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专题4　三角函数与解三角形
第36练　三角函数的运算
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知角θ的终边上有一点(1，2)，则等于(　　)
A.-2 B.2 C.-3 D.3
2.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　)
A. B. C.3 D.
3.已知tan=2tan θ-7，则sin 2θ等于(　　)
A. B.± C.± D.
4.若cos α-3cos β=2，sin α+3sin β=1，则cos(α+β)等于(　　)
A.- B. C.- D.
5.黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形.已知在顶角为36°的黄金三角形中，36°角对应边与72°角对应边的比值为≈0.618，这个值被称为黄金比例.若t=，则等于(　　)
A. B.
C. D.
6.当α，β∈时，4sin αcos2-sin β=2sin α，则cos(2α-β)等于(　　)
A.-1 B.0 C. D.1
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知sin=，cos 2α=，则(　　)
A.sin α-cos α=
B.sin α+cos α=
C.tan=-7
D.sin 2α=
8.在△ABC中，若tan =sin C，则下列结论正确的是(　　)
A.=1
B.1C.sin2A+cos2B=1
D.cos2A+cos2B=sin2C
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.求值：sin 220°(tan 10°-)=　　　　.
10.已知α，β∈(0，π)，sin(α-β)=，=-，则α+β=　　　　.
第36练　三角函数的运算
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知角θ的终边上有一点(1，2)，则等于(　　)
A.-2 B.2 C.-3 D.3
答案　B
解析　由三角函数的定义，得tan θ=2.
由诱导公式，得
=
==tan θ=2.
2.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　)
A. B. C.3 D.
答案　D
解析　如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，
则线段AB所对的圆心角∠AOB=，作OM⊥AB，垂足为M，
在Rt△AOM中，AO=r，∠AOM=，
∴AM=r，AB=r，∴l=r，
由弧长公式得α===.
3.已知tan=2tan θ-7，则sin 2θ等于(　　)
A. B.± C.± D.
答案　D
解析　因为tan===2tan θ-7，
整理得tan2θ-4tan θ+4=0，解得tan θ=2，
所以sin 2θ===.
4.若cos α-3cos β=2，sin α+3sin β=1，则cos(α+β)等于(　　)
A.- B. C.- D.
答案　B
解析　因为cos α-3cos β=2，sin α+3sin β=1，
所以(cos α-3cos β)2=8，(sin α+3sin β)2=1，
即cos2α-6cos αcos β+9cos2β=8，sin2α+6sin αsin β+9sin2β=1，
两式相加得10-6(cos αcos β-sin αsin β)=9，
即6cos(α+β)=1，
所以cos(α+β)=.
5.黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形.已知在顶角为36°的黄金三角形中，36°角对应边与72°角对应边的比值为≈0.618，这个值被称为黄金比例.若t=，则等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　依题意，得
t===2cos 72°，
则=
==
==.
6.当α，β∈时，4sin αcos2-sin β=2sin α，则cos(2α-β)等于(　　)
A.-1 B.0 C. D.1
答案　D
解析　因为4sin αcos2-sin β=2sin α，
所以2sin α[1+cos(α-β)]-sin β=2sin α，
所以2sin αcos(α-β)=sin β，
因为sin[α-(α-β)]=sin β，
所以2sin αcos(α-β)=sin[α-(α-β)]
=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)，
所以sin αcos(α-β)+cos αsin(α-β)=0，
即sin(2α-β)=0，
因为当α，β∈时，-<2α-β<π，
所以2α-β=0，则cos(2α-β)=1.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知sin=，cos 2α=，则(　　)
A.sin α-cos α=
B.sin α+cos α=
C.tan=-7
D.sin 2α=
答案　AC
解析　∵sin=(sin α-cos α)=，
∴sin α-cos α=， ①
又∵cos 2α=(sin α+cos α)(cos α-sin α)=，
∴sin α+cos α=-， ②
故A正确，B错误；
由①②得sin α=，cos α=-，tan α=-，
∴sin 2α=2sin αcos α=-，tan==-7，故C正确，D错误.
8.在△ABC中，若tan =sin C，则下列结论正确的是(　　)
A.=1
B.1C.sin2A+cos2B=1
D.cos2A+cos2B=sin2C
答案　BD
解析　由tan =sin C
tan==
=2sin cos ，
因为0<<，所以cos ≠0，
所以1=2sin2 1-2sin2=0
cos C=0 C=，
所以tan B=tan=，=tan2A不一定为1，A错误；
因为sin A+sin B=sin A+cos A=sin，0所以从而有1因为cos B=cos=sin A，所以sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1，C错误；
cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1=sin2C，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.求值：sin 220°(tan 10°-)=　　　　.
答案　1
解析　原式=-sin 40°
=-sin 40°·
=-sin 40°·
=
=
==1.
10.已知α，β∈(0，π)，sin(α-β)=，=-，则α+β=　　　　.
答案　
解析　=·=-，故cos αsin β=-4sin αcos β，
又sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=，
故sin αcos β+4sin αcos β=5sin αcos β=，
解得sin αcos β=，
故cos αsin β=-4sin αcos β=-，
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=-=-，
因为α，β∈(0，π)，所以α-β∈(-π，π)，
因为sin(α-β)=>0，
所以α-β∈(0，π)，α>β，
因为=-<0，所以tan α，tan β异号，
从而α∈，β∈，
故α+β∈，故α+β=.第37练　三角函数的图象与性质
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.下列函数中，是最小正周期为π的奇函数的是(　　)
A.y=sin
B.y=sincos
C.y=cos2x-cos2
D.y=sin|2x|
2.函数f(x)=的定义域是(　　)
A.
B.
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
3.使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为偶函数，则θ的一个值可以是(　　)
A. B. C.- D.
4.已知函数f(x)=2cos，x∈，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.
B.
C.，
D.，
5.记函数f(x)=sin+b(ω∈N*)的最小正周期为T，若A. B.
