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第4章 相似三角形 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片，回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm。若笔的实际长度为14 cm，则该化石的实际长度为( )
A.2 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
2.在下列各组图形中，不属于位似图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论错误的是( )
A.
第3题图　　 第4题图　　 第5题图
4.如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC。若，则=( )
A.
5.如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N。若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是( )
A.∠B＋∠4=180° B.CD∥AB
C.∠1=∠4 D.∠2=∠3
6.如图，△ABC(三边均不相等)的两条高线BD，CE 相交于点O，则图中与△BOE相似的三角形(不考虑△BOE本身)的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第6题图　　　 　　第7题图
7.如图，AB=3AE，FC=2AF，=16，则S△ABC=( )
A.16 B.18 C.20 D.24
8.如图，一束光线从点A(4，4)出发，经y轴上的点C反射后，经过点B(1，0)，则点C的坐标为( )
A. C.(0，1) D.(0，2)
　　　
9.如图，A，B，C，D是☉O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，则AB的长为( )
A. B.2 C.2 D.3
10.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G。若AE=3ED，DF=CF，则的值为( )
A.
　　
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是　　。
12.(3分)两个相似多边形的一组对应边的长分别为3 cm和4.5 cm，如果它们的周长之和为30 cm，那么较大的多边形的周长为　cm。
13.(3分)黄金分割是汉字结构最基本的规律。借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观。已知习字格的一条分割线的端点A，B分别在边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且，AC=BD。若NP=2 cm，则EF的长为　　cm(结果保留根号)。
14.(3分)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一条直线上(如图)，则阴影部分的面积为　。
　　
15.(3分)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高。如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一条直线上，A，B，O三点在同一条直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG。已知小明的身高EF为1.8米，则旗杆的高AB=　　米。
16.(3分)将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似)，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是 。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)如图，BD与CE相交于点A，已知AB=6，AC=4，AD=3，且△ABC∽△ADE，求AE的长。
18.(8分)已知，求下列各式的值。
(1)(4分)；　　　　　　　(2)(4分)。
19.(8分)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点(网格线的交点)。已知点A和A1的坐标分别为(－1，－3)和(2，6)。
(1)(4分)在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标。
(2)(4分)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1。
　　　
20.(8分)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH。现连结AH，且已知AF平分∠BAH。
(1)(4分)写出一个与△ABF相似(不全等)的三角形，并证明你的结论。
(2)(4分)已知EF=1，求BF的长。
21.(8分)焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心。某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下。
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测 量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，在太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上。
测量数据 DE=2.1 m，DF=2.1 m，DM=1 m，MN=1.2 m。
备注 点F，M，D，C在同一水平线上。
根据以上信息，解决下列问题。
(1)(3分)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD=CA，请说明理由。
(2)(3分)求纪念碑的高度AB。
(3)(2分)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5 m。查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64 m。请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因(写出一条即可)。
22.(10分)如图，在☉O中，弦CD垂直直径AB于点N，点E在上，且，连结CE，DB，DE，DE交AB于点F，已知DE=DB。
(1)(3分)求证：。
(2)(3分)求证：△DCE≌△BFD。
(3)(4分)若，CD=2，求DF的长。
23.(10分)阅读理解：从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫作这个三角形的“完美分割线”。
(1)(4分)如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的“完美分割线”。
(2)(6分)在△ABC中，∠A=48°，CD为△ABC的“完美分割线”，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数。
24.(12分)【探究证明】某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下面问题，请你给出证明。
(1)(4分)如图1，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AD，BC，AB，CD上，EF⊥GH，求证：。
【结论应用】(2)(4分)如图2，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB=4，BC=6，求折痕EF的长。
【拓展运用】(3)(4分)如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，连结GD，BP，若AB=4，BC=6，EF=，求BP的长。
图1　　 图2　　 图3第4章 相似三角形 能力评价
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片，回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm。若笔的实际长度为14 cm，则该化石的实际长度为(　C　)
A.2 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
2.在下列各组图形中，不属于位似图形的是(　C　)
A. B. C. D.
3.如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论错误的是(　C　)
A.
