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专题5　平面向量与复数
第45练　平面向量基本定理及运算
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.在平面直角坐标系中，向量=(1，4)，=(2，3)，=(x，1)，若A，B，C三点共线，则x的值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
2.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若=+，=λ，则λ等于(　　)
A. B. C. D.
3.在平行四边形ABCD中，M，N分别在边BC，CD上，且满足BC=3MC，DC=4NC，若AB=4，AD=3，则△AMN是(　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
4.在平行四边形ABCD中，已知E，F分别为CD，AD的中点，直线BE，CF交于点O，若=a，=b，则等于(　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
5.如图，在△ABC中，∠BAC=，=3，P为CD上一点，且满足=m+，若||=3，||=4，则·的值为(　　)
A.-3 B.3 C.- D.
6.已知点P在△ABC所在平面内，若·=·=0，则点P是△ABC的(　　)
A.外心 B.垂心
C.重心 D.内心
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.在边长为3的等边△ABC中，=2，=2，则下列结论正确的是(　　)
A.=+
B.·=-
C.||=
D.·=||2
8.设向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=|b|=1，|c|=，则下列结论正确的是(　　)
A.a·b+b·c+c·a=-
B.〈a，b〉=
C.|a-c|=
D.cos〈a-c，b-c〉=
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知非零向量a，b满足b=(，1)，〈a，b〉=，若(a-b)⊥a，则向量a在b方向上的投影向量的坐标为　　　.
10.已知点O，G分别是△ABC的外心、重心，AB=3，AC=2，则·的值为　　　　.
第45练　平面向量基本定理及运算
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.在平面直角坐标系中，向量=(1，4)，=(2，3)，=(x，1)，若A，B，C三点共线，则x的值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　C
解析　由A，B，C三点共线，，不共线，得=λ+μ，λ+μ=1，
即(x，1)=λ(1，4)+μ(2，3)=(λ+2μ，4λ+3μ)，则解得
2.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若=+，=λ，则λ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD边长为6，
则A(0，0)，B(6，0)，D(0，6)，C(6，6)，E(6，3)，F(3，6)，
∴=+=(6，0)+(0，6)=(4，5)，
∴G(4，5)，=(-2，2)，=(-3，3)，
∴=，∴λ=.
3.在平行四边形ABCD中，M，N分别在边BC，CD上，且满足BC=3MC，DC=4NC，若AB=4，AD=3，则△AMN是(　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
答案　C
解析　∵·=(+)·(+)=·
=||2-||2=×9-×16=0，
∴AN⊥MN，
∴△AMN是直角三角形.
4.在平行四边形ABCD中，已知E，F分别为CD，AD的中点，直线BE，CF交于点O，若=a，=b，则等于(　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
答案　B
解析　设=λ，λ∈(0，1)，
则=+=+λ=+λ(+)=a+λ=a+λb，
又b=2，a=-2，
所以=-2)+2λ=+(3λ-2)，
因为F，O，C三点共线，所以1-+3λ-2=1，解得λ=，
所以=a+λb=a+b.
5.如图，在△ABC中，∠BAC=，=3，P为CD上一点，且满足=m+，若||=3，||=4，则·的值为(　　)
A.-3 B.3 C.- D.
答案　C
解析　因为=3，所以=，
所以=m+=m+，
因为C，P，D三点共线，
所以m+=1，即m=，
所以=+，
又=-=-，
所以·=·
=||2-||2+·=×16-×9+×3×4×=3-6+=-.
6.已知点P在△ABC所在平面内，若·=·=0，则点P是△ABC的(　　)
A.外心 B.垂心
C.重心 D.内心
答案　D
解析　在△ABC中，由·=0，
得·=·，
即·=·，由·=0，
同理得·=·，
显然≠0，即P与A不重合，否则cos∠ABC=1，同理≠0，
则||cos∠PAC=||cos∠PAB，
即cos∠PAC=cos∠PAB，∠PAC=∠PAB，
于是AP平分∠BAC，同理BP平分∠ABC，
所以点P是△ABC的内心.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.在边长为3的等边△ABC中，=2，=2，则下列结论正确的是(　　)
A.=+
B.·=-
C.||=
D.·=||2
答案　BCD
解析　因为=2，=2，
所以=，=，
对于A，=+=+=+-)=+，A错误；
对于B，=-=-，
所以·=·=·-+-·
=--·=×9-×9-×3×3×=-，B正确；
对于C，因为=-=-=--，
所以||2=+·+=×9+×3×3×+×9=3，所以||=，C正确；
对于D，·=·=-+·-·+
=-+·+=-×9+×3×3×+×9=3，D正确.
