≥f 等价于x≥ln 即x≥-aln x，即-a≤令g(x)=(x>1)，则g'(x)=当x>e时，g(x)单调递增，当1所以g(x)min=e，所以-a≤e，
故a≥-e，即实数a的最小值为-e.
3.若对任意x∈(0，1)<恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.[0，+∞)
C.[-1，+∞) D.
答案　D
解析　由<可得<.
当a≥0时，x∈(0，1)<0>0，不等式<恒成立；
当a<0时，令f(x)=则f(ln x)当x∈(-∞，1)时，f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，1)上单调递增，
又当x∈(0，1)时，ln x∈(-∞，0)，
2a+x∈(-∞，1)，
所以只需ln x<2a+x在(0，1)上恒成立，
即2a>ln x-x在(0，1)上恒成立.
令g(x)=ln x-x，则当x∈(0，1)时，g'(x)=>0，
即g(x)在(0，1)上单调递增，
又g(1)=ln 1-1=-1，故2a≥g(1)=-1，
此时有-≤a<0.
综上，a的取值范围是.
二、多项选择题(共6分)
4.若不相等的正数a，b满足aa=bb，则(　　)
A.a>1
B.b<1
C.a+b>
D.>(n∈N*)
答案　BCD
解析　由aa=bb，得aln a=bln b，
令f(x)=xln x，f'(x)=ln x+1=0，
解得x=
当x∈时，f'(x)>0；
当x∈时，f'(x)<0.
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.
所以0要证明a+b>
即证明b>-a
只需证f(b)>f
只需证f(a)>f
令g(x)=f(x)-f
=xln x-ln0g'(x)=ln x+1+ln+1
=ln+2<0，
所以g(x)在上单调递减，
所以g(x)>g=0，
所以a+b>故C正确；
由于f(x)在(1，+∞)上单调递增，
而>
所以f >f
所以ln >ln
所以>(n∈N*)，故D正确.
三、填空题(共5分)
5.若f(x)=xex-a(x+ln x)有两个零点，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　(e，+∞)
解析　f(x)=xex-a(x+ln x)
=ex+ln x-a(x+ln x)，
令t=x+ln x，t∈R，显然该函数为增函数.
当t=0时，f(x)=1在(0，+∞)上恒成立，无零点，故t≠0.当t≠0时，由et-at=0，得a=
可知函数y=(t≠0)的图象与直线y=a有两个交点，令g(t)=t≠0，
则g'(t)=
当t>1时，g'(t)>0，g(t)在(1，+∞)上单调递增；
当t<0或0g(t)的极小值为g(1)=e，
则函数g(t)=(t≠0)的大致图象如图所示，
由图可得a>e，故实数a的取值范围为(e，+∞).
四、解答题(共14分)
6.(14分)已知函数f(x)=xln x-x-ln x+1的导函数为f'(x).
(1)证明：函数f(x)有且只有一个极值点；(6分)
(2)若xf'(x)-f(x)≤-3-mxex恒成立，求实数m的取值范围.(8分)
(1)证明　由题意知f(x)的定义域为(0，+∞)，
且f'(x)=ln x+1-1-=ln x-
令φ(x)=ln x-(x>0)，
则φ'(x)=+=>0，
所以φ(x)即f'(x)在(0，+∞)上单调递增，
又f'(1)=-1<0，f'(e)=1->0，
所以f'(x)在(1，e)上有唯一零点x0，
当0x0时，f'(x)>0，
所以f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，
所以函数f(x)有且只有一个极值点x0.
(2)解　xf'(x)-f(x)≤-3-mxex恒成立，
即(xln x-1)-(xln x-x-ln x+1)≤-3-mxex恒成立，即ln x+x+1≤-mxex恒成立，
即ln(xex)+1≤-mxex恒成立.
令t=xex>0，则ln t+1≤-mt，
所以-m≥令g(t)=(t>0)，
则g'(t)=
令g'(t)<0，得t>1，令g'(t)>0，得0所以g(t)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
所以g(t)max=g(1)=1，所以-m≥1，
解得m≤-1，
即实数m的取值范围为(-∞，-1].第24练　切线放缩
(分值：30分)
常见的指对切线放缩
由图象可得：
(1)ex≥1+x(当x=0时，等号成立)；
(2)ex≥ex(当x=1时，等号成立)；
(3)ln x≤x-1(当x=1时，等号成立)；
(4)ln x≤x(当x=e时，等号成立).
1.(15分)已知函数 f(x)=aln x+-1，a∈R.
(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(4分)
(2)当x≥1时，f(x)≥0，求a的取值范围；(5分)
(3)对于任意的n∈N* 且n>1，证明：ln(n+1)>ln 2+.(6分)
2.(15分)已知函数f(x)=ex--1，
(1)若直线y=x+a为f(x)的切线，求a的值；(5分)
(2)若对x∈(0，+∞)，恒有f(x)>bx，求b的取值范围.(10分)
第24练　切线放缩
1.(15分)已知函数 f(x)=aln x+-1，a∈R.
(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(4分)
(2)当x≥1时，f(x)≥0，求a的取值范围；(5分)
(3)对于任意的n∈N* 且n>1，证明：ln(n+1)>ln 2+.(6分)
(1)解　当a=1时，f(x)=ln x+-1(x>0) f'(x)=
显然当x>1时，f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增，
当0即f(x)的单调递增区间为(1，+∞)，单调递减区间为(0，1).
(2)解　由题意知 f'(x)=
若a≤0 f'(x)<0，此时f(x)在定义域上单调递减，
则当x≥1时，f(x)≤f(1)=0，不符合题意；
若01，易知当x∈时，f'(x)<0，此时 f(x)单调递减，
则f 若a≥1，则≤1，当x∈(1，+∞) 时，f'(x)>0，此时f(x)单调递增，
所以当x≥1时，f(x)≥f(1)=0，符合题意，
综上，a的取值范围为[1，+∞).
(3)证明　由(1)，(2)可知ln x+-1>0(x>1)，
所以ln x>1-(x>1)，
即ln=ln(n+1)-ln n>1-=(n∈N*，n>1)，
所以ln 2-ln 1=ln 2，ln 3-ln 2>…，ln n-ln(n-1)>
累加得ln(n+1)-ln 1=ln(n+1)>ln 2+++…+证毕.
2.(15分)已知函数f(x)=ex--1，
(1)若直线y=x+a为f(x)的切线，求a的值；(5分)
(2)若对x∈(0，+∞)，恒有f(x)>bx，求b的取值范围.(10分)
解　(1)设直线y=x+a与曲线f(x)相切于点(x0，y0)，
因为f'(x)=ex-x，
则f'(x0)=-x0=1，
解得x0=0，则y0=f(0)=0，
即0+a=0，解得a=0.
(2)因为f(0)=0，且曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=x.
故可猜测f(x)在(0，+∞)上的图象恒在切线y=x(x>0)的上方，
先证当x∈(0，+∞)时，f(x)>x，
即证当x∈(0，+∞)时，ex--x-1>0，
设h(x)=ex--x-1(x>0)，
则h'(x)=ex-x-1，
设P(x)=h'(x)=ex-x-1，则P'(x)=ex-1，
因为P'(x)>0在(0，+∞)上恒成立，
所以h'(x)在(0，+∞)上单调递增，
又因为h'(0)=0，
所以当x∈(0，+∞)时，h'(x)>0，
所以h(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以h(x)>h(0)=0，
所以ex--x-1>0，
即ex--1>x，
由此可得只需x≥bx即可.
解得b≤1.第25练　泰勒展开式
(分值：40分)
1.泰勒公式
如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对 x∈(a，b)，
有f(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)2+…+(x-x0)n+Rn(x)，
其中f(n)(x0)(n≥3)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x=x0处的n阶泰勒展开式.
2.麦克劳林公式
f(x)=f(0)+x+x2+…+xn+Rn(x)，
虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及.
3.常见函数的麦克劳林展开式(o(xn)是xn的高阶无穷小量)
(1)ex=1+x++…++o(xn)；
(2)sin x=x-+-…+(-1)n-1+o(x2n-1)；
(3)cos x=1-+-+…+(-1)n+o(x2n)；
(4)ln(1+x)=x-+-…+(-1)n-1+o(xn)；
(5)=1+x+x2+…+xn+o(xn)；
(6)(1+x)α=1+αx+x2+…+xn+o(xn).
