资源简介

综合练1
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知复数z满足z·i=1+2i，则z的虚部为(　　)
A.-1 B.-i C.1 D.i
2.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=，且(a+b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
3.已知sin α=2sin(α+2β)，且tan β=2，则tan(α+β)等于(　　)
A.-6 B.-2 C.2 D.6
4.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为64π的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为4，则该陀螺的体积为(　　)
A.48π B.56π C.64π D.72π
5.跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3∶3∶4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为(　　)
A.0.35 B.0.32 C.0.45 D.0.36
6.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x)，函数f(2x+3)的图象关于点(-1，1)对称.若对任意x∈R，有f(x+3)=x+f(3-x)，则下列说法正确的是(　　)
A.g(x)不为周期函数
B.f(x)的图象不关于点(1，1)对称
C.g(211)=
D.f(985)=1
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.正态分布是一种重要的概率分布，它是由法国的数学家、天文学家De Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作X~N(μ，σ2).当μ=0，σ=1时的正态分布称为标准正态分布，如果令Z=，则可以证明Z~N(0，1)，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果Z~N(0，1)，那么对任意的a，通常记Φ(a)=P(Z参考数据：可供查询的(部分)标准正态分布N(0，1)对应的概率值.
a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36
Φ(a) 0.594 8 0.598 7 0.602 6 0.636 8 0.640 6
A.已知Φ(a)=0.7，则P(|Z|B.Φ(a)+Φ(-a)=1
C.按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占40%，据此估计本次考试成绩达到升一本要求的数学成绩约为108分(精确到整数)
D.已知该市考生约有10 000名，某学生此次考试数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于3 630~3 640名之间
8.如图，圆F1：(x+1)2+y2=1，圆F2：(x-1)2+y2=9，动圆P与圆F1外切于点M，与圆F2内切于点N，记圆心P的轨迹为曲线C，则(　　)
A.C的方程为+=1(y≠0)
B.∠MPN的最小值为120°
C.·+·≤
D.曲线C在点P处的切线与线段MN垂直
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(x3-1)展开式中的常数项是　　　　　.
10.欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数)，例如：φ(3)=2，φ(4)=2，则数列的前n项和为　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；(6分)
(2)已知△ABC的边长分别为a，b，c，其所对应的角分别为A，B，C，且f(A)=，·=2，a=，求该三角形的周长.(7分)
12.(15分)已知P为抛物线E：y2=2x上的动点，Q为圆C：(x-a)2+y2=1(a>1)上的动点，若|PQ|的最小值为-1.
(1)求a的值；(5分)
(2)若动点P在x轴上方，过P作圆C的两条切线分别交抛物线E于另外两点A，B，且满足|PA|=|PB|，求直线AB的方程.(10分)
综合练1
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知复数z满足z·i=1+2i，则z的虚部为(　　)
A.-1 B.-i C.1 D.i
答案　A
解析　由z·i=1+2i，可得z===2-i，其虚部为-1.
2.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=，且(a+b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为(a+b)⊥b，所以(a+b)·b=0，
即a·b+b2=0，又|a|=2，|b|=，
所以a·b+b2=2cos〈a，b〉+3=0，
解得cos〈a，b〉=-，
又0≤〈a，b〉≤π，则a与b的夹角为.
3.已知sin α=2sin(α+2β)，且tan β=2，则tan(α+β)等于(　　)
A.-6 B.-2 C.2 D.6
答案　A
解析　由题意知，sin α=2sin，
则sin=2sin，
sincos β-cossin β=2sincos β+2cossin β，
所以sincos β=-3cossin β，
所以tan=-3tan β=-6.
4.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺内接于一表面积为64π的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为4，则该陀螺的体积为(　　)
A.48π B.56π C.64π D.72π
答案　B
解析　如图，作陀螺的轴截面，则陀螺的轴截面内接于圆O，设圆O的半径为R，圆柱的底面半径为r.
由4πR2=64π R=4，球心为圆柱的中心，
又圆柱的底面半径r=2，所以球心到圆柱底面的距离d==2，
所以圆柱的高为2d=4，圆锥的高h=R-d=2，
所以该陀螺的体积V=πr2×4+πr2×2=48π+8π=56π.
5.跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3∶3∶4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为(　　)
A.0.35 B.0.32 C.0.45 D.0.36
答案　A
解析　设事件A表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，
事件B1，B2，B3分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”，
∵三个年级的教师人数之比为3∶3∶4，
∴P(B1)==0.3，
P(B2)==0.3，
P(B3)==0.4，
∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，
∴P(A|B1)=40%=0.4，P(A|B2)=30%=0.3，
P(A|B3)=35%=0.35，
根据全概率公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.3×0.4+0.3×0.3+0.4×0.35=0.35.
6.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x)，函数f(2x+3)的图象关于点(-1，1)对称.若对任意x∈R，有f(x+3)=x+f(3-x)，则下列说法正确的是(　　)
A.g(x)不为周期函数
B.f(x)的图象不关于点(1，1)对称
C.g(211)=
D.f(985)=1
答案　C
解析　因为函数f(2x+3)的图象关于点(-1，1)对称，所以f(2(x-1)+3)+f(2(-x-1)+3)=2，
即f(2x+1)+f(-2x+1)=2，
则f(x)的图象关于点(1，1)对称，B错误；
由f(x+3)=x+f(3-x)，得f(x+3)-(x+3)=f(3-x)-(3-x).
令h(x)=f(x)-x，则f(x)=h(x)+x，
由h(x+3)=h(3-x)，得h(x)的图象关于直线x=3对称.
又f(x)的图象关于点(1，1)对称，
则f(x+1)+f(1-x)=2，
所以h(x+1)+(x+1)+h(1-x)+(1-x)=2，即h(x+1)+h(1-x)=1，
则可得h(x)的图象关于点对称，
故h(x)为周期函数，
且一个周期为8，h(x)=h(x+8)，
所以f(985)=h(985)+=h(1)+=+=493，D错误；
又f(x)=h(x)+x=h(x+8)+x=f(x+8)-(x+8)+x，
则f(x+8)=f(x)+4，
所以f'(x)=f'(x+8)，由g(x)=f'(x)得g(x)=g(x+8)，故g(x)为周期函数，A错误；
由f(x+3)=x+f(3-x)，两边求导得f'(x+3)=1-f'(3-x)，
由g(x)=f'(x)得g(x+3)+g(3-x)=1，令x=0得g(3)=，
利用g(x)的一个周期为8，则g(211)=g(8×26+3)=g(3)=，C正确.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.正态分布是一种重要的概率分布，它是由法国的数学家、天文学家De Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作X~N(μ，σ2).当μ=0，σ=1时的正态分布称为标准正态分布，如果令Z=，则可以证明Z~N(0，1)，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果Z~N(0，1)，那么对任意的a，通常记Φ(a)=P(Z参考数据：可供查询的(部分)标准正态分布N(0，1)对应的概率值.
a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36
Φ(a) 0.594 8 0.598 7 0.602 6 0.636 8 0.640 6
A.已知Φ(a)=0.7，则P(|Z|B.Φ(a)+Φ(-a)=1
C.按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占40%，据此估计本次考试成绩达到升一本要求的数学成绩约为108分(精确到整数)
D.已知该市考生约有10 000名，某学生此次考试数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于3 630~3 640名之间
答案　BCD
解析　对于A，因为Φ(a)=0.7，即P(Z可得P(Z≥a)=1-P(Z所以P(|Z|对于B，因为Φ(a)+Φ(-a)=P(Za)=1，故B正确；
对于C，由题意可知，P(Z≥a)=1-Φ(a)=0.4，即Φ(a)=0.6，
对比表格可知，0.25所以估计本次考试成绩达到升一本要求的数学成绩约为108分，故C正确；
对于D，由题意可知，a==0.35，
且Φ(0.35)≈0.636 8，
可得P(Z≥0.35)=1-Φ(0.35)≈0.363 2，则10 000×0.363 2=3 632，
所以该学生在全市排名大概位于3 630~3 640名之间，故D正确.
8.如图，圆F1：(x+1)2+y2=1，圆F2：(x-1)2+y2=9，动圆P与圆F1外切于点M，与圆F2内切于点N，记圆心P的轨迹为曲线C，则(　　)
A.C的方程为+=1(y≠0)
B.∠MPN的最小值为120°
C.·+·≤
D.曲线C在点P处的切线与线段MN垂直
答案　BCD
解析　对于A，设动圆P的半径为r，由条件得|PF1|=r+1，|PF2|=3-r，则|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|=2，且P，M，N不重合，
故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆(去掉P，M，N重合的点)，则曲线C的方程为+=1(x≠-2)，故A错误；
对于B，由图可知∠MPN与∠F1PF2互补，当P点为椭圆短轴端点时，∠F1PF2最大，
此时sin∠F2PO==，所以∠F2PO=30°，
则∠F1PF2的最大值为60°，所以∠MPN的最小值为120°，故B正确；
对于C，·+·=-r(r+1)+r(3-r)=2r(1-r)≤2×=，当且仅当r=时等号成立，故C正确；
对于D，设点P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
F1(-1，0)，F2(1，0)，
下面先证明椭圆+=1(a>b>0)在点P(x0，y0)处的切线方程为+=1(a>b>0).
联立消去y得(a2+b2)x2-2a2b2x0x+a4b2-a4=0，
则Δ=4a4(b2+a2-a2b2)，又b2+a2=a2b2，所以Δ=0.
所以椭圆+=1(a>b>0)在点P(x0，y0)处的切线方程为+=1(a>b>0).
则曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为+=1，当切线斜率不存在时，P(2，0)，此时切线方程为x=2，易得M(0，0)，N(4，0)，此时切线与线段MN垂直；
当切线斜率存在时，y0≠0，切线斜率为-，
又=，=r，
所以=-，=r，
则(x2-x0，y2-y0)=-(1-x2，-y2)，
(x1-x0，y1-y0)=r(-1-x1，-y1)，得
解得
所以kMN=
==，
又r=|PF1|-1=-1=-1=-1=-1，
因为-2所以x0+2>0，
所以r=x0+2-1=x0+1，
所以kMN==，
所以-×=-1，即曲线C在点P处的切线与线段MN垂直，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(x3-1)展开式中的常数项是　　　　　.
答案　-9
解析　二项式的展开式的通项为Tk+1=(x2)6-k·=x12-3k，k=0，1，…，6，
而(x3-1)=x3-，
所以当12-3k=-3，即k=5时有常数项x15-3×5=6，
当12-3k=0，即k=4时有常数项-x12-3×4=-15，
所以所求展开式的常数项为6-15=-9.
10.欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数)，例如：φ(3)=2，φ(4)=2，则数列的前n项和为　　　　.
答案　
解析　由题意可知，小于2n的所有正奇数都与2n互质，共有2n-1个，所以φ(2n)=2n-1，
小于3n且大于0的所有与3n不互质的数是3的倍数，故与3n互质的数共有3n-3n-1=2×3n-1(个)，即φ(3n)=2×3n-1，
所以=×，
则其前n项和为Sn=×
=×=.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；(6分)
(2)已知△ABC的边长分别为a，b，c，其所对应的角分别为A，B，C，且f(A)=，·=2，a=，求该三角形的周长.(7分)
解　(1)由函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π，
所以=π，即ω=1，所以f(x)=sin，
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为f(A)=sin=，
所以sin=，
因为0所以2A+=，解得A=，
因为·=bccos A=bc=2，所以bc=4，
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，可得5=b2+c2-4，
所以(b+c)2=b2+c2+2bc=13+4
=(2+1)2，所以b+c=2+1，
则△ABC的周长为a+b+c=2+1+.
12.(15分)已知P为抛物线E：y2=2x上的动点，Q为圆C：(x-a)2+y2=1(a>1)上的动点，若|PQ|的最小值为-1.
(1)求a的值；(5分)
(2)若动点P在x轴上方，过P作圆C的两条切线分别交抛物线E于另外两点A，B，且满足|PA|=|PB|，求直线AB的方程.(10分)
解　(1)设P(x0，y0)，|PQ|的最小值为-1，
即|PC|的最小值为，又C(a，0)，
则|PC|===(x0≥0)，
当x0=a-1时，|PC|min==，
所以a=2.
(2)连接AB，CP，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线PA的斜率存在时，y1+y0≠0，
直线PA的斜率kPA===，
直线PA的方程为y-y0=(x-x0)，
即直线PA的方程为2x-(y1+y0)y+y0(y1+y0)-2x0=0，
化简得2x-(y1+y0)y+y0y1=0，
当直线PA的斜率不存在时，y1+y0=0，直线PA的方程为x=x0也满足上述方程，
同理得直线PB的方程为2x-(y2+y0)y+y0y2=0，直线AB的方程为2x-(y1+y2)y+y1y2=0，
则点C(2，0)到直线PA的距离为=1，即(-1)+6y0y1+12-=0，
同理(-1)+6y0y2+12-=0，
则y1，y2是方程(-1)y2+6y0y+12-=0的两个根，
所以y1+y2=，则直线AB的斜率kAB==.