C. D.
6.已知函数f(x)=sin+cos，则下列结论正确的是(　　)
A.当x∈时，f(x)的取值范围是
B.f(x)在上单调递增
C.f(x)在[0，π]上有2个零点
D.把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为奇函数
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知A，B是函数f(x)=tan的图象与直线y=3的两个交点，则下列结论正确的是(　　)
A.|AB|min=
B.f(x)的定义域为
C.f(x)在区间上单调递增
D.f(x)图象的对称中心为点，k∈Z
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上单调，且f =-f =1，则(　　)
A.ω=3 B.φ=-
C.ω=2 D.φ=
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2023·全国乙卷改编)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增，直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f =　　　　　　.
10.已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x-，若f(x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是　　　　　.
第37练　三角函数的图象与性质
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.下列函数中，是最小正周期为π的奇函数的是(　　)
A.y=sin
B.y=sincos
C.y=cos2x-cos2
D.y=sin|2x|
答案　B
解析　对于A，y=sin的最小正周期为2π，故A错误；
对于B，y=sin xcos x=sin 2x，最小正周期T==π，且为奇函数，故B正确；
对于C，y=cos2x-sin2x=cos 2x，是最小正周期为π的偶函数，故C错误；
对于D，y=f(x)=sin|2x|，则f(-x)=sin|-2x|=sin|2x|=f(x)，故y=sin|2x|为偶函数，故D错误.
2.函数f(x)=的定义域是(　　)
A.
B.
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　D
解析　因为f(x)==，则sin≥0，
可得2kπ≤x-≤2kπ+π(k∈Z)，
解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z)，
故函数f(x)=的定义域为(k∈Z).
3.使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为偶函数，则θ的一个值可以是(　　)
A. B. C.- D.
答案　A
解析　由f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin，
因为f(x)为偶函数，可得θ+=kπ+，k∈Z，所以θ=kπ+，k∈Z，
令k=0，得θ=.
4.已知函数f(x)=2cos，x∈，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.
B.
C.，
D.，
答案　D
解析　f(x)=2cos=2cos，由2kπ-π≤3x-≤2kπ，k∈Z，
解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
令k=0，得x∈，
令k=1，得x∈.
又∵x∈，
∴f(x)的单调递增区间是，.
5.记函数f(x)=sin+b(ω∈N*)的最小正周期为T，若A. B.
C. D.
答案　C
解析　由函数的最小正周期T满足得<<π，解得2<ω<4，
又因为ω∈N*，所以ω=3，
所以f(x)=sin+b，
又函数y=f(x)的最小值为1，所以b=2，
所以f(x)=sin+2，
令3x+=kπ，k∈Z，解得x=-，k∈Z，
所以对称中心为(k∈Z)，只有C符合题意(k=2).
6.已知函数f(x)=sin+cos，则下列结论正确的是(　　)
A.当x∈时，f(x)的取值范围是
B.f(x)在上单调递增
C.f(x)在[0，π]上有2个零点
D.把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为奇函数
答案　C
解析　函数f(x)=sin+cos
=sin+cos
=sin+sin=2sin.
当x∈时，2x+∈，
所以sin∈，
所以f(x)的取值范围是(-，2]，故A错误；
当x∈时，≤2x+≤，
此时f(x)=2sin不单调，故B错误；
当x∈[0，π]时，≤2x+≤，
可知当2x+=π以及2x+=2π，即x=以及x=时，f(x)=0，f(x)在[0，π]上有2个零点，故C正确；
把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)=2sin=2cos 2x的图象，该函数为偶函数，故D错误.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知A，B是函数f(x)=tan的图象与直线y=3的两个交点，则下列结论正确的是(　　)
A.|AB|min=
B.f(x)的定义域为
C.f(x)在区间上单调递增
D.f(x)图象的对称中心为点，k∈Z
答案　AD
解析　因为A，B是函数f(x)=tan的图象与直线y=3的交点，所以|AB|的最小值为函数f(x)的最小正周期T=，所以|AB|min=，故A正确；
令3x+≠+kπ，k∈Z，解得x≠+，k∈Z，所以f(x)的定义域为，故B错误；
当x∈时，所以3x+∈，因为函数y=tan x在上不单调，所以函数f(x)在上不单调，故C错误；
令3x+=，k∈Z，解得x=-+，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心为点，k∈Z，故D正确.
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上单调，且f =-f =1，则(　　)
A.ω=3 B.φ=-
C.ω=2 D.φ=
答案　CD
解析　因为函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上单调，
所以=·≥-=，所以0<ω≤2，
因为f =-f =1，
所以sin=-sin=1，
所以ω+φ=+2k1π，
ω+φ=+2k2π，k1，k2∈Z，
故ω=π+2(k2-k1)π，
所以ω=2+4(k2-k1)，k2，k1∈Z，
因为0<ω≤2，k2-k1∈Z，所以ω=2，
则φ=+2k1π，k1∈Z，
又0<|φ|<，所以φ=.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2023·全国乙卷改编)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增，直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f =　　　　　　.
答案　
解析　因为直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴，
所以=-=，不妨取ω>0，则T=π，ω==2，
由题意知，当x=时，f(x)取得最小值，则2×+φ=2kπ-，k∈Z，
则φ=2kπ-，k∈Z，不妨取k=0，
则f(x)=sin，
则f =sin=.
10.已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x-，若f(x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是　　　　　.
答案　
解析　依题意，函数f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin，
当x∈时，2x+∈，
显然sin=sin=-，sin =1，
且正弦函数y=sin x在上单调递减，
由f(x)在区间上的值域为，
得≤2m+≤，解得≤m≤，
所以实数m的取值范围是.第38练　函数y=Asin(ωx+φ)
(分值：40分)
一、单项选择题(每小题5分，共10分)
1.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y=sin的图象，则f(x)等于(　　)
A.sin B.sin
C.sin D.sin
2.要得到函数y=sin的图象，只要将函数y=cos的图象(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在上单调递减
C.直线x=-为f(x)图象的一条对称轴
D.若f(x+θ)为偶函数，则θ=+，k∈Z
4.如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　　)
A.点P第一次到达最高点需要20秒
B.当水轮转动155秒时，点P距离水面1米
C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D.点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)的函数解析式为h=4sin+2
三、填空题(共5分)
5.已知函数f(x)=2sin，将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)的图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，则φ=　　　　　.
