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专题9　统计与成对数据的统计分析
第92练　随机抽样、统计图表
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.某中学有高中生1 000人，初中生3 000人.为了解学生的身心发展情况，用按比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为80的样本，则抽中的高中生人数为(　　)
A.5 B.10 C.20 D.30
2.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号：001，002，…，699，700.从中抽取70个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是(　　)
3321183429　　7864560732　　5242064438
1223435677　　3578905642
8442125331　　3457860736　　2530073285
2345788907　　2368960804
3256780843　　6789535577　　3489948375
2253557832　　4577892345
A.607 B.328 C.253 D.007
3.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是(　　)
A.， B.，
C.， D.，
4.某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩作出频率分布直方图，如图所示，则成绩在[350，450]内的学生人数为(　　)
A.300 B.400 C.600 D.1 200
5.某中学学生会为了解本校高一年级1 000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下，下列估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是(　　)
参加场数 0 1 2 3 4 5 6 7
参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% 12% 4% 2%
A.参加活动场数是3场的学生约为360人
B.参加活动场数是2场或4场的学生约为480人
C.参加活动场数不高于2场的学生约为280人
D.参加活动场数不低于4场的学生约为360人
6.网上某家电子产品店1月到4月的电子产品销售总额如图1，其中某一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图2.
根据图中信息，有以下四个结论，推断不合理的是(　　)
A.从1月到4月，电子产品销售总额为290万元
B.该款平板电脑4月份的销售额比3月份有所下降
C.从1月到4月，该款平板电脑销售额最低的是3月份
D.该款平板电脑2月到4月份的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.某高中学校在有120名同学的“航天”社团中随机抽取24名同学参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取6人，若按性别比例分层随机抽样，则女生抽取15人，则下列结论正确的是(　　)
A.24是样本容量
B.120名社团成员中男生有50人
C.高二年级与高三年级的社团成员共有90人
D.高一年级的社团成员中女生最多有30人
8.如图1为某省2025年1~4月份快递业务量统计图，图2为该省2025年1~4月份快递业务收入统计图，下列对统计图理解正确的是(　　)
A.2025年1~4月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2 000万件
B.从2025年1~4月份来看，快递业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长
C.从两图中看，2025年1~4月中的同一个月的快递业务量的同比增长率与业务收入的同比增长率并不完全一致
D.2025年1~4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，和春节后网购迎来喷涨有关
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.从总数为N的一批零件中抽取一个容量为15的样本，若每个零件被抽到的概率都为0.25，则N的值为　　　　.
10.为响应“强身健体，智慧学习”倡议，某中学开展了一次学生体质健康监测活动.已知高三(2)班有50名学生，其中男生28人，女生22人，按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从高三(2)班全体学生中抽取一个容量为25的样本.如果各层中按照比例分配样本，则
(1)女生应抽取的人数为　　　　；
(2)已知样本中男生、女生的平均体重分别为60.8 kg和46.4 kg.估计高三(2)班全体学生的平均体重为　　　　kg.(精确到0.1 kg)
第92练　随机抽样、统计图表
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.某中学有高中生1 000人，初中生3 000人.为了解学生的身心发展情况，用按比例分配的分层随机抽样方法从该校学生中抽取一个容量为80的样本，则抽中的高中生人数为(　　)
A.5 B.10 C.20 D.30
答案　C
解析　分层随机抽样的抽取比例为=，所以从高中生中抽取的人数为1 000×=20.
2.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号：001，002，…，699，700.从中抽取70个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是(　　)
3321183429　　7864560732　　5242064438
1223435677　　3578905642
8442125331　　3457860736　　2530073285
2345788907　　2368960804
3256780843　　6789535577　　3489948375
2253557832　　4577892345
A.607 B.328 C.253 D.007
答案　B
解析　从表中第5行第6列开始向右读取数据，
则抽取的5个样本编号分别是253，313，457，007，328，所以得到的第5个样本编号是328.