因为PA，PB与圆C均相切，
所以由对称性可知PC平分∠APB，
又因为|PA|=|PB|，
所以有PC⊥AB，
所以·=-1，
又因为=2x0，
解得x0=5，则y0=或y0=-(舍去).
此时方程(-1)y2+6y0y+12-=0即为9y2+6y+2=0，
显然满足Δ=360-72=288>0，
且y1+y2=-，y1y2=，
因为直线AB的方程为2x-(y1+y2)y+y1y2=0，即2x+y+=0，
即直线AB的方程为9x+3y+1=0.综合练2
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.设集合M={x|2x≥1}，集合N={x|x2<4}，则M∪N等于(　　)
A.[0，2) B.(-∞，2)
C.[0，+∞) D.(-2，+∞)
2.若点A在双曲线-=1的一条渐近线上，点B在圆(x-5)2+y2=r2(r>0)上，且|AB|的最小值等于1，则r等于(　　)
A.1 B. C.2 D.3
3.已知0<β<α<，sin(α-β)=，tan α-tan β=2，则sin αsin β等于(　　)
A. B. C. D.
4.设函数f(x)=x+的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为(　　)
A.y=-x B.y=-x-1
C.y=0 D.y=x-1
5.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为(　　)
A.12 B.18 C.20 D.60
6.对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a b=，a*b=.若平面向量a，b满足|a|>|b|>0，且a b和a*b都在集合中，则a b+a*b等于(　　)
A.1 B. C.1或 D.1或
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列说法正确的是(　　)
A.一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11
B.若随机变量ξ，η满足η=3ξ-2，D(ξ)=3，则D(η)=9
C.一组数据(xi，yi)(1≤i≤15，i∈N*)的经验回归方程为=3x+2，若=2，则=8
D.某学校要从12名候选人(其中7名男生，5名女生)中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为X，则X服从超几何分布
8.如图1，半圆O的直径为4，点B，C三等分半圆弧，P，Q分别为OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成如图2所示的圆锥，D为BC的中点，则在图2中，下列结论正确的有(　　)
A.PQ=
B.AD⊥平面OBC
C.PQ∥平面ABC
D.三棱锥P-ABC与三棱锥Q-ABC公共部分的体积为
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.两个连续随机变量X，Y满足X+2Y=3，且X~N(3，σ2)，若P(X+1≤0)=0.14，则P(Y+2>0)=　　　　.
10.已知直线l：y=x-3与抛物线C：y2=4x交于P，Q两点，O为坐标原点，则S△OPQ=　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制(率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束)，已知该同学第一局获胜的概率为，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局.
(1)该同学在以2∶1获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率；(6分)
(2)记整场比赛该同学的获胜局数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.(7分)
12.(15分)如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，△ABD为底面圆O的内接正三角形，且边长为2，点E在母线PC上，且AE=2，CE=2.
(1)求证：PO∥平面BDE；(5分)
(2)若点M为线段PO上的动点，当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求平面MBD与平面ABD的夹角的大小.(10分)
综合练2
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.设集合M={x|2x≥1}，集合N={x|x2<4}，则M∪N等于(　　)
A.[0，2) B.(-∞，2)
C.[0，+∞) D.(-2，+∞)
答案　D
解析　因为2x≥1=20，所以x≥0，
所以M={x|x≥0}，
因为x2<4，所以-2所以N={x|-2所以M∪N=(-2，+∞).
2.若点A在双曲线-=1的一条渐近线上，点B在圆(x-5)2+y2=r2(r>0)上，且|AB|的最小值等于1，则r等于(　　)
A.1 B. C.2 D.3
答案　C
解析　由题意，双曲线的渐近线方程为3x±4y=0，则圆心(5，0)到渐近线的距离为d=3，
故|AB|的最小值为d-r=1，所以r=2.
3.已知0<β<α<，sin(α-β)=，tan α-tan β=2，则sin αsin β等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为0<β<α<，所以0<α-β<，
因为sin(α-β)=，
所以cos(α-β)==，
因为2=tan α-tan β=-==，
所以cos αcos β=，
因为cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=+sin αsin β=，
则sin αsin β=.
4.设函数f(x)=x+的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为(　　)
A.y=-x B.y=-x-1
C.y=0 D.y=x-1
答案　C
解析　令x+=0，即x(x+2)+1=0，
即(x+1)2=0，解得x=-1，
故P(-1，0)，f'(x)=1-，
则f'(-1)=1-=0，
则其切线方程为y-f(-1)=f'(-1)(x+1)，
即y=0.
5.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为(　　)
A.12 B.18 C.20 D.60
答案　C
解析　根据题意，可分为两类：
①当2个新节目插在5个节目中间的四个空隙中的一个时，有=4×2=8(种)方法；
②当2个新节目插在5个节目中间的四个空隙中的两个时，有=4×3=12(种)方法，由分类加法计数原理得，共有8+12=20(种)不同的插法.
6.对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a b=，a*b=.若平面向量a，b满足|a|>|b|>0，且a b和a*b都在集合中，则a b+a*b等于(　　)
A.1 B. C.1或 D.1或
答案　D
解析　因为=，
设向量a和b的夹角为θ，
因为|a|>|b|>0，
所以|a|2+|b|2>2|a||b|，
得到a b==<=，
又θ∈[0，π]，所以≤，即a b<，
又a b在集合中，
所以a b=，>，即cos θ>，
又因为a*b===cos θ>cos θ>，
所以a*b=或1，
所以a b+a*b=1或.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列说法正确的是(　　)
A.一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11
B.若随机变量ξ，η满足η=3ξ-2，D(ξ)=3，则D(η)=9
C.一组数据(xi，yi)(1≤i≤15，i∈N*)的经验回归方程为=3x+2，若=2，则=8
D.某学校要从12名候选人(其中7名男生，5名女生)中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为X，则X服从超几何分布
答案　ACD
解析　将该组数据从小到大排序为3，5，7，9，11，13，15，共7个，因为7×0.6=4.2，所以第60百分位数为第5个数11，故A正确；
因为η=3ξ-2，D(ξ)=3，所以D(η)=32D(ξ)=9×3=27，故B错误；
经验回归方程=3x+2 必经过点(，)，当=2时，代入方程得=3×2+2=8，故C正确；
从12名候选人中不放回地抽取5人，男生人数X服从超几何分布，且N=12，M=7，n=5，故D正确.
8.如图1，半圆O的直径为4，点B，C三等分半圆弧，P，Q分别为OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成如图2所示的圆锥，D为BC的中点，则在图2中，下列结论正确的有(　　)
A.PQ=
B.AD⊥平面OBC
C.PQ∥平面ABC
D.三棱锥P-ABC与三棱锥Q-ABC公共部分的体积为
答案　ACD
解析　对于A，在图2中，设圆锥的底面圆半径为r，
则2πr=×4π，解得r=1，
因为在图1中，点A为半圆弧的端点，点B，C三等分半圆弧，
所以在图2中，点A，B，C为圆锥的底面圆周的三等分点，
所以△ABC为等边三角形，
所以=2r=2，所以BC=，
又因为点P，Q分别是OB，OC的中点，
所以PQ=BC=，故A正确；
对于B，连接OD，AC，AB，因为△ABC是边长为的等边三角形，△OBC为等腰三角形，
点D是BC的中点，所以AD=，OD==，
而AO=2，所以AD2+OD2=+≠4=AO2，这表明AD与OD不垂直，故B错误；
对于C，因为点P，Q分别是OB，OC的中点，
所以PQ∥BC，
因为PQ 平面ABC，BC 平面ABC，
所以PQ∥平面ABC，故C正确；
对于D，连接AP，AQ，BQ，CP，设BQ，CP交于点E，连接OE并延长OE，则由对称性可知OE必定交BC于点D，
则三棱锥P-ABC与三棱锥Q-ABC的公共部分即为三棱锥E-ABC，
因为点P，Q分别是OB，OC的中点，
所以E为△OBC的重心，所以DE=OD，
由上易知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，所以圆锥的高为，
所以V三棱锥E-ABC=V三棱锥O-ABC=×××=，
所以三棱锥P-ABC与三棱锥Q-ABC公共部分的体积为，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.两个连续随机变量X，Y满足X+2Y=3，且X~N(3，σ2)，若P(X+1≤0)=0.14，则P(Y+2>0)=　　　　.
答案　0.86
解析　方法一　因为X+2Y=3，
所以Y+2>0 >0，
即X<7，所以P(Y+2>0)=P(X<7)=1-P(X≤-1)=1-0.14=0.86.
方法二　因为X+2Y=3，所以X+1=4-2Y，
因为P(X+1≤0)=0.14，
所以P(4-2Y≤0)=0.14，即P(Y≥2)=0.14，
又Y=-X+，所以E(Y)=-E(X)+=0，D(Y)=D(X)=σ2，
所以Y~N，
所以P(Y+2>0)=P(Y>-2)=1-P(Y≤-2)=1-P(Y≥2)=1-0.14=0.86.
10.已知直线l：y=x-3与抛物线C：y2=4x交于P，Q两点，O为坐标原点，则S△OPQ=　　　　.
答案　12
解析　由直线y=x-3与抛物线y2=4x，联立方程组消元得(x-3)2=4x，
即x2-10x+9=0，设交点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则有x1+x2=10，x1x2=9，
由弦长公式可得|PQ|=|x1-x2|
==8，
再由点到直线的距离公式得点O到直线l的距离d==，
即△OPQ中，边PQ上的高为，
所以S△OPQ=×8×=12.
四、解答题(共28分)
11.(13分)某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制(率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束)，已知该同学第一局获胜的概率为，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局.
(1)该同学在以2∶1获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率；(6分)
(2)记整场比赛该同学的获胜局数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.(7分)
解　(1)设事件A=“该同学以2∶1获得比赛胜利”，B=“该同学连胜两局”，
若该同学以2∶1获得比赛胜利，则三局比赛的结果为赢输赢、输赢赢，共两种情况，
所以P(A)=××+××=，
P(AB)=××=，
则P(B|A)==，
即该同学在以2∶1获得比赛胜利的条件下，连胜两局的概率为.
(2)由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2，
则P(ξ=0)=×=，
P(ξ=1)=××+××=，
P(ξ=2)=P(A)+×=+=，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
则ξ的数学期望为
E(ξ)=0×+1×+2×=.
12.(15分)如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，△ABD为底面圆O的内接正三角形，且边长为2，点E在母线PC上，且AE=2，CE=2.
(1)求证：PO∥平面BDE；(5分)
(2)若点M为线段PO上的动点，当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求平面MBD与平面ABD的夹角的大小.(10分)
(1)证明　如图，设AC交BD于点F，连接EF，由圆锥的性质可知PO⊥底面ABD，
因为AC 平面ABD，
所以PO⊥AC，
又因为△ABD是底面圆的内接正三角形，由AD=2，AC为直径，
则AF⊥BD，可得AF=3，
而=AC，解得AC=4，
又AE=2，CE=2，
所以AC2=AE2+CE2，即∠AEC=90°，AE⊥PC，又因为==，
所以△AEC∽△AFE，
所以∠AFE=∠AEC=90°，即EF⊥AC，
所以EF∥PO，
又PO 平面BDE，EF 平面BDE，
所以PO∥平面BDE.
(2)解　因为PO∥EF，PO⊥平面ABD，所以EF⊥平面ABD，又EF 平面BED，所以平面BED⊥平面ABD，
由于AF=3，则OF=FC=1，即F为OC的中点，
知PO=2EF=2，以点F为坐标原点，FA，FB，FE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(3，0，0)，B(0，，0)，
D(0，-，0)，E(0，0，)，P(1，0，2)，O(1，0，0)，
所以=(-3，，0)，=(-3，0，)，
=(1，，0)，=(0，0，2)，
设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)，
则
令x=1，则n=(1，，)，
设=λ(0≤λ≤1)，可得=+=(1，，2λ)，
设直线DM与平面ABE所成的角为θ，
则sin θ=|cos〈n，〉|===，
即sin2θ==，
令y=，x∈[0，1]，
则y==4
=4
=≤=4，
当且仅当x=时，等号成立，
所以当x=时，y=有最大值4，
即当λ=时，sin θ的最大值为1，
此时点M(1，0，)，所以MO=，
易知∠MFO即为平面MBD与平面ABD的夹角，
又FO=1，所以∠MFO=60°，
故当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，平面MBD与平面ABD的夹角为60°.综合练3
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.在复平面内，复数z1=-1+i与复数z2对应的点关于实轴对称，则|z2|等于(　　)
A.1 B. C. D.2
2.已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则a-b在b上的投影向量为(　　)
A.b B.-b C.b D.-b
3.已知球的半径为1，其内接圆锥的高为，则该圆锥的侧面积为(　　)
A. B. C. D.3π
4.已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A.a<0 B.-1≤a<0
C.-15.一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为x1，x2，事件A=“x1=3”，事件B=“x2=6”，事件C=“x1+x2=9”，则(　　)
A.AB=C B.A+B=C
C.A，B互斥 D.B，C相互独立
6.已知F为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一个焦点，l为C的一条渐近线，若点F关于l的对称点在C上，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期大于，若曲线y=f(x)关于点中心对称，则下列说法正确的是(　　)
A.f =-
B.y=f 是偶函数
C.x=是函数f(x)的一个极值点
D.f(x)在上单调递增
8.设x1，x2(x1A.x1x2B.x2ln x1>x1ln x2
C. a∈(0，1)，x2-x1>ea
D. a∈(0，1)，x1ln x1+x2>a
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.某人上楼梯，每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为，设该人从第1个台阶出发，到达第3个台阶的概率为　　　　.
