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全册复习
(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.如图，该几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.下列说法中，正确的是( )
A.在13个人中至少有两个人的生肖相同
B.抽奖的中奖率是1%，买100 张奖券就会中奖
C.一副扑克牌任取一张是红桃K，这是必然事件
D.“若实数a＜0，则2a＜0”是随机事件
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=，则cos A等于( )
A.
4.在一个不透明的盒子中，装有2个黑球，4个红球和6个白球，它们除了颜色外其他都相同，从盒子中任意摸出一个球，是红球的概率为( )
A.
5.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(2，－3)，则下列说法正确的是( )
A.k=6 B.图象在第二、四象限
C.y随x的增大而增大 D.点(1，6)在该反比例函数图象上
6.一次函数y=ax＋c(a≠0)与二次函数y=ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A(－1，0)，与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，顶点坐标为(1，n)，给出以下结论：①－1≤a≤－；②关于x的方程ax2＋bx＋c=n＋1有两个不相等的实数根。其中( )
A.①正确，②错误 B.①错误，②正确
C.①，②均正确 D.①，②均错误
8.如图，在△ABC中，∠A=90°，O是边BC上一点，以点O为圆心的半圆分别与边AB，AC相切于点D，E，连结OD。已知BD=2，AD=3，则阴影部分的面积为( )
A.9π B.
　　　
9.如图，抛物线y=x2－x－3的图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，动点P在射线AB上运动，△BCP的外接圆为☉M，当圆心M落在该抛物线上时，AP的值为( )
A.3 B.3.5 C.4 D.5
　　
10.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，BF与CE相交于点H，直线EN交CB的延长线于点N，过点C作CM⊥EN于点M，交BF于点G，且CM=CD。给出以下结论：①BF⊥CE；②ED=EM；③tan∠ENC=；④S四边形DEHF=4S△CHF。其中正确的是( )
A.③ B.①② C.①②④ D.①②③④
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)若A，B(－1，y2)，C为二次函数y=ax2＋4ax＋5(a＞0)图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是　 　。
12.(3分)如图是某大坝的横断面，斜坡AB的坡比i=1∶2，背水坡CD的坡比i=1∶1。若坡面CD的长为6 米，则斜坡AB的长为　 　米。
　　　
13.(3分)用一个圆心角为126°，半径为10 cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 　cm。
14.(3分)如图，在 OABC中，点A在y轴上，点B和点C分别在反比例函数y=(k1＞0，x＞0)和y=(k2＜0，x＞0)的图象上。若 OABC的面积为20，则k1－k2=　　。
　　　
15.(3分)如图1是一枚残缺的古代钱币。图2是其几何示意图，四边形ABCD是正方形，☉O的直径为2 cm，且正方形的中心和圆心O重合，E，F分别是DA，CD的延长线与☉O的交点，则钱币残缺部分(即图2中阴影部分)的面积为 　cm2。
16.(3分)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G。若=3，则的值是 　。
　　　
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)求下列各式的值：
(1)(4分)tan 30°·sin 30°－3cos 60°；
(2)(4分)cos245°＋2sin 30°－tan 60°。
18.(8分)在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小丽和小芳想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小丽和小芳都公平的方案。甲同学的方案：将红桃2，3，4，5四张牌背面向上，小丽先抽一张，小芳从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小丽看电影，否则小芳看电影。
(1)(4分)甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明。
(2)(4分)乙同学将甲的方案修改为只用红桃2，3，5，7四张牌，抽取方式及规则不变，乙同学的方案公平吗？请说明理由。
19.(8分)网上直播购物逐渐走进了人们的生活。为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在直播平台上对我县红富士苹果进行直播销售。已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克。通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克。若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为x元/千克，每日获得的利润为w元。