第3题图　　 第4题图　　 第5题图
4.如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，且DE∥BC。若，则=(　A　)
A.
5.如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N。若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是(　D　)
A.∠B＋∠4=180° B.CD∥AB
C.∠1=∠4 D.∠2=∠3
6.如图，△ABC(三边均不相等)的两条高线BD，CE 相交于点O，则图中与△BOE相似的三角形(不考虑△BOE本身)的个数是(　C　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 与△BOE相似的是△BAD，△COD，△CAE。
第6题图　　　 　　第7题图
7.如图，AB=3AE，FC=2AF，=16，则S△ABC=(　B　)
A.16 B.18 C.20 D.24
【解析】 设△AEF的面积为S，则△ABC的面积为16＋S。
∵∠A=∠A，AB=3AE，且AC=3AF，
∴△AEF∽△ABC，∴，∴S=2，∴S△ABC=16＋2=18。
8.如图，一束光线从点A(4，4)出发，经y轴上的点C反射后，经过点B(1，0)，则点C的坐标为(　B　)
A. C.(0，1) D.(0，2)
　　　
第8题答图
【解析】 如答图，过点A作AD⊥y轴于点D。
∵∠ADC=∠BOC=90°，∠ACD=∠BCO，
∴△OBC∽△DAC，∴，∴，∴OC=，∴点C。
9.如图，A，B，C，D是☉O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，则AB的长为(　C　)
A. B.2 C.2 D.3
【解析】 ∵AB=AC，
∴∠D=∠ABC。
又∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，∴，
∴AB2=AE·AD=AE(AE＋ED)=12，∴AB=2。
10.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G。若AE=3ED，DF=CF，则的值为(　C　)
A.
　　　
第10题答图
【解析】 如答图，延长BE，CD，两者相交于点M。
设正方形的边长为4a，则AE=3a，ED=a，DF=CF=2a。
易得△ABE∽△DME，可得MD=a，∴FM=a。
易得△ABG∽△FMG，AB=4a，
∴。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是　1∶3　。
12.(3分)两个相似多边形的一组对应边的长分别为3 cm和4.5 cm，如果它们的周长之和为30 cm，那么较大的多边形的周长为　18　cm。
13.(3分)黄金分割是汉字结构最基本的规律。借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观。已知习字格的一条分割线的端点A，B分别在边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且，AC=BD。若NP=2 cm，则EF的长为　(2－4)　cm(结果保留根号)。
【解析】 ∵，易知AB=NP=2 cm，
∴BC=(－1)cm。
∵AC=BD，
∴AD=AB－BD=AB－AC=BC=(－1)cm，
∴CD=AD＋BC－AB=(2－4)cm，
∴易知EF=CD=(2－4)cm。
14.(3分)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一条直线上(如图)，则阴影部分的面积为　15　。
　　　
第14题答图
【解析】 如答图所示标注字母。
∵BF∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴，∴，
∴BF=2，∴GF=6－2=4。
∵CK∥DE，
∴△ACK∽△ADE，
∴，∴，
∴CK=5，∴HK=6－5=1，
∴阴影部分的面积=(HK＋GF)·GH=×(1＋4)×6=15。
15.(3分)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高。如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一条直线上，A，B，O三点在同一条直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG。已知小明的身高EF为1.8米，则旗杆的高AB=　3　米。
【解析】 ∵AD∥EG，∴∠ADO=∠EGF。
又∵∠AOD=∠EFG=90°，∴△AOD∽△EFG，∴，即，∴AO=15米。
∵AD∥BC，∴，即，∴BO=12米，∴AB=AO－BO=3米。
16.(3分)将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似)，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，CD=6，AD=2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是 和或10和15或6和7　。
【解析】 ∵AB2＋AD2=85=BC2＋CD2，∴易得∠C=90°。
分三种情况讨论：