10.在梯形ABCD中，AB∥CD，DA=DB=DC=1，则该梯形周长的最大值为　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)我国于2020年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用.以2020年为第1年，我国连续5年小麦产量如表：
年份 1 2 3 4 5
产量/千万吨 13.4 13.7 13.8 13.6 14.0
现规定xi表示第i年的年份，yi表示第i年的小麦产量，经计算得yi=68.5，xiyi=206.6，-5=0.2.
(1)求(xi，yi)(i=1，2，…，5)的样本相关系数(精确到0.01)；(6分)
(2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中共有X年的小麦产量不低于13.7千万吨，求X的分布列与期望.(7分)
附：样本相关系数
r=，≈1.414.
12.(15分)微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数f(x)=(x>0)，f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，从几何上看，定积分 dx便是由直线x=a，x=b，y=0和曲线y=所围成的区域(称为曲边梯形ABQP)的面积，根据微积分基本定理可得 dx=ln b-ln a，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即S曲边梯形ABQP.
(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：<；(4分)
(2)已知函数f(x)=ax2+bx+xln x，其中a，b∈R.
①证明：对任意两个不相等的正数x1，x2，曲线y=f(x)在点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))处的切线均不重合；(5分)
②当b=-1时，若不等式f(x)≥2sin(x-1)恒成立，求实数a的取值范围.(6分)
综合练3
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.在复平面内，复数z1=-1+i与复数z2对应的点关于实轴对称，则|z2|等于(　　)
A.1 B. C. D.2
答案　B
解析　z1=-1+i，其在复平面内对应的点为(-1，1).
因为复数z1与复数z2在复平面内对应的点关于实轴对称，
所以z2在复平面内对应的点为(-1，-1)，
即z2=-1-i，
故|z2|==.
2.已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则a-b在b上的投影向量为(　　)
A.b B.-b C.b D.-b
答案　B
解析　由|a+b|=|a-b|，得|a+b|2=|a-b|2，
即a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2，
整理可得a·b=0，
所以a-b在b上的投影向量为b=b=-b.
3.已知球的半径为1，其内接圆锥的高为，则该圆锥的侧面积为(　　)
A. B. C. D.3π
答案　C
解析　因为球的半径R=1，其内接圆锥的高h=，
所以圆锥的底面圆半径r==，母线长l==，
所以侧面积S=πrl=π××=.
4.已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A.a<0 B.-1≤a<0
C.-1答案　B
解析　因为函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1，2)上单调递减，
且y=ln x在定义域内为增函数，所以y=ax+2在(1，2)上单调递减，且恒大于0，
所以解得-1≤a<0.
5.一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为x1，x2，事件A=“x1=3”，事件B=“x2=6”，事件C=“x1+x2=9”，则(　　)
A.AB=C B.A+B=C
C.A，B互斥 D.B，C相互独立
答案　D
解析　对于A，事件C发生时，事件AB不一定发生，所以A错误；
对于B，当x1=1，x2=8时，事件C发生，但事件A+B不发生，所以B错误；
对于C，当x1=3，x2=6时，A，B同时发生，所以C错误；
对于D，P(B)=，P(C)=，P(BC)=，P(B)×P(C)=P(BC)，所以D正确.
6.已知F为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一个焦点，l为C的一条渐近线，若点F关于l的对称点在C上，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.2
答案　B
解析　由双曲线的对称性，不妨设F(c，0)，l：y=x，点F关于l的对称点为M(m，n)，
则有解得
则有-=1，
整理得b4-2a2b2-3a4-a2c2=0，
即(c2-a2)2-2a2(c2-a2)-3a4-a2c2=0，
化简得c4-5a2c2=c2(c2-5a2)=0，
故c2=5a2，则e==.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期大于，若曲线y=f(x)关于点中心对称，则下列说法正确的是(　　)
A.f =-
B.y=f 是偶函数
C.x=是函数f(x)的一个极值点
D.f(x)在上单调递增
答案　ABC
解析　因为f(x)=sin(ω>0)的最小正周期大于，所以>，即0<ω<4.
又y=f(x)关于点中心对称，
所以ω+=kπ(k∈Z)，
所以ω=-1+3k，因为0<ω<4，
所以当k=1时，ω=2，
所以f(x)=sin.
对于A，f =sin=-sin
=-，故A正确；
对于B，f =sin
=sin=cos 2x，
由cos(-2x)=cos 2x且x∈R，
所以y=f 是偶函数，故B正确；
对于C，f'(x)=2cos，令f'(x)=0得x=+，k∈Z，
当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
所以x=是函数f(x)的极大值点，故C正确；
对于D，由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
函数f(x)的单调递增区间为
，k∈Z，
当k=0时，x∈，
当k=1时，x∈，
显然函数f(x)在上不单调，故D不正确.
8.设x1，x2(x1A.x1x2B.x2ln x1>x1ln x2
C. a∈(0，1)，x2-x1>ea
D. a∈(0，1)，x1ln x1+x2>a
答案　ACD
解析　由函数f(x)=x(1-ln x)的定义域为(0，+∞)，可得f'(x)=-ln x，
令f'(x)=0，可得x=1，
当00，f(x)在(0，1)上单调递增；
当x>1时，f'(x)<0，f(x)在(1，+∞)上单调递减，
所以当x=1时，函数f(x)的极大值为f(1)=1.
当x→0时，f(x)→0；当x→+∞时，f(x)→-∞，
结合函数f(x)的单调性可得图象如图所示.
对于A，由图可知0所以x1x2对于B，构造函数g(x)=，x>0，
可得g'(x)=，
当00，g(x)在(0，e)上单调递增，
又0对于C，由图可知，当a>0且a→0时，x2→e，x1→0 x2-x1→e，
又因为当a→0时，ea→1，
所以 a∈(0，1)，x2-x1>ea，所以C正确；
对于D，因为x1(1-ln x1)=a，所以x1ln x1=x1-a，所以x1ln x1+x2>a等价于x1+x2>2a，
要证 a∈(0，1)，x1ln x1+x2>a成立，即证x1+x2>2a，因为2a<2，故只需证x1+x2>2，
因为02-x1且x2与2-x1均大于1.
又因为f(x)在(1，+∞)上单调递减，
只需证f(x2)令F(x)=f(x)-f(2-x)，x∈(0，1)，
可得F'(x)=f'(x)+f'(2-x)=-ln x-ln(2-x)=-ln [x(2-x)]>0，
所以F(x)在(0，1)上单调递增，
且F(x1)所以f(x1)三、填空题(每小题5分，共10分)
9.某人上楼梯，每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为，设该人从第1个台阶出发，到达第3个台阶的概率为　　　　.
答案　
解析　到达第3个台阶的方法有两种：
第一种，每步上一个台阶，上两步，则概率为×=；
第二种，只上一步且上两个台阶，则概率为，
所以到达第3个台阶的概率为+=.
10.在梯形ABCD中，AB∥CD，DA=DB=DC=1，则该梯形周长的最大值为　　　　.
答案　
解析　设∠BAD=α，α∈，
则∠BDC=α，∠ADB=π-2α.
在△ABD中，由余弦定理得AB2=DA2+DB2-2DA·DBcos∠ADB
=2-2cos(π-2α)=2+2cos 2α=4cos2α，
所以AB=2cos α.
在△BCD中，由余弦定理得BC2=DC2+DB2-2DC·DBcos∠BDC=2-2cos α=4sin2，
所以BC=2sin .
则AB+BC=2cos α+2sin =-4sin2+2sin +2=-4+，
因为α∈，所以∈，sin ∈，
则当sin =时，AB+BC取得最大值，
所以梯形ABCD周长的最大值为+2=.
四、解答题(共28分)
11.(13分)我国于2020年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用.以2020年为第1年，我国连续5年小麦产量如表：
年份 1 2 3 4 5
产量/千万吨 13.4 13.7 13.8 13.6 14.0
现规定xi表示第i年的年份，yi表示第i年的小麦产量，经计算得yi=68.5，xiyi=206.6，-5=0.2.
(1)求(xi，yi)(i=1，2，…，5)的样本相关系数(精确到0.01)；(6分)
(2)现从这5年中随机抽取2年，记这2年中共有X年的小麦产量不低于13.7千万吨，求X的分布列与期望.(7分)
附：样本相关系数
r=，≈1.414.
解　(1)=xi=3，
=1+4+9+16+25=55，
故样本相关系数r==
==≈≈0.78.
(2)由题意，这5年中小麦产量不低于13.7千万吨的有3年，故X的可能取值为0，1，2，
则P(X=0)==，
P(X=1)==，
P(X=2)==，
于是X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)=0×+1×+2×=.
12.(15分)微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数f(x)=(x>0)，f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，从几何上看，定积分 dx便是由直线x=a，x=b，y=0和曲线y=所围成的区域(称为曲边梯形ABQP)的面积，根据微积分基本定理可得 dx=ln b-ln a，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即S曲边梯形ABQP.
(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：<；(4分)
(2)已知函数f(x)=ax2+bx+xln x，其中a，b∈R.
①证明：对任意两个不相等的正数x1，x2，曲线y=f(x)在点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))处的切线均不重合；(5分)
②当b=-1时，若不等式f(x)≥2sin(x-1)恒成立，求实数a的取值范围.(6分)
(1)证明　在曲线y=上取一点M.
过点M作f(x)的切线分别交AP，BQ于M1，M2，图略.
因为S曲边梯形ABQP>，
可得ln b-ln a>·(|AM1|+|BM2|)·|AB|=·2··(b-a)，即<.
(2)①证明　由函数f(x)=ax2+bx+xln x，可得f'(x)=2ax+ln x+b+1，
不妨设0l1：y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)，
即y=f'(x1)x+f(x1)-x1f'(x1)，
同理曲线y=f(x)在点(x2，f(x2))处的切线方程为l2：y=f'(x2)x+f(x2)-x2f'(x2).
假设l1与l2重合，
则
代入化简可得
两式消去a，可得ln x2-ln x1-2=0，
整理得=，
由(1)的结论知<，与上式矛盾，
即对任意两个不相等的正数x1，x2，曲线y=f(x)在点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))处的切线均不重合.
②解　当b=-1时，不等式f(x)≥2sin(x-1)恒成立，
所以h(x)=ax2-x+xln x-2sin(x-1)≥0在(0，+∞)上恒成立，
所以h(1)≥0 a≥1.
下证：当a≥1时，h(x)≥0在(0，+∞)上恒成立.
因为a≥1，
所以h(x)≥x2-x+xln x-2sin(x-1)，
设H(x)=x2-x+xln x-2sin(x-1)，H'(x)=2x+ln x-2cos(x-1)，
(ⅰ)当x∈[1，+∞)时，由2x≥2，ln x≥0，
-2cos(x-1)≥-2知H'(x)≥0恒成立，
即H(x)在[1，+∞)上单调递增，
所以H(x)≥H(1)=0；
(ⅱ)当x∈(0，1)时，设G(x)=2x+ln x-2cos(x-1)，可得G'(x)=2++2sin(x-1)，
由2sin(x-1)>-2，>0知G'(x)>0恒成立，
即G(x)=H'(x)在(0，1)上单调递增，
所以H'(x)所以H(x)>H(1)=0成立，
综上所述，h(x)≥0恒成立，所以实数a的取值范围是[1，+∞).综合练4
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知集合A={-3，-2，-1，0，1，2，3}，B={x|x=3n，n∈Z}，则A∩B的子集个数是(　　)
A.3 B.4 C.8 D.16
2.如图，半径为1的圆M与x轴相切于原点O，切点处有一个标志，该圆沿x轴向右滚动，当圆M滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N)，标志位于点A处，圆N与x轴相切于点B，则阴影部分的面积是(　　)
A.2 B.1 C. D.
3.某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成.已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1∶2，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为(　　)
A. B. C. D.
4.过圆x2+y2=4上一点P作圆O：x2+y2=m2(m>0)的两条切线，切点分别为A，B，若∠APB=，则实数m等于(　　)
A. B. C.1 D.2
5.牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图，方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点r，取初始值x0，f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线与x轴的交点的横坐标为x1，f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线与x轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r.设函数f(x)=x2+bx，x0=2，用牛顿迭代法得到x1=，则实数b等于(　　)
A.1 B. C. D.