(1)(2分)涨价后每日销量将减少　　件(用含x的代数式表示)。
(2)(6分)当售价为多少时，每日获得的利润最大？最大利润为多少？
20.(8分)如图，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=5，AC=12，点D在AC上。连结BD，过点A作AF⊥BD交BD于点E，交BC于点F。
(1)(3分)求证：△AED∽△BAD。
(2)(5分)过点F作FG⊥AC交AC于点G，若AD=，求AG的长。
21.(8分)根据以下素材，探索完成任务。
项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好地推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究。
素材一 将电池板的侧面摆放情况抽象成如图所示的数学示意图，其中第一排电池板AD位置固定，第二排电池板HG位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变，DE，GM所在的直线垂直于水平线AC，坡面AB=4 m，∠BAC=16°，AD=HG=100 cm，AE=91 cm，∠DAC=31°。
素材二 上午太阳光线与水平线的夹角α范围为14°＜α≤29°，EF为阴影长，为了使得太阳能电池板有充足的阳光照射，点H要落在阴影外面。
问题解决
任务一 计算角度 (1)(2分)当α等于14°时，∠AFD=　°。
任务二 探究影长 (2)(3分)求DE在斜坡上的阴影EF的取值范围(精确到0.1 cm)。
任务三 方案选择 (3)(3分)方案一：若在该斜坡上安装3排100 cm的电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板下面两个端点之间的最大间距为多少(精确到1 cm)？ 方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来100 cm长的电池板最大可以定制多长(精确到0.1 cm)？ (选择其中的一种方案进行研究)
(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)
22.(10分)如图1，☉O是△ABC的外接圆，点O在AB上，延长AB至点D，使得∠DCB=∠CAB。
(1)(4分)求证：DC为☉O的切线。
(2)(6分)若∠ACB的平分线CE交线段AB于点F，交于点E，连结BE，如图2，其中CD=4，tan∠CEB=，求CF·CE的值。
23.(10分)新定义：我们把抛物线y=ax2＋bx＋c(其中ab≠0)与抛物线y=bx2＋ax＋c称为“关联抛物线”。例如：抛物线y=2x2＋3x＋1的“关联抛物线”为：y=3x2＋2x＋1。已知抛物线C1：y=2ax2＋ax＋a－3(a≠0)的“关联抛物线”为C2。
(1)(4分)写出C2的表达式(用含a的式子表示)及顶点坐标。
(2)(6分)若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N。
①(3分)当MN=6a时，求点P的坐标。
②(3分)当a－3≤x≤a－1时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值。
24.(12分)如图，已知AF是☉O的直径，弦BC⊥AF于点G，D是上的一点，AD，BC的延长线相交于点E。连结BD交AF于点M，连结CD。若ED=2AD。
【认识图形】(1)(3分)求证：∠EDC=∠ADB。
【探索关系】(2)(6分)①(3分)BD与BE之间有什么数量关系？
②(3分)设=x，=y，求y关于x的函数关系式。
【问题解决】(3)(3分)若BM=3，MD=4，求AD的长。
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(满分：120分　时间：120分钟)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1.如图，该几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是(　B　)
A.6 B.7 C.8 D.9
2.下列说法中，正确的是(　A　)
A.在13个人中至少有两个人的生肖相同
B.抽奖的中奖率是1%，买100 张奖券就会中奖
C.一副扑克牌任取一张是红桃K，这是必然事件
D.“若实数a＜0，则2a＜0”是随机事件
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=，则cos A等于(　D　)
A.
4.在一个不透明的盒子中，装有2个黑球，4个红球和6个白球，它们除了颜色外其他都相同，从盒子中任意摸出一个球，是红球的概率为(　B　)
A.
5.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(2，－3)，则下列说法正确的是(　B　)
A.k=6 B.图象在第二、四象限
C.y随x的增大而增大 D.点(1，6)在该反比例函数图象上
6.一次函数y=ax＋c(a≠0)与二次函数y=ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　B　)