4.两个超越不等式(注意解答题需先证明后使用)
(1)对数型超越放缩：≤ln x≤x-1(x>0)；
(2)指数型超越放缩：x+1≤ex≤(x<1).
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.已知a=b=c=ln 则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.c2.已知a=b=cosc=4sin则(　　)
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
3.设a=2ln 1.01，b=ln 1.02，c=-1，则(　　)
A.aC.b二、多项选择题(共6分)
4.泰勒公式通俗地讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式：
ex=1+x++++…++…；
sin x=x-+-+…+(-1)n-1·+….
由此可以判断下列各式中正确的是(　　)
A.eix=cos x+isin x(i是虚数单位)
B.eix=-i(i是虚数单位)
C.2x≥1+xln 2+(x≥0)
D.cos x<1-+(x∈(0，1))
三、填空题(共5分)
5.计算器计算ex，ln x，sin x，cos x等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒展开式”的定义是：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内可以多次进行求导数运算，则当x∈(a，b)时，有f(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)2+(x-x0)3+….其中f'(x)是f(x)的导数，f″(x)是f'(x)的导数，f (3)(x)是f″(x)的导数……取x0=0，则sin x的“泰勒展开式”中第三个非零项为　　　　.
四、解答题(共14分)
6.(14分)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f(x)在x=0处n(n∈N*)阶导数都存在时，f(x)在x=0处的n阶泰勒展开式为f(x)=f(0)+f'(0)x+x2+x3+…+xn+….注：f″(x)表示f(x)的2阶导数，即为f'(x)的导数，f (n)(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)写出f(x)=的泰勒展开式(只需写出前4项)；(4分)
(2)根据泰勒公式估算sin的值，精确到小数点后两位；(4分)
(3)证明：当x≥0时，ex--sin x-cos x≥0.(6分)
第25练　泰勒展开式
(分值：40分)
1.泰勒公式
如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对 x∈(a，b)，
有f(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)2+…+(x-x0)n+Rn(x)，
其中f(n)(x0)(n≥3)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x=x0处的n阶泰勒展开式.
2.麦克劳林公式
f(x)=f(0)+x+x2+…+xn+Rn(x)，
虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及.
3.常见函数的麦克劳林展开式(o(xn)是xn的高阶无穷小量)
(1)ex=1+x++…++o(xn)；
(2)sin x=x-+-…+(-1)n-1+o(x2n-1)；
(3)cos x=1-+-+…+(-1)n+o(x2n)；
(4)ln(1+x)=x-+-…+(-1)n-1+o(xn)；
(5)=1+x+x2+…+xn+o(xn)；
(6)(1+x)α=1+αx+x2+…+xn+o(xn).
4.两个超越不等式(注意解答题需先证明后使用)
(1)对数型超越放缩：≤ln x≤x-1(x>0)；
(2)指数型超越放缩：x+1≤ex≤(x<1).
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.已知a=b=c=ln 则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.c答案　C
解析　因为ex≥x+1(当且仅当x=0时等号成立)，
故b=>-+1=即b>a，
因为ln x≤x-1(当且仅当x=1时等号成立)，
故c=ln <-1=
即a>c，所以c2.已知a=b=cosc=4sin则(　　)
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
答案　A
解析　方法一　(泰勒展开)
a==1-=0.968 75，
b=cos≈1-+≈0.968 91，
c=4sin=≈1-+≈0.989 62，
计算得c>b>a.
方法二　=4tan
因为当x∈时，sin x所以tan>即>1，所以c>b；
因为当x∈时，0所以cos=1-2sin2>1-2×=
故b>a，所以c>b>a.
3.设a=2ln 1.01，b=ln 1.02，c=-1，则(　　)
A.aC.b答案　B
解析　因为a=2ln 1.01=ln 1.012=ln 1.020 1>ln 1.02，所以a>b，排除A，D；
由公式ln(1+x)=x-+…，
得a=2ln(1+0.01)≈2×
=0.02-0.000 1=0.019 9，
由公式(1+x)α=1+αx+x2+…，
得c=(1+0.04-1≈×0.04-×0.042=0.02-0.000 2=0.019 8，
所以a>c，排除C.
二、多项选择题(共6分)
4.泰勒公式通俗地讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式：
ex=1+x++++…++…；
sin x=x-+-+…+(-1)n-1·+….
由此可以判断下列各式中正确的是(　　)
A.eix=cos x+isin x(i是虚数单位)
B.eix=-i(i是虚数单位)
C.2x≥1+xln 2+(x≥0)
D.cos x<1-+(x∈(0，1))
答案　ACD
解析　对于A，B，由sin x=x-+-+…+(-1)n-1+…，
两边求导得cos x=1-+-+…+(-1)n-1+…，
isin x=xi-+-+…+(-1)n-1·+…，
cos x+isin x=1+xi--++--+…+(-1)n-1+(-1)n-1+…，
又eix=1+xi++++…+++…
=1+xi--++--+…+(-1)n-1+(-1)n-1+…
=cos x+isin x，
故A正确，B错误；
对于C，已知ex=1+x++++…++…，则当x≥0时，ex≥1+x+.
因为2x=exln 2(x≥0)，则exln 2≥1+xln 2+即2x≥1+xln 2+(x≥0)成立，故C正确；
对于D，cos x=1-+-+-+…+(-1)n-1+…
=-+-+…-+-…(n为奇数)，
当x∈(0，1)时，-+<0，-+<0，…，
-+
=<0，x∈(0，1)，
所以-+-+…-+-…<0，
所以cos x<1-+=1-+(x∈(0，1))成立，故D正确.
三、填空题(共5分)
5.计算器计算ex，ln x，sin x，cos x等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒展开式”的定义是：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内可以多次进行求导数运算，则当x∈(a，b)时，有f(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)2+(x-x0)3+….其中f'(x)是f(x)的导数，f″(x)是f'(x)的导数，f (3)(x)是f″(x)的导数……取x0=0，则sin x的“泰勒展开式”中第三个非零项为　　　　.
答案　x5
解析　取x0=0时，可得f(x)=f(0)+x+x2+x3+…，
则sin x=0+1×x+0×x2+(-1)×x3+0×x4+1×x5+…
=x-x3+x5-…，
所以sin x的“泰勒展开式”中第三个非零项为x5.
四、解答题(共14分)
6.(14分)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f(x)在x=0处n(n∈N*)阶导数都存在时，f(x)在x=0处的n阶泰勒展开式为f(x)=f(0)+f'(0)x+x2+x3+…+xn+….注：f″(x)表示f(x)的2阶导数，即为f'(x)的导数，f (n)(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)写出f(x)=的泰勒展开式(只需写出前4项)；(4分)
(2)根据泰勒公式估算sin的值，精确到小数点后两位；(4分)
(3)证明：当x≥0时，ex--sin x-cos x≥0.(6分)
(1)解　f(x)=f'(x)=f″(x)=f (3)(x)=
f(0)=f'(0)=1，f″(0)=2，f (3)(0)=6，
所以f(x)==1+x+x2+x3+….
(2)解　因为(sin x)'=cos x，(cos x)'=-sin x，
可得sin x=x-+-+…，
故sin=-+…≈0.48.
(3)证明　方法一　由泰勒展开式ex=1+x+++++…++…，
易知当x≥0时，ex≥1+x+
所以ex--sin x-cos x≥1+x+--sin x-cos x=1+x-sin x-cos x≥x-sin x，
令g(x)=x-sin x，
则g'(x)=1-cos x≥0，所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，
故g(x)≥g(0)=0，
即证得当x≥0时，ex--sin x-cos x≥0.