3.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是(　　)
A.， B.，
C.， D.，
答案　A
解析　方法一　在简单随机抽样的过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为样本容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为.
方法二　个体a第一次被抽到的可能性显然为；第二次被抽到，首先第一次不能被抽到，第二次抽才被抽到，可能性为×=.
4.某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩作出频率分布直方图，如图所示，则成绩在[350，450]内的学生人数为(　　)
A.300 B.400 C.600 D.1 200
答案　B
解析　由频率分布直方图可得，
(0.002+0.004+a+a+0.002)×50=1，
解得a=0.006，
所以成绩在[350，450]内的学生人数为
1 000×(0.006+0.002)×50=400.
5.某中学学生会为了解本校高一年级1 000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下，下列估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是(　　)
参加场数 0 1 2 3 4 5 6 7
参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% 12% 4% 2%
A.参加活动场数是3场的学生约为360人
B.参加活动场数是2场或4场的学生约为480人
C.参加活动场数不高于2场的学生约为280人
D.参加活动场数不低于4场的学生约为360人
答案　D
解析　估计该校高一学生参加活动场数是3场的学生约为1 000×0.26=260(人)，故A错误；参加活动场数是2场或4场的学生约为1 000×(0.2+0.18)=380(人)，故B错误；参加活动场数不高于2场的学生约为1 000×(0.08+0.1+0.2)=380(人)，故C错误；参加活动场数不低于4场的学生约为1 000×(0.18+0.12+0.04+0.02)=360(人)，故D正确.
6.网上某家电子产品店1月到4月的电子产品销售总额如图1，其中某一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图2.
根据图中信息，有以下四个结论，推断不合理的是(　　)
A.从1月到4月，电子产品销售总额为290万元
B.该款平板电脑4月份的销售额比3月份有所下降
C.从1月到4月，该款平板电脑销售额最低的是3月份
D.该款平板电脑2月到4月份的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了
答案　B
解析　由图1可知从1月到4月，电子产品销售总额为85+80+60+65=290(万元)，A正确；
该款平板电脑3月份的销售额为60×18%=10.8(万元)，4月份的销售额为65×17%=11.05(万元)，
则该款平板电脑4月份的销售额比3月份多11.05-10.8=0.25(万元)，B错误；
该款平板电脑1月份的销售额为85×23%=19.55(万元)，
2月份的销售额为80×15%=12(万元)，
所以从1月到4月，该款平板电脑销售额最低的是3月份，为10.8万元，C正确；
由图2可知该款平板电脑2月到4月份的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了，D正确.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.某高中学校在有120名同学的“航天”社团中随机抽取24名同学参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取6人，若按性别比例分层随机抽样，则女生抽取15人，则下列结论正确的是(　　)
A.24是样本容量
B.120名社团成员中男生有50人
C.高二年级与高三年级的社团成员共有90人
D.高一年级的社团成员中女生最多有30人
答案　ACD
解析　对于A，由样本容量的定义知，样本容量为24，A正确；
对于B，∵女生共有×120=75(人)，
∴男生有120-75=45(人)，B错误；
对于C，∵高一年级的社团成员有×120=30(人)，
∴高二年级与高三年级的社团成员共有120-30=90(人)，C正确；
对于D，由C知，高一年级的社团成员共30人，
∴高一年级的社团成员中女生最多有30人，D正确.
8.如图1为某省2025年1~4月份快递业务量统计图，图2为该省2025年1~4月份快递业务收入统计图，下列对统计图理解正确的是(　　)
A.2025年1~4月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2 000万件
B.从2025年1~4月份来看，快递业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长
C.从两图中看，2025年1~4月中的同一个月的快递业务量的同比增长率与业务收入的同比增长率并不完全一致
D.2025年1~4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，和春节后网购迎来喷涨有关
答案　ACD
解析　由图1的条形图可得2025年1~4月份快递业务量3月份最高，2月份最低，3月份比2月份高4 397-2 411=1 986(万件)，差值接近2 000万件，故A正确；从2025年1~4月份来看，快递业务量与业务收入有波动，结合图1、图2中的条形图可得快递业务量与业务收入在2月份和4月份均下降，故B错误；从两图中条形图可得快递业务量2月份同比增长53%，而业务收入2月份同比增长30%，故C正确；从图1中可得2025年1~4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，这和春节后网购迎来喷涨有关，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.从总数为N的一批零件中抽取一个容量为15的样本，若每个零件被抽到的概率都为0.25，则N的值为　　　　.