8.设向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=|b|=1，|c|=，则下列结论正确的是(　　)
A.a·b+b·c+c·a=-
B.〈a，b〉=
C.|a-c|=
D.cos〈a-c，b-c〉=
答案　ACD
解析　将a+b+c=0平方，得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+a·c+b·c)=0，
由a2=b2=1，c2=3，得a·b+b·c+c·a=-，故A正确；
由a+b=-c平方，得(a+b)2=a2+b2+2a·b=c2，得a·b=，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉=，故B不正确；
因为a+c=-b，所以|a+c|=|b|=1，1=|a+c|2=4+2c·a，所以c·a=-，
所以|a-c|2=4-2c·a=7，即|a-c|=，故C正确；
由选项C可得，b+c=-a，与C同理可得，b·c=-，|b-c|=，
则(a-c)·(b-c)=a·b-b·c-a·c+c2=，
所以cos〈a-c，b-c〉=，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知非零向量a，b满足b=(，1)，〈a，b〉=，若(a-b)⊥a，则向量a在b方向上的投影向量的坐标为　　　.
答案　
解析　由已知可得，|b|==2.
因为(a-b)⊥a，
所以(a-b)·a=a2-a·b=|a|2-|a||b|cos =|a|2-|a|=0，
解得|a|=1或|a|=0(舍去)，
所以向量a在b方向上的投影向量为|a|cos ·=b，坐标为.
10.已知点O，G分别是△ABC的外心、重心，AB=3，AC=2，则·的值为　　　　.
答案　
解析　设BC的中点为D，连接AD，OD，
由于G为△ABC的重心，则G一定在线段AD上，且AG=2GD，
所以==×+)=+)，
由于O为△ABC的外心，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则H为AB的中点，
则·=||||cos∠BAO=||||=||2=，
同理可得·=||2=2，
则·=·+)=·+·=×+×2=.第46练　平面向量中的最值与范围问题
(分值：42分)
平面向量中的最值与范围主要有以下几种题型
(1)与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题，一般考查利用平面向量基本定理或共线定理求参数的最值(范围).
(2)与数量积有关的最值(范围)问题，解题方法一般有两种：①形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.
(3)与向量模有关的最值(范围)问题，通常是通过|a|2=a2转化为实数问题.
(4)与向量夹角有关的最值(范围)问题，主要方法是将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值(值域)问题，要注意变量之间的关系.
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在Rt△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，A=，C=，c=2，P是△ABC外接圆上一点，则·(+)的最大值是(　　)
A.4 B.2+
C.3 D.1+
2.在△ABC中，点F为线段BC上一点(不含端点)，若=x+2y(x>0，y>0)，则+的最小值为(　　)
A.3 B.4 C.8 D.9
3.设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|=2|b|=2，且不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为(　　)
A.[-1，3] B.[-1，5]
C.[-7，3] D.[5，7]
4.已知向量a，b满足|a-b|=3，|a|=2|b|，设a-b与a+b的夹角为θ，则cos θ的最小值为(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知向量a，b满足=1，=2，则(　　)
A.的最大值是3
B.的最小值是0
C.+的最大值是2
D.+的最小值是4
6.如图，正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的内切圆上任意一点，=λ+μ(λ，μ∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A.·的最大值为4
B.λ-μ的最大值为
C.·的最大值为2
D.λ+μ的最大值为1+
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知非零向量a，b的夹角为θ，=2，且≥，则夹角θ的取值范围为　　　　　　　.
8.已知平面向量a，b满足a·b=|a|=|b|=2，且向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是　　　　　　.
第46练　平面向量中的最值与范围问题
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在Rt△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，A=，C=，c=2，P是△ABC外接圆上一点，则·(+)的最大值是(　　)
A.4 B.2+
C.3 D.1+
答案　A
解析　如图，设Rt△ABC的外心为O，则点O是AB的中点，
则·(+)=·2=2(+)·=2+2·，
因为c=2，故||=||=1，
则·=cos〈，〉≤1，
当且仅当与同向时取等号，
故·(+)≤2+2=4.