A. B. C. D.
【解析】 易得一次函数和二次函数都经过y轴上的点(0，c)，
∴两个函数图象相交于y轴上的同一点，A不符合题意。
当a＞0时，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象开口向上，
一次函数y=ax＋c中y随x的增大而增大，D不符合题意。
当a＜0时，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象开口向下，
一次函数y=ax＋c中y随x的增大而减小，C不符合题意，B符合题意。
7.已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A(－1，0)，与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，顶点坐标为(1，n)，给出以下结论：①－1≤a≤－；②关于x的方程ax2＋bx＋c=n＋1有两个不相等的实数根。其中(　A　)
A.①正确，②错误 B.①错误，②正确
C.①，②均正确 D.①，②均错误
【解析】 ∵抛物线的顶点坐标为(1，n)，
∴抛物线的对称轴为直线x=－=1，∴b=－2a。
∵抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，
∴a－b＋c=0，∴c=b－a=－2a－a=－3a。
∵抛物线与y轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)，
∴2≤c≤3，即2≤－3a≤3，∴－1≤a≤－，①正确。
∵抛物线的顶点坐标为(1，n)，开口向下，∴直线y=n与抛物线只有一个交点，
∴直线y=n＋1与抛物线没有公共点，
∴关于x的方程ax2＋bx＋c=n＋1没有实数根，②错误。故选A。
8.如图，在△ABC中，∠A=90°，O是边BC上一点，以点O为圆心的半圆分别与边AB，AC相切于点D，E，连结OD。已知BD=2，AD=3，则阴影部分的面积为(　D　)
A.9π B.
　　　
第8题答图
【解析】 如答图，连结OE，设半圆交BC于点F，G。
∵以点O为圆心的半圆分别与边AB，AC相切于点D，E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ODA=∠OEA=90°。
又∵∠A=90°，OD=OE，∴四边形ADOE为正方形，
∴OD=OE=AE=AD=3，∠DOE=90°，∴∠FOD＋∠EOG=90°。
易知OD∥AC，∴△BDO∽△BAC，∴，即，∴AC=，
∴S阴影=S△ABC－S正方形ADOE－(S扇形DOF＋S扇形EOG)=×5×－32－。
9.如图，抛物线y=x2－x－3的图象与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，动点P在射线AB上运动，△BCP的外接圆为☉M，当圆心M落在该抛物线上时，AP的值为(　A　)
A.3 B.3.5 C.4 D.5
　　　
第9题答图
【解析】 在y=x2－x－3中，令x=0，则y=－3，∴点C(0，－3)。
令y=0，则x2－x－3=0，解得x1=－2，x2=3，
∴点A(－2，0)，B(3，0)，∴OB=OC=3。
易知△PBC的外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线y=－x上，
联立解得或(舍去)，∴点M的坐标为(2，－2)。
如答图，过点M作MN⊥AB于点N。
∵点M是圆心，MN⊥PB，∴PN=NB=1，∴OP=1，∴AP=3。
10.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，BF与CE相交于点H，直线EN交CB的延长线于点N，过点C作CM⊥EN于点M，交BF于点G，且CM=CD。给出以下结论：①BF⊥CE；②ED=EM；③tan∠ENC=；④S四边形DEHF=4S△CHF。其中正确的是(　D　)
A.③ B.①② C.①②④ D.①②③④
【解析】 ∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AD，∠BCF=∠CDE=90°。
∵E，F分别为AD，CD的中点，
∴DE=AD，CF=CD，∴DE=CF，
∴△CDE≌△BCF(SAS)，∴∠CBF=∠DCE。
∵∠DCE＋∠BCE=90°，∴∠CBF＋∠BCE=90°，
∴∠BHC=90°，∴BF⊥CE，①正确。
∵CM=CD，∠CME=∠D=90°，CE=CE，
∴Rt△CEM≌Rt△CED(HL)，∴ED=EM，②正确。
易知∠CED=∠CEM=∠ECN，∴NE=NC。
设NE=NC=x，EM=DE=AE=a，则CM=CD=2a。
在Rt△CNM中，(x－a)2＋(2a)2=x2，解得x=a，
∴tan∠ENC=，③正确。
在Rt△CDE中，CE=a。
∵∠CHF=∠D=90°，∠HCF=∠DCE，∴△CHF∽△CDE，
∴，∴S四边形DEHF=4S△CHF，④正确。
综上所述，正确的是①②③④。
