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第3章 圆的基本性质 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.如图，一把纸扇打开后，∠AOB=150°，OA=24，则的长为(　C　)
A.30π B.25π C.20π D.10π
第1题图　　　 第2题图　　　 第3题图
2.如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，连结CD，OD，AC。若∠BOD=124°，则∠ACD的度数为(　C　)
A.56° B.33° C.28° D.23°
【解析】 ∵∠BOD=124°，
∴∠AOD=180°－∠BOD=56°，
∴∠ACD=∠AOD=28°。
3.如图，直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，则α＋β的度数为(　B　)
A.115° B.120° C.135° D.144°
【解析】 ∵∠A=∠F==120°，
∴α＋β=∠AMN＋∠FNM=360°－∠A－∠F=120°。
4.如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为100 mm，两直管道的长度都为200 mm，则管道的展直长度(图中虚线所表示的中心线的长度)为(　D　)
A.400 mm
B.(400π＋400)mm
C.(100π＋400)mm
D.(200π＋400)mm
5.如图，已知AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论中，正确的是(　B　)
A.OE=CE B.
C.△BOC是等边三角形 D.四边形ODBC是菱形
第5题图　　　 第6题图　　　 第7题图
6.如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的两点。若∠CAB=65°，则∠ADC的度数为(　A　)
A.25° B.35° C.45° D.65°
7.如图，AB为☉O的弦，C是的中点，连结AC并延长，OB是☉O的半径，作BE⊥OB，交AC的延长线于点D，连结BC。给出下列结论：①若∠A=30°，则AD∥OB；②若AB=2BD，则BD2＋CD2=AC2。其中正确的是(　A　)
A.①②都对 B.①对，②错 C.①错，②对 D.①②都错
【解析】 连结OC交AB于点F，则∠OBC=∠OCB。
∵C是的中点，
∴OC垂直平分AB，AC=BC，
∴∠FBC=∠A，AF=BF，∠BFC=90°，
∴∠FBC＋∠OCB=90°。
∵BE⊥OB，∴∠DBC＋∠OBC=∠OBE=90°，∴∠DBC=∠FBC。
若∠A=30°，可证明∠ABO=30°，则AD∥OB，①正确；
若AB=2BD，则BD=BF，可证明△BCD≌△BCF，∴∠BDC=∠BFC=90°，∴BD2＋CD2=BC2=AC2，②正确。
8.如图，在☉O内有折线OABC，其中OA=6，AB=10，∠A=∠B=60°，则BC的长为(　B　)
A.8 B.16 C.18 D.20
　　　
第8题答图
【解析】 如答图，延长AO，交BC于点D，过点O作OH⊥BC于点H。
∵∠A=∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=BD=AB=10，
∴OD=AD－OA=4，∠DOH=90°－∠ADB=30°，
∴DH=OD=2，∴BH=BD－DH=8。
∵OH⊥BC，∴CH=BH=8，∴BC=16。
9.如图，☉P与x轴相交于点A(－5，0)，B(1，0)，与y轴的正半轴相交于点C。若∠ACB=60°，则点C的纵坐标为(　B　)
A. B.2 C.4 D.2＋2
　　　
第9题答图
【解析】 如答图，连结PA，PB，PC，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥OC于点E。
∵∠ACB=60°，∴∠APB=120°。
又∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=30°。
∵点A(－5，0)，B(1，0)，
∴AB=6，∴AD=BD=3，∴OD=2，
∴易得PD=，PA=PB=PC=2。
∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC=90°，
∴四边形PEOD是矩形，
∴OE=PD=，PE=OD=2，
∴CE==2，
∴OC=CE＋OE=2，
即点C的纵坐标为2。
10.如图，在☉O中，直径AB=10，C，D是半圆ACB上的两点，半径OB上存在点P，满足∠APC=∠BPD=45°，延长DP交☉O于点E，连结CE。若DE=7，则CE的长为(　D　)
A.3 B.6 C.6 D.8