6.已知定义在R上的函数f(x)，满足f(x+1)为偶函数，若对于任意不相等的实数x1，x2∈(1，+∞)，不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立，则不等式f(2x)>f(x-1)的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列说法正确的有(　　)
A.若X~B，则P(X≤2)=
B.若X~N(μ，σ2)，且P(X≤-3)+P(X≤5)=1，则μ=2
C.已知事件A，B互斥，P(A)=，P(B)=，则P(A∪B)=
D.已知事件A，B相互独立，P(A)=，P(B)=，则P( )=
8.在棱长为2的正四面体ABCD中，过点C且与BD平行的平面α分别与棱AB，AD交于点E，F，点Q为线段CD上的动点，则下列结论正确的是(　　)
A.AC⊥EF
B.当E，Q分别为线段AB，CD中点时，CF与EQ所成角的余弦值为
C.线段EQ的最小值为
D.空间四边形BCFE的周长的最小值为4+
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知向量a=(2，1)，b=(2，0)，c=a+λb，若a⊥c，则c在b上的投影向量为　　　　.
10.已知a，b，c均为正实数，函数f(x)=x2+(a+2b)x+ln x.
(1)若f(x)的图象过点(1，2)，则+的最小值为　　　　；
(2)若f(x)的图象过点(c，ab+ln c)，且(3a+b)t≥c恒成立，则实数t的最小值为　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，E为直线l：y=-1上一点，动点F满足FE⊥l，⊥.
(1)求动点F的轨迹C的方程；(4分)
(2)若过点T作直线与C交于不同的两点M，N，点P(1，1)，过点M作y轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B.证明：A为线段BM的中点.(9分)
12. (15分)在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面ABCD为平行四边形，AB=4，BC=3，AC=5，CC1=4，E在棱AB上，AE=2，F在棱AD上，DF=2，P在棱CD上，CP=1，M为棱A1B1上的动点，α，β分别是二面角M-BC1-A和二面角M-AD1-B的平面角.
(1)当M为棱A1B1的中点时，
①证明：PF⊥平面MDE；(4分)
②N为底面ABCD (包括边界)内的一个动点，且点N到平面ADD1A1 的距离等于点N到直线 BB1 的距离，MN最大时，确定N的位置；(5分)
(2)当α+β最小时，求tan(α+β).(6分)
综合练4
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知集合A={-3，-2，-1，0，1，2，3}，B={x|x=3n，n∈Z}，则A∩B的子集个数是(　　)
A.3 B.4 C.8 D.16
答案　C
解析　由题意得，A∩B={-3，0，3}，则A∩B的子集有23=8(个).
2.如图，半径为1的圆M与x轴相切于原点O，切点处有一个标志，该圆沿x轴向右滚动，当圆M滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N)，标志位于点A处，圆N与x轴相切于点B，则阴影部分的面积是(　　)
A.2 B.1 C. D.
答案　B
解析　由圆M与圆N外切，得MN=2，
又圆M、圆N与x轴分别相切于原点O和点B，则OB=MN=2，
所以劣弧AB的长等于OB=2，
所以劣弧AB对应的扇形面积为×2×1=1.
3.某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成.已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1∶2，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设上、下两圆锥的底面半径为r，高分别为h1，h2，体积分别为V1，V2，
因为上圆锥的高与底面半径相等，所以h1=r，则====，得h2=2r，
上圆锥的母线长为==r，下圆锥的母线长为==r，
所以上、下两圆锥的母线长之比为=.
4.过圆x2+y2=4上一点P作圆O：x2+y2=m2(m>0)的两条切线，切点分别为A，B，若∠APB=，则实数m等于(　　)
A. B. C.1 D.2
答案　C
解析　取圆x2+y2=4上任意一点P，
过P作圆O：x2+y2=m2(m>0)的两条切线PA，PB，
当∠APB=时，∠APO=且OA⊥AP，|OP|=2；
则|OA|=|OP|=1，所以实数m=|OA|=1.
5.牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图，方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点r，取初始值x0，f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线与x轴的交点的横坐标为x1，f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线与x轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r.设函数f(x)=x2+bx，x0=2，用牛顿迭代法得到x1=，则实数b等于(　　)
A.1 B. C. D.
答案　D
解析　由题意得f'(x)=2x+b，
则f'(2)=4+b，f(2)=4+2b，
则f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y-(4+2b)=(4+b)(x-2)，
因为切线过点，
代入得-(4+2b)=(4+b)，解得b=.
6.已知定义在R上的函数f(x)，满足f(x+1)为偶函数，若对于任意不相等的实数x1，x2∈(1，+∞)，不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立，则不等式f(2x)>f(x-1)的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　因为函数f(x+1)是定义在R上的偶函数，所以f(x+1)关于y轴对称，
由y=f(x)向左平移1个单位长度得到f(x+1)，所以y=f(x)关于直线x=1对称，
对于任意不相等的实数x1，x2∈(1，+∞)，不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0恒成立，
所以f(x)在(1，+∞)上单调递减，
由f(2x)>f(x-1)，则|2x-1|<|(x-1)-1|，即|2x-1|<|x-2|，
化简得x2<1，解得-1所以不等式f(2x)>f(x-1)的解集为{x|-1二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列说法正确的有(　　)
A.若X~B，则P(X≤2)=
B.若X~N(μ，σ2)，且P(X≤-3)+P(X≤5)=1，则μ=2
C.已知事件A，B互斥，P(A)=，P(B)=，则P(A∪B)=
D.已知事件A，B相互独立，P(A)=，P(B)=，则P( )=
答案　AC
解析　若X~B，
则P(X≤2)=++==，故A正确；
若X~N(μ，σ2)，且P(X≤-3)+P(X≤5)=1，则P(X≤-3)=1-P(X≤5)=P(X>5)，
这表明μ==1，故B错误；
已知事件A，B互斥，P(A)=，P(B)=，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=，故C正确；
已知事件A，B相互独立，则，也相互独立，又P(A)=，P(B)=，
则P( )=P()P()=×=，故D错误.
8.在棱长为2的正四面体ABCD中，过点C且与BD平行的平面α分别与棱AB，AD交于点E，F，点Q为线段CD上的动点，则下列结论正确的是(　　)
A.AC⊥EF
B.当E，Q分别为线段AB，CD中点时，CF与EQ所成角的余弦值为
C.线段EQ的最小值为
D.空间四边形BCFE的周长的最小值为4+
答案　ABD
解析　由题知，BD∥平面CEF，而平面CEF∩平面ABD=EF，BD 平面ABD，根据线面平行的性质定理可知，
BD∥EF，
又·=(+)·=·+·=2×2×cos +2×2×cos =0，
即AC⊥BD，故AC⊥EF，A正确；
连接AQ，BQ，易得AQ=BQ==CF，又AE=EB=1，于是EQ⊥AB(三线合一)，故EQ==，
取FD的中点P，连接PQ，PE，
由中位线可知PQ=，
在△AEP中由余弦定理，得EP2=AE2+AP2-2AE·APcos =，即EP=，
由CF∥PQ，CF与EQ所成角即为∠EQP(或其补角)，在△EQP中根据余弦定理，得cos∠EQP==，B正确；
根据B选项分析，当E，Q分别为线段AB，CD的中点时，EQ=<，C错误；
由BD∥EF，△ABD为正三角形，则△AEF也是正三角形，
故EF=AE，故四边形BCFE的周长为BC+BE+EF+CF=2+(BE+AE)+CF=4+CF，
当F为AD的中点，即CF⊥AD时，CF有最小值.即空间四边形BCFE的周长的最小值为4+，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知向量a=(2，1)，b=(2，0)，c=a+λb，若a⊥c，则c在b上的投影向量为　　　　.
答案　
解析　因为a=(2，1)，b=(2，0)，
所以c=a+λb=(2+2λ，1)，
又a⊥c，所以2(2+2λ)+1=0，
解得λ=-，c=，
因为=-，所以c在b上的投影向量为-b=.
10.已知a，b，c均为正实数，函数f(x)=x2+(a+2b)x+ln x.
(1)若f(x)的图象过点(1，2)，则+的最小值为　　　　；
(2)若f(x)的图象过点(c，ab+ln c)，且(3a+b)t≥c恒成立，则实数t的最小值为　　　　.
答案　(1)9　(2)
解析　(1)由f(x)的图象过点(1，2)得，f(1)=1+a+2b=2，即a+2b=1，
所以+=(a+2b)=5++≥5+2=9，
当且仅当=且a+2b=1，即a=b=时，等号成立.
故+的最小值为9.
(2)由(3a+b)t≥c恒成立得，t≥，
因为f(x)的图象过点(c，ab+ln c)，则f(c)=c2+(a+2b)c+ln c=ab+ln c，
即c2+ac=b(a-2c)，
当a=2c时，c=0，不符合题意，舍去，
所以a≠2c，即≠2，则b=，
则由b>0得a>2c，
所以===，设-2=m>0，
所以===≤
=，
当且仅当3m=，即m=1，则a=3c，b=4c时，等号成立，所以t≥.
故实数t的最小值为.
四、解答题(共28分)
11.(13分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，E为直线l：y=-1上一点，动点F满足FE⊥l，⊥.
(1)求动点F的轨迹C的方程；(4分)
(2)若过点T作直线与C交于不同的两点M，N，点P(1，1)，过点M作y轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B.证明：A为线段BM的中点.(9分)
(1)解　设点F(x，y)，则E(x，-1)，
因为⊥，所以·=0，
所以x2-y=0，即x2=y，
所以动点F的轨迹C的方程为y=x2.
(2)证明　因为BM⊥y轴，
所以设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(xA，y1)，B(xB，y1)，
若要证A为线段BM的中点，只需证2xA=xB+x1即可.
当直线MN斜率不存在或斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不满足题意，
所以直线MN斜率存在且不为0，x1x2y1y2≠0，
设直线MN：x=my+，m≠0，
由得2mx2-2x+1=0，
Δ=4-4×2m×1=4-8m，
由题意可知，直线MN与抛物线C有两个交点，
所以Δ>0，即4-8m>0，所以m<，
由根与系数的关系得，x1+x2=，x1x2=，
由题意得，直线OP的方程为y=x，
所以A(y1，y1)，
直线ON的方程为y=x，所以B，
所以xB+x1-2xA=+x1-2y1
=+x1-2=x1
=x1·=(x1+x2-2x1x2)
==0，即2xA=xB+x1，
所以A为线段BM的中点.
12. (15分)在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面ABCD为平行四边形，AB=4，BC=3，AC=5，CC1=4，E在棱AB上，AE=2，F在棱AD上，DF=2，P在棱CD上，CP=1，M为棱A1B1上的动点，α，β分别是二面角M-BC1-A和二面角M-AD1-B的平面角.
(1)当M为棱A1B1的中点时，
①证明：PF⊥平面MDE；(4分)
②N为底面ABCD (包括边界)内的一个动点，且点N到平面ADD1A1 的距离等于点N到直线 BB1 的距离，MN最大时，确定N的位置；(5分)
(2)当α+β最小时，求tan(α+β).(6分)
(1)①证明　因为AC=5，AB=4，BC=3，所以AC2=AB2+BC2，
所以AB⊥BC，又底面ABCD为平行四边形，所以底面ABCD为矩形，
因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，所以DA，DC，DD1两两垂直，
以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则D(0，0，0)，F(2，0，0)，P(0，3，0)，E(3，2，0)，M(3，2，4)，
所以=(2，-3，0)，=(3，2，0)，=(0，0，4)，则·=0，·=0，
所以PF⊥DE，PF⊥EM，又DE∩EM=E，DE，EM 平面MDE，
所以PF⊥平面MDE.
②解　由题意知，平面ABCD⊥平面ADD1A1，过点N在底面ABCD内作NH⊥AD，垂足为H，
因为平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，NH 平面ABCD，
所以NH⊥平面ADD1A1，即点N到平面ADD1A1的距离为NH，易知点N到直线BB1的距离为NB，由题可知NB=NH，
由抛物线定义知点N的轨迹是以B为焦点，以AD为准线的抛物线在四边形ABCD内部的部分(包括边界)，
以AB的中点E为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，易得抛物线方程为y2=8x，
设N(x0，y0)，又|MN|==，则当|EN|最大时，|MN|最大，
|EN|==，
当x0=2时，y0=4，
当y0=3时，x0=，
所以0≤x0≤，所以当x0=时，|EN|最大，即|MN|最大，
此时点N在棱CD上，且|CN|=2-=.
(2)解　作B1S⊥BC1，A1T⊥AD1，垂足分别为S，T，连接MS，MT，ST，
易知A1B1⊥BC1，又B1S⊥BC1，且A1B1，B1S为平面MB1S内的两条相交直线，所以BC1⊥平面MB1S，又MS在平面MB1S内，
所以BC1⊥MS，由直角三角形面积易得B1S=A1T=，
因为B1S⊥BC1，B1S⊥AB，BC1，AB为平面ABC1D1内的两条相交直线，
所以B1S⊥平面ABC1D1，同理A1T⊥平面ABC1D1，所以B1S∥A1T，所以四边形B1STA1是矩形，所以ST∥A1B1∥AB，
因为AB⊥BC1，所以ST⊥BC1，
所以二面角M-BC1-A的平面角即为∠MST=α，
同理二面角M-AD1-B的平面角即为∠MTS=β.