方法二　令G(x)=ex--sin x-cos x，
G'(x)=ex-x-cos
易知当x∈时，y=ex-x，
y=-cos均单调递增，
所以G'(x)=ex-x-cos单调递增，
所以G'(x)≥G'(0)=0，
所以当x∈时，G(x)单调递增，
所以G(x)≥G(0)=0；
当x∈时，
G(x)=ex--sin x-cos x≥ex--2，
令F(x)=ex--2，则F'(x)=ex-x>0，
则F(x)=ex--2在R上单调递增，
则当x∈时，F(x)=ex--2>F(2)=e2-4>0，
综上，原不等式得证.
第25练　泰勒展开式
(分值：40分)
1.泰勒公式
如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对 x∈(a，b)，
有f(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)2+…+(x-x0)n+Rn(x)，
其中f(n)(x0)(n≥3)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x=x0处的n阶泰勒展开式.
2.麦克劳林公式
f(x)=f(0)+x+x2+…+xn+Rn(x)，
虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及.
3.常见函数的麦克劳林展开式(o(xn)是xn的高阶无穷小量)
(1)ex=1+x++…++o(xn)；
(2)sin x=x-+-…+(-1)n-1+o(x2n-1)；
(3)cos x=1-+-+…+(-1)n+o(x2n)；
(4)ln(1+x)=x-+-…+(-1)n-1+o(xn)；
(5)=1+x+x2+…+xn+o(xn)；
(6)(1+x)α=1+αx+x2+…+xn+o(xn).
4.两个超越不等式(注意解答题需先证明后使用)
(1)对数型超越放缩：≤ln x≤x-1(x>0)；
(2)指数型超越放缩：x+1≤ex≤(x<1).
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.已知a=b=c=ln 则a，b，c的大小关系为(　　)
A.aC.c答案　C
解析　因为ex≥x+1(当且仅当x=0时等号成立)，
故b=>-+1=即b>a，
因为ln x≤x-1(当且仅当x=1时等号成立)，
故c=ln <-1=
即a>c，所以c2.已知a=b=cosc=4sin则(　　)
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
答案　A
解析　方法一　(泰勒展开)
a==1-=0.968 75，
b=cos≈1-+≈0.968 91，
c=4sin=≈1-+≈0.989 62，
计算得c>b>a.
方法二　=4tan
因为当x∈时，sin x所以tan>即>1，所以c>b；
因为当x∈时，0所以cos=1-2sin2>1-2×=
故b>a，所以c>b>a.
3.设a=2ln 1.01，b=ln 1.02，c=-1，则(　　)
A.aC.b答案　B
解析　因为a=2ln 1.01=ln 1.012=ln 1.020 1>ln 1.02，所以a>b，排除A，D；
由公式ln(1+x)=x-+…，
得a=2ln(1+0.01)≈2×
=0.02-0.000 1=0.019 9，
由公式(1+x)α=1+αx+x2+…，
得c=(1+0.04-1≈×0.04-×0.042=0.02-0.000 2=0.019 8，
所以a>c，排除C.
二、多项选择题(共6分)
4.泰勒公式通俗地讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式：
ex=1+x++++…++…；
sin x=x-+-+…+(-1)n-1·+….
由此可以判断下列各式中正确的是(　　)
A.eix=cos x+isin x(i是虚数单位)
B.eix=-i(i是虚数单位)
C.2x≥1+xln 2+(x≥0)
D.cos x<1-+(x∈(0，1))
答案　ACD
解析　对于A，B，由sin x=x-+-+…+(-1)n-1+…，
两边求导得cos x=1-+-+…+(-1)n-1+…，
isin x=xi-+-+…+(-1)n-1·+…，
cos x+isin x=1+xi--++--+…+(-1)n-1+(-1)n-1+…，
又eix=1+xi++++…+++…
=1+xi--++--+…+(-1)n-1+(-1)n-1+…
=cos x+isin x，
故A正确，B错误；
对于C，已知ex=1+x++++…++…，则当x≥0时，ex≥1+x+.
因为2x=exln 2(x≥0)，则exln 2≥1+xln 2+即2x≥1+xln 2+(x≥0)成立，故C正确；
对于D，cos x=1-+-+-+…+(-1)n-1+…
=-+-+…-+-…(n为奇数)，
当x∈(0，1)时，-+<0，-+<0，…，
-+
=<0，x∈(0，1)，
所以-+-+…-+-…<0，
所以cos x<1-+=1-+(x∈(0，1))成立，故D正确.
三、填空题(共5分)
5.计算器计算ex，ln x，sin x，cos x等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒展开式”的定义是：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内可以多次进行求导数运算，则当x∈(a，b)时，有f(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)2+(x-x0)3+….其中f'(x)是f(x)的导数，f″(x)是f'(x)的导数，f (3)(x)是f″(x)的导数……取x0=0，则sin x的“泰勒展开式”中第三个非零项为　　　　.
答案　x5
解析　取x0=0时，可得f(x)=f(0)+x+x2+x3+…，
则sin x=0+1×x+0×x2+(-1)×x3+0×x4+1×x5+…
=x-x3+x5-…，
所以sin x的“泰勒展开式”中第三个非零项为x5.
四、解答题(共14分)
6.(14分)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f(x)在x=0处n(n∈N*)阶导数都存在时，f(x)在x=0处的n阶泰勒展开式为f(x)=f(0)+f'(0)x+x2+x3+…+xn+….注：f″(x)表示f(x)的2阶导数，即为f'(x)的导数，f (n)(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)写出f(x)=的泰勒展开式(只需写出前4项)；(4分)
(2)根据泰勒公式估算sin的值，精确到小数点后两位；(4分)
(3)证明：当x≥0时，ex--sin x-cos x≥0.(6分)
(1)解　f(x)=f'(x)=f″(x)=f (3)(x)=
f(0)=f'(0)=1，f″(0)=2，f (3)(0)=6，
所以f(x)==1+x+x2+x3+….
(2)解　因为(sin x)'=cos x，(cos x)'=-sin x，
可得sin x=x-+-+…，
故sin=-+…≈0.48.
(3)证明　方法一　由泰勒展开式ex=1+x+++++…++…，
易知当x≥0时，ex≥1+x+
所以ex--sin x-cos x≥1+x+--sin x-cos x=1+x-sin x-cos x≥x-sin x，
令g(x)=x-sin x，
则g'(x)=1-cos x≥0，所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，
故g(x)≥g(0)=0，
即证得当x≥0时，ex--sin x-cos x≥0.
方法二　令G(x)=ex--sin x-cos x，
G'(x)=ex-x-cos
易知当x∈时，y=ex-x，
y=-cos均单调递增，
所以G'(x)=ex-x-cos单调递增，
所以G'(x)≥G'(0)=0，
所以当x∈时，G(x)单调递增，
所以G(x)≥G(0)=0；
当x∈时，
G(x)=ex--sin x-cos x≥ex--2，
令F(x)=ex--2，则F'(x)=ex-x>0，
则F(x)=ex--2在R上单调递增，
则当x∈时，F(x)=ex--2>F(2)=e2-4>0，
综上，原不等式得证.第26练　飘带不等式与对数均值不等式
(分值：30分)
1.在进行放缩的时候，转化的本质就是把曲线转化为直线进行简化运算，即用直线代替曲线，在切点处曲线可以近似地用直线代替，但是随着x的变化，直线与曲线的差距越来越大，放缩的精度越来越粗糙，所以有时采用曲线来代替直线.
飘带不等式：1).
2.对数均值不等式<<(x1>0，x2>0且x1≠x2).
1.(15分)已知函数f(x)=ln x-ax2+(2-a)x.
(1)讨论f(x)的单调性；(6分)
(2)若函数f(x)的图象与x轴交于A，B两点，线段AB的中点的横坐标为x0，证明：f'(x0)<0.(9分)
2.(15分)定义在区间D上的函数f(x)满足：若对任意x1，x2∈D，且x1>x2，都有 >则称f(x)是D上的“Good函数”.
(1)若f(x)=ax2是[1，+∞)上的“Good函数”，求a的取值范围；(4分)
(2)①证明：g(x)=ln x是(0，+∞)上的“Good函数”；(5分)
②设n∈N*，证明：ln(2n+1)>1++++…+.(6分)
第26练　飘带不等式与对数均值不等式
1.(15分)已知函数f(x)=ln x-ax2+(2-a)x.