四、解答题(共13分)
6.(13分) 已知向量a=(2，sin ωx)，b=(cos2ωx，2cos ωx)，函数f(x)=a·b-(ω>0)，f(x)相邻的两条对称轴之间的距离为.
(1)求f(x)的单调递减区间；(6分)
(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，若关于x的方程g(x)=m在上只有一个解，求实数m的取值范围.(7分)
第38练　函数y=Asin(ωx+φ)
(分值：40分)
一、单项选择题(每小题5分，共10分)
1.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y=sin的图象，则f(x)等于(　　)
A.sin B.sin
C.sin D.sin
答案　B
解析　依题意，将y=sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y=sin的图象
y=sin的图象
f(x)=sin的图象.
2.要得到函数y=sin的图象，只要将函数y=cos的图象(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
答案　D
解析　因为y=cos
=cos=sin，
由y=sin的图象向左平移个单位长度，得到y=sin=sin的图象.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)在上单调递减
C.直线x=-为f(x)图象的一条对称轴
D.若f(x+θ)为偶函数，则θ=+，k∈Z
答案　ACD
解析　由图可知，A=3，=-= T=π，
又ω>0，则π= ω=2，
又当x=时，函数取得最大值，
所以2×+φ=+2kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ=.
所以f(x)=3sin.
对于A，f(x)的最小正周期为π，故A正确；
对于B，当x∈时，
2x+∈，
此时f(x)不单调，故B错误；
对于C，由x=-，所以2x+=-，
此时f(x)取得最大值3，故直线x=-为f(x)图象的一条对称轴，故C正确；
对于D，f(x+θ)=3sin为偶函数，所以2θ+=+kπ，k∈Z，得θ=+，k∈Z，故D正确.
4.如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　　)
A.点P第一次到达最高点需要20秒
B.当水轮转动155秒时，点P距离水面1米
C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D.点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)的函数解析式为h=4sin+2
答案　ACD
解析　设点P距离水面的高度h(米)与时间t(秒)的函数解析式为h=Asin(ωt+φ)+B，
由题意，hmax=6，hmin=-2，
∴解得
∵T==60，
∴ω==，则h=4sin+2.
当t=0时，h=0，
∴4sin φ+2=0，则sin φ=-，
又|φ|<，则φ=-.
综上，h=4sin+2，故D正确；
令h=4sin+2=6，
则sin=1，
令t-=，得t=20，故A正确；
当t=155时，h=4sin+2=4sin 5π+2=2，故B不正确；
当t=50时，h=4sin+2=4sin +2=-2，故C正确.
三、填空题(共5分)
5.已知函数f(x)=2sin，将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)的图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，则φ=　　　　　.
答案　
解析　把函数f(x)=2sin的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度后，
得到函数y=g(x)=2sin的图象，
再根据y=g(x)的图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，设g(x)的对称轴为x=x0，则最高点的坐标为(x0，2)，
它与点(0，3)的距离的最小值为1，
即=1，即x0=0，则g(0)=2，
即g(0)=2sin=2，0<φ<π，
解得φ=.
四、解答题(共13分)
6.(13分) 已知向量a=(2，sin ωx)，b=(cos2ωx，2cos ωx)，函数f(x)=a·b-(ω>0)，f(x)相邻的两条对称轴之间的距离为.
(1)求f(x)的单调递减区间；(6分)
(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，若关于x的方程g(x)=m在上只有一个解，求实数m的取值范围.(7分)
解　(1)f(x)=a·b-=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx-，
=(1+cos 2ωx)+sin 2ωx-，
=2sin，ω>0，
因为f(x)相邻的两条对称轴之间的距离为，
所以f(x)的最小正周期为π，
所以=π，即ω=1，
所以f(x)=2sin，
令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
则+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为
，k∈Z.
(2)由(1)知f(x)=2sin，将f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数y=2sin的图象，再向左平移个单位长度，得到g(x)=2sin=2sin的图象，
令t=4x+，
x∈，
则t∈，
所以2sin t∈，
由题意知2sin t=m在t∈上只有一个解，
由y=2sin t，t∈的图象可得，-≤m<或m=2，
所以m的取值范围是[-，)∪{2}.第39练　三角函数中有关ω的范围问题
(分值：42分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.若函数f(x)=tan
(ω>0)在区间(0，π)上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.(0，3]
2.已知函数f(x)=sin(ω>0)，若方程f(x)=在区间(0，2π)上恰有3个实数根，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
3.已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间上存在最大值和最小值，则ω的取值范围是(　　)
A.
B.
C.∪
D.∪
4.已知函数f(x)=cos ωx-sin ωx(ω>0)，若f(x)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象经过点，若函数f(x)在区间[0，π]上有3条对称轴，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在区间[0，π]上有2个极大值点
B.f(x)在区间[0，π]上有2个零点
C.f(x)在区间[0，π]上零点个数不确定
D.ω的取值范围为
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.φ=-
B.若ω=2，则函数f(x)的对称中心为(k∈Z)
C.若函数f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为
D.若函数f(x)在(-π，2π)内没有最值，则ω的取值范围为
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知函数f(x)=cos ωx-sin ωx(ω>0)，若f(x)在区间(0，2π)上有且仅有2个极值点，则ω的取值范围是　　　　　　　.
8.已知f(x)=Asin+B(A>0，ω>0，B为常数)，f(x)max=f(x1)=3，f(x)min=f(x2)=-1，且|x1-x2|的最小值为，若f(x)在区间[a，b]上恰有8个零点，则b-a的最小值为　　　　　.
第39练　三角函数中有关ω的范围问题
(分值：42分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.若函数f(x)=tan
(ω>0)在区间(0，π)上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.(0，3]
答案　C
解析　当x∈(0，π)时，ωx+∈，
由f(x)在区间(0，π)上单调递增，
得<ωπ+≤，解得0<ω≤，
所以ω的取值范围是.