答案　60
解析　∵每个零件被抽到的概率都相等，
∴=0.25，∴N=60.
10.为响应“强身健体，智慧学习”倡议，某中学开展了一次学生体质健康监测活动.已知高三(2)班有50名学生，其中男生28人，女生22人，按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从高三(2)班全体学生中抽取一个容量为25的样本.如果各层中按照比例分配样本，则
(1)女生应抽取的人数为　　　　；
(2)已知样本中男生、女生的平均体重分别为60.8 kg和46.4 kg.估计高三(2)班全体学生的平均体重为　　　　kg.(精确到0.1 kg)
答案　(1)11　(2)54.5
解析　(1)由比例分配的分层随机抽样等比例性质知，女生应抽取的人数为25×=11.
(2)由(1)知，样本中男生人数为14，故全体学生的平均体重为≈54.5(kg).第93练　用样本估计总体
(分值：40分)
一、单项选择题(每小题5分，共10分)
1.已知甲、乙两组数据如表所示，则下列结论中表述正确的是(　　)
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 82 83 81 82 76 91 83 88 89 93
乙 68 80 88 72 89 88 95 74 90 71
A.甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B.甲组数据的众数大于乙组数据的众数
C.甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
D.甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数
2.甲、乙两同学对同一组数据进行分析，甲同学得到的数据平均数为，方差为s2，乙同学不小心丢掉了一个数据，得到的平均数仍为，方差为2，则下列判断正确的是(　　)
A.s2=2
B.s2>2
C.s2<2
D.s2与2的大小关系无法判断
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
3.某传媒公司对手机消费行为进行调查，下表为根据调查得到的2025年1 000名手机用户购买手机价格的频数分布表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则下列说法正确的是(　　)
价格/千元 (0，5] (5，10] (10，15] (15，20] (20，25]
频数 150 600 180 50 20
A.估计1 000名用户购买手机价格的众数为7.5
B.估计1 000名用户购买手机价格的平均数为8.45
C.估计1 000名用户购买手机价格的中位数不超过6
D.估计1 000名用户购买手机价格的第84百分位数不超过12
4.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取5次，每次取一个球.记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则(　　)
A.可能取到数字4 B.中位数可能是2
C.极差可能是4 D.众数可能是2
三、填空题(共5分)
5.为了解本市的交通状况，某校高一年级的学生分成了甲、乙、丙三组，从13时到18时，分别对三个路口的机动车通行情况进行了实地调查，并绘制了频率分布直方图(如图).若定义“总体平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和”，则甲、乙、丙三组所调查数据的总体平均数的估计值，，的大小关系为　　　　　　　.
四、解答题(共13分)
6.(13分)近几年中国高科技企业正在不断突破科技封锁，多项技术已经“遥遥领先”.国产光刻机作为芯片制造的核心设备，也已经取得了突飞猛进的发展.已知一芯片生产商用某国产光刻机生产的Q型芯片经过十项指标全面检测后，分为Ⅰ级品和Ⅱ级品，两种芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示.