(1)讨论f(x)的单调性；(6分)
(2)若函数f(x)的图象与x轴交于A，B两点，线段AB的中点的横坐标为x0，证明：f'(x0)<0.(9分)
(1)解　函数f(x)的定义域是(0，+∞)，则f'(x)=-2ax+(2-a)=.
当a≤0时，f'(x)>0在区间(0，+∞)上恒成立，即f(x)在区间(0，+∞)上单调递增.
当a>0时，由f'(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为；
由f'(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为.
综上，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；当a>0时，f(x)的单调递增区间为单调递减区间为.
(2)证明　f'(x0)=-2ax0+(2-a)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x0=由f(x1)=f(x2)=0，得
则ln x1-ln x2-a(-)+(2-a)(x1-x2)=0，x1，x2>0，且x1≠x2，
上式两边同除以(x1-x2)得-a(x1+x2)+(2-a)=0.
要证f'(x0)<0，只需证-2ax0+(2-a)=-a(x1+x2)+(2-a)<0，
只需证-a(x1+x2)+(2-a)<-a(x1+x2)+(2-a)，
即证>.
根据对数均值不等式>(x1，x2>0，且x1≠x2)，故原命题得证.
2.(15分)定义在区间D上的函数f(x)满足：若对任意x1，x2∈D，且x1>x2，都有 >则称f(x)是D上的“Good函数”.
(1)若f(x)=ax2是[1，+∞)上的“Good函数”，求a的取值范围；(4分)
(2)①证明：g(x)=ln x是(0，+∞)上的“Good函数”；(5分)
②设n∈N*，证明：ln(2n+1)>1++++…+.(6分)
(1)解　由题可知任意x1，x2∈[1，+∞)，且x1>x2>
即>解得a>.
因为x1+x2∈(2，+∞)，所以a≥即a的取值范围为.
(2)证明　①设x1，x2∈(0，+∞)，且x1>x2，
则-=-=-.
令t=且t∈(1，+∞)，h(t)=ln t-t∈(1，+∞)，
则h'(t)=-=>0，
则h(t)在(1，+∞)上单调递增，
所以h(t)>h(1)=0，
即>
所以>
即g(x)=ln x是(0，+∞)上的“Good函数”.
②由①可知，当x1，x2∈(0，+∞)，x1>x2时>
令x1=2n+1，x2=2n-1，n∈N*，则>
即ln(2n+1)-ln(2n-1)>.
故ln 3-ln 1+ln 5-ln 3+…+ln(2n+1)-ln(2n-1)>+++…+
化简可得ln(2n+1)>1++++…+.第27练　极值点偏移(一)
(分值：30分)
对称化构造函数法构造辅助函数
(1)对结论x1+x2>2x0型，构造函数F(x)=f(x)-f(2x0-x).
(2)对结论x1x2>型，方法一是构造函数F(x)=f(x)-f 通过研究F(x)的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成ln x1+ln x2>2ln x0，再把ln x1，ln x2看成两变量即可.
1.(15分)已知常数a>0，函数f(x)=x2-ax-2a2ln x.
(1)若 x>0，f(x)>-4a2，求a的取值范围；(6分)
(2)若x1，x2是f(x)的零点，且x1≠x2，证明：x1+x2>4a.(9分)
2.(15分)已知函数f(x)=xln x+t在点(1，f(1))处的切线经过原点.
(1)求实数t的值；(5分)
(2)若存在x1第27练　极值点偏移(一)
1.(15分)已知常数a>0，函数f(x)=x2-ax-2a2ln x.
(1)若 x>0，f(x)>-4a2，求a的取值范围；(6分)
(2)若x1，x2是f(x)的零点，且x1≠x2，证明：x1+x2>4a.(9分)
(1)解　由已知得f(x)的定义域为{x|x>0}，
且f'(x)=x-a-=
=.
∵a>0，
∴当x∈(0，2a)时，f'(x)<0，即f(x)在(0，2a)上单调递减；
当x∈(2a，+∞)时，f'(x)>0，即f(x)在(2a，+∞)上单调递增.
∴f(x)在x=2a处取得极小值，即最小值，
∴f(x)min=f(2a)=-2a2ln(2a)，
∵ x>0，f(x)>-4a2 f(x)min=-2a2ln(2a)>-4a2 ln(2a)∴0(2)证明　由(1)知，f(x)的定义域为{x|x>0}，
f(x)在(0，2a)上单调递减，在(2a，+∞)上单调递增，且x=2a是f(x)的极小值点.
∵x1，x2是f(x)的零点，且x1≠x2，
不妨设x1设F(x)=f(x)-f(4a-x)，
则F'(x)=+
=.
当x∈(0，2a)时，F'(x)<0，
即F(x)在(0，2a)上单调递减.
∵0∴F(x1)>F(2a)=0，即f(x1)>f(4a-x1)，
∵f(x1)=f(x2)=0，
∴f(x2)>f(4a-x1)，
∵x1<2a，
∴4a-x1>2a，
又∵x2>2a，f(x)在(2a，+∞)上单调递增，
∴x2>4a-x1，即x1+x2>4a.
2.(15分)已知函数f(x)=xln x+t在点(1，f(1))处的切线经过原点.
(1)求实数t的值；(5分)
(2)若存在x1(1)解　因为f'(x)=ln x+1，所以f'(1)=1，
因为f(1)=t，所以切线方程为y-t=x-1，
即y=x+t-1.
因为切线经过原点，所以0=0+t-1，
所以t=1.
(2)证明　因为f(x)=xln x+1(x>0)，
所以f'(x)=ln x+1，
令f'(x)>0，解得x>；
令f'(x)<0，解得0所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.
因为f =1-f(1)=1，
当x→0时，f(x)→1，
当x→+∞时，f(x)→+∞，f(x)的大致图象如图所示.
所以存在x1f(x1)=f(x2)，
且0要证x1x2<
即证x1<
因为<<只需证f(x1)>f
因为f(x1)=f(x2)，
即证f(x2)>f .
令g(x)=f(x)-f=xln x-ln
=xln x+(ln x+2)
所以g'(x)=ln x+1-(ln x+2)+
=(ln x+1).
因为0，1->0，
即g'(x)>0，所以g(x)在上单调递增，
所以g(x)>g=0，
所以f(x)>f 即f(x2)>f
所以x1x2<得证.第28练　极值点偏移(二)
(分值：30分)
极值点偏移问题的常用求解方法
(1)在证明过程中出现的形式不符合和、积型结构时，通过换元构造新函数然后再进行证明.
(2)比值代换法：通过代数变形，将所证的双变量不等式通过代换t=化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.
1.(15分)已知函数f(x)=x2ln x，若方程f(x)=m有两个不相等的实根x1，x2，求证：+>.
2.(15分)若函数f(x)对其定义域内任意x1，x2(x1≠x2)满足：当f(x1)=f(x2)时，恒有x1x2=m，其中m为常数，则称函数f(x)具有性质V(m).
(1)若函数g(x)=2x+具有性质V(m)，求m；(4分)
(2)设函数h(x)=x-ln x，h(x1)=h(x2)(x2>x1>0)，
①判断函数h(x)是否具有性质V(m)，若具有，求出m，若不具有，请说明理由；(5分)
②证明：x1<2.(6分)
综上，x1<2.
第28练　极值点偏移(二)
1.(15分)已知函数f(x)=x2ln x，若方程f(x)=m有两个不相等的实根x1，x2，求证：+>.
证明　令a=b=则f(x1)=f(x2)，
即ln x1=ln x2，
所以ln =ln
所以aln a=bln b，
设函数g(x)=xln x，x>0，则g(a)=g(b)，
g'(x)=ln x+1，所以g'(x)>0 x>
g'(x)<0 0所以g(x)在上单调递减，在上单调递增.
求证+>即证a+b>.
不妨设a则-a>
令h(x)=g(x)-g0由h'(x)=g'(x)+g'=ln x+1+ln+1=ln+2
=ln+2<0，
所以h(x)在上单调递减，h(x)>h=0，
所以g(a)>g即g(b)>g
又g(x)在上单调递增，
所以b>-a，即a+b>
故+>得证.