2.已知函数f(x)=sin(ω>0)，若方程f(x)=在区间(0，2π)上恰有3个实数根，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由f(x)=，可得sin=，
当x∈(0，2π)时，<ωx+<2ωπ+，
因为方程f(x)=在区间(0，2π)上恰有3个实数根，所以2π+<2ωπ+≤4π+，解得<ω≤，所以ω的取值范围是.
3.已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间上存在最大值和最小值，则ω的取值范围是(　　)
A.
B.
C.∪
D.∪
答案　C
解析　因为ω>0，x∈，
所以ωx-∈.
画出y=sin x的图象，如图.
因为f(x)在区间上存在最大值和最小值，所以<-≤或->，
解得<ω≤或ω>.
4.已知函数f(x)=cos ωx-sin ωx(ω>0)，若f(x)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　函数f(x)=cos ωx-sin ωx=2=2cos，
令t=ωx+，由x∈[0，2π]，则t∈，
又函数f(x)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点和2条对称轴，
即y=2cos t在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，
作出y=2cos t的图象如下，
所以≤2πω+<3π，得ω∈.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象经过点，若函数f(x)在区间[0，π]上有3条对称轴，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在区间[0，π]上有2个极大值点
B.f(x)在区间[0，π]上有2个零点
C.f(x)在区间[0，π]上零点个数不确定
D.ω的取值范围为
答案　ACD
解析　因为函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象经过点，
所以sin φ=，又|φ|<，所以φ=.
因为x∈[0，π]，所以ωx+∈，
结合y=sin x的图象可知，f(x)在区间[0，π]上有2个极大值点和1个极小值点，
所以f(x)在区间[0，π]上可能有3个零点，也可能有2个零点，故A，C正确，B错误；
因为函数f(x)在区间[0，π]上有3条对称轴，
所以≤ωπ+<，解得≤ω<，故D正确.
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.φ=-
B.若ω=2，则函数f(x)的对称中心为(k∈Z)
C.若函数f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为
D.若函数f(x)在(-π，2π)内没有最值，则ω的取值范围为
答案　ACD
解析　对于A，由题意可知，A=2，由f(0)=2sin φ=-，可得sin φ=-，
因为|φ|<，所以φ=-，故A正确；
对于B，若ω=2，则f(x)=2sin，
令2x-=kπ，k∈Z，则x=+，k∈Z，
所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)，故B不正确；
对于C，因为f(x)=2sin，
令-+2kπ≤ωx-≤+2kπ，k∈Z，
得-+≤x≤+，k∈Z，依题意解得-+4k≤ω≤2k+，k∈Z，
所以-≤ω≤，又ω>0，
所以0<ω≤，故C正确；
对于D，由选项C可知，当k=0时，f(x)在上单调递增.
因为f(x)在(-π，2π)内没有最值，
所以
又ω>0，可得0<ω≤，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知函数f(x)=cos ωx-sin ωx(ω>0)，若f(x)在区间(0，2π)上有且仅有2个极值点，则ω的取值范围是　　　　　　　.
答案　
解析　函数f(x)=cos ωx-sin ωx
=2=2cos，
因为x∈(0，2π)，ω>0，
所以ωx+∈，
由于函数f(x)在区间(0，2π)上有且仅有2个极值点，所以f(x)在(0，2π)上有且仅有2条对称轴，则2π<2πω+≤3π，
解得ω∈.
8.已知f(x)=Asin+B(A>0，ω>0，B为常数)，f(x)max=f(x1)=3，f(x)min=f(x2)=-1，且|x1-x2|的最小值为，若f(x)在区间[a，b]上恰有8个零点，则b-a的最小值为　　　　　.
答案　
解析　由题意得
解得
设f(x)的最小正周期为T，故T=，
解得T=π，因为ω>0，所以ω==2，
故f(x)=2sin+1，
当x∈[a，b]时，2x-∈，
令f(x)=0，得sin=-，
画出y=sin z的图象，如图，
要想在区间[a，b]上恰有8个零点，且b-a取得最小值，
故sin=-，sin=-，
且
两式相减得2(b-a)=，b-a=.
所以b-a的最小值为.第40练　正弦定理、余弦定理
(分值：40分)
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=1-，a=3，b=2，则sin B的值为(　　)
A. B. C. D.
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A=45°，b=2，且△ABC的面积是1，则△ABC外接圆的面积为(　　)
A.π B. C. D.4π
3.若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sin A=2sin Bcos C，那么△ABC是(　　)
A.直角三角形
B.等边三角形
C.腰与底不相等的等腰三角形
D.等腰直角三角形
二、多项选择题(共6分)
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A=(3b-c)sin B，且cos A=，则下列结论正确的是(　　)
A.a+c=3b
B.tan A=2
C.△ABC的周长为4c
D.△ABC的面积为a2
三、填空题(共5分)
5.在△ABC中，AB=5，AC=7，D为BC的中点，AD=5，则BC=　　　　　　　.
四、解答题(共14分)
6.(14分)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsin C=csin .
(1)求角B的大小；(6分)
(2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，a=2，b=，求线段BD的长.(8分)
第40练　正弦定理、余弦定理
(分值：40分)
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=1-，a=3，b=2，则sin B的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由=1-及正弦定理，
得=1-，可得b2+c2-a2=bc，
由余弦定理得cos A==，
又0又a=3，b=2，
由=，得sin B==.
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A=45°，b=2，且△ABC的面积是1，则△ABC外接圆的面积为(　　)
A.π B. C. D.4π
答案　B
解析　因为A=45°，b=2，且△ABC的面积是1，
所以bcsin A=×2c×=1，解得c=1，
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=8+1-2×2×1×=5，
因为a>0，所以a=，
设△ABC外接圆的半径为r，则由正弦定理得
2r===，解得r=，
所以△ABC外接圆的面积为πr2=π×=.