2.在△ABC中，点F为线段BC上一点(不含端点)，若=x+2y(x>0，y>0)，则+的最小值为(　　)
A.3 B.4 C.8 D.9
答案　D
解析　由题意得，B，F，C三点共线，
又=x+2y(x>0，y>0)，
故x+2y=1，
故+=(x+2y)
=1+4++≥5+2=9，
当且仅当=，即x=y=时，等号成立，故+的最小值为9.
3.设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|=2|b|=2，且不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为(　　)
A.[-1，3] B.[-1，5]
C.[-7，3] D.[5，7]
答案　A
解析　∵非零向量a，b的夹角为θ，|a|=2|b|=2，
∴|a|=2，|b|=1，a·b=2×1×cos θ=2cos θ，
∵不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意的θ恒成立，
∴(2a+b)2≥(a+λb)2，
∴4a2+4a·b+b2≥a2+2λa·b+λ2b2，
整理可得(13-λ2)+(8-4λ)cos θ≥0恒成立，
∵cos θ∈[-1，1]，
∴
解得-1≤λ≤3.
4.已知向量a，b满足|a-b|=3，|a|=2|b|，设a-b与a+b的夹角为θ，则cos θ的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　令b2=t，则a2=4b2=4t，
则=(a-b)2=a2-2a·b+b2=9，2a·b=5t-9，
由5t-9=2a·b≤2=4t得t≤9，
由5t-9=2a·b≥-2=-4t得t≥1，
所以1≤t≤9，=
==，
所以cos θ==
==，
令y=，1≤t≤9，显然y>0，
t2-10yt+9y=0，
所以Δ=100y2-36y≥0，y≥，
当y=时，t=∈[1，9]，
所以cos θ的最小值为=.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知向量a，b满足=1，=2，则(　　)
A.的最大值是3
B.的最小值是0
C.+的最大值是2
D.+的最小值是4
答案　ACD
解析　因为==a2+b2-2a·b=5-4cos〈a，b〉∈[1，9]，
所以1≤≤3，当且仅当a，b反向时取得最大值，同向时取得最小值，故A正确；
因为==a2+b2+2a·b=5+4cos〈a，b〉∈[1，9]，
所以1≤≤3，当且仅当a，b反向时取得最小值，同向时取得最大值，故B错误；
设〈a，b〉=θ，由A，B可知，y=+=+，
所以y2=10+2∈[16，20]，
所以4≤y≤2，故CD正确.
6.如图，正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的内切圆上任意一点，=λ+μ(λ，μ∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A.·的最大值为4
B.λ-μ的最大值为
C.·的最大值为2
D.λ+μ的最大值为1+
答案　ABD
解析　以正方形ABCD的中心为原点，如图，建立平面直角坐标系，
则A(-1，-1)，B(1，-1)，D(-1，1)，
设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)，
则=(1+cos θ，1+sin θ)，=(2，0)，
=(-2，2)，=(0，2)，
所以·=2(1+cos θ)，
所以当θ=0时，·的最大值为4，A正确；
·=-2(1+cos θ)+2(1+sin θ)=2(sin θ-cos θ)=2sin，
所以当θ=时，·的最大值为2，C错误；
由=λ+μ知
(1+cos θ，1+sin θ)=λ(2，0)+μ(0，2)，
所以得
则λ-μ=(cos θ-sin θ)=cos，
所以当θ=时，λ-μ的最大值为，B正确；
λ+μ=1+(cos θ+sin θ)=1+sin，
所以当θ=时，λ+μ的最大值为1+，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知非零向量a，b的夹角为θ，=2，且≥，则夹角θ的取值范围为　　　　　　　.
答案　
解析　由=4得
++2cos θ=4，
即4≥2(1+cos θ)≥(1+cos θ)，
前一个等号成立条件为|a|=|b|，
整理得cos θ≤.由于θ∈[0，π]，所以≤θ≤π.
8.已知平面向量a，b满足a·b=|a|=|b|=2，且向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是　　　　　　.
答案　[2-1，2+1]
解析　∵a·b=|a|=|b|=2，
设a与b的夹角为θ，
则a·b=|a||b|cos θ=2×2×cos θ=2，
∴cos θ=，又θ∈[0，π]，则θ=，
不妨令a=(2，0)，b=(1，)，c=(x，y)，
则c-a-b=(x-3，y-)，
又|c-a-b|=1，
∴(x-3)2+(y-)2=1，
又|c|表示以(3，)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，
故-1≤|c|≤+1，
即2-1≤|c|≤2+1.第47练　极化恒等式
(分值：40分)
1.极化恒等式
在平面向量中：
(a+b)2=a2+b2+2a·b，
(a-b)2=a2+b2-2a·b，
两式相减可得极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2].
