资源简介

第1章 二次函数 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.二次函数y=(x－4)2＋5的图象上最低点的坐标为(　A　)
A.(4，5) B.(－4，5) C.(4，－5) D.(－4，－5)
2.把二次函数y=－x2－2x＋3配方成y=a(x－m)2＋k的形式为(　B　)
A.y=－(x－1)2－4 B.y=－(x＋1)2＋4
C.y=－(x－1)2＋2 D.y=－(x＋1)2－2
3.将抛物线y=(x－6)2＋3向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到新抛物线的表达式为(　B　)
A.y=(x－8)2＋5 B.y=(x－4)2＋5
C.y=(x－8)2＋3 D.y=(x－4)2＋3
4.函数y=ax2－a(a≠0)的图象可能是(　D　)
A. B. C. D.
5.如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c的对称轴为直线x=2，点A，B均在抛物线上，且直线AB与x轴平行。若点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为(　D　)
A.(2，3) B.(3，2)
C.(3，3) D.(4，3)
6.已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y=3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是(　A　)
A.1＜y1＜y2 B.y1＜1＜y2
C.1＜y2＜y1 D.y2＜1＜y1
【解析】 ∵y=3x2＋bx＋1，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=－=－。
∵当x=0时，y=1，∴抛物线过点(0，1)，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大。
∵3＜b＜4，∴－＜－＜－。
∵=－＞－=－1＜－，
∴点A(－2，y1)到对称轴的距离大于点(0，1)到对称轴的距离，小于B(1，y2)到对称轴的距离，
∴1＜y1＜y2。
7.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2－2ax＋a－3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是(　D　)
A.图象的开口向下
B.当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C.函数的最小值小于－3
D.当x=2时，y＜0
【解析】 由题意可得，方程ax2－2ax＋a－3=0的两根异号，
∴x1x2=＜0。
若a＜0，则a－3＜0，则＞0，与x1x2＜0矛盾，
∴a＞0，A错误；
∵y=ax2－2ax＋a－3(a＞0)的图象对称轴为直线x=－=1，
∴当x＞1时，y随x增大而增大，B错误；
∵当x=1时，y=－3，
∴函数的最小值为－3，C错误；
当x=2时，y=4a－4a＋a－3=a－3，
∵a＞0，＜0，
∴a－3＜0，∴此时y＜0，D正确。
8.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=－x2＋2x＋(x＞0)，则水流喷出的最大高度是(　B　)
A.3 m B.2.75 m C.2 m D.1.75 m
【解析】 y=－x2＋2x＋=－(x－1)2＋1＋=－(x－1)2＋。
∵－1＜0，∴当x=1时，y取最大值，最大值为，即2.75米。
9.已知二次函数y=2x2－4x－1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为(　D　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 ∵二次函数y=2x2－4x－1=2(x－1)2－3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，－3)，开口向上。
又∵当x=0时，y=－1，
∴当x=a时，y=15，
∴2(a－1)2－3=15，
解得a1=4，a2=－2。
∵0≤x≤a，∴a≥0，∴a的值为4。
10.如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，与y轴交点坐标是(0，m)且2＜m＜3。有下列结论：①abc＜0；②9a－3b＋c＞0；③＜y最大值＜；④关于x的一元二次方程ax2＋(b－1)x＋c－2=0必有两个不相等实根；⑤若点A(n，y1)，B(n＋1，y2)，C(n＋2，y3)在抛物线y=ax2＋bx＋c上，则当y1＜y3＜y2时，n的取值范围是－＜n＜0。其中正确的是(　B　)
A.①③ B.①③④
C.②④⑤ D.①③④⑤
【解析】 ∵抛物线开口向下，∴a＜0。
∵对称轴为直线x=1，∴－=1，
∴b=－2a＞0。
又∵抛物线与y轴交点坐标是(0，m)，即c=m，而2＜m＜3，
∴c＞0，∴abc＜0，①正确。
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，对称轴为直线x=1，
∴另一个交点坐标为(－2，0)，
∴由函数图象可知，当x=－3时，y=9a－3b＋c＜0，②错误。
∵点(－2，0)在抛物线上，∴4a－2b＋c=0。
又∵b=－2a，∴4a＋4a＋c=0，
∴8a＋c=0，∴c=－8a。
∵2＜m＜3，即2＜c＜3，
∴2＜－8a＜3，∴＜－9a＜。
当x=1时，y取得最大值，最大值为a＋b＋c=a－2a－8a=－9a，
∴＜y最大值＜，③正确。
如答图，作直线y=x＋2，则与抛物线的一个交点是(－2，0)，与y轴的交点是(0，2)。
第10题答图
又∵2＜m＜3，∴由图象得直线与抛物线必有两个交点，