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的产品应用于A型手机，小于或等于c的产品应用于B型手机.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)求Q型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数；(4分)
(2)当临界值c=65时，求Q型芯片Ⅱ级品应用于A型手机的概率；(3分)
(3)已知c∈[50，60]，现有足够多的Q型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品分别应用于A型手机、B型手机各1万部的生产，
方案一：直接将Q型芯片Ⅰ级品应用于A型手机，其中该指标小于或等于临界值c的芯片会导致芯片生产商每部手机损失700元；直接将Q型芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大于临界值c的芯片会导致芯片生产商每部手机损失300元；
方案二：重新检测Q型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元，
请从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案.(6分)
第93练　用样本估计总体
(分值：40分)
一、单项选择题(每小题5分，共10分)
1.已知甲、乙两组数据如表所示，则下列结论中表述正确的是(　　)
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 82 83 81 82 76 91 83 88 89 93
乙 68 80 88 72 89 88 95 74 90 71
A.甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B.甲组数据的众数大于乙组数据的众数
C.甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
D.甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数
答案　D
解析　甲组数据从小到大排序为76，81，82，82，83，83，88，89，91，93，
极差为93-76=17，众数为82，83，中位数为=83，
平均数为
=84.8.
乙组数据从小到大排序为68，71，72，74，80，88，88，89，90，95，
极差为95-68=27，众数为88，中位数为=84，
平均数为
=81.5，
所以甲组数据的极差小于乙组数据的极差，A错误；
甲组数据的众数小于乙组数据的众数，B错误；
甲组数据的中位数小于乙组数据的中位数，C错误；
甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数，D正确.
2.甲、乙两同学对同一组数据进行分析，甲同学得到的数据平均数为，方差为s2，乙同学不小心丢掉了一个数据，得到的平均数仍为，方差为2，则下列判断正确的是(　　)
A.s2=2
B.s2>2
C.s2<2
D.s2与2的大小关系无法判断
答案　C
解析　由题意知，丢失的数据为，才可保证甲、乙得到的平均数相等，
结合方差公式s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]，n≥2，
所以乙所得方差s'2==2，即s2=<2.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
3.某传媒公司对手机消费行为进行调查，下表为根据调查得到的2025年1 000名手机用户购买手机价格的频数分布表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则下列说法正确的是(　　)
价格/千元 (0，5] (5，10] (10，15] (15，20] (20，25]
频数 150 600 180 50 20
A.估计1 000名用户购买手机价格的众数为7.5
B.估计1 000名用户购买手机价格的平均数为8.45
C.估计1 000名用户购买手机价格的中位数不超过6
D.估计1 000名用户购买手机价格的第84百分位数不超过12
答案　AB
解析　A选项，1 000名用户购买手机价格的众数落在(5，10]内，中间值为7.5，A正确；
B选项，平均数为2.5×0.15+7.5×0.6+12.5×0.18+17.5×0.05+22.5×0.02=8.45，B正确；
C选项，=0.15<0.5，=0.75>0.5，故中位数落在(5，10]内，
中位数为5+×5≈7.92>6，C错误；
D选项，=0.75<0.84，
=0.93>0.84，故第84百分位数落在(10，15]内，
1 000名用户购买手机价格的第84百分位数为10+×5=12.5>12，D错误.
4.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取5次，每次取一个球.记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则(　　)
A.可能取到数字4 B.中位数可能是2
C.极差可能是4 D.众数可能是2
答案　BD
解析　设这5个数字为x1，x2，x3，x4，x5，
对于A，若取到数字4，不妨设x1=4，
则=2，可得x2+x3+x4+x5=6，
可知这4个数中至少有2个1，不妨设x2=x3=1，
则这5个数字的方差s2=[(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2+(x5-2)2]
≥×[(4-2)2+(1-2)2+(1-2)2]=>1，
不符合题意，故A错误；
对于C，因为这5个数字的平均数为2，若这5个数字不完全相同，则这5个数字至少有1个1，不妨设x1=1，
若极差是4，则最大数为5，不妨设x2=5，
则这5个数字的平均数=(x1+x2+x3+x4+x5)=(1+5+x3+x4+x5)=2，
则x3+x4+x5=4，可知这3个数有2个1，1个2，
此时这5个数字的方差s2=×[(1-2)2+(5-2)2+(1-2)2+(1-2)2+(2-2)2]=>1，
不符合题意，若这5个数字完全相同，则极差为0，故C错误；
对于B，D，例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，
且中位数是2，众数是2，故B，D正确.