　　　
第10题答图
【解析】 如答图，连结OC，OD，则OC=OD=AB=5。
设PD=a。
∵DE=7，∴PE=DE－PD=7－a。
∵点P在半径OB上，∴PE＞PD，∴7－a＞a，∴a＜。
∵∠APC=∠BPD=45°，∴∠APC=∠BPD=∠APE=45°，∠CPD=90°。
根据圆的对称性，得点C，E关于☉O的直径AB对称，
∴PC=PE=7－a，∴△PCE是等腰直角三角形，
∴∠PEC=45°，∴∠COD=90°，
∴CD2=OC2＋OD2=50。
∵∠CPD=90°，∴PC2＋PD2=CD2，
∴(7－a)2＋a2=50，
整理，得a2－7a＋24=0，
解得a1=3，a2=4。
∵a＜，∴a=3，∴PC=PE=7－a=4。
在Rt△PCE中，CE==8。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，的长为4π，则OB的长为　6　。
12.(3分)如图，△ABC是☉O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB=25°，则∠CAB=　40　°。
　　　
第12题答图
【解析】 如答图，连结OB。
∵∠ACB=25°，∴∠AOB=2∠ACB=50°。
又∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=(180°－∠AOB)=65°。
∵OA∥CB，∴∠OAC=∠ACB=25°，
∴∠CAB=∠OAB－∠OAC=40°。
13.(3分)如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=50°。连结OA，OB，则∠AOB的度数为　160　°。
【解析】 在优弧AB上取一点D，连结AD，BD，
则∠AOB=2∠ADB=2(180°－∠ACB)=2(∠CAB＋∠CBA)=160°。
14.(3分)如图，五边形ABCDE是☉O的内接正五边形，AF是☉O的直径，则∠CDF的度数为　18　°。
15.(3分)如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，以点B为圆心，AB长为半径作弧，再以BC长为直径作半圆。若AB=4，则阴影部分的面积为　6－π　(结果保留π)。
　　　
第15题答图
【解析】 如答图所示标注字母F，连结CF，过点F作FE⊥BC于点E，则∠FEB=∠FEC=90°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD=∠ABD=45°，BC=AB=CD=4。
∵BC是直径，∴∠CFB=90°，
∴△CFB是等腰直角三角形，
∴BF=CF，∴点E为半圆BFC的圆心，
∴EF=BE=EC=BC=2。
由割补法易知S阴影=S△BCD－S△BEF－S扇形CEF=×4×4－×2×2－=6－π。
16.(3分)如图，在☉O中，弦AC=BD，AC和BD相交于点E，F为上一点，连结AF，BF，AB，AD，AF交BD于点G。若AB=，AC⊥BD，，则BF＋CE= 　。
　　　
第16题答图
【解析】 如答图，连结BC。
∵AC=BD，∴，∴，∴∠ABD=∠BAC，∴AE=BE。
又∵AC⊥BD，∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AB=。
∵，∴∠FAC=∠DAC=∠DBC。
∵AC⊥DG，∴GE=DE，∴AE垂直平分DG，∴AG=AD，∴∠AGD=∠ADG。
∵∠BGF=∠AGD，∠AFB=∠ADB，∴∠BGF=∠BFG，∴BF=BG。
在△BCE和△AGE中，
∵∴△BCE≌△AGE(ASA)，∴CE=GE，∴BF＋CE=BG＋GE=BE=。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味。如图是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB=10分米，C为AB的中点，D为拱门的最高点，圆心O在线段CD上，CD=25分米，求拱门所在圆的半径。
　　　
第17题答图
解：如答图，连结OA。
设拱门所在圆的半径为r分米。
∵AB=10分米，C为AB的中点，D为拱门的最高点，
∴AB⊥CD，
∴AC=AB=5分米。
∵CD=25分米，
∴OC=CD－OD=(25－r)分米。
在Rt△ACO中，AC2＋OC2=OA2，
∴52＋(25－r)2=r2，∴r=13。
答：拱门所在圆的半径是13分米。
18.(8分)小滨、小江在研究圆心角定理时发现，除了定理中提到的四对量以外，还有其他量，比如三角形的面积、弓形的周长、扇形的面积等。于是，就有了这样的思考：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距、两个三角形的面积、两个弓形的周长、两个扇形的面积中有一对量相等，那么其余的量是否也相等？因而，他们提出了如下猜想：点A，B，C，D均在☉O上，其中∠AOB，∠COD均小于180°。