∴方程ax2＋bx＋c=x＋2必有两个不相等的实数根，即一元二次方程ax2＋(b－1)x＋c－2=0必有两个不相等实根，④正确。
(结论④还可由代数法判断：
∵ax2＋(b－1)x＋c－2=0，b=－2a，c=－8a，
∴ax2＋(－2a－1)x－8a－2=0，
∴Δ=(－2a－1)2＋4a(8a＋2)=36a2＋12a＋1=(6a＋1)2。
∵2＜－8a＜3，∴－＜a＜－，
∴(6a＋1)2＞0，
∴ax2＋(b－1)x＋c－2=0有两个不相等实根，故④正确。)
若点A(n，y1)，B(n＋1，y2)，C(n＋2，y3)在抛物线y=ax2＋bx＋c上，且y1＜y3＜y2，
则由y2＞y3，得＞1，由y3＞y1，得＜1，
∴－＜n＜0，⑤错误。
综上所述，正确的是①③④。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)抛物线y=－(x＋2)2＋6与y轴的交点坐标是　(0，2)　。
12.(3分)二次函数y=－x2－4x＋5的最大值为　9　。
13.(3分)如图所示为二次函数y=ax2－3x＋a2－1(a≠0)的图象，则a的值为　－1　。
【解析】 由图象可知，抛物线经过原点(0，0)，
∴a2－1=0，解得a=±1。
又∵图象开口向下，∴a=－1。
14.(3分)当0≤x≤3时，直线y=a与抛物线y=(x－1)2－3有交点，则a的取值范围是　－3≤a≤1　。
【解析】 抛物线y=(x－1)2－3的顶点坐标为(1，－3)。
当x=0时，y=－2；当x=3时，y=1，
∴当0≤x≤3时，－3≤y≤1，
∴直线y=a与抛物线有交点时，a的取值范围是－3≤a≤1。
15.(3分)已知二次函数y=ax2－4ax＋3a(a≠0)。若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为 或－4　。
【解析】 ∵二次函数y=ax2－4ax＋3a=a(x－2)2－a，
∴抛物线的对称轴是直线x=2。
∵1≤x≤4，
当a＞0时，抛物线开口向上，
∴x离对称轴越远，函数值y越大，
∴当x=4时，y有最大值，
∴a×(4－2)2－a=4，解得a=；
当a＜0时，抛物线开口向下，
当x=2时，y有最大值，
∴－a=4，解得a=－4。
综上所述，a的值为或－4。
16.(3分)某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面示意图如图所示，球台长度AB=274 cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC=12 cm，出球管道CD=5 cm。若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD'的位置，则发球机模式为“跳球”，路线呈抛物线，在离球台正中间的球网GH左侧72 cm处到达最高点，并高出台面21 cm。如果此时发球，那么乒乓球落台点E与球台端线点B之间的距离EB=　209－30　cm(结果保留根号)。
【解析】 以AC为y轴，AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，如答图所示。
第16题答图
设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴相交于点M，
则MN=21 cm，MH=72 cm，AB=274 cm。
由题意，得AH=AB=137 cm，
∴AM=AH－MH=137－72=65(cm)，
∴设抛物线的函数表达式为y=a(x－65)2＋21(a＜0)。
过点D'作D'P⊥x轴于点P，交CD于点Q，
则∠CQD'=∠APQ=90°。
∵∠D'CD=45°，CD'=CD=5 cm，
∴D'Q=CD'=5 cm，
∴D'P=D'Q＋PQ=5＋12=17(cm)，
∴点D'(5，17)，
代入抛物线的函数表达式，得a×(5－65)2＋21=17，
解得a=－，
∴y=－(x－65)2＋21。
令y=0，则－(x－65)2＋21=0，
解得x1=65＋30 ，x2=65－30 (舍去)，
∴点E(65＋30 ，0)，
∴EB=AB－AE=274－(65＋30 )=(209－30)cm。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，(0，－3)，求它的函数表达式。
解：把点(－1，0)，(3，0)，(0，－3)的坐标分别代入y=ax2＋bx＋c，
得解得
∴它的函数表达式为y=x2－2x－3。
18.(8分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点坐标为(1，4)，且过点(－1，0)。
(1)(4分)求抛物线的函数表达式。
(2)(4分)将抛物线向左平移几个单位，可使得平移后的抛物线经过原点？
解：(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x－1)2＋4(a≠0)，
把点(－1，0)的坐标代入，得
a(－1－1)2＋4=0，解得a=－1，
∴该抛物线的函数表达式为y=－(x－1)2＋4，即y=－x2＋2x＋3。
(2)设将抛物线向左平移m(m＞0)个单位，可使得平移后的抛物线经过原点，则平移后抛物线的函数表达式为y=－(x－1＋m)2＋4。
把点(0，0)的坐标代入，得－(0－1＋m)2＋4=0，
解得m1=3，m2=－1(不合题意，舍去)，
∴将抛物线向左平移3个单位，可使得平移后的抛物线经过原点。
19.(8分)如图，已知二次函数y=ax2＋x＋c(a≠0)的图象与y轴相交于点A(0，4)，与x轴相交于点B，C，点C的坐标为(8，0)，连结AB，AC。
(1)(4分)求二次函数y=ax2＋x＋c的表达式。
(2)(4分)判断△ABC的形状，并说明理由。
解：(1)∵二次函数y=ax2＋x＋c的图象与y轴相交于点A(0，4)，与x轴相交于点C(8，0)，
∴解得
∴抛物线的函数表达式为y=－x2＋x＋4。