2.几何解释
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即a·b=[(a+b)2-(a-b)2](如图).
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即·=-(M为BC的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
一、单项选择题(每小题5分，共25分)
1.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的四分之一，即如图所示，a·b=(||2-||2)，我们称为极化恒等式.已知在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则·等于(　　)
A.-16 B.16 C.-8 D.8
2.在同一平面内，M，N是两个定点，P是动点，若·=4，则点P的轨迹为(　　)
A.椭圆 B.抛物线
C.直线 D.圆
3.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(+)的最小值是(　　)
A.-2 B.- C.- D.-1
4.已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为AD，BC的中点，如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上，有且只有8个不同的点P，使得·=λ成立，那么λ的取值范围是(　　)
A.(0，2] B.(0，2) C.(0，4] D.(0，4)
5.正△ABC的边长为3，点D在边AB上，且=2，△ABC的外接圆的一条弦MN过点D，点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，·的取值范围是(　　)
A.[-1，5] B.[-1，7]
C.[0，2] D.[1，5]
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5.若·=-7，则·=　　　　.
7.如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则·的取值范围是　　　　.
8.如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内一点(包含边界)，且PA⊥PB，则·的取值范围是　　　　　.
第47练　极化恒等式
一、单项选择题(每小题5分，共25分)
1.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的四分之一，即如图所示，a·b=(||2-||2)，我们称为极化恒等式.已知在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则·等于(　　)
A.-16 B.16 C.-8 D.8
答案　A
解析　由题设，△ABC可以补形为平行四边形ABDC，由已知得=2，||=3，
||=10，·=(4||2-||2)
=×(36-100)=-16.
2.在同一平面内，M，N是两个定点，P是动点，若·=4，则点P的轨迹为(　　)
A.椭圆 B.抛物线
C.直线 D.圆
答案　D
解析　设M，N的中点为A，由极化恒等式可得·=-=4，因为M，N是两个定点，从而|PA|为定值，所以点P的轨迹为圆.
3.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(+)的最小值是(　　)
A.-2 B.- C.- D.-1
答案　B
解析　如图，设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM，则·(+)=2·=2||2-||2=2||2-≥-，当且仅当M与P重合时取等号.
4.已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为AD，BC的中点，如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上，有且只有8个不同的点P，使得·=λ成立，那么λ的取值范围是(　　)
A.(0，2] B.(0，2) C.(0，4] D.(0，4)
答案　D
解析　如图所示，设EF的中点为O，则根据极化恒等式可得·=-4=λ即=λ+4，所以||=，由对称性可知每个边上存在两个点P，所以点P在边的中点和顶点之间，故2<<2，解得0<λ<4.
5.正△ABC的边长为3，点D在边AB上，且=2，△ABC的外接圆的一条弦MN过点D，点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，·的取值范围是(　　)
A.[-1，5] B.[-1，7]
C.[0，2] D.[1，5]
答案　D
解析　如图，设O为△ABC外接圆的圆心，
因为=2，所以OD=AC=1，
当弦MN的长度最短时，MN⊥OD，此时D为MN的中点.
在△ABC中，由正弦定理知，外接圆的半径
R=·=·=，
即OM=，
所以MN=2MD=2
=2=2，
由极化恒等式可得·=-
=-×(2)2=-2，
因为点P为线段BC上的动点，
所以当PD⊥BC时，
||min=||sin 60°=2×=；
当点P与点C重合时，||max=||，
在△BCD中，由余弦定理知，
CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠ABC=9+4-2×3×2×=7，
所以||max=||=，
综上，||∈[，]，则-2∈[1，5]，
所以·的取值范围为[1，5].
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5.若·=-7，则·=　　　　.
答案　9
解析　由·=-=9-=-7，得||=8，
则·=·=-=25-×64=9.
7.如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则·的取值范围是　　　　.
答案　[39，55]
解析　由向量极化恒等式知
·=||2-||2=||2-9.
又△ABC是边长为8的等边三角形，
所以当点P位于点A或点C时，||取最大值8.