小滨：若∠AOB=∠COD，则△AOB和△COD的面积相等。
小江：若△AOB和△COD的面积相等，则∠AOB=∠COD。
请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由。
解：小滨的结论正确。理由如下：
如答图1。
第18题答图1
∵∠AOB=∠COD，OA=OB=OC=OD，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴△AOB的面积=△COD的面积；
小江的结论错误。理由如下：
如答图2，当A，O，D三点共线时，△AOB的面积=△COD的面积，但是∠AOB不一定等于∠BOD。
故小江的结论错误。
第18题答图2
19.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作☉O，交BC于点D，交AC于点E。
(1)(4分)求证：D是边BC的中点。
(2)(4分)记的度数为α，∠C的度数为β，探究α与β的数量关系。
　　 　
第19题答图
解：(1)如答图，连结AD。
∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。
又∵AB=AC，∴BD=CD，
即D是边BC的中点。
(2)如答图，连结OE。
∵的度数为α，∴∠AOE=α。
∵OA=OE，∴∠OAE=。
∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAD=∠OAE=45°－α。
又∵∠CAD＋∠C=90°，∴45°－α＋β=90°，∴β－α=45°。
20.(8分)如图，☉O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF，交OB于点G，连结BC。
(1)(4分)求证：GE=BE。
(2)(4分)若OG=1，CD=8，求BC的长。
　　　
第20题答图
解：(1)∵D是的中点，
∴，∴∠FCD=∠BCD。
在△GCE和△BCE中，
∵
∴△GCE≌△BCE(ASA)，∴GE=BE。
(2)如答图，连结OC。
设GE=BE=x，则OB=1＋2x。
∵AB⊥CD，CD=8，
∴CE=DE=4。
在△OCE中，OE2＋CE2=OC2，
即(1＋x)2＋42=(1＋2x)2，
解得x1=2，x2=－(舍去)，
∴BE=2，∴BC==2。
21.(8分)如图，AB是☉O的直径，C，D为☉O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E。
(1)(4分)求证：BD平分∠ABC。
(2)(4分)若BC=4，DE=3，求☉O的半径长。
　　　
第21题答图
解：(1)∵OD∥BC，∴∠ODB=∠CBD。
∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC。
(2)如答图，过点O作OH⊥BC于点H。
∵BC=4，∴BH=CH=BC=2。
∵OD∥BC，∴∠DOE=∠OBH。
在△ODE和△BOH中，
∵
∴△ODE≌△BOH(AAS)，
∴DE=OH=3。
在Rt△OBH中，OB=，
∴☉O的半径长为。
22.(10分)司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖(如图1)。司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20 cm，根据八个方位将圆形八等分(图2中的点A~H)，连结DG，BH并延长，两者相交于点P。
(1)(2分)点P位于点D的北偏东　67.5　°的方向上。
(2)(4分)求PH的长。
(3)(4分)连结BG，比较线段BG与PH的长度大小，并说明理由。
解：(1)如答图1，连结OA，OB，OG，BD。
∵八个方位将圆形八等分，∴∠AOB==45°，
∴∠BOG=45°×3=135°，∴∠BDP=∠BOG=67.5°，
即点P位于点D的北偏东67.5°。
第22题答图1 第22题答图2 第22题答图3
(2)如答图2，连结DB，DH，则DH为直径，
∴∠B=90°，DH=20 cm，
由(1)知∠BDP=67.5°，
∴∠P=90°－67.5°=22.5°。
∵的度数为45°，∴∠HDG=×45°=22.5°，∴PH=DH=20 cm。
(3)PH＞BG。理由如下：
如答图3，连结OG，BF，过点G作GM⊥BF于点M。
∵∠GOM=45°，OG=10 cm，
∴GM=OG=5 cm，∴BM=OB＋OM=(10＋5)cm。
在Rt△BGM中，BG2=BM2＋GM2=200＋100。
又∵PH2=400，∴PH2＞BG2，∴PH＞BG。