(2)△ABC是直角三角形。理由如下：
令y=0，则－x2＋x＋4=0，
解得x1=8，x2=－2，
∴点B的坐标为(－2，0)。
在Rt△ABO中，
AB2=BO2＋AO2=22＋42=20，
在Rt△AOC中，
AC2=AO2＋CO2=42＋82=80。
∵BC=OB＋OC=2＋8=10，
∴在△ABC中，AB2＋AC2=20＋80=102=BC2，
∴△ABC是直角三角形。
20.(8分)哪吒是我国古典神话中家喻户晓的形象，2025年一部关于哪吒的国产动画电影热映，掀起了有关哪吒形象的文化热潮，某商家顺势推出A，B两款“哪吒”文旅纪念品。已知购进A款纪念品200个，B款纪念品300个，需花费14 000元；购进A款纪念品100个，B款纪念品200个，需花费8 000元。
(1)(2分)求A，B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元。
(2)(3分)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A，B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)(3分)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个。设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元，w表示该商家销售A款纪念品的利润(单位：元)，求w关于a的函数表达式，并求出w的最大值。
解：(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元。
由题意，得解得
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元。
(2)设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 (400－m)个。
由题意，得40(400－m)＋20m≤12 000，解得m≥200，
∴m的最小值为200。
答：至少需要购进B款纪念品200个。
(3)由题意，得w=(a－40)[200－5(a－60)]
=(a－40)(200－5a＋300)
=(a－40)(500－5a)
=500a－20 000－5a2＋200a
=－5(a－70)2＋4 500。
∵－5＜0，60≤a≤100，
∴当a－70=0，即a=70时，w最大，最大值为4 500。
21.(8分)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度为0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km。请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式。
解：答案不唯一。建立平面直角坐标系，如答图所示：
第21题答图
则抛物线的顶点坐标为(0，0.001 5)，点A，即点A(0.85，0.18)，
设该抛物线的表达式为y=ax2＋0.001 5(a≠0)。
将点A(0.85，0.18)代入，得0.18=0.852a＋0.001 5，解得a=，
∴该抛物线的表达式为y=x2＋。
22.(10分)已知二次函数y=x2－2tx＋3(t＞0)。
(1)(3分)若它的图象过点(2，1)，则t的值为多少？
(2)(3分)当0≤x≤3时，y的最小值为－2，求出t的值。
(3)(4分)如果A(m－2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，点B在对称轴右侧且a＜b＜3，求m的取值范围。
解：(1)将点(2，1)代入y=x2－2tx＋3，得1=4－4t＋3，
解得t=。
(2)抛物线y=x2－2tx＋3对称轴为直线x=t，开口向上。
若0≤t≤3，则当x=t时函数取最小值，
∴t2－2t2＋3=－2，解得t=；
若t＞3，则当x=3时函数取最小值，
∴9－6t＋3=－2，
解得t=(不符合题意，舍去)。
综上所述，t的值为。
(3)∵点A(m－2，a)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，
∴二次函数y=x2－2tx＋3的图象对称轴直线x=t即为直线x==m－1，
∴t=m－1。
∵t＞0，∴m－1＞0，
解得m＞1。
∵m－2＜m，∴点A在对称轴左侧，点C在对称轴右侧。
在y=x2－2tx＋3中，令x=0得y=3，
∴抛物线y=x2－2tx＋3与y轴交点为(0，3)，
∴点(0，3)关于对称轴直线x=m－1的对称点为(2m－2，3)。
∵b＜3，∴4＜2m－2，
解得m＞3。
∵a＜b，
∴点B(4，b)到对称轴的距离大于点A(m－2，a)到对称轴的距离，
∴4－(m－1)＞m－1－(m－2)，
解得m＜4，
∴m的取值范围是3＜m＜4。
23.(10分)综合与实践。
矩形种植园最大面积探究
情境 实践基地有一长为12米的墙MN。研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园。假设矩形一边CD=x米，矩形种植园的面积为S。
分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边BC用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最大值。
探究 思考一：(1)将墙MN的一部分用来替代篱笆，按如图1的方案围成矩形种植园。
思考二：(2)将墙MN的全部用来替代篱笆，按图2的方案围成矩形种植园。
解决 问题 根据分析，分别求出思考一与思考二两种方案中的S的最大值，比较并判断矩形种植园的面积最大为多少。
解：(1)∵CD=x米，篱笆共40米，MN=12米，
∴BC=米，
∴S=(40－x)·x=－(x－20)2＋200。
由题意得0＜x≤12，