三、填空题(共5分)
5.为了解本市的交通状况，某校高一年级的学生分成了甲、乙、丙三组，从13时到18时，分别对三个路口的机动车通行情况进行了实地调查，并绘制了频率分布直方图(如图).若定义“总体平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和”，则甲、乙、丙三组所调查数据的总体平均数的估计值，，的大小关系为　　　　　　　.
答案　=>
解析　根据题中总体平均数的估计值的定义可得，
=0.3×13.5+0.2×14.5+0.1×15.5+0.1×16.5+0.3×17.5=15.4，
=0.2×13.5+0.2×14.5+0.3×15.5+0.2×16.5+0.1×17.5=15.3，
=0.1×13.5+0.3×14.5+0.3×15.5+0.2×16.5+0.1×17.5=15.4，
故=>.
四、解答题(共13分)
6.(13分)近几年中国高科技企业正在不断突破科技封锁，多项技术已经“遥遥领先”.国产光刻机作为芯片制造的核心设备，也已经取得了突飞猛进的发展.已知一芯片生产商用某国产光刻机生产的Q型芯片经过十项指标全面检测后，分为Ⅰ级品和Ⅱ级品，两种芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示.
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的产品应用于A型手机，小于或等于c的产品应用于B型手机.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)求Q型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数；(4分)
(2)当临界值c=65时，求Q型芯片Ⅱ级品应用于A型手机的概率；(3分)
(3)已知c∈[50，60]，现有足够多的Q型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品分别应用于A型手机、B型手机各1万部的生产，
方案一：直接将Q型芯片Ⅰ级品应用于A型手机，其中该指标小于或等于临界值c的芯片会导致芯片生产商每部手机损失700元；直接将Q型芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大于临界值c的芯片会导致芯片生产商每部手机损失300元；
方案二：重新检测Q型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元，
请从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案.(6分)
解　(1)设Q型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数为a，
则该指标在80以下的概率为(0.002+0.005+0.023+0.025)×10=0.55，该指标在90以下的概率为0.55+0.025×10=0.8，因此该项指标的第70百分位数a一定在[80，90)内，
0.55+0.025×(a-80)=0.7，解得a=86，
所以Q型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数为86.
(2)当临界值c=65时，
Q型芯片Ⅱ级品应用于A型手机的概率为0.01×(70-65)=0.05.
(3)设直接将Q型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品分别应用于A型、B型手机时，该芯片生产商的支出为y万元，
y=700×[0.002×10+0.005×(c-50)]+300×[0.01×10+0.03×(60-c)] =409-5.5c，c∈[50，60]，
所以当50≤c<56时，y>101，
当c=56时，y=101，
当56综上，为降低芯片生产商的成本，当临界值c∈[50，56)时，选择方案二；
当临界值c=56时，选择方案一和方案二均可；
当临界值c∈(56，60]时，选择方案一.第94练　成对数据的统计分析
(分值：40分)
一、单项选择题(每小题5分，共10分)
1.某公司对100名员工进行了工作量的调查，数据如表：
认为工作量大 认为工作量不大 合计
男士 40 20 60
女士 20 20 40
合计 60 40 100
若推断“员工的性别与认为工作量大有关”，则这种推断犯错误的概率不大于(　　)
附：χ2=，n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.025 0.01
xα 2.706 3.841 5.024 6.635
A.0.1 B.0.05 C.0.025 D.0.01
2.雨滴在下落过程中，受到的阻力随速度增大而增大，当速度增大到一定程度时，阻力与重力达到平衡，雨滴开始匀速下落，此时雨滴的下落速度称为“末速度”.某学习小组通过实验，得到了雨滴的末速度v(单位：m/s)与直径d(单位：mm)的一组数据，并绘制成如图所示的散点图，则在该实验条件下，最适宜作为雨滴的末速度v与直径d的回归模型是(　　)
A.v=a+b B.v=a+bd
C.v=a+bd2 D.v=a+bed
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
3.某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A是否有关，调查了400人，得到如图所示的2×2列联表，其中b=12a，则(　　)
患疾病A 不患疾病A 合计
过量饮酒 3a b
不过量饮酒 a 2b
合计 400
参考公式与临界值表：χ2=.