23.(10分)如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB。
(1)(3分)求证：DB平分∠ADC。
(2)(3分)求∠BAD的度数。
(3)(4分)过点C作CF∥AD，交AB的延长线于点F，若AC=AD，BF=2，求此圆的半径长。
解：(1)∵∠BAC=∠ADB，∠BAC=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB，∴DB平分∠ADC。
(2)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD。
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC＋∠ADC=180°，
∴∠ABD＋∠CBD＋∠ADB＋∠CDB=180°，
∴2(∠ABD＋∠ADB)=180°，
∴∠ABD＋∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°－90°=90°。
(3)∵∠BAE＋∠DAE=90°，∠BAE=∠ADE，
∴∠ADE＋∠DAE=90°，∴∠AED=90°。
∵∠BAD=90°，∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，∴AD=CD。
又∵AC=AD，∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°，∴∠BDC=∠ADC=30°。
∵CF∥AD，∴∠F＋∠BAD=180°，
∴∠F=90°。
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC＋∠ABC=180°。
又∵∠FBC＋∠ABC=180°，
∴∠FBC=∠ADC=60°，∴BC=2BF=4。
∵∠BCD=90°，∠BDC=30°，
∴BC=BD，∴BD=8，
∴圆的半径为4。
24.(12分)如图1，在△ABC中，D在边AC上，☉O为锐角三角形BCD的外接圆，连结CO并延长，交AB于点E。
(1)(4分)若∠DBC=α，请用含α的代数式表示∠DCE。
(2)(8分)如图2，过点B作BF⊥AC，垂足为F，BF与CE相交于点G，已知∠ABD=∠CBF。
①(4分)求证：EB=EG。
②(4分)若CE=5，AC=8，求FG＋FB的值。
解：(1)如答图1，连结OD。
∵∠DOC=2∠DBC=2α，OD=OC，
∴∠DCE=(180°－∠DOC)=90°－α。
第24题答图1 第24题答图2
(2)①∵∠ABD=∠CBF，
∴∠EBG=∠ABD＋∠DBF=∠CBF＋∠DBF=∠DBC。
设∠DBC=α，由(1)得∠DCE=90°－α。
∵BF⊥AC，∴∠FGC=∠BGE=α，
∴∠EBG=∠EGB，∴EB=EG。
②如答图2，过点E作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N。
由①得∠EBG=α，∠ACE=90°－α。
∵BF⊥AC，∴∠A=90°－α=∠ACE，∴AE=CE=5。
∵EN⊥AC，AC=8，∴CN=4，∴EN=3。
∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，
∴四边形EMFN为矩形，∴EN=MF=3。
∵EB=EG，EM⊥BG，
∴BM=GM，∴FG＋FB=FM－MG＋FM＋BM=2FM=6。第3章 圆的基本性质 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.如图，一把纸扇打开后，∠AOB=150°，OA=24，则的长为( )
A.30π B.25π C.20π D.10π
第1题图　　　 第2题图　　　 第3题图
2.如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，连结CD，OD，AC。若∠BOD=124°，则∠ACD的度数为( )
A.56° B.33° C.28° D.23°
3.如图，直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，则α＋β的度数为( )
A.115° B.120° C.135° D.144°
4.如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为100 mm，两直管道的长度都为200 mm，则管道的展直长度(图中虚线所表示的中心线的长度)为( )
A.400 mm
B.(400π＋400)mm
C.(100π＋400)mm
D.(200π＋400)mm
5.如图，已知AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论中，正确的是( )
A.OE=CE B.