∴当x=12时，S取最大值，最大值为168平方米。
(2)AN=(x－12)米，
∴BC==(26－x)米(12≤x＜26)，
∴S=(26－x)·x=－(x－13)2＋169，
∴当x=13时，S取最大值，最大值为169平方米。
∵168＜169，
∴矩形种植园的面积最大为169平方米。
24.(12分)阅读理解：【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称这三个实数x，y，z构成“友好数”。
【材料二】若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋x2=－，x1x2=。
问题解决：(1)(3分)实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由。
(2)(3分)若M1(t，y1)，M2(t－1，y2)，M3(t＋1，y3)三点均在函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“友好数”，求t的值。
(3)(6分)设三个实数x1，x2，x3是“友好数”且满足0＜x1＜x3＜x2，其中x1，x2是关于x的一元二次方程nx2＋mx＋n=0(n≠0)的两个根，x3是抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的一个交点的横坐标。
①(3分)a＋b＋c=　0　。
②(3分)设x=，y=，求y关于x的函数表达式。
解：(1)可以。理由如下：
∵62=4×9，
∴4，6，9可以构成“友好数”。
(2)∵y1，y2，y3构成“友好数”，
∴有三种可能：
①若=y2y3，
则k2t2=k(t－1)·k(t＋1)，
即t2=(t－1)(t＋1)，无解；
②若=y1y3，
则k2(t－1)2=kt·k(t＋1)，
即(t－1)2=t(t＋1)，
解得t=；
③若=y1y2，
则k2(t＋1)2=kt·k(t－1)，
即(t＋1)2=t(t－1)，
解得t=－。
综上所述，t的值为或－。
(3)①∵三个实数x1，x2，x3是“友好数”，且满足0＜x1＜x3＜x2，
∴=x1·x2。
∵x1，x2是关于x的一元二次方程nx2＋mx＋n=0(n≠0)的两个根，
∴x1·x2==1，
∴=1，
又∵x3＞0，
∴x3=1。
∵x3是抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的一个交点的横坐标，
∴a＋b＋c=0。
②由①，得a＋b＋c=0，
两边同除以a，
得1＋=0，
∴=－－1=－x－1，
∴y==x2－x－1，
即y关于x的函数表达式为y=x2－x－1。第1章 二次函数 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.二次函数y=(x－4)2＋5的图象上最低点的坐标为( )
A.(4，5) B.(－4，5) C.(4，－5) D.(－4，－5)
2.把二次函数y=－x2－2x＋3配方成y=a(x－m)2＋k的形式为( )
A.y=－(x－1)2－4 B.y=－(x＋1)2＋4
C.y=－(x－1)2＋2 D.y=－(x＋1)2－2
3.将抛物线y=(x－6)2＋3向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到新抛物线的表达式为( )
A.y=(x－8)2＋5 B.y=(x－4)2＋5
C.y=(x－8)2＋3 D.y=(x－4)2＋3
4.函数y=ax2－a(a≠0)的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c的对称轴为直线x=2，点A，B均在抛物线上，且直线AB与x轴平行。若点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为( )
A.(2，3) B.(3，2)
C.(3，3) D.(4，3)
6.已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y=3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是( )
A.1＜y1＜y2 B.y1＜1＜y2
C.1＜y2＜y1 D.y2＜1＜y1
7.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2－2ax＋a－3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是( )
A.图象的开口向下
B.当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C.函数的最小值小于－3
D.当x=2时，y＜0
8.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=－x2＋2x＋(x＞0)，则水流喷出的最大高度是( )
A.3 m B.2.75 m C.2 m D.1.75 m
9.已知二次函数y=2x2－4x－1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，与y轴交点坐标是(0，m)且2＜m＜3。有下列结论：①abc＜0；②9a－3b＋c＞0；③＜y最大值＜；④关于x的一元二次方程ax2＋(b－1)x＋c－2=0必有两个不相等实根；⑤若点A(n，y1)，B(n＋1，y2)，C(n＋2，y3)在抛物线y=ax2＋bx＋c上，则当y1＜y3＜y2时，n的取值范围是－＜n＜0。其中正确的是( )
A.①③ B.①③④
C.②④⑤ D.①③④⑤
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)抛物线y=－(x＋2)2＋6与y轴的交点坐标是　　。
12.(3分)二次函数y=－x2－4x＋5的最大值为　。