当M与B1(或A1)重合时，α+β=π-∠TB1S，
则tan(α+β)=-tan∠TB1S=-=-，
当M不与B1(或A1)重合时，设|MB1|=x，则|MA1|=4-x，0tan α=，tan β=，
所以tan(α+β)==，
因为x(4-x)-≤4-=-<0，当且仅当x=2时取等号，
所以α+β>，则当α+β最小时，tan(α+β)最小，
此时tan(α+β)=-<-，
综上，当α+β最小时，tan(α+β)=-.综合练5
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知集合A={x|log2x>1}，B={x|0A.{x|2C.{x|02.在2025年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考A，B，C三所高校，则恰有两人报考同一所高校的方法共有(　　)
A.9种 B.36种 C.38种 D.45种
3.已知向量a，b满足a⊥(a-2b)，(a+b)·(a-b)=0，则向量a，b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
4.一圆台的上、下底面半径分别为2，4，体积为，则该圆台的侧面积为(　　)
A.12π B.18π C.24π D.36π
5.已知{an}是等差数列，a1=3，a4=12，在数列{bn}中，b1=4，b4=20，若{bn-an}是等比数列，则b2 026的值为(　　)
A.6 078 B.22 025
C.22 025+6 078 D.22 025-6 078
6.已知e1，e2分别为椭圆+=1和双曲线-=1的离心率，其中a>b>0，双曲线的渐近线的斜率不超过，则的最大值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知方程xn=1在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面内对应的点n等分单位圆.下列复数是方程x9=1的根的是(　　)
A.1 B.i
C.--i D.cos 40°+isin 40°
8.对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x)，若存在函数h(x)=kx+b(k，b为常数)，对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x>x0时，总有则称直线l：y=kx+b为曲线y=f(x)与y=g(x)的“分渐近线”.给出定义域均为D={x|x>1}的四组函数，其中曲线y=f(x)与y=g(x)存在“分渐近线”的是(　　)
A.f(x)=x2，g(x)=
B.f(x)=10-x+2，g(x)=
C.f(x)=，g(x)=
D.f(x)=，g(x)=2(x-1-e-x)
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知(1-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a1+a3+a5=　　　　.
10.圆心在x轴的正半轴上，半径为8，且与直线4x-3y=0相切的圆的方程为　　　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知函数f(x)=2ln x-mx+2.
(1)若m=1，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(5分)
(2)若 x∈(0，+∞)，f(x)≤1，求实数m的取值范围.(8分)
12.(15分)甲、乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲、乙两人各积1分的概率为.记甲、乙两人的答题总次数为n(n≥2).
(1)求p；(4分)
(2)当n=2时，求甲得分X的分布列及数学期望；(5分)
(3)当答题的总次数为n时，甲晋级的概率为Pn(A)，证明：≤P2(A)+P3(A)+…+Pn(A)<.(6分)
综合练5
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知集合A={x|log2x>1}，B={x|0A.{x|2C.{x|0答案　C
解析　因为A={x|log2x>1}={x|x>2}，
所以 RA={x|x≤2}，
因为B={x|0所以( RA)∩B={x|02.在2025年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考A，B，C三所高校，则恰有两人报考同一所高校的方法共有(　　)
A.9种 B.36种 C.38种 D.45种
答案　B
解析　由题意，恰有两人报考同一所高校的方法共有=36(种).
3.已知向量a，b满足a⊥(a-2b)，(a+b)·(a-b)=0，则向量a，b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由(a+b)·(a-b)=0，得a2-b2=0，
则|a|=|b|，
由a⊥(a-2b)，得a·(a-2b)=0，
即a2-2a·b=0，整理得a·b=a2，
因此cos〈a，b〉===，
而0≤〈a，b〉≤π，
解得〈a，b〉=，
所以向量a，b的夹角为.
4.一圆台的上、下底面半径分别为2，4，体积为，则该圆台的侧面积为(　　)
A.12π B.18π C.24π D.36π
答案　C
解析　根据题意可知，圆台上底面面积为S1=4π，下底面面积为S2=16π.
设圆台的高为h，则
h(S1+S2+)=h(4π+16π+)=，
解得h=2，所以圆台的母线长为l==4，
故圆台侧面积为π×(2+4)×4=24π.
5.已知{an}是等差数列，a1=3，a4=12，在数列{bn}中，b1=4，b4=20，若{bn-an}是等比数列，则b2 026的值为(　　)
A.6 078 B.22 025
C.22 025+6 078 D.22 025-6 078
答案　C
解析　设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn-an}的公比为q，
则由题意可得，a4=a1+3d，即12=3+3d，解得d=3，
所以an=3+(n-1)×3=3n.
根据已知有b1-a1=1，b4-a4=8，
则8=1·q3，得q=2，
所以bn-an=2n-1，故bn=2n-1+3n，
故b2 026=22 025+6 078.
6.已知e1，e2分别为椭圆+=1和双曲线-=1的离心率，其中a>b>0，双曲线的渐近线的斜率不超过，则的最大值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　B
解析　由椭圆+=1(a>b>0)的离心率e1==，
双曲线-=1的离心率e2==，可得==，
令k=，因为双曲线的渐近线的斜率不超过，即≤，
则0则的最大值是3.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知方程xn=1在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面内对应的点n等分单位圆.下列复数是方程x9=1的根的是(　　)
A.1 B.i
C.--i D.cos 40°+isin 40°
答案　ACD
解析　对于A选项，19=1显然成立，故A正确；
对于B选项，i9=i≠1，故B错误；
由x9-1=0，得(x3-1)(x6+x3+1)=0，
令t=x3，则(t-1)(t2+t+1)=0，
解得t=1或t=，
即x3=1或x3=，
对于C选项，=-
=-
=-=1，故C正确；
对于D选项，(cos 40°+isin 40°)3
=(cos 40°+isin 40°)2(cos 40°+isin 40°)
=(cos240°-sin240°+2isin 40°cos 40°)(cos 40°+isin 40°)
=(cos 80°+isin 80°)(cos 40°+isin 40°)
=cos 80°cos 40°+icos 80°sin 40°+isin 80°cos 40°-sin 80°sin 40°
=cos(80°+40°)+i(cos 80°sin 40°+sin 80°cos 40°)
=cos 120°+isin 120°=-+i，故D正确.
8.对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x)，若存在函数h(x)=kx+b(k，b为常数)，对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x>x0时，总有则称直线l：y=kx+b为曲线y=f(x)与y=g(x)的“分渐近线”.给出定义域均为D={x|x>1}的四组函数，其中曲线y=f(x)与y=g(x)存在“分渐近线”的是(　　)
A.f(x)=x2，g(x)=
B.f(x)=10-x+2，g(x)=
C.f(x)=，g(x)=
D.f(x)=，g(x)=2(x-1-e-x)
答案　BD
解析　f(x)和g(x)存在“分渐近线”的充要条件是当x→+∞时，f(x)-g(x)→0，f(x)>g(x).
对于A，f(x)=x2，g(x)=，
当x>1时，令F(x)=f(x)-g(x)=x2-，
由于F'(x)=2x->0，所以F(x)为增函数，
不符合x→+∞时，f(x)-g(x)→0，所以不存在“分渐近线”；
对于B，当x>1时，f(x)=10-x+2>2，g(x)==2-<2，
所以f(x)>g(x)，
f(x)-g(x)=10-x+2-=+，
因为当x>1且x→+∞时，f(x)-g(x)→0，所以存在“分渐近线”；
对于C，f(x)=，
g(x)=，
f(x)-g(x)=-
=x+-x-=-，
当x>1且x→+∞时，y=与y=均单调递减，但y=的递减速度比y=快，
所以当x>1时，f(x)所以不存在“分渐近线”；
对于D，f(x)=，g(x)=2(x-1-e-x)，
当x→+∞时，f(x)-g(x)=-2x+2+2e-x=+→0，且f(x)-g(x)>0，
因此存在“分渐近线”.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知(1-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a1+a3+a5=　　　　.
答案　-32
解析　令x=1，则(1-1)6=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0，
令x=-1，则(1+1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=26=64，
两式相减可得2(a1+a3+a5)=-64，
则a1+a3+a5=-32.
10.圆心在x轴的正半轴上，半径为8，且与直线4x-3y=0相切的圆的方程为　　　　　　.
答案　(x-10)2+y2=64
解析　根据题意，设圆心坐标为，
因为圆的半径为8，且与直线4x-3y=0相切，
则圆心到直线4x-3y=0的距离为=8 =40，
解得a=10或a=-10(舍去)，则圆心的坐标为，
所求圆的方程为+y2=64.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知函数f(x)=2ln x-mx+2.
(1)若m=1，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(5分)
(2)若 x∈(0，+∞)，f(x)≤1，求实数m的取值范围.(8分)
解　(1)当m=1时，f(x)=2ln x-x+2(x>0)，
f'(x)=-1，
则f(1)=1，f'(1)=1，
所以所求切线方程为y-1=x-1，即y=x.
(2) x∈(0，+∞)，f(x)≤1，
即2ln x-mx+2≤1，
即mx≥2ln x+1，即m≥对 x∈(0，+∞)恒成立，
令g(x)=(x>0)，
则g'(x)==，
当00，
当x>时，g'(x)<0，
所以函数g(x)在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减，
所以g(x)max=g()=，
所以m≥，
故实数m的取值范围为.
12.(15分)甲、乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲、乙两人各积1分的概率为.记甲、乙两人的答题总次数为n(n≥2).
(1)求p；(4分)
(2)当n=2时，求甲得分X的分布列及数学期望；(5分)
(3)当答题的总次数为n时，甲晋级的概率为Pn(A)，证明：≤P2(A)+P3(A)+…+Pn(A)<.(6分)
(1)解　记Ai=“第i次是甲答题”，
B=“甲积1分”，
则P(A1)=，P(B|Ai)=，P(|Ai)=1-=，P(B|)=1-p，P(|)=p，
则=+
，
则=，解得p=.
(2)解　由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由(1)可知
P(X=1)=，
P(X=0)=×=，
P(X=2)=×=，
X的分布列为
X 0 1 2
P
X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=.
(3)证明　由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为x甲，乙的积分为x乙，
则x甲-x乙=2，且x甲+x乙=n，所以甲晋级时n必为偶数，令n=2m，m∈N*，
当n为奇数时，Pn(A)=0，
则P2(A)+P3(A)+…+Pn(A)=P2(A)+P4(A)+…+Pn(A)
=×+×+×+…+×
=
==，
所以当m≥1时，P2(A)+P3(A)+…+Pn(A)随着m的增大而增大，
所以≤P2(A)+P3(A)+…+Pn(A)<.综合练6
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知向量a=(1，2)，b=(-1，1)，c=(-5，-4).若向量(a+kb)与c共线，则k等于(　　)
A.- B.- C.- D.-
2.6人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法有(　　)
A.240种 B.192种 C.144种 D.96种
3.记等比数列{an}的前n项之积为Tn，则“a6a7>1”是“T12>1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知x>0，y>0，且2x+y=1，则的最小值为(　　)
A.4 B.4 C.6 D.2+3
5.已知α+β∈(0，π)，且tan α=2，cos(α+β)=-，则tan(α-β)等于(　　)
A.- B. C.- D.
6.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线y=kx(k≠0)与C的左、右两支分别交于点A，B，若·=0，|FA|=，则C的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.函数f(x)=4sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A.φ=-
B.f(x)的图象关于直线x=π对称
C.f(x)=4cos
D.若方程f(x)=2在(0，m)上有且只有5个根，则m的取值范围为
8.将正数x用科学记数法表示为x=a×10n，a∈[1，10)，n∈Z，则把n，lg a分别叫做lg x的首数和尾数，分别记为S(lg x)，W(lg x)，下列说法正确的是(　　)
A.若M=2×10m，N=3×10n，m，n∈Z，则S(lg(MN))=S(lg M)+S(lg N)
B.若M=2×10m，N=8×10n，m，n∈Z，则W(lg(MN))=W(lg M)+W(lg N)
C.若M=2×10m，N=4×10n，m，n∈Z，则S=S(lg M)-S(lg N)
D.若M=8×10m，N=2×10n，m，n∈Z，则W=W(lg M)-W(lg N)
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知b>0，函数f(x)=是奇函数，则a+b=　　　　　　.
10.记={1，2，3，…，m}(m∈N*)，Ak表示k个元素的有限集，S(E)表示非空数集E中所有元素的和，若集合Mm,k=，则M4,3=　　　　　　　，若S(Mm,2)≥817，则m的最小值为　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为优秀品.