C.△BOC是等边三角形 D.四边形ODBC是菱形
第5题图　　　 第6题图　　　 第7题图
6.如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的两点。若∠CAB=65°，则∠ADC的度数为( )
A.25° B.35° C.45° D.65°
7.如图，AB为☉O的弦，C是的中点，连结AC并延长，OB是☉O的半径，作BE⊥OB，交AC的延长线于点D，连结BC。给出下列结论：①若∠A=30°，则AD∥OB；②若AB=2BD，则BD2＋CD2=AC2。其中正确的是( )
A.①②都对 B.①对，②错 C.①错，②对 D.①②都错
8.如图，在☉O内有折线OABC，其中OA=6，AB=10，∠A=∠B=60°，则BC的长为( )
A.8 B.16 C.18 D.20
　　
9.如图，☉P与x轴相交于点A(－5，0)，B(1，0)，与y轴的正半轴相交于点C。若∠ACB=60°，则点C的纵坐标为( )
A. B.2 C.4 D.2＋2
　　
10.如图，在☉O中，直径AB=10，C，D是半圆ACB上的两点，半径OB上存在点P，满足∠APC=∠BPD=45°，延长DP交☉O于点E，连结CE。若DE=7，则CE的长为( )
A.3 B.6 C.6 D.8
　　
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，的长为4π，则OB的长为　6　。
12.(3分)如图，△ABC是☉O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB=25°，则∠CAB=　 　°。
　　　
13.(3分)如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=50°。连结OA，OB，则∠AOB的度数为　 °。
14.(3分)如图，五边形ABCDE是☉O的内接正五边形，AF是☉O的直径，则∠CDF的度数为　 　°。
15.(3分)如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，以点B为圆心，AB长为半径作弧，再以BC长为直径作半圆。若AB=4，则阴影部分的面积为　 　(结果保留π)。
　　　
16.(3分)如图，在☉O中，弦AC=BD，AC和BD相交于点E，F为上一点，连结AF，BF，AB，AD，AF交BD于点G。若AB=，AC⊥BD，，则BF＋CE= 　。
　　
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味。如图是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB=10分米，C为AB的中点，D为拱门的最高点，圆心O在线段CD上，CD=25分米，求拱门所在圆的半径。
　　　
18.(8分)小滨、小江在研究圆心角定理时发现，除了定理中提到的四对量以外，还有其他量，比如三角形的面积、弓形的周长、扇形的面积等。于是，就有了这样的思考：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距、两个三角形的面积、两个弓形的周长、两个扇形的面积中有一对量相等，那么其余的量是否也相等？因而，他们提出了如下猜想：点A，B，C，D均在☉O上，其中∠AOB，∠COD均小于180°。
小滨：若∠AOB=∠COD，则△AOB和△COD的面积相等。
小江：若△AOB和△COD的面积相等，则∠AOB=∠COD。
请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由。
19.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作☉O，交BC于点D，交AC于点E。
(1)(4分)求证：D是边BC的中点。
(2)(4分)记的度数为α，∠C的度数为β，探究α与β的数量关系。
　　 　
20.(8分)如图，☉O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF，交OB于点G，连结BC。
(1)(4分)求证：GE=BE。
(2)(4分)若OG=1，CD=8，求BC的长。
　　
21.(8分)如图，AB是☉O的直径，C，D为☉O上的点，且BC∥OD，过点D作DE⊥AB于点E。
(1)(4分)求证：BD平分∠ABC。
(2)(4分)若BC=4，DE=3，求☉O的半径长。
　　　
22.(10分)司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖(如图1)。司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20 cm，根据八个方位将圆形八等分(图2中的点A~H)，连结DG，BH并延长，两者相交于点P。
(1)(2分)点P位于点D的北偏东　 　°的方向上。
(2)(4分)求PH的长。
(3)(4分)连结BG，比较线段BG与PH的长度大小，并说明理由。
23.(10分)如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB。
(1)(3分)求证：DB平分∠ADC。
(2)(3分)求∠BAD的度数。
(3)(4分)过点C作CF∥AD，交AB的延长线于点F，若AC=AD，BF=2，求此圆的半径长。
24.(12分)如图1，在△ABC中，D在边AC上，☉O为锐角三角形BCD的外接圆，连结CO并延长，交AB于点E。
(1)(4分)若∠DBC=α，请用含α的代数式表示∠DCE。
(2)(8分)如图2，过点B作BF⊥AC，垂足为F，BF与CE相交于点G，已知∠ABD=∠CBF。
①(4分)求证：EB=EG。
②(4分)若CE=5，AC=8，求FG＋FB的值。

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