3.若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sin A=2sin Bcos C，那么△ABC是(　　)
A.直角三角形
B.等边三角形
C.腰与底不相等的等腰三角形
D.等腰直角三角形
答案　B
解析　由(a+b+c)(b+c-a)=3bc，
得(b+c)2-a2=3bc，
化简得b2+c2-a2=bc，
所以由余弦定理得cos A===，
因为A∈(0，π)，所以A=，
因为sin A=2sin Bcos C，
所以a=2b·，化简得b2=c2，
所以b=c，故△ABC为等边三角形.
二、多项选择题(共6分)
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A=(3b-c)sin B，且cos A=，则下列结论正确的是(　　)
A.a+c=3b
B.tan A=2
C.△ABC的周长为4c
D.△ABC的面积为a2
答案　ABD
解析　因为bsin A=(3b-c)sin B，
则由正弦定理得ba=(3b-c)b，整理得a=3b-c，即a+c=3b，A正确；
由cos A=，A∈(0，π)，可得sin A==，则tan A==2，B正确；
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，又a=3b-c，可得(3b-c)2=b2+c2-2bc·，整理得3b=2c，故△ABC的周长为a+b+c=4b=c，C错误；
由C项分析知，a=3b-c，3b=2c，可得a=c，b=a，则△ABC的面积为bcsin A=·a·a·=a2，D正确.
三、填空题(共5分)
5.在△ABC中，AB=5，AC=7，D为BC的中点，AD=5，则BC=　　　　　　　.
答案　4
解析　方法一　设BC=2x，则BD=CD=x.
在△ACD中，由余弦定理的推论可得，cos∠ADC=
=.
在△ABD中，由余弦定理的推论可得，
cos∠ADB==.
又∠ADC+∠ADB=π，
所以cos∠ADC=-cos∠ADB，
所以有=-，
整理可得x2=12，解得x=2，所以BC=4.
方法二　=+)，
则=++2·)，
即25=(25+49+2×5×7×cos∠BAC)，
解得cos∠BAC=，
由余弦定理得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC
=25+49-2×5×7×=48，
所以BC=4.
四、解答题(共14分)
6.(14分)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsin C=csin .
(1)求角B的大小；(6分)
(2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，a=2，b=，求线段BD的长.(8分)
解　(1)已知bsin C=csin ，
由正弦定理，得sin Bsin C=sin Csin ，
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，
故sin B=sin ，即2sin cos =sin ，
因为∈，所以sin ≠0，则cos =，
所以=，则B=.
(2)依题意，得a·BD·sin +c·BD·sin =acsin ，即a·BD+c·BD=ac，
即2BD+c·BD=2c，所以BD=.
在△ABC中，由余弦定理，
得b2=a2+c2-2accos =a2+c2+ac，
即7=4+c2+2c，解得c=1或c=-3(舍去)，
所以BD==.第41练　爪形三角形问题
(分值：40分)
“爪形”三角形是指在给定的一个三角形中，连接一个顶点和对边上任意一点所构成的图形，如图.
“爪形”在解三角形的问题中经常出现，求解“爪形”问题的主要思考途径如下.
1.一对邻补角余弦的关系式
∠ADB+∠ADC=π cos∠ADB+cos∠ADC=0.
2.两个三角形面积的关系式
==.
3.张角定理
记AC=b，AB=c，AD=l，∠BAD=α，∠CAD=β，则有+=.
4.六边的关系式(斯特瓦尔特(Stewart)定理)
AD2·BC=AB2·DC+AC2·DB-BC·DB·DC.
5.三个直角三角形Rt△AED，Rt△AEB，Rt△AEC的边角关系
如图，过点A作BC边上的高AE，可以得到以下结论.
AE2=AD2-DE2=AB2-BE2=AC2-CE2，
AE=AB·sin B=AC·sin C=AD·sin∠ADE.
6.三个向量间的关系式
如果=λ，即-=λ-λ，那么=+.
一、单项选择题(每小题5分，共10分)
1.已知AD是△ABC的角平分线，AB=3，AC=5，∠BAC=120°，则AD等于(　　)
A. B. C.2 D.
2.如图，在△ABC中，cos∠BAC=，点D在线段BC上，且BD=3DC，AD=，则△ABC的面积的最大值为(　　)
A.3 B.4
C. D.2
二、填空题(每小题5分，共15分)
3.在△ABC中，∠BAC=60°，BC=3，D是BC上一点，AD平分∠BAC.若AD=2，则△ABC的面积为　　　.
4.(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD.当取得最小值时，BD=　　　　.
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=3，b=2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的高线AH=　　　　.
三、解答题(共15分)
6.(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asin C.
(1)证明：BD=b；(6分)
(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.(9分)
第41练　爪形三角形问题
一、单项选择题(每小题5分，共10分)
1.已知AD是△ABC的角平分线，AB=3，AC=5，∠BAC=120°，则AD等于(　　)
A. B. C.2 D.
答案　B
解析　方法一　∵AD是△ABC的角平分线，且∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=60°.
∵S△ABD+S△CAD=S△ABC，
∴AB·ADsin∠BAD+AC·ADsin∠CAD=AB·ACsin∠BAC，
即×3AD×+×5AD×=×3×5×，解得AD=.
方法二　由题意得∠BAD=∠CAD=60°，
由张角定理得
+=，
即+=，解得AD=.
2.如图，在△ABC中，cos∠BAC=，点D在线段BC上，且BD=3DC，AD=，则△ABC的面积的最大值为(　　)
A.3 B.4
C. D.2
答案　C
解析　由BD=3DC，即=3，得-=3(-)，
从而=+，
故||2=||2+·+||2=||2+||×||cos∠BAC+||2，
即=||2+||×||+||2≥2×||×||+||×||=||×||，
所以||×||≤8，当且仅当AB=3AC时等号成立，即AB·AC≤8，
由cos∠BAC=，得sin∠BAC=，
故S△ABC=AB·ACsin∠BAC≤×8×=.
二、填空题(每小题5分，共15分)
3.在△ABC中，∠BAC=60°，BC=3，D是BC上一点，AD平分∠BAC.若AD=2，则△ABC的面积为　　　.