(1)求这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3分)
(2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示抽得的产品为优秀品的个数，求X的分布列及数学期望；(5分)
(3)现在市场上这种塑胶配件由甲、乙、丙三家汽车配件厂供应，由长期的经验知，乙、丙两家的优秀品率分别为0.60，0.30，三家产品数在市场中所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起，从中抽取一件，在已知取到的产品为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率是多少？(5分)
12.(15分)如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，动点E，F分别在边AD，AB上(不含端点)，且存在实数λ，使=λ，沿EF将△AEF向上折起得到△PEF，使得平面PEF⊥平面BCDEF，如图2所示.
(1)若DE⊥PB，求λ的值；(7分)
(2)当点E的位置变化时，平面PEF与平面BPF夹角的余弦值是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.(8分)
综合练6
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知向量a=(1，2)，b=(-1，1)，c=(-5，-4).若向量(a+kb)与c共线，则k等于(　　)
A.- B.- C.- D.-
答案　A
解析　因为a=，b=，
所以a+kb=，
又∥c，所以-5=-4，
解得k=-.
2.6人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法有(　　)
A.240种 B.192种 C.144种 D.96种
答案　B
解析　先对甲、乙两人进行排列，有种站法；然后从剩下的4人中选1人站在甲、乙两人中间，有种站法；
最后将甲、乙和中间的那个人看成1个元素，与其他3个元素进行全排列，有种站法，
所以不同的站法有=192(种).
3.记等比数列{an}的前n项之积为Tn，则“a6a7>1”是“T12>1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若a6a7>1，则有T12=a1a2…a12=(a6a7)6>1，故充分性成立；
若T12>1，即a1a2…a12>1，即(a6a7)6>1，
则a6a7>1或a6a7<-1，故必要性不成立，
所以“a6a7>1”是“T12>1”的充分不必要条件.
4.已知x>0，y>0，且2x+y=1，则的最小值为(　　)
A.4 B.4 C.6 D.2+3
答案　D
解析　因为x>0，y>0，且2x+y=1，
所以=+=(2x+y)
=++3≥2+3=2+3，
当且仅当=，即x=，y=-1时取等号.
5.已知α+β∈(0，π)，且tan α=2，cos(α+β)=-，则tan(α-β)等于(　　)
A.- B. C.- D.
答案　A
解析　因为α+β∈(0，π)，
由cos(α+β)=-，
可得sin(α+β)==，
则tan(α+β)=-.
又tan 2α==-，
故tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]
===-.
6.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线y=kx(k≠0)与C的左、右两支分别交于点A，B，若·=0，|FA|=，则C的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
答案　A
解析　设C的右焦点为F'，由题意知四边形FAF'B为平行四边形.
因为·=0，所以FA⊥FB，故四边形FAF'B为矩形，
由双曲线定义得，在Rt△AFF'中，|AF'|=|AF|+2a=，
由|AF'|2+|AF|2=|FF'|2，
得+=(2c)2，解得=，
所以====，所以C的渐近线方程为y=±x.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.函数f(x)=4sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A.φ=-
B.f(x)的图象关于直线x=π对称
C.f(x)=4cos
D.若方程f(x)=2在(0，m)上有且只有5个根，则m的取值范围为
答案　ACD
解析　对于A，由f(0)=-2，得4sin φ=-2，
即sin φ=-，
又-<φ<，所以φ=-，故A正确；
对于C，又f(x)的图象过点，
则f =0，即sin=0，
所以-=kπ，k∈Z，
得ω=3k+，k∈Z，
又0<ω≤2，所以ω=，
所以f(x)=4sin
=4sin=4cos，故C正确；
对于B，因为f(x)=4sin，
而f(π)=4sin=4sin =2，
故直线x=π不是函数f(x)的图象的对称轴，故B错误；
对于D，由f(x)=2，得cos=，
解得x=2π+4kπ，k∈Z或x=+4kπ，k∈Z，
方程f(x)=2在(0，m)上有5个根，从小到大依次为，2π，，6π，，而第6个根为10π，所以8.将正数x用科学记数法表示为x=a×10n，a∈[1，10)，n∈Z，则把n，lg a分别叫做lg x的首数和尾数，分别记为S(lg x)，W(lg x)，下列说法正确的是(　　)
A.若M=2×10m，N=3×10n，m，n∈Z，则S(lg(MN))=S(lg M)+S(lg N)
B.若M=2×10m，N=8×10n，m，n∈Z，则W(lg(MN))=W(lg M)+W(lg N)
C.若M=2×10m，N=4×10n，m，n∈Z，则S=S(lg M)-S(lg N)
D.若M=8×10m，N=2×10n，m，n∈Z，则W=W(lg M)-W(lg N)
答案　AD
解析　对于A，若M=2×10m，N=3×10n，m，n∈Z，
则S(lg M)=m，S(lg N)=n，MN=6×10m+n，
S(lg(MN))=m+n，
所以S(lg(MN))=S(lg M)+S(lg N)，故A正确；
对于B，若M=2×10m，N=8×10n，m，n∈Z，
则W(lg M)=lg 2，W(lg N)=lg 8，MN=16×10m+n=1.6×10m+n+1，
W(lg(MN))=lg 1.6，
所以W(lg(MN))=W(lg M)+W(lg N)不成立，故B错误；
对于C，若M=2×10m，N=4×10n，m，n∈Z，
则S(lg M)=m，S(lg N)=n，=×10m-n=5×10m-n-1，S=m-n-1，
所以S=S(lg M)-S(lg N)不成立，故C错误；
对于D，若M=8×10m，N=2×10n，m，n∈Z，
则W(lg M)=lg 8，W(lg N)=lg 2，=4×10m-n，W=lg 4，
所以W=W(lg M)-W(lg N)，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知b>0，函数f(x)=是奇函数，则a+b=　　　　　　.
答案　0
解析　因为函数f(x)的定义域为R，且f(x)=是奇函数，所以f(0)=0，所以a=-1，
所以f(x)==2(2b-1)x-2-x，
由f(-1)=-f(1)知21-2b-2=-22b-1+，
即21-2b+22b-1=，
又因为b>0，所以1-2b≠1，则2b-1=1，b=1，
所以f(x)=2(2b-1)x-2-x=2x-2-x，满足题意，
所以a+b=0.
10.记={1，2，3，…，m}(m∈N*)，Ak表示k个元素的有限集，S(E)表示非空数集E中所有元素的和，若集合Mm,k=，则M4,3=　　　　　　　，若S(Mm,2)≥817，则m的最小值为　　　　.
答案　{6，7，8，9}　21
解析　当m=4，k=3时，={1，2，3，4}，A3表示3个元素的有限集，
由Ak 可知A3={1，2，3}或A3={1，2，4}或A3={1，3，4}或A3={2，3，4}，
故M4,3={6，7，8，9}；
由题意知Mm,2={3，4，5，…，2m-1}，
故由S(Mm,2)≥817可得
≥817，
即(2m-3)(m+1)≥817，
解得m≥=20.5或m≤=-20(舍去)，
结合m∈N*，故m的最小值为21.
四、解答题(共28分)
11.(13分)甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为优秀品.
(1)求这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3分)
(2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示抽得的产品为优秀品的个数，求X的分布列及数学期望；(5分)
(3)现在市场上这种塑胶配件由甲、乙、丙三家汽车配件厂供应，由长期的经验知，乙、丙两家的优秀品率分别为0.60，0.30，三家产品数在市场中所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起，从中抽取一件，在已知取到的产品为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率是多少？(5分)
解　(1)由题知，(0.010+0.015+0.035+m+0.010)×10=1，解得m=0.030.
设为样本数据的平均数，则=55×0.01×10+65×0.015×10+75×0.035×10+85×0.03×10+95×0.01×10=76.5，
故这组样本数据的平均数为76.5.
(2)设p表示在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，
由题知p=(0.03+0.01)×10=0.4，
故随机变量X~B(3，0.4)，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=·(1-0.4)3=0.216，
P(X=1)=·(1-0.4)2×0.4=0.432，
P(X=2)=·(1-0.4)×0.42=0.288，
P(X=3)=·0.43=0.064，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.216 0.432 0.288 0.064
随机变量X的数学期望E(X)=3×0.4=1.2.
(3)设事件A表示“取到的产品为优秀品”，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，
由已知P(B1)=0.2，P(B2)=0.3，P(B3)=0.5，
P(A|B1)=0.4，P(A|B2)=0.6，P(A|B3)=0.3.
由全概率公式得P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.4+0.3×0.6+0.5×0.3=0.41.
由贝叶斯公式得P(B1|A)===.
12.(15分)如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，动点E，F分别在边AD，AB上(不含端点)，且存在实数λ，使=λ，沿EF将△AEF向上折起得到△PEF，使得平面PEF⊥平面BCDEF，如图2所示.
(1)若DE⊥PB，求λ的值；(7分)
(2)当点E的位置变化时，平面PEF与平面BPF夹角的余弦值是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.(8分)
解　(1)在图2中，取EF的中点O，BD的中点M，连接OP，OM，
∵=λ，即EF∥BD，∴PE=PF，
∴PO⊥EF，又∵平面PEF⊥平面BCDEF，平面PEF∩平面BCDEF=EF，PO 平面PEF，
∴PO⊥平面BCDEF，由题意可知OM⊥EF，
以O为原点，OF，OM，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设OP=x(0∴B(2，2-x，0)，E，P(0，0，x)，D(-2，2-x，0)，
故=
，
=(2，2-x，-x)，
∵DE⊥PB，∴·=0，
∴x2-x+8=0，
解得x=2(舍去)或x=，
∴PO=2OM，∴AE=2ED，
∴点E在靠近点D的三等分点处，即λ=.
(2)设平面PEF与平面BPF的夹角为θ.
由(1)易知平面PEF的一个法向量为n=(0，1，0)，
又F，则=，
=，
设平面BPF的法向量为m=(a，b，c)，
则即
取a=1，得m=，
∴cos θ=|cos〈m，n〉|===，
∴无论点E的位置如何变化，平面PEF与平面BPF夹角的余弦值为定值.综合练7
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为，，则密码被成功破译的概率为(　　)
A. B. C. D.
2.已知e1，e2是单位向量，e1·e2=-，则e1+2e2与e2的夹角为(　　)
A. B. C. D.
3.已知(2x-1)6+a(x+1)3的展开式中x3的系数为0，则a的值为(　　)
A.-160 B.160
C.-960 D.960
4.在△ABC中，AB=2，E是BC边中点，线段AE长为，∠BAC=120°，D是BC边上一点，AD是∠BAC的平分线，则AD等于(　　)
A. B.1 C.2 D.
5.已知双曲线E：-=1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作直线l与渐近线bx-ay=0垂直，垂足为点P，延长PF交E于点Q.若=3，则E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
6.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax-1有5个不同的实数根，则a的取值范围是(　　)
A.(1，+∞) B.(2，+∞)
C.(1，e) D.(2，2e)
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知复数z的共轭复数记为，对于任意的三个复数z1，z2，z3，下列结论错误的是(　　)
A.复数z=的共轭复数=-5-2i
B.若z=(1+2i)2，则在复平面内对应的点位于第四象限
C.已知复数z满足|z-1|=|z+1|，则|z-1+i|的最小值为2
D.若z1≠0，且z1z2=z1z3，则z2=z3
8.已知函数f(x)的定义域为R，对 x，y∈R，f(x+y)-f(x-y)=2f(1-x)f(y)，且f(1)=1，f'(x)为f(x)的导函数，则(　　)
A.f(x)为偶函数
B.f(2 028)=0
C.f'(1)+f'(2)+…+f'(2 025)=0
D.[f(x)]2+[f(1-x)]2=1
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.分子是1的分数叫做单位分数，古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数.从，，，…，这13个分数中，取出3个不同的分数组成空间直角坐标系内的一个点的坐标，则满足这3个分数的和为的不同对应点的个数是　　　　　.(用数字作答)
10.已知矩形ABCD中，AB=2，BC=2，以AC所在直线为旋转轴，将矩形ABCD旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)如图，在六棱锥P-ABCDEF中，底面ABCDEF是边长为的正六边形，PA⊥底面ABCDEF，G为棱PE上一点，且PG=2GE.
(1)证明：FG∥平面PAC；(5分)
(2)若PA=1，求平面DFG与平面PCF夹角的余弦值.(8分)
12.(15分)已知曲线C：+=t(a>b>0)，当t(t>0)变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“a-b椭圆群”.
(1)求“2-1椭圆群”中椭圆的离心率；(4分)
(2)若“a-b椭圆群”中的两个椭圆C1，C2对应的t分别为t1，t2，且t1=2t2(t2>0)，则称C1，C2为“和谐椭圆对”.已知C1，C2为“和谐椭圆对”，P是C2上的任意一点，过点P作C2的切线交C1于A，B两点，Q为C1上异于A，B的任意一点，且满足=α+β(O为坐标原点)，问：α2+β2是否为定值？若为定值，求出该定值；否则，说明理由.(11分)
综合练7
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为，，则密码被成功破译的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题设，甲、乙都不能破译的概率为×=，所以密码被成功破译的概率为1-=.
2.已知e1，e2是单位向量，e1·e2=-，则e1+2e2与e2的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　(e1+2e2)2=+4e1·e2+4=1-2+4=3，
故|e1+2e2|=.