Ⅰ.如答图1。
由已知，得△DFE∽△ECB，则。
设DF=x，CE=y，则，解得∴DE=CD＋CE=，EB=DF＋AD=；
第16题答图1 第16题答图 2 第16题答图3
Ⅱ.如答图2。
由已知，得△DCF∽△FEB，则。
设FC=m，FD=n，则，解得∴FD=10，BF=FC＋BC=15；
Ⅲ.如答图3。
易知此时两个直角三角形的斜边长为6和7。
综上所述，斜边长可能是和或10和15或6和7。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)如图，BD与CE相交于点A，已知AB=6，AC=4，AD=3，且△ABC∽△ADE，求AE的长。
解：∵△ABC∽△ADE，∴，∴，∴AE=2。
18.(8分)已知，求下列各式的值。
(1)(4分)；　　　　　　　(2)(4分)。
解：(1)∵，∴a=b，c=d，∴原式=。
(2)∵，∴a=b，c=d，e=f，∴原式=。
19.(8分)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点(网格线的交点)。已知点A和A1的坐标分别为(－1，－3)和(2，6)。
(1)(4分)在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标。
(2)(4分)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1。
　　　
第19题答图
解：(1)如答图，点D即为所求。由图可得，点D的坐标为(－2，－1)。
(2)如答图，△A1B1C1即为所求。
20.(8分)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH。现连结AH，且已知AF平分∠BAH。
(1)(4分)写出一个与△ABF相似(不全等)的三角形，并证明你的结论。
(2)(4分)已知EF=1，求BF的长。
解：(1)△AHE∽△ABF。证明如下：
∵AF平分∠BAH，∴∠BAF=∠EAH。
又∵∠AFB=∠AEH=90°，∴△ABF∽△AHE。
(2)由题意，得△AFB≌△DEA，四边形EFGH是正方形，
∴AE=BF，EH=EF=1。设BF=x，则AE=x，AF=x＋1。
∵△ABF∽△AHE，∴，∴，解得x=(负值舍去)，∴BF=。
21.(8分)焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心。某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下。
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测 量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，在太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上。
测量数据 DE=2.1 m，DF=2.1 m，DM=1 m，MN=1.2 m。
备注 点F，M，D，C在同一水平线上。
根据以上信息，解决下列问题。
(1)(3分)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD=CA，请说明理由。
(2)(3分)求纪念碑的高度AB。
(3)(2分)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5 m。查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64 m。请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因(写出一条即可)。
解：(1)∵太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，∴。
∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DE=DF，∴CD=CA。
(2)如答图，设BN与DE的交点为H，则四边形BCDH和MNHD是矩形。
第21题答图
∵DE=2.1 m，DF=2.1 m，DM=1 m，MN=1.2 m，
∴CD=BH，BC=DH=MN=1.2 m，NH=DM=1 m，∴EH=DE－DH=0.9 m。
设AB=x(m)，则AC=AB＋BC=(1.2＋x)m，
∴BH=CD=AC=(1.2＋x)m，∴NB=BH＋NH=(2.2＋x)m。
∵EH∥AB，∴△NEH∽△NAB，∴，∴，解得x=19.8。
经检验，x=19.8是分式方程的解，且符合题意。
答：纪念碑AB的高度为19.8 m。
(3)纪念碑的实际高度为19.64 m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5 m，(2)中纪念碑AB的高度为19.8 m，则小红的结果误差较大。
原因是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果(原因不唯一，合理即可)。
22.(10分)如图，在☉O中，弦CD垂直直径AB于点N，点E在上，且，连结CE，DB，DE，DE交AB于点F，已知DE=DB。
(1)(3分)求证：。
(2)(3分)求证：△DCE≌△BFD。
(3)(4分)若，CD=2，求DF的长。
解：(1)∵DE=DB，∴。