2.(15分)若函数f(x)对其定义域内任意x1，x2(x1≠x2)满足：当f(x1)=f(x2)时，恒有x1x2=m，其中m为常数，则称函数f(x)具有性质V(m).
(1)若函数g(x)=2x+具有性质V(m)，求m；(4分)
(2)设函数h(x)=x-ln x，h(x1)=h(x2)(x2>x1>0)，
①判断函数h(x)是否具有性质V(m)，若具有，求出m，若不具有，请说明理由；(5分)
②证明：x1<2.(6分)
(1)解　g(x)=2x+的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，
对任意的x1，x2∈(-∞，0)∪(0，+∞)且x1≠x2，
有2x1+=2x2+
即2x1-2x2+-=2(x1-x2)+=(x1-x2)=0，
因为x1≠x2，所以x1-x2≠0，故=2，
故x1x2=故m=.
(2)①解　h(x)不具有性质V(m)，理由如下：
h(x)=x-ln x的定义域为(0，+∞)，
h'(x)=1-=
当01时，h'(x)>0，
故h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
且当x→0时，h(x)→+∞，当x→+∞时，h(x)→+∞，又x2>x1，故0假设函数h(x)具有性质V(m)，即x1x2=m，所以x2=
因为x1-ln x1=x2-ln x2，所以x1-ln x1=-ln =-ln m+ln x1，
故x1--2ln x1+ln m=0对于任意的x1∈(0，1)恒成立，
即x1--2ln x1+ln m恒为0，显然不可能，故假设不成立，故h(x)不具有性质V(m).
②证明　因为x1-ln x1=x2-ln x2，所以ln x2-ln x1=x2-x1，即=1，
下面证明>
即证>ln ->ln
令=t>1，则->ln t->2ln t t--2ln t>0，
令p(t)=t--2ln t，t>1，
则p'(t)=1+-==>0，
故p(t)=t--2ln t在(1，+∞)上单调递增，
故p(t)>p(1)=0，t--2ln t>0，
所以>即1>所以x1x2<1，
当1当x2>2时，h(x1)-h=h(x2)-h=x2-ln x2-+ln
=x2-ln x2-+ln 2-2ln x2=x2-3ln x2-+ln 2，
令q(x)=x-3ln x-+ln 2，x>2，
q'(x)=1-+==>0，
故q(x)=x-3ln x-+ln 2在(2，+∞)上单调递增，
又q(2)=-2ln 2=ln -ln 4，其中e3-16>0，故>4，
所以q(2)>0，故h(x1)-h=x2-3ln x2-+ln 2>0，
即h(x1)>h其中x1∈(0，1)∈(0，1)，而h(x)在(0，1)上单调递减，
故x1综上，x1<2.第29练　参数全分离
(分值：30分)
由不等式恒(能)成立求参数的取值范围问题的策略
(1)求最值法.将恒(能)成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.
(2)分离参数法.构造函数，直接把问题转化为求函数的最值问题，a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min；a≥f(x)能成立 a≥f(x)min；a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
1.(15分)已知函数f(x)=a(x+2)2+bln x+1(a，b∈R).
(1)当x=1时，函数f(x)的极值为10，求a和b的值；(6分)
(2)设g(x)=f'(x)，若b=2，对于任意的x∈(1，2]，g(x)≥2恒成立，求a的最小值.(9分)
2.(15分)已知函数f(x)=ax-ln x，a∈R.
(1)讨论f(x)在区间[1，2]上的单调性；(7分)
(2)若当x∈(0，e]时，不等式f(x)≤3有解，求a的取值范围.(8分)
第29练　参数全分离
1.(15分)已知函数f(x)=a(x+2)2+bln x+1(a，b∈R).
(1)当x=1时，函数f(x)的极值为10，求a和b的值；(6分)
(2)设g(x)=f'(x)，若b=2，对于任意的x∈(1，2]，g(x)≥2恒成立，求a的最小值.(9分)
解　(1)f'(x)=2a(x+2)+
因为当x=1时，函数f(x)的极值为10，
所以
解得
当时，f'(x)=2(x+2)-=x>0，
当x∈(0，1)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，
当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，
所以函数f(x)在x=1处取到极小值，符合题意，
所以a=1，b=-6.
(2)g(x)=f'(x)=2a(x+2)+
若b=2，对于任意的x∈(1，2]，g(x)=2a(x+2)+≥2恒成立，
即对于任意的x∈(1，2]，a≥=恒成立，
令h(x)=x∈(1，2]，则h'(x)==
又y=-(x-1)2+3在(1，2]上单调递减，
所以y=-(x-1)2+3在(1，2]上的最小值为-(2-1)2+3=2>0，
可得h'(x)=>0，
所以h(x)在(1，2]上单调递增，
所以h(x)在(1，2]上的最大值为h(2)==
所以a的最小值为.
2.(15分)已知函数f(x)=ax-ln x，a∈R.
(1)讨论f(x)在区间[1，2]上的单调性；(7分)
(2)若当x∈(0，e]时，不等式f(x)≤3有解，求a的取值范围.(8分)
解　(1)函数f(x)=ax-ln x，
则f'(x)=a-
由x∈[1，2]，得∈
当a≤时，f'(x)≤0，
当且仅当a=x=2时取等号，
函数f(x)在[1，2]上单调递减；
当a≥1时，f'(x)≥0，当且仅当a=1，x=1时取等号，函数f(x)在[1，2]上单调递增；
当由f'(x)>0，得因此函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，
综上，当a≤时，函数f(x)在[1，2]上单调递减；
当当a≥1时，函数f(x)在[1，2]上单调递增.
(2)依题意，不等式ax-ln x≤3在x∈(0，e]上有解，即a≤+在x∈(0，e]上有解，
令g(x)=+x∈(0，e]，
求导得g'(x)=-+=-
由g'(x)>0，得0由g'(x)<0，得所以函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，
当x=时，函数g(x)取得最大值g=e2，因此a≤e2，
所以实数a的取值范围是(-∞，e2].第30练　参数半分离
(分值：30分)
参数半分离是相对于参数全分离而言的，其方法为把含有两个变量的复杂不等式(或方程)，化成一边含有参数一边不含有参数的两个简单的、易作图的函数，如ax+b≥f(x)(其中a为参数，b为常数)，不等号左右两个函数的图象特征为“一直一曲”，而直线y=ax+b过定点(0，b)，再结合图象，利用函数凹凸性解决问题，过程简捷.
1.(15分)设函数f(x)=ex-1-x-ax2，若当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围.
2.(15分)若函数f(x)=2ex-ax2+(a-2e)x有三个不同的零点，求实数a的取值范围.
第30练　参数半分离
1.(15分)设函数f(x)=ex-1-x-ax2，若当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围.
解　由x≥0时f(x)≥0恒成立，可得ax2≤ex-1-x(x≥0)恒成立，
当x=0时，不等式成立；
当x>0时，则ax≤恒成立，
该不等式的几何意义：绕原点旋转的射线y=ax(x>0)恒在曲线g(x)=(x>0)的下方，
g'(x)=令m(x)=g'(x)，
则m'(x)=
令t(x)=(x2-2x+2)ex-2，则t'(x)=x2ex，当x>0时，t'(x)>0，
t(x)>t(0)=0，所以m'(x)>0.
所以g'(x)单调递增，
由洛必达法则知g'(x)====>0.
所以g(x)=在(0，+∞)上单调递增，
且增加得越来越快，所以实数a的取值范围是.
2.(15分)若函数f(x)=2ex-ax2+(a-2e)x有三个不同的零点，求实数a的取值范围.
解　方法一　由f(x)=0得，x(x-1)a=2(ex-ex)，显然x≠0，
则(x-1)+e=
左侧：绕定点(1，e)旋转的动直线y=(x-1)+e；
右侧：定函数g(x)=
g'(x)=
动直线要与定函数g(x)的图象有三个不同的交点，如图，由g'(1)=0，且当x→+∞时，g'(x)→+∞知，只需动直线的斜率>0即可，即a>0.
方法二　由f(x)=0，
得x(x-1)a=2(ex-ex)，
显然x=1是该方程的根.