(e1+2e2)·e2=e1·e2+2=-+2=，
设e1+2e2与e2的夹角为θ，
则cos θ===，
又θ∈[0，π]，故θ=.
3.已知(2x-1)6+a(x+1)3的展开式中x3的系数为0，则a的值为(　　)
A.-160 B.160
C.-960 D.960
答案　B
解析　(2x-1)6的展开式中x3的项为(-1)3(2x)3=23(-1)3x3=-160x3，a(x+1)3的展开式中x3的项为ax3=ax3，
因此(2x-1)6+a(x+1)3的展开式中x3的系数为-160+a=0，故a=160.
4.在△ABC中，AB=2，E是BC边中点，线段AE长为，∠BAC=120°，D是BC边上一点，AD是∠BAC的平分线，则AD等于(　　)
A. B.1 C.2 D.
答案　A
解析　因为E是BC边中点，所以=+)，
所以=++2·)，
所以=++2·cos 120°)，
所以=(4+-2)，
即||2-2+1=0，得=1，
因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD=∠CAD=60°，
因为S△ABC=S△ABD+S△ACD，
所以AB·ACsin∠BAC=AB·ADsin∠BAD+AC·ADsin∠CAD，
所以×2×1×
=×2AD×+×AD×，
解得AD=.
5.已知双曲线E：-=1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F作直线l与渐近线bx-ay=0垂直，垂足为点P，延长PF交E于点Q.若=3，则E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设F(c，0)，O为坐标原点，则|PF|===b，从而cos∠OFP=.
设E的左焦点为F'，|QF|=t，连接QF'，由双曲线的定义，得|QF'|=t+2a.
在△QF'F中，由余弦定理，得(t+2a)2=t2+(2c)2-2t×2c×，
解得t=.
由=3，得=3b，解得=，
所以e====.
6.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax-1有5个不同的实数根，则a的取值范围是(　　)
A.(1，+∞) B.(2，+∞)
C.(1，e) D.(2，2e)
答案　A
解析　由题意得ax=f(x)+1，
则直线y=ax与函数h(x)=f(x)+1=的图象有5个交点.
显然，直线y=ax与h(x)的图象交于点(0，0).
又当x>0时，-x<0，h(-x)=-xln x-1=-h(x)；
当x<0时，-x>0，h(-x)=-xln(-x)+1=-h(x)；
当x=0时，h(x)=0，所以h(x)是奇函数.
则只需直线y=ax与曲线y=xln x+1(x>0)有2个交点即可，
所以关于x的方程a=ln x+有2个实数根.
令t(x)=ln x+(x>0)，则t'(x)=，
当0当x>1时，t'(x)>0，t(x)单调递增，
所以t(x)≥t(1)=1.
t(x)=ln x+=-ln ，当x→0时，→+∞，t(x)→+∞；
当x→+∞时，ln x→+∞，→0，
t(x)→+∞，
所以只需a>1.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知复数z的共轭复数记为，对于任意的三个复数z1，z2，z3，下列结论错误的是(　　)
A.复数z=的共轭复数=-5-2i
B.若z=(1+2i)2，则在复平面内对应的点位于第四象限
C.已知复数z满足|z-1|=|z+1|，则|z-1+i|的最小值为2
D.若z1≠0，且z1z2=z1z3，则z2=z3
答案　BC
解析　复数z===-5+2i，则共轭复数=-5-2i，故A正确；
z=(1+2i)2=1+4i+4i2=-3+4i，=-3-4i，其在复平面内对应的点为(-3，-4)，在第三象限，故B错误；
复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面内对应的点在以(-1，0)，(1，0)为端点的线段的中垂线上，即虚轴(加上原点)上，|z-1+i|表示虚轴(加上原点)上的点到点(1，-1)的距离，故最小值为1，故C错误；
若z1z2=z1z3，则z1(z2-z3)=0，又z1≠0，则z2=z3，故D正确.
8.已知函数f(x)的定义域为R，对 x，y∈R，f(x+y)-f(x-y)=2f(1-x)f(y)，且f(1)=1，f'(x)为f(x)的导函数，则(　　)
A.f(x)为偶函数
B.f(2 028)=0
C.f'(1)+f'(2)+…+f'(2 025)=0
D.[f(x)]2+[f(1-x)]2=1
答案　BCD
解析　对于A，令x=0，
则f(y)-f(-y)=2f(1)f(y)=2f(y)，
∴f(y)=-f(-y)，
∴f(x)为奇函数，故A不正确；
对于B，令x=y=0，则f(0)=0，
令y=1，则f(x+1)-f(x-1)=2f(1-x)f(1)=2f(1-x)，
∵f(x)为奇函数，
∴f(1-x)=-f(x-1)，∴f(x+1)=-f(x-1)，
∴f(x+2)=-f(x)，∴f(x+4)=f(x)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(2 028)=f(0)=0，故B正确；
对于C，∵f(x)为奇函数，
∴f(x)=-f(-x)，∴f'(x)=f'(-x)，
∴f'(x)为偶函数，
∵f(x+1)=-f(x-1)，
∴f'(x+1)=-f'(x-1)，f'(x+2)=-f'(x)，
∴f'(x+4)=f'(x)，∴f'(x)的周期为4，
∵f'(x)为偶函数，∴f'(x-1)=f'(1-x)，
∴f'(x+1)=-f'(1-x)，∴f'(x)关于点(1，0)对称，∴f'(1)=0，
令x=2，可得f'(3)=-f'(1)=0，
令x=3，可得f'(4)=-f'(2)，
∴f'(4)+f'(2)=0，
故f'(1)+f'(2)+f'(3)+f'(4)=0，
∴f'(1)+f'(2)+…+f'(2 025)=506×0+f'(1)=0，故C正确；
对于D，令x=1-y，则f(1)-f(1-2y)=2[f(y)]2，即f(1)-f(1-2x)=2[f(x)]2， ①
令y=1-x，
则f(1)-f(2x-1)=2[f(1-x)]2， ②
由①+②得2[f(x)]2+2[f(1-x)]2
=2f(1)-f(1-2x)-f(2x-1)=2f(1)=2，
∴[f(x)]2+[f(1-x)]2=1，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.分子是1的分数叫做单位分数，古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数.从，，，…，这13个分数中，取出3个不同的分数组成空间直角坐标系内的一个点的坐标，则满足这3个分数的和为的不同对应点的个数是　　　　　.(用数字作答)
答案　12
解析　设++=(3≤x所以至少有1个是或或或.
若其中1个分数为，则另外2个分数分别是，；
若其中1个分数为，则不存在符合题意的另外2个分数；
若其中1个分数为，则另外2个分数分别是，；
若其中1个分数是，则另外2个分数分别是，.
综上，符合题意的分数有2组，则得到不同对应点的个数是2=12.
10.已知矩形ABCD中，AB=2，BC=2，以AC所在直线为旋转轴，将矩形ABCD旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为　　　　.
答案　
解析　如图，以AC所在直线为旋转轴，△ABC旋转一周形成两个共底面的圆锥，
△ADC旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为V1，
这两个几何体重叠的部分是以圆O为底面，A，C为顶点的两个小圆锥，其体积记为V2，
则所求几何体体积V=2V1-V2=2×π()2×4-π×4=.
四、解答题(共28分)
11.(13分)如图，在六棱锥P-ABCDEF中，底面ABCDEF是边长为的正六边形，PA⊥底面ABCDEF，G为棱PE上一点，且PG=2GE.
(1)证明：FG∥平面PAC；(5分)
(2)若PA=1，求平面DFG与平面PCF夹角的余弦值.(8分)
(1)证明　如图，连接AE交DF于点H，连接GH.
因为六边形ABCDEF是边长为的正六边形，
所以∠HED=∠AFH=90°，∠EDH=∠HAF=30°，AF=DE=，
所以EH=EDtan 30°=1，AH==2，
所以AH=2EH.
又PG=2GE，所以GH∥PA.
因为PA 平面PAC，GH 平面PAC，
所以GH∥平面PAC.
又DF∥AC，AC 平面PAC，DF 平面PAC，
所以DF∥平面PAC.
又DF∩GH=H，DF，GH 平面DFG，
所以平面DFG∥平面PAC.
又FG 平面DFG，所以FG∥平面PAC.
(2)解　由PA⊥平面ABCDEF，AF⊥AC，得AF，AC，PA两两垂直.
以A为坐标原点，AF，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，P(0，0，1)，F(，0，0)，C(0，3，0)，
所以=(，0，-1)，=(0，3，-1)，
=(，0，0).
设平面PCF的法向量为m=(x，y，z)，
则
令y=1，得x=，z=3，
则平面PCF的一个法向量为m=(，1，3).
由(1)得平面DFG∥平面PAC，
又AF⊥平面PAC，所以AF⊥平面DFG，
从而为平面DFG的一个法向量.
设平面DFG与平面PCF的夹角为θ，
则cos θ=|cos〈m，〉|
===，
所以平面DFG与平面PCF夹角的余弦值为.
12.(15分)已知曲线C：+=t(a>b>0)，当t(t>0)变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“a-b椭圆群”.
(1)求“2-1椭圆群”中椭圆的离心率；(4分)
(2)若“a-b椭圆群”中的两个椭圆C1，C2对应的t分别为t1，t2，且t1=2t2(t2>0)，则称C1，C2为“和谐椭圆对”.已知C1，C2为“和谐椭圆对”，P是C2上的任意一点，过点P作C2的切线交C1于A，B两点，Q为C1上异于A，B的任意一点，且满足=α+β(O为坐标原点)，问：α2+β2是否为定值？若为定值，求出该定值；否则，说明理由.(11分)
解　(1)由题意可知，“2-1椭圆群”的方程为
+=1(t>0)，
∴e2==，又0∴e=.
(2)由题意得，C1：+=2t2(a>b>0)；
C2：+=t2(a>b>0)，
①当直线AB斜率不存在时，直线AB：x=±a，
若x=a，由对称性，不妨设点A在x轴的上方，则A(a，b)，B(a，-b)，
又=α+β，
∴Q(a(α+β)，b(α-β))，
代入C1中，得(α+β)2+(α-β)2=2，即α2+β2=1；
若x=-a，同理可得α2+β2=1.
②当直线AB斜率存在时，设直线AB：y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由=α+β，得Q(αx1+βx2，αy1+βy2)，
由得b2x2+a2(kx+m)2=t2a2b2，
即(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2(m2-t2b2)=0.
∴Δ=(2a2km)2-4(b2+a2k2)a2(m2-t2b2)=0，
化简得，m2=t2(b2+a2k2)，
由得b2x2+a2(kx+m)2=2t2a2b2，
即(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2(m2-2t2b2)=0，
Δ>0，
∴x1x2=，x1+x2=，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=，
∴b2x1x2+a2y1y2=+
==0，
∵点Q在椭圆C1上，
∴+=2t2，
整理，得α2(b2+a2)+β2(b2+a2)+2αβ(b2x1x2+a2y1y2)-2t2a2b2=0，
又∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在C1上，
∴b2+a2=b2+a2=2t2a2b2，
∴2t2a2b2(α2+β2-1)=0，而2t2a2b2>0，
∴α2+β2-1=0，即α2+β2=1.
综上所述，α2+β2为定值，且α2+β2=1.综合练8
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知复数z满足=-2+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知点A(x0，y0)是抛物线y2=2px(p>0)上一点，且它在第一象限内，焦点为F，O为坐标原点，若|AF|=，|AO|=2，则此抛物线的准线方程为(　　)
A.x=-4 B.x=-3
C.x=-2 D.x=-1
3.设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S3=a4-2，S2=a3-2，则公比q等于(　　)
A.2 B.-2 C. D.-
4.若函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)向左平移φ个单位长度后在区间上单调递增，则φ等于(　　)
A. B. C. D.
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是CB边的中点，过点C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，则BF等于(　　)
A. B.
C. D.
6.设2a=πb=6c<1，则(　　)
A.6c<πb<2a B.2a<6c<πb
C.πb<2a<6c D.6c<2a<πb
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.某次运动会共有48人参加，其中参加跳远的有24人，参加铅球的有16人，参加跳高的有12人.同时参加跳远和铅球的有8人，同时参加铅球和跳高的有4人，同时参加跳远和跳高的有6人，三项都参加的有3人.现从这48人中随机抽取一人，记该人参加跳远、铅球、跳高分别为事件A，B，C，则下列结论正确的是(　　)
A.P(A∪B)=
B.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
C.P(AB|C)=
D.P(B|A)=P(B)
8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a·sin2=b·sin A，下列结论正确的是(　　)
A.B=
B.若a=4，b=5，则△ABC有两解
C.当a-c=b时，△ABC为直角三角形
D.若△ABC为锐角三角形，则cos A+cos C的取值范围是
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知曲线f(x)=ln x+在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为，则a的值为　　　　.
10.在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，且AB⊥BC.记直线PA，PC与平面ABC所成的角分别为α，β，已知β=2α=60°，当三棱锥P-ABC的体积最小时，三棱锥P-ABC外接球的表面积为　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，右顶点为A(2，0).