α 0.100 0.050 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
A.任意一人不患疾病A的概率为0.9
B.任意一人不过量饮酒的概率为
C.任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为
D.依据小概率值α=0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关
4.某人工智能公司近5年的利润情况如表所示：
第x年 1 2 3 4 5
利润y/亿元 2 3 4 5 7
已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的经验回归方程为=1.2x+，则下列说法正确的是(　　)
A.=0.6
B.变量y与x之间的样本相关系数r<0
C.预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元
D.残差绝对值的最大值为0.4
三、填空题(共5分)
5.已知变量y与x线性相关，由样本点(1，y1)，(2，y2)，…，(5，y5)求得的经验回归方程为=x+，若点(1，y1)在经验回归直线上，且y1=2，=3，则yi=　　　　.
四、解答题(共13分)
6.(13分)中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型以及水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y(单位：℃)关于时间x(单位：min)的回归方程模型，通过实验收集在25 ℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示的散点图以及如表所示的数据.
(xi-)(yi-) (xi-)(wi-)
73.5 3.85 -95 -2.24
表中：wi=ln(yi-25)，=wi.
(1)根据散点图判断，①y=a+bx与②y=d·cx+25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间x的回归方程；(7分)
(2)已知该茶水温度降至60 ℃口感最佳，根据(1)中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？(6分)
参考数据：e-0.08≈0.92，e4.09≈60，ln 7≈1.9，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7.
第94练　成对数据的统计分析
(分值：40分)
一、单项选择题(每小题5分，共10分)
1.某公司对100名员工进行了工作量的调查，数据如表：
认为工作量大 认为工作量不大 合计
男士 40 20 60
女士 20 20 40
合计 60 40 100
若推断“员工的性别与认为工作量大有关”，则这种推断犯错误的概率不大于(　　)
附：χ2=，n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.025 0.01
xα 2.706 3.841 5.024 6.635
A.0.1 B.0.05 C.0.025 D.0.01
答案　A
解析　χ2=≈2.778>2.706=x0.1，
根据小概率值α=0.1的独立性检验，我们认为此推断不成立，所以这种推断犯错误的概率不大于0.1.
2.雨滴在下落过程中，受到的阻力随速度增大而增大，当速度增大到一定程度时，阻力与重力达到平衡，雨滴开始匀速下落，此时雨滴的下落速度称为“末速度”.某学习小组通过实验，得到了雨滴的末速度v(单位：m/s)与直径d(单位：mm)的一组数据，并绘制成如图所示的散点图，则在该实验条件下，最适宜作为雨滴的末速度v与直径d的回归模型是(　　)
A.v=a+b B.v=a+bd
C.v=a+bd2 D.v=a+bed
答案　A
解析　 由一次函数、二次函数及指数函数的性质可知，B，C，D不符合散点的变化趋势，
由散点图分布可知，散点图分布在一个幂函数的图象附近，因此，最适宜作为雨滴的末速度v与直径d的回归模型是v=a+b.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
3.某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A是否有关，调查了400人，得到如图所示的2×2列联表，其中b=12a，则(　　)
患疾病A 不患疾病A 合计
过量饮酒 3a b
不过量饮酒 a 2b
合计 400
参考公式与临界值表：χ2=.
α 0.100 0.050 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
A.任意一人不患疾病A的概率为0.9
B.任意一人不过量饮酒的概率为
C.任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为
D.依据小概率值α=0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关
答案　ACD
解析　由已知得4a+3b=400，又b=12a，
所以a=10，b=120.