答案　
解析　如图，由张角定理可得，+=，
即+=，
得+=，即AB+AC=AC·AB，
又由余弦定理得AC2+AB2-2AC·ABcos∠BAC=BC2，
所以AC2+AB2-AC·AB=9，即(AC+AB)2-3AC·AB=9，
令x=AC·AB，则x2-4x-12=0，解得x=6(x=-2舍去).
故S△ABC=AC·ABsin∠BAC=.
4.(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD.当取得最小值时，BD=　　　　.
答案　-1
解析　设BD=k(k>0)，则CD=2k.
根据题意作出大致图形，如图.
在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=22+k2-2×2k·=k2+2k+4.
在△ACD中，由余弦定理得
AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+(2k)2-2×2×2k·=4k2-4k+4，
则=
=
=4-=4-
=4-.
∵k+1+≥2，当且仅当k+1=，
即k=-1时等号成立，
∴≥4-=4-2=(-1)2，
∴当取得最小值-1时，BD=k=-1.
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=3，b=2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的高线AH=　　　　.
答案　
解析　由题意设∠BAD=∠CAD=α，α∈，
则∠BAC=2α，如图所示，
由S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得×3×2sin 2α=×3×sin α+×2×sin α，
整理得3sin 2α=2sin α，
即sin α(3cos α-)=0，
又因为α∈，则sin α>0，所以cos α=，
所以cos 2α=2cos2α-1=，
所以sin 2α==，
在△ABC中，由余弦定理得a2=32+22-2×3×2cos 2α=13-4=9，所以a=3，
由S△ABC=bcsin 2α=a·AH，
可得×3×2×=×3AH，
解得AH=.
三、解答题(共15分)
6.(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asin C.
(1)证明：BD=b；(6分)
(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.(9分)
(1)证明　由题设，BD=，
由正弦定理知=，
即=.
∴BD=，又b2=ac，∴BD=b，得证.
(2)解　方法一　由题意知BD=b，
AD=，DC=，
∴cos∠ADB==，
同理cos∠CDB==，
∵∠ADB=π-∠CDB，
∴=，
整理得2a2+c2=，即11b2=3c2+6a2.
因为b2=ac，
所以6a2-11ac+3c2=0，(3a-c)(2a-3c)=0，
解得c=3a或c=a，当c=3a时，b2=3a2.由余弦定理，得cos∠ABC==(不符合题意，舍去).当c=a时，b2=a2，由余弦定理，得cos∠ABC==.
所以cos∠ABC=.
方法二　在△ABC中，=+，平方得||2=b2=a2+c2+accos∠ABC， ①
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos∠ABC. ②
联立①②两式得11b2=3c2+6a2.
下同方法一.
方法三　由斯特瓦尔特定理，得BD2=BA2·+BC2·-AC2··，
由BD=b及AD=2DC，
得b2=c2+a2-b2，
化简变形，得11b2=6a2+3c2.
下同方法一.第42练　解三角形中的最值与范围问题
(分值：40分)
解三角形中的最值与范围问题的解题策略一般有以下几种
(1)涉及周长、面积等有关的最值或范围，利用余弦定理、正弦定理，构造出边之间的关系，利用重要不等式、基本不等式及其常见变形，构造出a+b或ab的不等式，进而求出a+b或ab的最值，得到周长或面积的最值或范围.
(2)如果三角形为锐角三角形，或其他条件的限制，一般采用正弦定理边化角，把要求的量构造出正弦型、余弦型函数或正切型函数，利用三角函数的性质求最值或范围，要注意角的范围限制.
(3)利用正弦、余弦定理构造出关于角或边的二次函数、对勾函数等等，利用函数的性质或导数求最值或范围.
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.在锐角三角形ABC中，若C=2B，则的取值范围是(　　)
A.(0，2) B.(，2)
C.(，) D.(，2)
2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=，b=2，则B+C的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，8sin Asin B+cos C=0，则的最大值是(　　)
A. B.- C. D.-
二、多项选择题(共6分)
4.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A-sin B)=csin C-bsin B，则下列说法正确的是(　　)
A.C=
B.若△ABC的面积为，则c的最小值为2
C.若c=2，则△ABC的周长的最大值为6
D.若b=3，c=2，则满足条件的△ABC有且仅有一个
三、填空题(共5分)
5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(a≠b).已知c=2acos A，则sin B+sin A的最大值是　　　　　.
四、解答题(共14分)
6.(14分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，a=3.
(1)若BC边上的高h等于1，求cos A；(7分)
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.(7分)
第42练　解三角形中的最值与范围问题
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.在锐角三角形ABC中，若C=2B，则的取值范围是(　　)
A.(0，2) B.(，2)
C.(，) D.(，2)
答案　C
解析　由正弦定理及C=2B得====2cos B，由于△ABC为锐角三角形，故所以所以2cos B∈，
即的取值范围是(，).
2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=，b=2，则B+C的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　根据三角形三边关系可得2-即cos A===
=，
易知对勾函数y=x+在(2-，1)上单调递减，在(1，2+)上单调递增，
即cos A=∈，
可得A∈，
所以B+C的取值范围是.
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，8sin Asin B+cos C=0，则的最大值是(　　)
A. B.- C. D.-
答案　B
解析　在△ABC中，cos C=cos[π-(A+B)]
=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B，
因为8sin Asin B+cos C=0，
所以8sin Asin B-cos Acos B+sin Asin B=0，
则9sin Asin B=cos Acos B，
所以tan Atan B==，且A，B均为锐角，故tan A，tan B>0，
由余弦定理的推论，得cos C=，
所以==tan C
=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)
=-·=-(tan A+tan B)，
又tan A+tan B≥2=，
当且仅当tan A=tan B=时等号成立，
所以的最大值是-×=-.