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11.(3分)若A，B(－1，y2)，C为二次函数y=ax2＋4ax＋5(a＞0)图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是　y3＞y2＞y1　。
【解析】 ∵y=ax2＋4ax＋5(a＞0)，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=－=－2，
∴点A关于直线x=－2的对称点是。
又∵－＜－1＜，∴y3＞y2＞y1。
12.(3分)如图是某大坝的横断面，斜坡AB的坡比i=1∶2，背水坡CD的坡比i=1∶1。若坡面CD的长为6 米，则斜坡AB的长为　6　米。
　　　
第12题答图
【解析】 如答图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，则四边形BEFC为矩形，∴BE=CF。
∵CD的坡比i=1∶1，∴∠D=45°，∴CF=CD=×6=6(米)。
∵AB的坡比i=1∶2，
∴AE=2BE=2CF=12米，∴由勾股定理，得AB==6(米)。
13.(3分)用一个圆心角为126°，半径为10 cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 　cm。
【解析】 设底面圆半径为r(cm)，则·360°=126°，解得r=。
14.(3分)如图，在 OABC中，点A在y轴上，点B和点C分别在反比例函数y=(k1＞0，x＞0)和y=(k2＜0，x＞0)的图象上。若 OABC的面积为20，则k1－k2=　20　。
　　　
第14题答图
【解析】 如答图，连结OB。
∵点B和点C分别在反比例函数y=(k1＞0，x＞0)和y=(k2＜0，x＞0)的图象上，
∴(k1－k2)=(k1＋|k2|)=S△BOC=S OABC=10，∴k1－k2=20。
15.(3分)如图1是一枚残缺的古代钱币。图2是其几何示意图，四边形ABCD是正方形，☉O的直径为2 cm，且正方形的中心和圆心O重合，E，F分别是DA，CD的延长线与☉O的交点，则钱币残缺部分(即图2中阴影部分)的面积为 　cm2。
第15题答图
【解析】 如答图，连结OE，OF。过点O作OP⊥ED于点P，OQ⊥CF于点Q，则易知OP=OQ，∠POQ=90°。
在Rt△OEP和Rt△OFQ中，
∵∴Rt△OEP≌Rt△OFQ(HL)，∴∠EOP=∠FOQ。
又∵∠FOQ＋∠POF=90°，
∴∠EOP＋∠POF=90°，即∠EOF=90°，
∴S阴影=S扇形EOF－S△EOF=×1×1=cm2。
16.(3分)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G。若=3，则的值是 　。
　　　
第16题答图
【解析】 如答图，延长BE，交CD的延长线于点M。
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD=BC=AB。
∵=3，∴AE=DF，DE=FC。
设DE=x，则DF=3x，AD=4x。
∵ED∥BC，∴△MED∽△MBC，∴，
∴，∴MD=x，∴MF=MD＋DF=x。
∵AB∥MF，∴△ABG∽△FMG，∴。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17.(8分)求下列各式的值：
(1)(4分)tan 30°·sin 30°－3cos 60°；
(2)(4分)cos245°＋2sin 30°－tan 60°。
解：(1)原式=－3×。
(2)原式=＋2×＋1－。
18.(8分)在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小丽和小芳想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小丽和小芳都公平的方案。甲同学的方案：将红桃2，3，4，5四张牌背面向上，小丽先抽一张，小芳从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小丽看电影，否则小芳看电影。
(1)(4分)甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明。
(2)(4分)乙同学将甲的方案修改为只用红桃2，3，5，7四张牌，抽取方式及规则不变，乙同学的方案公平吗？请说明理由。
解：(1)甲同学的方案不公平。理由如下：
列表如下：
小芳 小丽　　 2 3 4 5
2 (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，2) (3，4) (3，5)
4 (4，2) (4，3) (4，5)
5 (5，2) (5，3) (5，4)
所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有8种，故小丽获胜的概率为，则小芳获胜的概率为，故此游戏两人获胜的概率不相同，即甲同学的方案不公平。
(2)公平。理由如下：
列表如下：
小芳 小丽　　 2 3 5 7