当点P位于AC的中点时，||取最小值，
即||min=8sin=4，
所以||的取值范围为[4，8]，
所以·的取值范围为[39，55].
8.如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内一点(包含边界)，且PA⊥PB，则·的取值范围是　　　　　.
答案　[0，4]
解析　如图，∵PA⊥PB，
∴点P在以AB为直径的半圆上，取CD的中点O，连接PO，
由向量极化恒等式知·=||2-||2=||2-1，
当点P在A(或B)处时，||max=，
当点P在的中点时，||min=1，
∴||∈[1，]，
∴·的取值范围是[0，4].第48练　等和(高)线定理
(分值：31分)
等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k，k∈R，使得=k，则=k=kλ+kμ，又=x+y(x，y∈R)，∴x+y=kλ+kμ=k；反之也成立.
(2)平面内一个基底{，及任一向量，=λ+μ(λ，μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.
①当等和线恰为直线AB时，k=1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，+∞)；
④当等和线过O点时，k=0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；
⑥定值k的绝对值与O点到等和线的距离成正比.
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，=λ+μ，则λ+μ的值为(　　)
A. B. C. D.
2.已知四边形ABCD是矩形，动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，若=λ+μ，则λ+μ的最大值为(　　)
A.3 B.2 C. D.2
3.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若=x+y，则2x+2y的最大值为(　　)
A. B.2 C. D.1
4.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABDC内的任一点(含边界)，且=λ+μ，则λ+μ的取值范围是(　　)
A.[0，1] B.[0，2] C.[0，3] D.[0，4]
二、多项选择题(共6分)
5.在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为上的一个动点，若=x+y，则3x+y的取值可以是(　　)
A. B.1 C. D.
三、填空题(共5分)
6.在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设=α+β(α，β∈R)，则α+β的取值范围是　　　　.
第48练　等和(高)线定理
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，=λ+μ，则λ+μ的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　方法一　(常规方法)
设=t，
则==+)=+=+-)=+，
∴λ=-，μ=，∴λ+μ=.
方法二　(等和线法)
如图，BC为值是1的等和线，过N作BC的平行线，设λ+μ=k，则k=.
由N为AM的中点知，=，即λ+μ=k=.
2.已知四边形ABCD是矩形，动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，若=λ+μ，则λ+μ的最大值为(　　)
A.3 B.2 C. D.2
答案　A
解析　根据图形可知，当点P在圆上运动到与BD距离最大时，λ+μ有最大值，设圆C的半径为r，
连接AP，交BD于Q，则λ+μ=，过P点作BD的平行线PM，过A点作PM，BD的垂线，如图所示，垂足分别为M，N，易知AN=r，AM=3r，则λ+μ===3.
3.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若=x+y，则2x+2y的最大值为(　　)
A. B.2 C. D.1
答案　A
解析　如图，作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设=λ+μ，
则λ+μ=1，
∵BC∥EF，∴设==k，则k∈，
∴=k，=k，=λ+μ=λk+μk，∴x=λk，y=μk，
∴2x+2y=2(λ+μ)k=2k≤.
4.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABDC内的任一点(含边界)，且=λ+μ，则λ+μ的取值范围是(　　)
A.[0，1] B.[0，2] C.[0，3] D.[0，4]
答案　C
解析　如图，过点P作GH∥BC，分别交AC，AB的延长线于点G，H，设=x+y，则x+y=1，当点P位于点D时，G，H分别位于点C'、点B'，
∵△BCD与△ABC的面积之比为2∶1，
∴AC'=3AC，AB'=3AB，
∴=x+y=3x+3y
=λ+μ，
∴λ=3y，μ=3x λ+μ=3x+3y=3.
当点P位于A点时，显然有λ+μ=0，
综上，λ+μ的取值范围是[0，3].
二、多项选择题(共6分)
5.在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为上的一个动点，若=x+y，则3x+y的取值可以是(　　)
A. B.1 C. D.
答案　BC
解析　如图，取点D使得=，=x+y=3x+y，作一系列与BD平行的直线与圆弧相交，当点C与点B重合时，3x+y取得最小值1；当点C与点A重合时，3x+y取得最大值3，故3x+y的取值范围是[1，3].
三、填空题(共5分)
6.在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设=α+β(α，β∈R)，则α+β的取值范围是　　　　.