二、多项选择题(共6分)
4.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A-sin B)=csin C-bsin B，则下列说法正确的是(　　)
A.C=
B.若△ABC的面积为，则c的最小值为2
C.若c=2，则△ABC的周长的最大值为6
D.若b=3，c=2，则满足条件的△ABC有且仅有一个
答案　BC
解析　∵a(sin A-sin B)=csin C-bsin B，
∴由正弦定理可得a(a-b)=c2-b2，
即a2+b2-c2=ab，
对于A选项，由余弦定理的推论，可得
cos C==，
∵0对于B选项，由题可知absin C=ab=，
∴ab=4，
由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab=4，
∴c≥2，当且仅当a=b=2时等号成立，
故c的最小值为2，故B正确；
对于C选项，c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=4，
∵ab≤，-3ab≥-，则4=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-=，
∴(a+b)2≤16，
∴a+b≤4，当且仅当a=b=2时等号成立，
∵c=2，∴a+b>2，∴4则△ABC的周长的最大值为6，故C正确；
对于D选项，由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C，
即8=a2+9-3a，即a2-3a+1=0，
解得a=，
则满足条件的△ABC有2个，故D错误.
三、填空题(共5分)
5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(a≠b).已知c=2acos A，则sin B+sin A的最大值是　　　　　.
答案　
解析　因为c=2acos A，
则由正弦定理可得sin C=2sin Acos A=sin 2A，A，C∈(0，π)，
所以C=2A或C+2A=π，而A+B+C=π，
且a≠b，即A≠B，
所以C=2A，且0即0所以sin B+sin A=sin 3A+sin A=sin Acos 2A+cos Asin 2A+sin A
=sin A(1-2sin2A)+2cos2Asin A+sin A=sin A-2sin3A+2(1-sin2A)sin A+sin A=-4sin3A+4sin A，
令t=sin A，f(t)=-4t3+4t，t∈，
所以f'(t)=-12t2+4=-12=-12，
当t∈时，f'(t)>0，则f(t)在上单调递增；
当t∈时，f'(t)<0，则f(t)在上单调递减，
所以f(t)max=f =-4×+4×=，
即sin B+sin A的最大值为.
四、解答题(共14分)
6.(14分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，a=3.
(1)若BC边上的高h等于1，求cos A；(7分)
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.(7分)
解　(1)由正弦定理，==，
所以sin B=cos B，则tan B=1，
又0因为S△ABC=ah=acsin B，
所以×3×1=×3×c×，解得c=，
又由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos B=32+-2×3××=5，
解得b=，
所以cos A==
=-.
(2)由正弦定理有==，
且由(1)可知B=，
所以c===，
又因为△ABC为锐角三角形，
所以解得所以0<<1，所以所以S△ABC=acsin B=×3×c×=c∈，
所以△ABC面积的取值范围是.第43练　拓展定理在解三角形中的应用
(分值：40分)
1.角平分线定理：在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D(如图1)，则有=.
2.射影定理：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则a=bcos C+ccos B，b=ccos A+acos C，c=acos B+bcos A.
3.中线长定理：在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2).
4.托勒密定理：在圆内接四边形中(如图2)，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图1　　　　　 图2
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos B+bcos A=3，且sin2=，b=3，则a等于(　　)
A. B. C.3 D.3
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则CD等于(　　)
A.3 B.3 C.5 D.4
3.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，BD=4，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为(　　)
A.16 B.16 C.12 D.12
二、多项选择题(共6分)
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC=2，BC边上的中线AD=2，则下列说法正确的有(　　)
A.AC2+AB2=10
B.C.·=2
D.∠BAD的最大值为
三、填空题(共5分)
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC的平分线交BC于点D，且满足=，∠BAC=60°，a=7，则c=　　　　　　.
四、解答题(共14分)
6.(14分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b2(sin2B-3cos2B)=-a(a+b)，且sin C=sin 2B.
(1)求角B的大小；(7分)
(2)若△ABC的面积为2，求AC边上的中线长.(7分)
第43练　拓展定理在解三角形中的应用
一、单项选择题(每小题5分，共15分)
1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos B+bcos A=3，且sin2=，b=3，则a等于(　　)
A. B. C.3 D.3
答案　C
解析　因为acos B+bcos A=3，由射影定理得c=acos B+bcos A=3，
又因为sin2=，所以==，
所以cos C=，所以C=，
又因为b=c=3，C=，所以△ABC是等边三角形，所以a=3.
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则CD等于(　　)
A.3 B.3 C.5 D.4
答案　B
解析　如图所示，
∵sin∠BAC=，
∴cos∠BAC=-=-，
由张角定理得=+，
即=+，
即=+，
即=+，
解得AC=3，
∴CD==3.
3.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，BD=4，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为(　　)
A.16 B.16 C.12 D.12
答案　C
解析　设AC=AD=CD=a，由托勒密定理可知AB·CD+AD·BC=AC·BD，
即a·AB+a·BC=a·BD，所以AB+BC=BD=4，
又因为∠ABD=∠ACD=，∠CBD=∠CAD=，
因此，S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB·BDsin +BC·BDsin =(AB+BC)·BD=×(4)2=12.
二、多项选择题(共6分)
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC=2，BC边上的中线AD=2，则下列说法正确的有(　　)
A.AC2+AB2=10
B.C.·=2
D.∠BAD的最大值为
答案　AD
解析　在△ABC中，BC=2，BC边上的中线AD=2，
对于A，由中线长定理，AB2+AC2=2(AD2+DC2)，即AC2+AB2=10，故A正确；
对于C，·=(+)·(-)=-=4-1=3，故C错误；
对于B，在△ABC中，由余弦定理知，cos∠BAC=≥=1-，当且仅当b=c时取等号，
由C选项分析可知·=3=bccos∠BAC，
∴bc=，
则cos∠BAC≥1-cos∠BAC，解得cos∠BAC≥，故≤cos∠BAC<1，故B错误；
对于D，cos∠BAD==≥=(当且仅当c=时等号成立)，
∵ 0<∠BAD<，
∴∠BAD的最大值为，故D正确.
三、填空题(共5分)
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC的平分线交BC于点D，且满足=，∠BAC=60°，a=7，则c=　　　　　　.