当x≠1时，即x=
左侧：绕原点旋转的动直线y=x；
右侧：定函数h(x)=
动直线y=x要与h(x)=的图象有两个不同的交点，仿上可解.第31练　主元变换
(分值：30分)
对于题目涉及的两个变元，已知其中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一个变元的取值范围问题，这类问题我们称为“伪双变量”问题，这种“伪双变量”问题，往往会利用我们习惯将字母x作为自变量的误区来进行设计，此时，我们可以变更主元，“反客为主”，将另一个变量作为自变量，从而使问题得以解决，我们称这种方法为变更主元法.
1.(15分)已知a∈R，设函数f(x)=(ax2+2ax+1)ex-2.
(1)求函数f(x)的单调区间；(7分)
(2)若a<-求证：当x≥0时，f(x)<0.(8分)
2.(15分)已知函数f(x)=emx-1-.
(1)若m=1，求f(x)的单调区间；(6分)
(2)若f(x)的最小值为m，求m的最小值.(9分)
第31练　主元变换
1.(15分)已知a∈R，设函数f(x)=(ax2+2ax+1)ex-2.
(1)求函数f(x)的单调区间；(7分)
(2)若a<-求证：当x≥0时，f(x)<0.(8分)
(1)解　f'(x)=(ax2+4ax+2a+1)ex，
记Δ=16a2-4a(2a+1)=8a2-4a.
当a=0时，f'(x)=ex>0，f(x)在(-∞，+∞)上单调递增；
当a<0时，Δ>0，令f'(x)=0，
得x1=
x2=
所以f(x)的单调递增区间为(x1，x2)，单调递减区间为(-∞，x1)和(x2，+∞)；
当a>0时，若Δ≤0，即0若Δ>0，即a>令f'(x)=0，得x3=x4=
所以f(x)的单调递增区间为(-∞，x3)，(x4，+∞)，单调递减区间为(x3，x4).
(2)证明　当x≥0时，
令g(a)=(ax2+2ax+1)ex-2，
则g'(a)=(x2+2x)ex≥0，
当且仅当x=0时取等号，所以g(a)单调递增，
当a<-时，g(a)令h(x)=ex-2(x≥0)，
则h'(x)=-(x2+4x-5)ex
=-(x+5)(x-1)ex，
令h'(x)=0，则x=1或x=-5(舍去)，
所以h(x)在[0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
所以h(x)max=h(1)=<0，
即当x≥0时，h(x)<0，得证.
2.(15分)已知函数f(x)=emx-1-.
(1)若m=1，求f(x)的单调区间；(6分)
(2)若f(x)的最小值为m，求m的最小值.(9分)
解　(1)当m=1时，f(x)=ex-1-x>0，
f'(x)=ex-1-=.
令u(x)=x2ex-1+ln x-1，易知u(x)在(0，+∞)上单调递增，且u(1)=0，
所以当x∈(0，1)时，u(x)<0，此时f'(x)<0；
当x∈(1，+∞)时，u(x)>0，此时f'(x)>0，
所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞).
(2)依题意可得，emx-1-≥m恒成立，且等号能够取到.
构造关于m的函数g(m)=emx-1--m，
g'(m)=xemx-1-1，
令g'(m)>0，得m>；
令g'(m)<0，得m<
所以g(m)在上单调递增，在上单调递减，故g(m)min=g故g(m)≥g
而g=--=0，
即g(m)≥g=0，
依题意，不等式g(m)≥g=0中的等号可以取到，即方程m=有解.
令h(x)=(x>0)，则h'(x)=
易得h(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，+∞)上单调递增，h(x)min=h(e2)=-.
所以m≥-故m的最小值为-.第32练　端点效应
(分值：30分)
1.端点效应的定义
恒成立问题中，我们常常能见到类似的命题：“对于任意的x∈[a，b]，都有f(x)≥0恒成立”，这里的端点a，b往往是使结论成立的临界条件，因此，如果能利用好这两个值，就能方便解题，而对于这种观察区间端点处函数值来解决问题的做法，我们称之为端点效应.
2.端点效应的核心思想
利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围，而在很多情况下，该取值范围即为所求.
3.端点效应的解题思路
端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒成立的一个必要条件，初步获得所求参数的范围，再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论范围，使问题得以顺利解决.
利用“端点效应”解决问题一般可分为以下几步：
(1)利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个取值范围是不等式恒成立的必要条件；
(2)利用所得出的参数取值范围判断函数在定义域内是否单调；
(3)若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件.
1.(15分)设函数 f(x)=ex-e-x.
(1)证明：f(x)的导数f'(x)≥2恒成立；(6分)
(2)若对任意的x≥0都有f(x)≥ax，求实数a的取值范围.(9分)
2.(15分)设函数f(x)=.
(1)求f(x)的单调区间；(6分)
(2)如果对于任意x≥0，都有f(x)≤ax，求实数a的取值范围.(9分)
第32练　端点效应
1.(15分)设函数 f(x)=ex-e-x.
(1)证明：f(x)的导数f'(x)≥2恒成立；(6分)
(2)若对任意的x≥0都有f(x)≥ax，求实数a的取值范围.(9分)
(1)证明　f(x)的导数f'(x)=ex+e-x.
由于ex+e-x≥2=2，
当且仅当x=0时，等号成立，故f'(x)≥2.
(2)解　依题意，若对任意的x≥0都有f(x)≥ax恒成立，
即当x≥0时，ex-e-x-ax≥0恒成立.
令F(x)=ex-e-x-ax(x≥0)，
则F'(x)=ex+e-x-a，
由于F(0)=e0-e0-0=0，
要使函数F(x)≥0在x≥0内恒成立，
需F'(0)=1+1-a=2-a≥0，即a≤2.
下证充分性：
当a≤2时，由(1)得函数F'(x)=ex+e-x-a≥ex+e-x-2≥2-2=0(x≥0)，
故函数F(x)在[0，+∞)上单调递增，即F(x)≥F(0)=0.
综上，对任意的x≥0，函数f(x)≥ax恒成立的实数a的取值范围是(-∞，2].
2.(15分)设函数f(x)=.
(1)求f(x)的单调区间；(6分)
(2)如果对于任意x≥0，都有f(x)≤ax，求实数a的取值范围.(9分)
解　(1)由题可得f'(x)=
当x∈k∈Z时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈k∈Z时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
所以f(x)的单调递增区间为
k∈Z，
单调递减区间为k∈Z.
(2)设g(x)=f(x)-ax=-ax，
由题可知对于任意x≥0，都有g(x)≤0恒成立，
计算可知g(0)=0，g'(x)=-a，
计算可知g'(0)=-a，令g'(0)≤0，得a≥.
当a≥时，对任意x≥0时，g(x)≤0恒成立.
g(x)=-ax≤-x，
令h(x)=-x，x∈[0，+∞)，
h'(x)=-=≤0，
所以h(x)在[0，+∞)上单调递减，h(x)≤h(0)=0，
即得 x∈[0，+∞)，g(x)≤h(x)≤0，符合题意；
当a<时，g'(0)=-a>0，
所以 x0>0，使得当x∈(0，x0)时，g'(x)>0，
所以g(x)在(0，x0)上单调递增，当x∈(0，x0)时，g(x)>g(0)=0，不符合题意.
综上所述，实数a的取值范围为.第33练　零点问题
(分值：30分)
已知零点求参数的取值范围
(1)分离参数法：分离之后函数无参数，则可得到函数的图象，然后上下移动参数的值，观察直线与函数图象交点个数即可.
(2)隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个为容易求导的不含参函数，另一个为图象是一条直线的含参函数，观察它们图象的变化趋势，找到临界的位置，易求得参数的取值范围.
(3)直接法：直接研究函数，对参数进行分类讨论，判断函数单调性，利用函数零点存在定理，判断零点个数，从而求出参数的取值范围.
1.(13分)已知函数f(x)=x3-x-a.
(1)当a=4时，求曲线y=f(x)在点(4，f(4))处的切线方程；(5分)
(2)若f(x)有3个零点，求a的取值范围.(8分)
2.(17分)已知函数f(x)=ex-a+cos x+b(a，b∈R).