13.(3分)如图所示为二次函数y=ax2－3x＋a2－1(a≠0)的图象，则a的值为　－　。
14.(3分)当0≤x≤3时，直线y=a与抛物线y=(x－1)2－3有交点，则a的取值范围是　 　。
15.(3分)已知二次函数y=ax2－4ax＋3a(a≠0)。若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为 。
16.(3分)某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面示意图如图所示，球台长度AB=274 cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC=12 cm，出球管道CD=5 cm。若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD'的位置，则发球机模式为“跳球”，路线呈抛物线，在离球台正中间的球网GH左侧72 cm处到达最高点，并高出台面21 cm。如果此时发球，那么乒乓球落台点E与球台端线点B之间的距离EB=　 　cm(结果保留根号)。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，(0，－3)，求它的函数表达式。
18.(8分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点坐标为(1，4)，且过点(－1，0)。
(1)(4分)求抛物线的函数表达式。
(2)(4分)将抛物线向左平移几个单位，可使得平移后的抛物线经过原点？
19.(8分)如图，已知二次函数y=ax2＋x＋c(a≠0)的图象与y轴相交于点A(0，4)，与x轴相交于点B，C，点C的坐标为(8，0)，连结AB，AC。
(1)(4分)求二次函数y=ax2＋x＋c的表达式。
(2)(4分)判断△ABC的形状，并说明理由。
20.(8分)哪吒是我国古典神话中家喻户晓的形象，2025年一部关于哪吒的国产动画电影热映，掀起了有关哪吒形象的文化热潮，某商家顺势推出A，B两款“哪吒”文旅纪念品。已知购进A款纪念品200个，B款纪念品300个，需花费14 000元；购进A款纪念品100个，B款纪念品200个，需花费8 000元。
(1)(2分)求A，B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元。
(2)(3分)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A，B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)(3分)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个。设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元，w表示该商家销售A款纪念品的利润(单位：元)，求w关于a的函数表达式，并求出w的最大值。
21.(8分)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度为0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km。请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式。
22.(10分)已知二次函数y=x2－2tx＋3(t＞0)。
(1)(3分)若它的图象过点(2，1)，则t的值为多少？
(2)(3分)当0≤x≤3时，y的最小值为－2，求出t的值。
(3)(4分)如果A(m－2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，点B在对称轴右侧且a＜b＜3，求m的取值范围。
23.(10分)综合与实践。
矩形种植园最大面积探究
情境 实践基地有一长为12米的墙MN。研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园。假设矩形一边CD=x米，矩形种植园的面积为S。
分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边BC用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最大值。
探究 思考一：(1)将墙MN的一部分用来替代篱笆，按如图1的方案围成矩形种植园。
思考二：(2)将墙MN的全部用来替代篱笆，按图2的方案围成矩形种植园。
解决 问题 根据分析，分别求出思考一与思考二两种方案中的S的最大值，比较并判断矩形种植园的面积最大为多少。
24.(12分)阅读理解：【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称这三个实数x，y，z构成“友好数”。
【材料二】若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋x2=－，x1x2=。
问题解决：(1)(3分)实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由。
(2)(3分)若M1(t，y1)，M2(t－1，y2)，M3(t＋1，y3)三点均在函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“友好数”，求t的值。
(3)(6分)设三个实数x1，x2，x3是“友好数”且满足0＜x1＜x3＜x2，其中x1，x2是关于x的一元二次方程nx2＋mx＋n=0(n≠0)的两个根，x3是抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的一个交点的横坐标。
①(3分)a＋b＋c=　 　。
②(3分)设x=，y=，求y关于x的函数表达式。

展开更多......

收起↑