答案　
解析　根据角平分线定理有===，于是b=c，
又∠BAC=60°，a=7，由余弦定理的推论得cos∠BAC==，进而得到c2-49=0，因此c=.
四、解答题(共14分)
6.(14分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b2(sin2B-3cos2B)=-a(a+b)，且sin C=sin 2B.
(1)求角B的大小；(7分)
(2)若△ABC的面积为2，求AC边上的中线长.(7分)
解　(1)∵sin C=sin 2B，∴sin C=2sin B·cos B，
由正弦定理得c=2bcos B，
由b2(sin2B-3cos2B)=-a(a+b)，得b2(1-4cos2B)=-a2-ab，
又由c=2bcos B，得c2=4b2cos2B，b2=-a2-ab，a2+b2-c2=-ab，
由余弦定理的推论得cos C==-，
又∵C∈，∴C=，
由sin C=sin 2B，即sin=sin 2B，B∈，得2B∈，
∴2B=，B=.
(2)由(1)得B=，A=，C=，则a=b，S△ABC=absin C=a2=2，解得a=b=2，
∴c===2，
设AC的中点为D，则AD=AC=，
由中线长定理，得BA2+BC2=2(BD2+AD2)，
即24+8=2(BD2+2)，解得BD=，
∴AC边上的中线长为.第44练　高考大题突破练—解三角形
(分值：50分)
1.(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B-bcos A=0.
(1)求A；(5分)
(2)若a=4，△ABC的面积为2，求△ABC的周长.(7分)
2.(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos A=(2c-a)cos B.
(1)求角B的大小；(4分)
(2)设△ABC的垂心为H，若·=2c2.
①求的值；(4分)
②求cos A的值.(4分)
3.(13分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且tan A(cos C+sin B)=cos B-sin C.
(1)证明：A+2B=；(6分)
(2)若a=2，求b+c的取值范围.(7分)
4.(13分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α.
(1)若a=b=c，求α；(4分)
(2)若∠PBA=α，△ABC的周长为4，
①求证：b2=ac；(4分)
②求△ABC面积的最大值.(5分)
第44练　高考大题突破练—解三角形
(分值：50分)
1.(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B-bcos A=0.
(1)求A；(5分)
(2)若a=4，△ABC的面积为2，求△ABC的周长.(7分)
解　(1)asin B-bcos A=0，
由正弦定理可得sin Asin B-sin Bcos A=0，
因为00，
则sin A-cos A=0，即tan A=，
因为0(2)因为A=，
所以S△ABC=bcsin A=bc=2，
所以bc=8.
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A，
即16=b2+c2-2×8×，所以b2+c2=24.
所以(b+c)2=b2+c2+2bc=24+16=40 b+c=2.
则△ABC的周长为a+b+c=4+2.
2.(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos A=(2c-a)cos B.
(1)求角B的大小；(4分)
(2)设△ABC的垂心为H，若·=2c2.
①求的值；(4分)
②求cos A的值.(4分)
解　(1)因为bcos A=(2c-a)cos B，
所以由正弦定理得
sin Bcos A=(2sin C-sin A)cos B，
即2sin Ccos B=sin Bcos A+sin Acos B=sin(A+B)=sin C，
因为C∈(0，π)，则sin C>0，故cos B=，
因为B∈(0，π)，所以B=.
(2)①因为点H为△ABC的垂心，所以·=0，
则·=(+)·=·+·=·=cacos B=ac=2c2，
得=4.
②因为B=，
所以由余弦定理得cos B==，
将a=4c代入上式，得b=c，
所以cos A===-.
3.(13分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且tan A(cos C+sin B)=cos B-sin C.
(1)证明：A+2B=；(6分)
(2)若a=2，求b+c的取值范围.(7分)
(1)证明　因为tan A(cos C+sin B)
=cos B-sin C，
所以(cos C+sin B)=cos B-sin C，
即sin Acos C+sin Asin B=cos Acos B-cos Asin C，
即sin Acos C+cos Asin C=cos Acos B-sin Asin B，
所以sin(A+C)=cos(A+B)，
即sin B=sin，
又A∈(0，π)，B∈(0，π)，
所以B=+A+B或B++A+B=π，
即A=-(舍)或A+2B=，
所以A+2B=.
(2)解　由(1)得A+2B=，
因为==，
所以b====，
c====，
则b+c==
==，
又由得0所以所以b+c的取值范围为(2，+∞).
4.(13分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α.
(1)若a=b=c，求α；(4分)
(2)若∠PBA=α，△ABC的周长为4，
①求证：b2=ac；(4分)
②求△ABC面积的最大值.(5分)
(1)解　方法一　因为a=b=c，所以△ABC为等边三角形，
因为∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，
所以∠PBA=∠PAC=∠PCB=-α，
所以∠APB=∠BPC=∠CPA=，
所以△APB≌△BPC≌△CPA，
所以PA=PB=PC，所以α=.
方法二　由题意得，∠PBA=-α，
∠APB=∠CPA=，
在△ABP中，由正弦定理得，
=，
在△APC中，由正弦定理得，=，
所以sin α=sin，
又0<α<，所以α=-α，
故α=.
(2)①证明　因为∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，∠PBA=α，所以∠APB=π-2α，∠APC=π-A，∠B=2α.
在△ABP中，由正弦定理得，=，
在△APC中，由正弦定理得，=，
所以=，
即=，
从而csin A=bsin B，故b2=ac.
②解　因为a+b+c=4，
所以a+c=4-b≥2=2b，
解得b≤，当且仅当a=c时取等号，
又-b即(c+a)2-4ac整理得b2+2b-4>0，解得b>-1，
故b∈.
在△ABC中，由余弦定理得
cos B==
==，
所以S△ABC=acsin B=b2
=b2
==·，b∈，
令f(b)=-b3+8b-8，b∈，
则f'(b)=-3b2+8>0，所以f(b)在上单调递增，
所以f(b)的最大值为f=-+8×-8=，
故△ABC面积的最大值为×=.

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