(1)当a=0时，证明：函数f(x)在(0，+∞)上单调递增；(5分)
(2)若函数f(x)在上有极值，求实数a的取值范围；(6分)
(3)若函数f(x)的图象在点(2π，f(2π))处的切线方程为x-y-2π=0，求函数f(x)的零点个数.(6分)
第33练　零点问题
1.(13分)已知函数f(x)=x3-x-a.
(1)当a=4时，求曲线y=f(x)在点(4，f(4))处的切线方程；(5分)
(2)若f(x)有3个零点，求a的取值范围.(8分)
解　(1)当a=4时，f(x)=x3-x-4则f'(x)=3x2-1-
所以f'(4)=48-1-1=46，f(4)=64-4-8=52，
所以曲线y=f(x)在点(4，f(4))处的切线方程为y-52=46(x-4)，
即y=46x-132.
(2)因为f(0)=0，则0为f(x)的1个零点，
因为f(x)有3个零点，所以f(x)在(0，+∞)上有2个零点，
即方程a=-有2个不相等的实数根，
即直线y=a与函数y=-的图象在(0，+∞)上有2个不同的交点，
设g(x)=-(x>0)，则g'(x)=-==
令g'(x)>0，得x>g(x)在上单调递增；
令g'(x)<0，得0g(1)=g(0)=0，g(x)min=g=-
因为直线y=a与函数y=-的图象在(0，+∞)上有2个不同的交点，
所以a的取值范围是.
2.(17分)已知函数f(x)=ex-a+cos x+b(a，b∈R).
(1)当a=0时，证明：函数f(x)在(0，+∞)上单调递增；(5分)
(2)若函数f(x)在上有极值，求实数a的取值范围；(6分)
(3)若函数f(x)的图象在点(2π，f(2π))处的切线方程为x-y-2π=0，求函数f(x)的零点个数.(6分)
(1)证明　当a=0时，由f(x)=ex+cos x+b，
可得f'(x)=ex-sin x，
因为x>0，则ex>1，
又因为sin x≤1，则f'(x)>0，
所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增.
(2)解　f'(x)=ex-a-sin x，
因为函数f(x)在上有极值，所以f'(x)在上有变号零点，
又因为f'(x)=ex-a-sin x在上单调递增，则f'f'(π)<0，
即eπ-a<0，所以<1，解得a>
故实数a的取值范围为.
(3)解　因为函数f(x)在点(2π，f(2π))处的切线方程为x-y-2π=0，即y=x-2π，
所以f'(2π)=e2π-a-sin 2π=1，
且f(2π)=e2π-a+cos 2π+b=0，
解得a=2π，b=-2.
故f(x)=ex-2π+cos x-2，
则f'(x)=ex-2π-sin x，
当x>2π时，f'(x)>0，即f(x)在(2π，+∞)上单调递增，
因为f(2π)=0，所以f(x)在(2π，+∞)上没有零点；
当x<2π时，f(x)综上所述，函数f(x)的零点个数为1.第34练　隐零点问题
(分值：30分)
隐零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接求解出来.在函数、不等式与导数的综合题目中常会遇到隐零点问题，一般对函数的零点设而不求，借助整体代换和过渡，再结合题目条件，利用函数的性质巧妙求解.一般难度较大.
1.(15分)已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的最大值；(5分)
(2)若aex-1≥f(x)恒成立，求实数a的取值范围.(10分)
2.(15分)已知函数f(x)=(x-a)ex+a(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间；(4分)
(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值集合；(5分)
(3)若a≤1，证明：当x>0时，f(x)+ex≥x+ln x+2.(6分)
第34练　隐零点问题
1.(15分)已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的最大值；(5分)
(2)若aex-1≥f(x)恒成立，求实数a的取值范围.(10分)
解　(1)f(x)=的定义域为(0，+∞)，
f'(x)==
当00，f(x)单调递增；当x>时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
故当x=时，f(x)取得最大值f =e=e+1.
(2)由aex-1≥f(x)可得a≥
令g(x)=则g'(x)=
化简可得g'(x)=
由于x>0，故>0，
又函数y=ln x，y=x+1均为增函数，因此p(x)=ln x+x+1也是增函数，且p(1)=2>0，p(e-2)=e-2-1<0，因此存在唯一x0∈(e-2，1)，使得p(x0)=0，即ln x0+x0+1=0，且当x>x0时，p(x)>0，g'(x)<0，g(x)单调递减；
当00，g(x)单调递增，
由ln x0+x0+1=0可得x0=1，进而x0=
故g(x)max=g(x0)===e2，
因此a≥g(x)max=e2，
故a的取值范围为[e2，+∞).
2.(15分)已知函数f(x)=(x-a)ex+a(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间；(4分)
(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值集合；(5分)
(3)若a≤1，证明：当x>0时，f(x)+ex≥x+ln x+2.(6分)
(1)解　因为f(x)=(x-a)ex+a，
所以f'(x)=(x-a+1)ex.
当x当x>a-1时，f'(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间为(-∞，a-1)，单调递增区间为(a-1，+∞).
(2)解　由题可知f(x)min≥0，
由(1)可知，当x=a-1时，函数f(x)有最小值f(a-1)=-ea-1+a，
所以-ea-1+a≥0，a≥ea-1>0，
即a-1≤ln a，ln a-a+1≥0，
设t(x)=ln x-x+1，x>0，t'(x)=-1=
当x∈(0，1)时，t'(x)>0，t(x)单调递增；
当x∈(1，+∞)时，t'(x)<0，t(x)单调递减，
所以t(x)max=t(1)=ln 1-1+1=0，所以a=1，
故a的取值集合为{1}.
(3)证明　要证明f(x)+ex≥x+ln x+2，
即证xex+ex-x-ln x-2≥a(ex-1)，
因为a≤1，且x>0，所以a(ex-1)≤ex-1，
故只需证明xex+ex-x-ln x-2≥ex-1，
即证xex-x-ln x-1≥0.
设g(x)=xex-x-ln x-1，x>0，
则g'(x)=(x+1)ex-1-=(x+1).
易知g'(x)在(0，+∞)上单调递增，且g'=-2)<0，g'(1)=2(e-1)>0，
所以存在唯一的x0∈使得g'(x0)=0，即=x0=-ln x0.
当0当x>x0时，g'(x)>0，
所以g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增.
所以g(x)≥g(x0)=x0-x0-ln x0-1=x0·-x0+x0-1=0，故原命题成立.第35练　高考大题突破练—导数
(分值：60分)
1.(13分)已知函数f(x)=x-sin x-g(x)=-ln x+ax+1(a∈R)，设max 表示 m，n 的最大值，记 F(x)=max .
(1)讨论f(x)在(0，2π)上的单调性；(5分)
(2)当x>0时，F(x)≥0，求a的取值范围.(8分)
2.(15分)已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R).
(1)若函数f(x)在上的最小值为求a的值；(6分)
(2)若a=0，函数g(x)=ex+求g(x)的最小值.(9分)
3.(15分)已知函数f(x)=ex-ax(e是自然对数的底数，a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性；(3分)
(2)若g(x)=ex(x-1)-aln x+f(x)有两个零点分别为x1，x2.
①求实数a的取值范围；(6分)
②求证：x1x2>.(6分)
4.(17分)若存在有限个x0，使得f(-x0)=f(x0)，且f(x)不是偶函数，则称f(x)为“缺陷偶函数”，x0称为f(x)的偶点.
(1)证明：h(x)=x+x5为“缺陷偶函数”，且偶点唯一；(5分)
(2)对任意x，y∈R，函数f(x)，g(x)都满足f(x)+f(y)+g(x)-2g(y)=x2+y.
①若y=是“缺陷偶函数”，证明：函数F(x)=xg(x)有2个极值点；(6分)
②若g(3)=2，证明：当x>1时，g(x)>ln(x2-1).(6分)
参考数据：ln ≈0.481≈2.236.
第35练　高考大题突破练—导数
(分值：60分)
1.(13分)已知函数f(x)=x-sin x-g(x)=-ln x+ax+1(a∈R)，设max 表示 m，n 的最大值，记 F(x)=max .