任意一人不患疾病A的概率为=0.9，所以A正确；
任意一人不过量饮酒的概率为=，所以B错误；
任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为=，所以C正确；
对于D，2×2列联表如下：
患疾病A 不患疾病A 合计
过量饮酒 30 120 150
不过量饮酒 10 240 250
合计 40 360 400
零假设为H0：过量饮酒与患疾病A无关，
则χ2==≈26.67，
由于26.67>10.828，
依据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，认为过量饮酒与患疾病A有关，所以D正确.
4.某人工智能公司近5年的利润情况如表所示：
第x年 1 2 3 4 5
利润y/亿元 2 3 4 5 7
已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的经验回归方程为=1.2x+，则下列说法正确的是(　　)
A.=0.6
B.变量y与x之间的样本相关系数r<0
C.预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元
D.残差绝对值的最大值为0.4
答案　ACD
解析　依题意得=×(1+2+3+4+5)=3，
=×(2+3+4+5+7)=4.2，
因为经验回归方程=1.2x+必过点(，)，
则4.2=1.2×3+，解得=0.6，故A正确；
经验回归方程=1.2x+0.6，则x与y正相关，即样本相关系数r>0，故B错误；
当x=6时，=1.2×6+0.6=7.8，即预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正确；
当x=1时，=1.2×1+0.6=1.8，残差绝对值为|1.8-2|=0.2，
当x=2时，=1.2×2+0.6=3，残差绝对值为|3-3|=0，
当x=3时，=1.2×3+0.6=4.2，残差绝对值为|4.2-4|=0.2，
当x=4时，=1.2×4+0.6=5.4，残差绝对值为|5.4-5|=0.4，
当x=5时，=1.2×5+0.6=6.6，残差绝对值为|6.6-7|=0.4，
所以残差绝对值的最大值为0.4，故D正确.
三、填空题(共5分)
5.已知变量y与x线性相关，由样本点(1，y1)，(2，y2)，…，(5，y5)求得的经验回归方程为=x+，若点(1，y1)在经验回归直线上，且y1=2，=3，则yi=　　　　.
答案　12
解析　由点(1，y1)在经验回归直线上，且y1=2，可得2=×1+，解得=，
所以经验回归方程为=x+，
又由点(3，)在经验回归直线上，可得=×3+=，
所以yi=5×=5×=12.
四、解答题(共13分)
6.(13分)中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型以及水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y(单位：℃)关于时间x(单位：min)的回归方程模型，通过实验收集在25 ℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示的散点图以及如表所示的数据.
(xi-)(yi-) (xi-)(wi-)
73.5 3.85 -95 -2.24
表中：wi=ln(yi-25)，=wi.
(1)根据散点图判断，①y=a+bx与②y=d·cx+25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间x的回归方程；(7分)
(2)已知该茶水温度降至60 ℃口感最佳，根据(1)中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？(6分)
参考数据：e-0.08≈0.92，e4.09≈60，ln 7≈1.9，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7.
解　(1)由散点图知，更适宜的回归方程为②，
即y=d·cx+25.
由y=d·cx+25，得y-25=d·cx，两边取自然对数，得ln(y-25)=ln d+xln c，
令w=ln(y-25)，则w=ln d+xln c，
=xi==3，
(xi-)2=(-3)2+(-2)2+(-1)2+02+12+22+32=28，
结合表中数据，
得ln c===-0.08，
结合参考数据可得c=e-0.08≈0.92，由ln d=-ln c=3.85-3×(-0.08)=4.09，得d=e4.09≈60，
所以茶水温度y关于时间x的回归方程为y=60×0.92x+25.
(2)依题意，茶水温度降至60 ℃口感最佳，
即60=60×0.92x+25，
整理得xln 0.92=ln ，
于是xln 0.92=ln 7-2ln 2-ln 3≈1.9-2×0.7-1.1=-0.6，
解得x≈=7.5，
所以大约需要放置7.5 min才能达到最佳饮用口感.

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