答案　[3，4]
解析　如图，直线BF为k=1的等和线，当P在△CDE内(包括边界)时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以α+β∈.设正六边形的边长为2，则AN=3，AM=1，AD=4，故α+β的取值范围是[3，4].第49练　奔驰定理和四心问题
(分值：35分)
1.奔驰定理：
如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0.
2.奔驰定理与三角形四心
(1)若O为△ABC的重心，则++=0 S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶1；
(2)若O为△ABC的外心，则sin 2A·+sin 2B·+sin 2C·=0，且||=||=||；
(3)若O为△ABC的内心，则a·+b·+c·=0，或sin A·+sin B·+sin C·=0(a，b，c分别为角A，B，C的对边)；
(4)若O为△ABC的垂心，则tan A·+tan B·+tan C·=0，且·=·=·.
一、单项选择题(每小题5分，共25分)
1.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3--=0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　)
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5
2.已知O是△ABC内部一点，满足+2+m=0，且=，则实数m等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
3.已知△ABC的重心为G，AB=6，AC=8，BC=2，则△BGC的面积为(　　)
A.12 B.8 C.4 D.4
4.在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，O为△ABC的内心，若=λ+μ，则3λ+6μ的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.7
5.奔驰定理：已知点O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S1，S2，S3，则S1·+S2·+S3·=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且+2+3=0，则cos C等于(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题(每小题5分，共10分)
6.已知点P是△ABC的外心，且++λ=0，C=，则λ=　　　　　.
7.已知△ABC的内切圆的圆心为O，半径为2，且S△ABC=14，2+2+3=0，则△ABC的外接圆面积为　　　　.
第49练　奔驰定理和四心问题
(分值：35分)
1.奔驰定理：
如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0.
2.奔驰定理与三角形四心
(1)若O为△ABC的重心，则++=0 S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶1；
(2)若O为△ABC的外心，则sin 2A·+sin 2B·+sin 2C·=0，且||=||=||；
(3)若O为△ABC的内心，则a·+b·+c·=0，或sin A·+sin B·+sin C·=0(a，b，c分别为角A，B，C的对边)；
(4)若O为△ABC的垂心，则tan A·+tan B·+tan C·=0，且·=·=·.
一、单项选择题(每小题5分，共25分)
1.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3--=0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　)
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5
答案　B
解析　方法一　将3--=0变形可得++=0，则点M在△ABC内，
根据奔驰定理可知
S△BCM∶S△ACM∶S△ABM=1∶1∶1，
则S△ABM∶S△ABC=1∶3.
方法二　如图，D为BC边的中点，则=+)，
因为3--=0，
所以3=+=2，所以=，
所以S△ABM=S△ABD=S△ABC，则S△ABM∶S△ABC=1∶3.
2.已知O是△ABC内部一点，满足+2+m=0，且=，则实数m等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　C
解析　由奔驰定理得
S△BOC·+S△AOC·+S△AOB·=0，
又+2+m=0，
∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶m.
∴==，解得m=4.
3.已知△ABC的重心为G，AB=6，AC=8，BC=2，则△BGC的面积为(　　)
A.12 B.8 C.4 D.4
答案　C
解析　cos A===，又A∈(0，π)，∴A=，
∴S△ABC=×6×8×sin=12，
又G为△ABC的重心，∴++=0，
即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC=1∶1∶1，
∴S△BGC=S△ABC=4.
4.在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，O为△ABC的内心，若=λ+μ，则3λ+6μ的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.7
答案　C
解析　=λ+μ可化为+λ-λ+μ-μ=0，
整理得(1-λ)+(λ-μ)+μ=0，
所以(1-λ)∶(λ-μ)∶μ=4∶3∶2，
解得λ=，μ=，
所以3λ+6μ=3×+6×=3.
5.奔驰定理：已知点O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S1，S2，S3，则S1·+S2·+S3·=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且+2+3=0，则cos C等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　如图，延长CO交AB于点P，
∵O是△ABC的垂心，
∴OP⊥AB，
∴S1∶S2=∶
=BP∶AP=(OPtan∠POB)∶(OPtan∠POA) =tan∠COB∶tan∠COA=tan(π-A)∶tan(π-B)=tan A∶tan B.
同理可得S1∶S3=tan A∶tan C，
∴S1∶S2∶S3=tan A∶tan B∶tan C.
