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秘密★启用前
6. 已知等差数列 an 的前 n S
S
项和为 n，且
4 4，若 cos a 1 ，则 a 的值为
富顺县 2025-2026 3 1年度永年中学准高三摸底考试 S2 2
4 1 2
数 学 A） B）1 C） D）3 3 3
注意事项： 7. 某快递公司记录了一周内每天完成的订单量（单位：百单），数据如下：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 星期 一 二 三 四 五 六 日
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 订单量 3 5 2 6 4 8 7
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试 公司规定：若某天订单量不低于五百单，则记为“繁忙日”，否则记为“普通日”。定义函数 f x
卷上无效。
且 n 1，2， ，7表示从周一到周日中任选连续的 n天，“繁忙日”出现次数的最大值。现从 7天中随
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 机选择连续的 3天，记这 3天中“繁忙日”的个数为随机变量 X ，则下列说法正确的是
A） f 3 2且 P X 2 3 B） f 4 3且 E X 7
5 5
C） f 5 4且P X 1 1 D） f 6 5且D X 6
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只 5 25
有一项是符合题目要求的。 8. 在平面直角坐标系中，定义“ -伴随点”：若点 P'与点 P关于直线 y x，则称 P'为 P的“ -
1. 数据 2，3，3，5，6，6，6，8的众数为 2
A）3 B）5 C）6 D）8 伴随点”。已知椭圆C x： y2 1上存在点 P，使得 P的“ -伴随点”恰好也在椭圆C上，则
4
2. 已知集合 A x | log2 x 1 2 ， B x2 3x 4 0 ，则 A B 满足条件的点 P的个数为
1 4 15 1 4 4 5 A）0 B）2 C）4 D）8A） ， B） ， C） ， D） ，
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有
3. 已知向量 a 1， 2 ，b 3，4 ，若 a a tb 0，则实数 t的值为 多项符合题目要求。全部选对的得 6分、部分选对的得部分分。有错选的得 0分。
1 1
A） B） 1 C） D）1
5 5 9. 已知复数 z 1 2i，
z为 z的共轭复数，则下列说法正确的是
x z z 5 z z 3 z 3 44. 函数 f x 2 ln x 3 2的零点所在区域为 A） B） C） i D） z 5
z 5 5
2 3 0 1 1 1 1 2 10. 在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中， E为棱 A1B1的中点，F 为棱 BC的中点，则下列A） ， B） ， C） ， D） ，
2 2 说法正确的是
5. 已知 cos
3 ，且 ，则 sin 2 2
6 5 6 3 A） EF A1D B）异面直线EF 与 A1C所成角余弦值为 3
2 2 3 2 2 3 3 2 2 6 1 2 6
A） B） C） D） C）三棱锥 E ABF 的体积为 D）直线 EF 与平面 ABCD所成角正弦值为
6 6 6 4 3 2
永年中学准高三摸底考试 数学试题 第 1 页 共 4 页 永年中学准高三摸底考试 数学试题 第 2 页 共 4 页
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11. 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 为侧面 BCC1B1上的一个动点，且满足
PA PC1则下列说法正确的是
17. （15分）
A）点 P的轨迹长度为 2
在四面体 ABCD中， AB AC AD 2， BC CD DB 2 2 ，点 E为棱 BC的中点.
B）点 P的轨迹与棱 BB1相交 （1）证明： AD BC；
（2）求直线DE与平面 ABC所成角的正弦值.
C） PA 3 2的最小值为
2
D）直线 A1P与平面 ABCD所成角的正切值最大为 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。将正确答案写在答题卡上。 18. （17分）
6 已知函数 f x ln x ax2 2a 1 x，其中 a R .1
12. 2x 在 的展开式中，常数项为 ▲ .
x （1）当 a 1时，求曲线 y f x 在点 1，f 1 处的切线方程；
13. 从 0，1，2，3，4，5这 6个数字中任取三个不同的数字，组成一个三位数，则组成的三位数是
偶数的概率为 ▲ . （2）若 f x 0对任意 x 0恒成立，求实数 a的取值范围；
14. 已知数列 an 满足 a1 2 *
a 1
，且对任意 n N ， an 1 n 1 ，则 aa 2026
▲ . （3）若 a ，证明：函数 f x 在区间 0, 上有且仅有两个零点.
n 1 2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分）
2
已知抛物线C：y 2px p 0 的焦点为 F ，点 A 2,2 2 在抛物线C上.
19. （17分）
（1）求抛物线C的方程；
已知数列 an 满足 a1 2，且对任意 n N *都有 a 2n 1 an an 1.
（2）过点 F 作直线 l交抛物线C于 P，Q两点，若 PQ 8，求直线 l的方程.
1 1 1
（1）证明： ；
a a 1 a 1
16. （15分） n n n 1
2 1
甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，且各局比赛结 1
3 3 （2）求数列 的前 n项和 Sn；a
果相互独立. n
（1）若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； n 1
（2）若比赛采用五局三胜制，求甲获胜的概率； （3）证明：对任意 n N* ，都有 1 .
（3）比较（1）（2）中甲获胜的概率大小，并说明：对实力占优的一方，比赛局数越多对其越 k 1
ak
有利.
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