∵AB是☉O的直径，CD⊥AB，∴，∴，∴，∴。
(2)∵CD⊥AB，∴。
又∵，∴，∴∠CDE=∠B。
∵，∴∠E=∠BDF。
又∵DE=DB，∴△DCE≌△BFD(ASA)。
(3)∵AB⊥CD，∴ND=CD=。
设NF=x，则BF=5x，NB=6x。
∵，∴∠CDE=∠B。
又∵∠DNF=∠BND，∴△DNF∽△BND，∴ND2=NF·NB，
∴3=6x2，∴x=，∴NF=，∴DF=。
23.(10分)阅读理解：从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫作这个三角形的“完美分割线”。
(1)(4分)如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的“完美分割线”。
(2)(6分)在△ABC中，∠A=48°，CD为△ABC的“完美分割线”，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数。
解：(1)∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=180°－∠A－∠B=80°。
∵∠A≠∠B≠∠ACB，∴△ABC不是等腰三角形。
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A，
∴△ACD为等腰三角形，∴∠DCB=∠A=40°。
又∵∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的“完美分割线”。
(2)①如答图1所示。
当AD=CD时，∠ACD=∠A=48°。
根据“完美分割线”的定义，可得△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，则∠ACB=∠ACD＋∠BCD=96°。
第23题答图1　　　 第23题答图2　　　 第23题答图3
②如答图2所示。
当AD=AC时，∠ACD=∠ADC==66°。
根据“完美分割线”的定义，可得△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD＋∠BCD=114°。
③如答图3所示。
当AC=CD时，∠ADC=∠A=48°。
根据“完美分割线”的定义，可得△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，∴∠BCD=∠A=∠ADC=48°。
而∠ADC＞∠BCD，所以这种情况不符合题意。
综上所述，∠ACB的度数为96°或114°。
24.(12分)【探究证明】某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下面问题，请你给出证明。
(1)(4分)如图1，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AD，BC，AB，CD上，EF⊥GH，求证：。
【结论应用】(2)(4分)如图2，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB=4，BC=6，求折痕EF的长。
【拓展运用】(3)(4分)如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，连结GD，BP，若AB=4，BC=6，EF=，求BP的长。
图1　　 图2　　 图3
解：(1)如答图1，过点A作AP∥EF，交BC于点P，过点B作BQ∥GH，交CD于点Q，BQ交AP于点T。
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形，∴AP=EF，GH=BQ。
∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠BAT＋∠ABT=90°。
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP=∠C=90°，AD=BC，
∴∠ABT＋∠CBQ=90°，∴∠BAP=∠CBQ，∴△ABP∽△BCQ，
∴，∴。
第24题答图1　　　 第24题答图2　　　 第24题答图3
(2)如答图2，连结BD。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AB=CD=4，∴BD==2。
∵D，B关于EF对称，
∴BD⊥EF，∴由(1)知，，∴，∴EF=。
(3)如答图3，过点F作FH⊥EG于点H，过点P作PJ⊥BF于点J。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，AD=BC=6，∠A=90°，
同(2)可得，∴DG=2，
∴AG==2。
由翻折可知，ED=EG。
设ED=EG=x。
在Rt△AEG中，EG2=AE2＋AG2，
∴x2=(6－x)2＋22，∴x=，
∴DE=EG=，AE=6－。
∵FH⊥EG，
∴∠FHG=∠HGP=∠GPF=90°，∴四边形HGPF是矩形，
∴FH=PG=CD=4，
∴EH=，
∴GH=FP=CF=EG－EH==2。
∵PF∥EG，EA∥FB，∴∠AEG=∠JFP。
又∵∠A=∠FJP=90°，∴△AEG∽△JFP，
∴，∴，
∴FJ=，PJ=，
∴BJ=BC－FJ－CF=6－－2=。
在Rt△BJP中，BP=。

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