(1)求椭圆C的标准方程；(3分)
(2)若B，直线l过C的右焦点且与C交于P，Q两点，
①求|PB|的最小值；(4分)
②若AP∥BQ，求直线l的方程.(6分)
12.(15分)已知函数f(x)=ex+ax2-e，a∈R.
(1)若f(x)无极值点，求实数a的取值范围；(6分)
(2)当x≥0时，f(x)≥x3+x-e+1恒成立，求实数a的取值范围.(9分)
综合练8
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知复数z满足=-2+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　C
解析　由复数z满足=-2+i，
则z=(1-i)(-2+i)=-1+3i，可得=-1-3i，
故复数z的共轭复数在复平面内对应的点为(-1，-3)，位于第三象限.
2.已知点A(x0，y0)是抛物线y2=2px(p>0)上一点，且它在第一象限内，焦点为F，O为坐标原点，若|AF|=，|AO|=2，则此抛物线的准线方程为(　　)
A.x=-4 B.x=-3
C.x=-2 D.x=-1
答案　D
解析　因为x0+=，
所以x0=p，y0=p.
又p2+(p)2=12，
所以p=2，准线方程为x=-1.
3.设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S3=a4-2，S2=a3-2，则公比q等于(　　)
A.2 B.-2 C. D.-
答案　A
解析　由已知，S3=a4-2，S2=a3-2，两式相减得，
S3-S2=a3=a4-a3，即a4=2a3，即q==2.
4.若函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)向左平移φ个单位长度后在区间上单调递增，则φ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　函数f(x)=sin(2x+φ)向左平移φ个单位长度后为f(x+φ)=sin(2x+3φ)，
当x∈时，2x+3φ∈，
因为f(x+φ)=sin(2x+3φ)在区间上单调递增，所以k∈Z，
即k∈Z，
可得φ=-+(k∈Z)，
又0<φ<π，所以φ=.
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是CB边的中点，过点C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，则BF等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　方法一　设=λ，
∵AD⊥CF，∴·=0，
又D是CB边的中点，
∴=+)，
∴+)·(-)=0，
∴(+)·(λ-)=0，
∴(λ-1)·+λ-=0， ①
∵AC=BC=1，∠ACB=90°，
∴AB==，且∠CAB=45°，
∴=1，=2，·=×1×=1，
代入①得(λ-1)+2λ-1=0，解得λ=，
∴=，
∴BF=AB=.
方法二　∵∠ACB=90°，AC=BC=1，
∴△ABC为等腰直角三角形，
又∵AC=1，AD为中线，∴CD=BD=，
∴AD===.
∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，
∴AD·CE=AC·CD，
即CE===，
∴DE===.
过点F作FH⊥CB交CB于点H，如图，∴∠FHB=90°，
∵tan∠FCB==，
设FH=HB=x，0则CH=1-x，
∴=，解得x=，∴BF=.
6.设2a=πb=6c<1，则(　　)
A.6c<πb<2a B.2a<6c<πb
C.πb<2a<6c D.6c<2a<πb
答案　D
解析　方法一　由题可知a，b，c均为负数，
设2a=πb=6c=t，
则0所以=logt2π>logtπ2=(根据函数y=2x与y=x2的图象知，当22x，故π2>2π)，
由ab>0得2a<πb；=logt64由ac>0得6c<2a.所以6c<2a<πb.
方法二　设2a=πb=6c=t，则0所以2a=，πb=，6c=，
设f(x)=(x>0且x≠1)，
则f'(x)=，
当x>e时，f'(x)>0，
故f(x)在上单调递增，
又易知f=f，
所以f>f=f>f>0，
所以<=<，
又ln t<0，所以6c<2a<πb.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.某次运动会共有48人参加，其中参加跳远的有24人，参加铅球的有16人，参加跳高的有12人.同时参加跳远和铅球的有8人，同时参加铅球和跳高的有4人，同时参加跳远和跳高的有6人，三项都参加的有3人.现从这48人中随机抽取一人，记该人参加跳远、铅球、跳高分别为事件A，B，C，则下列结论正确的是(　　)
A.P(A∪B)=
B.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
C.P(AB|C)=
D.P(B|A)=P(B)
答案　ACD
解析　由题意得P(A)==，P(B)==，
P(C)==，P(AB)==，
P(BC)==，P(AC)==，
P(ABC)==，
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=，A选项正确；
P(A)P(B)P(C)=××=≠P(ABC)，B选项错误；
P(AB|C)===，C选项正确；
P(B|A)====P(B)，D选项正确.
8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a·sin2=b·sin A，下列结论正确的是(　　)
A.B=
B.若a=4，b=5，则△ABC有两解
C.当a-c=b时，△ABC为直角三角形
D.若△ABC为锐角三角形，则cos A+cos C的取值范围是
答案　ACD
解析　对于A，因为a·sin2=b·sin A，
所以由A+B+C=π及正弦定理得，
sin A·sin2=sin B·sin A，
由诱导公式得，sin A·cos2=sin B·sin A，
因为A∈(0，π)，故sin A≠0，
所以cos2=2sin cos ，
化简得cos =0，
即cos sin=0，
所以cos =0或sin=0，
即B=π(舍去)或B=，故A正确；
对于B，由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，
即25=16+c2-8×c×，得c2-4c-9=0，
由Δ=(-4)2-4×(-9)=52>0，所以c=2+(负值舍去)，即△ABC有一解，故B错误；
对于C，因为a-c=b，所以a>c，
两边平方得a2-2ac+c2=，
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac，
由两式消去b2得，2a2-5ac+2c2=0，
解得a=2c或a=c(舍去)，
则b=c，又B=，解得A=，
故△ABC为直角三角形，故C正确；
对于D，cos A+cos C=cos A+cos
=cos A+sin A=sin，
因为△ABC为锐角三角形，且B=，
所以解得所以A+∈，
所以sin∈，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知曲线f(x)=ln x+在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为，则a的值为　　　　.
答案　+1
解析　f(x)=ln x+的导数f'(x)=+，
∵曲线f(x)在x=1处的切线的倾斜角为，
∴f'(1)=1+=，
∴=-1，
∴a=+1.
10.在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，且AB⊥BC.记直线PA，PC与平面ABC所成的角分别为α，β，已知β=2α=60°，当三棱锥P-ABC的体积最小时，三棱锥P-ABC外接球的表面积为　　　　.
答案　16π
解析　设点P在平面ABC内的射影为P'，因为直线PA，PC与平面ABC所成的角分别为α，β，且β=2α=60°，
则α=30°，|P'P|=|P'C|，|P'P|=|P'A|，
于是3|P'C|=|P'A|，
以AC为x轴，线段AC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图.
令P'(x，y)，由AB=BC=2，AB⊥BC，
得A(-2，0)，B(0，2)，C(2，0)，
则3
=，
化简得+y2=，
因此点P'在以为圆心，为半径的圆上，
当|P'C|最小时，|P'P|最小，即三棱锥P-ABC的体积最小，
此时P'(1，0)，|P'C|min=2-1=1，
|P'P|min=，|P'A|=3，
则|PA|=2，|PC|=2，
则|PA|2+|PC|2=|AC|2，
因此点P在底面ABC上的射影P'在AC上，且∠APC=90°，
又∠ABC=90°，
显然AC的中点到点B，P，A，C的距离相等，此时三棱锥P-ABC的外接球的球心为AC的中点，
外接球的半径R=AC=2，
表面积为4π×22=16π.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，右顶点为A(2，0).
(1)求椭圆C的标准方程；(3分)
(2)若B，直线l过C的右焦点且与C交于P，Q两点，
①求|PB|的最小值；(4分)
②若AP∥BQ，求直线l的方程.(6分)
解　(1)因为e==，a=2，
所以c=1，b2=a2-c2=3，
故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)①设P(x0，y0)(-2≤x0≤2)，
则+=1，
所以|PB|=
=
=，
又x0∈[-2，2]，所以当x0=1时，|PB|的最小值为.
②由题意，右焦点为F2(1，0)，直线l的斜率不为0，
设l的方程为x=my+1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为AP∥BQ，所以△APF2∽△BQF2，
则===，
故3=4，可得y1=-y2，
由
消去x，得(3m2+4)y2+6my-9=0，
则Δ=36m2-4(3m2+4)×(-9)>0，
y1+y2=，y1y2=，
从而y1+y2=-y2=，
y2=，
y1y2=-=，
=×，
可得=×，
即m2=，所以m=±，
故直线l的方程为3x+2y-3=0或3x-2y-3=0.
12.(15分)已知函数f(x)=ex+ax2-e，a∈R.
(1)若f(x)无极值点，求实数a的取值范围；(6分)
(2)当x≥0时，f(x)≥x3+x-e+1恒成立，求实数a的取值范围.(9分)
解　(1)方法一　易知f'(x)=ex+2ax，
由f(x)无极值点可知，
f'(x)无变号零点，令ex+2ax=0， (*)
显然当a=0时，(*)无解，此时f(x)无极值点，满足题意；
故当a≠0时，(*)可变形得=-，
令g(x)=，原问题等价于g(x)的图象与直线y=-无交点或相切，
又g'(x)=，
则当x∈(-∞，1)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(1，+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减.
又x→-∞，g(x)→-∞；
x→+∞，g(x)→0，g(1)=，
可得g(x)的图象如图，
由图可知-≥，
解得-≤a<0，
综上，-≤a≤0.
方法二　设g(x)=f'(x)=ex+2ax，
则g'(x)=ex+2a.
①当a>0时，g'(x)>0在R上恒成立，g(x)在R上单调递增，
因为g=-1<0，g(0)=1>0，
所以g(x)有一个变号零点，即为f(x)的一个极值点，不符合题意；
②当a=0时，g(x)>0在R上时恒成立，
即f(x)无极值点；
③当a<0时，令g'(x)=0，则x=ln(-2a)，
当x当x>ln(-2a)时，g'(x)>0，
所以g(x)在(-∞，ln(-2a))上单调递减，
在(ln(-2a)，+∞)上单调递增，
故g(x)min=g(ln(-2a))=-2a+2aln(-2a)，
若g(x)min<0，则-1+ln(-2a)>0，即a<-.
当x→-∞时，g(x)→+∞；
当x→+∞时，g(x)→+∞，
故当g(ln(-2a))<0时，g(x)有两个零点，
此时f(x)有两个极值点，不符合题意；
当g(ln(-2a))≥0时，g(x)≥0在R上恒成立，
即f(x)无极值点，
由g(ln(-2a))≥0解得-≤a<0；
综上所述，-≤a≤0.
(2)方法一　由f(x)≥x3+x-e+1可知，
ex≥x3-ax2+x+1，
即1≥e-x，
令φ(x)=e-x-1，
即当x≥0时，φ(x)≤0恒成立，
易知φ(0)=0，
φ'(x)=-xe-x[x2-(2a+3)x+4a+2]
=-xe-x(x-2)(x-2a-1).
若2a+1≤0，即a≤-，
则当x∈(0，2)时，φ'(x)>0，φ(x)单调递增，
φ(x)>φ(0)=0，不符合题意；
若0<2a+1<2，即-则当x∈(0，2a+1)时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减，
当x∈(2a+1，2)时，φ'(x)>0，φ(x)单调递增，
当x∈(2，+∞)时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减，
又φ(0)=0，
故令φ(2)=e-2-1
=≤0，
解得a≥，即≤a<；
若2a+1=2，即a=，则φ'(x)≤0在[0，+∞)上恒成立，故φ(x)在[0，+∞)上单调递减，φ(x)≤φ(0)=0；
若2a+1>2，即a>，
则当x∈(0，2)时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减，
当x∈(2，2a+1)时，φ'(x)>0，φ(x)单调递增，
当x∈(2a+1，+∞)时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减，
故φ(2a+1)=e-(2a+1)
-1
=e-(2a+1)-1，
记h(a)=e-(2a+1)-1，a>，
则h'(a)=-e-(2a+1)(2a+1)2<0恒成立，
所以h(a)在上单调递减，
所以h(a)即对于任意a>，φ(x)≤0恒成立，
综上所述，a的取值范围是.
方法二　①当x=0时，不等式恒成立，可得a∈R.
②当x>0时，可得a≥恒成立，
设h(x)=，x>0，
则h'(x)=
=
=
=.
设m(x)=ex-x2-x-1，x>0，
可得m'(x)=ex-x-1，
设k(x)=ex-x-1，x>0，k'(x)=ex-1，
由x>0，可得k'(x)>0恒成立，
可得k(x)在(0，+∞)上单调递增，
m'(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以m'(x)>m'(0)=0，
即m'(x)>0恒成立，
即m(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以m(x)>m(0)=0，
再令h'(x)=0，可得x=2，
当00，h(x)在(0，2)上单调递增；
当x>2时，h'(x)<0，h(x)在(2，+∞)上单调递减，
所以h(x)max=h(2)=，
所以a≥，
综上可得，a的取值范围是.

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