(1)讨论f(x)在(0，2π)上的单调性；(5分)
(2)当x>0时，F(x)≥0，求a的取值范围.(8分)
解　(1)∵f(x)=x-sin x-
∴f'(x)=-cos x，
当0；
当0∴f(x)在上单调递减，在上单调递增.
(2)由(1)知，f(0)=-f(π)=0，f(2π)=>0，
当x>2π时，f(x)>-sin x≥-1>0，
∴ 当x∈(0，π)时，f(x)<0；当x∈(π，+∞)时，f(x)>0，
∴当x>0时，F(x)≥0等价于g(x)≥0在(0，π)上恒成立.
∵g(x)=-ln x+ax+1≥0，∴a≥.
令h(x)=h'(x)=
∴当x∈(0，π)时，h'(x)>0，
∴h(x)在(0，π)上单调递增，
∴当x∈(0，π)时，h(x)<
∴a≥∴a的取值范围是.
2.(15分)已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R).
(1)若函数f(x)在上的最小值为求a的值；(6分)
(2)若a=0，函数g(x)=ex+求g(x)的最小值.(9分)
解　(1)因为f(x)=ax-ln x，
故可得f'(x)=a-
由x∈得∈[1，e].
①若a≤1，则f'(x)≤0，f(x)在上单调递减，f(x)的最小值为f(1)=a=不满足a≤1；
②若1令f'(x)>0，解得令f'(x)<0，解得≤x<故f(x)在上单调递减，
故f(x)的最小值为f =1-ln =即ln a=解得a=满足1③若a≥e，则f'(x)≥0，f(x)在上单调递增，f(x)的最小值为f =+1=解得a=不满足a≥e，
综上所述，a=.
(2)若a=0，则f(x)=-ln x，g(x)=ex+ =ex-
定义域为(0，+∞)，g'(x)=ex+=
令h(x)=x2ex+ln x(x>0)，h'(x)=ex(x2+2x)+=xex(x+2)+>0，
故h(x)在(0，+∞)上单调递增，又h=-ln 2<0，h(1)=e>0，
故存在x0∈使得h(x0)=0，也即+ln x0=0，且g'(x0)=0，
当x∈(0，x0)时，h(x)<0，g'(x)<0，g(x)在(0，x0)上单调递减；
当x∈(x0，+∞)时，h(x)>0，g'(x)>0，g(x)在(x0，+∞)上单调递增，
故g(x)的最小值为g(x0)=-
由上述求解可知+ln x0=0，x0∈则x0=ln 令m(x)=xex，x>0，
则m'(x) =ex(x+1)>0，故m(x)在(0，+∞)上单调递增，
x0=ln 也即m(x0)=m又x0>0，ln >0，故x0=ln 即=
又g(x0)=-=-=-==1.
故g(x)的最小值为1.
3.(15分)已知函数f(x)=ex-ax(e是自然对数的底数，a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性；(3分)
(2)若g(x)=ex(x-1)-aln x+f(x)有两个零点分别为x1，x2.
①求实数a的取值范围；(6分)
②求证：x1x2>.(6分)
(1)解　由题意可得，f'(x)=ex-a，
当a≤0时，f'(x)=ex-a>0，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，由f'(x)>0，解得x>ln a，由f'(x)<0，解得x∴f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增.
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增.
(2)①解　由题意得，g(x)=xex-a(ln x+x)=xex-aln(xex)(x>0)，又g(x)有两个零点，
令t=xex(t>0)，则t'=(x+1)ex>0在x>0时恒成立，
∴t=xex在(0，+∞)上单调递增，
∴g(x)=xex-aln(xex)有两个零点，等价于u(t)=t-aln t(t>0)有两个零点.
∵u'(t)=1-=
∴当a≤0时，u'(t)>0，u(t)单调递增，不可能有两个零点；
当a>0时，令u'(t)>0，得t>a，u(t)单调递增，
令u'(t)<0，得0∴u(t)min=u(a)=a-aln a，
若u(a)>0，得00恒成立，没有零点；
若u(a)=0，得a=e，此时u(t)只有一个零点；
若u(a)<0，得a>e，
∵u(1)=1>0，记m(x)=ex-x2，x>e，
则m'(x)=ex-2x，
记n(x)=ex-2x，x>e，则n'(x)=ex-2>0，
∴n(x)在(e，+∞)上单调递增，
∴n(x)>n(e)=ee-2e>0，即m'(x)>0，
故m(x)在(e，+∞)上单调递增，
∴m(a)=ea-a2>m(e)=ee-e2>0，
即u(ea)=ea-a2>0，∴ea>a2>a，
∴u(t)在(1，a)，(a，ea)上各存在一个零点，符合题意，综上，a的取值范围为(e，+∞).
②证明　由x1x2>
不等式两边同时取对数化简可得ln x1+ln x2>2-(x1+x2)，
要证ln x1+ln x2>2-(x1+x2)，
即证x1+ln x1+x2+ln x2>2，
即证ln(x1)+ln(x2)>2，
由(2)①可令t1=x1t2=x2
∴只需证ln t1+ln t2>2.
∵aln t1=t1，aln t2=t2，
∴a(ln t2-ln t1)=t2-t1，a(ln t2+ln t1)=t2+t1，
∴ln t2+ln t1=(ln t2-ln t1)
=
只需证>2.
设01，
∴只需证ln m>2×
即证ln m+-2>0，
令h(m)=ln m+-2，m>1，
则h'(m)=-=>0，
∴h(m)在(1，+∞)上单调递增，
∴h(m)>h(1)=0，
即当m>1时，ln m+-2>0成立.
∴ln t1+ln t2>2，即ln x1+ln x2>2-(x1+x2).
故原不等式得证.
4.(17分)若存在有限个x0，使得f(-x0)=f(x0)，且f(x)不是偶函数，则称f(x)为“缺陷偶函数”，x0称为f(x)的偶点.
(1)证明：h(x)=x+x5为“缺陷偶函数”，且偶点唯一；(5分)
(2)对任意x，y∈R，函数f(x)，g(x)都满足f(x)+f(y)+g(x)-2g(y)=x2+y.
①若y=是“缺陷偶函数”，证明：函数F(x)=xg(x)有2个极值点；(6分)
②若g(3)=2，证明：当x>1时，g(x)>ln(x2-1).(6分)
参考数据：ln ≈0.481≈2.236.
证明　(1)由h(x)=x+x5可得h(-x)=-x+(-x)5=-x-x5，
由h(x)=h(-x)可得x+x5=-x-x5 2x(1+x4)=0，解得x=0，
所以h(x)=x+x5为“缺陷偶函数”，且偶点唯一，且为0.
(2)由f(x)+f(y)+g(x)-2g(y)=x2+y，可得f(x)+g(x)-x2=-f(y)+2g(y)+y对任意x，y∈R恒成立，
所以存在常数a，使得f(x)+g(x)-x2=-f(y)+2g(y)+y=a，
令y=x，则f(x)+g(x)-x2=-f(x)+2g(x)+x=a，
解得g(x)=.
①y==+-
则=--
由于y=是“缺陷偶函数”，故关于x的方程+-=--有解，
即关于x的方程x2=-2a(x≠0)有解，
则-2a>0，得a<0，
F(x)=xg(x)=F'(x)=令F'(x)=0，
由于a<0，故Δ>0，所以F'(x)=0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1当xx2时，F'(x)>0，F(x)单调递增；
当x1所以F(x)=xg(x)有2个极值点.
②若g(3)=2，即g(3)===2，则a=0，故g(x)=
当x>1时，要证g(x)>ln(x2-1)，只需要证x2-x>ln(x2-1)，
因为x2-x-(3x-4)=(x-2)2≥0，故x2-x≥3x-4，
只需证3x-4>ln(x2-1)，
令p(x)=3x-4-ln(x2-1)，p'(x)=3-=(x>1)，
当1时，p'(x)>0，p(x)单调递增，
故p(x)min=p=-4-ln =-4-ln ≈-4-×0.481=0.132 5，
所以p(x)min>0，从而p(x)>0，故3x-4>ln(x2-1)，
故当x>1时，g(x)>ln(x2-1).

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