又S1·+S2·+S3·=0，
∴tan A·+tan B·+tan C·=0.
又+2+3=0，
∴tan A∶tan B∶tan C=1∶2∶3.
不妨设tan A=k，tan B=2k，tan C=3k，
其中k≠0.
∵tan A=-tan(B+C)=-，
∴k=-，解得k=±1.
当k=-1时，tan A<0，tan B<0，tan C<0，则A，B，C都是钝角，不符合题意，舍去.
故k=1，则tan C=3>0，故C为锐角，
∴解得cos C=.
二、填空题(每小题5分，共10分)
6.已知点P是△ABC的外心，且++λ=0，C=，则λ=　　　　　.
答案　
解析　依题意得，
sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=1∶1∶λ，
∴sin 2A=sin 2B，
∴2A=2B或2A+2B=π(舍去)，
∴A=B，又C=，∴A=B=，
又=，
∴λ====.
7.已知△ABC的内切圆的圆心为O，半径为2，且S△ABC=14，2+2+3=0，则△ABC的外接圆面积为　　　　.
答案　
解析　在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
∵2+2+3=0，且O为内心，
∴a∶b∶c=2∶2∶3，
令a=2k，则b=2k，c=3k，
设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，
又S△ABC=(a+b+c)·r，
即×7k×2=14，得k=2，
∴a=4，b=4，c=6，
∴cos C==-，
∵C∈(0，π)，∴sin C=，
又2R==，解得R=，
∴△ABC的外接圆面积S=πR2=.第50练　复　数
(分值：53分)
一、单项选择题(每小题5分，共25分)
1.设i是虚数单位，若复数z满足(2+i)z=1-i，则z在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.若复数z满足(1+i)z=|1+i|，则的虚部为(　　)
A.-i B.- C.i D.
3.如图，正方形OABC中，点A对应的复数是3+5i，则顶点B对应的复数是(　　)
A.-2+8i
B.2-8i
C.-1+7i
D.-2+7i
4.已知i为虚数单位，6x=|2-4i|，6y=20i8+2i6，则x+y等于(　　)
A. B.+log644
C.3+log62 D.
5.欧拉公式exi=cos x+isin x由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论领域占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列选项中不正确的是(　　)
A.在复平面内对应的点位于第二象限
B.为纯虚数
C.的模为
D.的共轭复数为-i
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
6.已知复数z的共轭复数是，(1-i)z=1+i，i是虚数单位，则下列结论正确的是(　　)
A.z2 026=4
B.z·的虚部是0
C.|z·+2z|=
D.z·+2z在复平面内对应的点在第四象限
7.已知复数z1，z2的共轭复数分别为，，则下列命题为真命题的是(　　)
A.=+
B.=
C.若z1-z2>0，则z1>z2
D.若=+，则z1+z2=0
8.已知z是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是(　　)
A.z2=|z|2
B.若|z|=1，则|z-1-i|的最大值为+1
C.若z=(1-2i)2，则复平面内对应的点位于第二象限
D.若1-3i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，则q=-9
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=+i，则|z1-z2|=　　　　.
10.已知i为虚数单位，且|z+1-2i|=2，则|z|的最大值是　　　　.
第50练　复　数
(分值：53分)
一、单项选择题(每小题5分，共25分)
1.设i是虚数单位，若复数z满足(2+i)z=1-i，则z在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　D
解析　假设z=a+bi(a，b∈R)，
则(2+i)z=(2+i)(a+bi)=2a-b+(2b+a)i=1-i，
所以解得
故z=-i，复数z在复平面内对应的点为，在第四象限.
2.若复数z满足(1+i)z=|1+i|，则的虚部为(　　)
A.-i B.- C.i D.
答案　D
解析　由(1+i)z=|1+i|=，
得z===-i，
所以=+i，即的虚部为.
3.如图，正方形OABC中，点A对应的复数是3+5i，则顶点B对应的复数是(　　)
A.-2+8i
B.2-8i
C.-1+7i
D.-2+7i
答案　A
解析　由题意得=(3，5)，不妨设C点对应的复数为a+bi(a<0，b>0)，则=(a，b)，
由⊥，||=||，
得
即C点对应的复数为-5+3i，由=+得B点对应的复数为(3+5i)+(-5+3i)=-2+8i.
4.已知i为虚数单位，6x=|2-4i|，6y=20i8+2i6，则x+y等于(　　)
A. B.+log644
C.3+log62 D.
答案　D
解析　因为6x=|2-4i|==2，
6y=20i8+2i6=20-2=18，
所以6x·6y=2×18=36，
则6x+y=，故x+y=.
5.欧拉公式exi=cos x+isin x由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论领域占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列选项中不正确的是(　　)
A.在复平面内对应的点位于第二象限
B.为纯虚数
C.的模为
D.的共轭复数为-i
答案　D
解析　对于A，=cos+isin=-+i，在复平面内对应的点位于第二象限，故A正确；
对于B，=cos+isin=i，为纯虚数，故B正确；
对于C，=====，故C正确；
对于D，=cos+isin=+i，所以的共轭复数为-i，故D错误.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
6.已知复数z的共轭复数是，(1-i)z=1+i，i是虚数单位，则下列结论正确的是(　　)
A.z2 026=4
B.z·的虚部是0
C.|z·+2z|=
D.z·+2z在复平面内对应的点在第四象限
答案　BC
解析　由题意知z====i，则=-i，
z2 026=i2 026=i2=-1，A错误；
z·=1，虚部是0，B正确；
|z·+2z|=|1+2i|==，C正确；
z·+2z=1+2i在复平面内对应的点为(1，2)，在第一象限，D错误.
7.已知复数z1，z2的共轭复数分别为，，则下列命题为真命题的是(　　)
A.=+
B.=
C.若z1-z2>0，则z1>z2
D.若=+，则z1+z2=0
答案　ABD
解析　设z1=a+bi，z2=c+di，且a，b，c，d∈R，则=a-bi，=c-di.
对A，z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d)i，+=a+c-(b+d)i，
所以=a+c-(b+d)i，所以=+，故A正确；
对B，==(ac-bd)-(bc+ad)i，
=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(bc+ad)i，故B正确；
对C，当z1=1+2i，z2=2i时，满足z1-z2=1>0，但不能得出z1>z2，故C错误；
对D，=(z1+z2)()=(z1+z2)(+)=z1+z2+z1+z2
=++z1+z2=|z1|2+|z2|2，故z1+z2=0，故D正确.
8.已知z是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是(　　)
A.z2=|z|2
B.若|z|=1，则|z-1-i|的最大值为+1
C.若z=(1-2i)2，则复平面内对应的点位于第二象限
D.若1-3i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，则q=-9
答案　BC
解析　对于A，设z=a+bi(a，b∈R)，则|z|2=a2+b2，z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi，z2≠|z|2，A错误；
对于B，由|z|=1知，在复平面内表示复数z的点在以原点为圆心的单位圆上，|z-1-i|可看作该单位圆上的点到点(1，1)的距离，则距离的最大值为+1，B正确；
对于C，z=(1-2i)2=-3-4i，=-3+4i，则复平面内对应的点位于第二象限，C正确；
对于D，依题意，(1-3i)2+p(1-3i)+q=0，整理得(p+q-8)+(-3p-6)i=0，
而p，q∈R，因此解得D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=+i，则|z1-z2|=　　　　.
答案　2
解析　方法一　设z1=a+bi(a∈R，b∈R)，z2=c+di(c∈R，d∈R)，
∴z1+z2=a+c+(b+d)i=+i，
∴
又|z1|=|z2|=2，∴a2+b2=4，c2+d2=4，
∴(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+b2+d2+2(ac+bd)=4，∴ac+bd=-2，
∴|z1-z2|=|(a-c)+(b-d)i|
==
==2.
方法二　如图所示，设复数z1，z2所对应的向量分别为，，=+，
由已知||==2=||=||，
∴平行四边形OZ1PZ2为菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是等边三角形，∴∠Z1OZ2=120°，
由余弦定理得
||2=||2+||2-2||||cos 120°=22+22-2×2×2×=12，
∴|z1-z2|=||=2.
10.已知i为虚数单位，且|z+1-2i|=2，则|z|的最大值是　　　　.
答案　+2
解析　依题意，设z=a+bi(a，b∈R)，
由|z+1-2i|=2，得|a+bi+1-2i|=2，
则(a+1)2+(b-2)2=4，
其几何意义为z对应的点(a，b)的轨迹是以(-1，2)为圆心，2为半径的圆，
因为|z|的几何意义为点(a，b)到坐标原点(0，0)的距离，
所以|z|max=+2=+2.

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