2 (2，3) (2，5) (2，7)
3 (3，2) (3，5) (3，7)
5 (5，2) (5，3) (5，7)
7 (7，2) (7，3) (7，5)
所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有6种，故小丽获胜的概率为，则小芳获胜的概率为，
故此游戏两人获胜的概率相同，即乙同学的方案公平。
19.(8分)网上直播购物逐渐走进了人们的生活。为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在直播平台上对我县红富士苹果进行直播销售。已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克。通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克。若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为x元/千克，每日获得的利润为w元。
(1)(2分)涨价后每日销量将减少　20x－200　件(用含x的代数式表示)。
(2)(6分)当售价为多少时，每日获得的利润最大？最大利润为多少？
解：(2)由题意，得w=(x－6)[160－20(x－10)]=(x－6)(360－20x)
=－20x2＋480x－2 160=－20(x－12)2＋720。
∵－20＜0，∴当x=12时，w最大，最大值为720，
∴当售价为12元/千克时，每日获得的利润最大，最大利润为720元。
20.(8分)如图，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=5，AC=12，点D在AC上。连结BD，过点A作AF⊥BD交BD于点E，交BC于点F。
(1)(3分)求证：△AED∽△BAD。
(2)(5分)过点F作FG⊥AC交AC于点G，若AD=，求AG的长。
解：(1)∵AF⊥BD，∴∠AED=90°。
∵∠BAC=90°，∴∠AED=∠BAD。
又∵∠ADE=∠BDA，∴△AED∽△BAD。
(2)∵∠FGC=∠BAC=∠AED=90°，∠EAD=∠GAF，∴△AGF∽△AED，∴。
∵△AED∽△BAD，∴，∴。
∵∠C=∠C，∠FGC=∠BAC=90°，AB=5，AC=12，∴。
设FG=5x，则GC=12x，AG=10x，
∴AC=AG＋GC=22x=12，∴x=，∴AG=10x=。
21.(8分)根据以下素材，探索完成任务。
项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好地推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究。
素材一 将电池板的侧面摆放情况抽象成如图所示的数学示意图，其中第一排电池板AD位置固定，第二排电池板HG位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变，DE，GM所在的直线垂直于水平线AC，坡面AB=4 m，∠BAC=16°，AD=HG=100 cm，AE=91 cm，∠DAC=31°。
素材二 上午太阳光线与水平线的夹角α范围为14°＜α≤29°，EF为阴影长，为了使得太阳能电池板有充足的阳光照射，点H要落在阴影外面。
问题解决
任务一 计算角度 (1)(2分)当α等于14°时，∠AFD=　30　°。
任务二 探究影长 (2)(3分)求DE在斜坡上的阴影EF的取值范围(精确到0.1 cm)。
任务三 方案选择 (3)(3分)方案一：若在该斜坡上安装3排100 cm的电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板下面两个端点之间的最大间距为多少(精确到1 cm)？ 方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来100 cm长的电池板最大可以定制多长(精确到0.1 cm)？ (选择其中的一种方案进行研究)
(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)
解：(1)如答图1，过点F作OF∥AC，∴∠AFO=∠BAC=16°，
由题意得，∠DFO=α=14°，∴∠AFD=∠AFO＋∠DFO=30°。
第21题答图1 第21题答图2
(2)如答图2，过点A作AN⊥DF于点N，延长NF交AC于点Q。
①当α=14°时，则∠NQA=14°。
∵∠DAC=31°，∴∠NDA=∠DAC＋∠NQA=45°。
∵AD=100 cm，∴AN=AD·sin∠NDA=50 cm。
∵∠AFD=30°，∴AF=2AN=100 cm。
∵AE=91 cm，
∴EF=AF－AE=100－91≈50(cm)；
②当α=29°时，
同理可得：EF=AF－AE=50－91≈31.5(cm)，
∴31.5 cm≤EF＜50 cm。
(3)方案一：∵点H在任意时刻均不能落在EF内，
∴AF最大，即AF=100 cm。
∵要充分利用斜坡，∴最后一排恰好落在点B处。
设电池板之间的最大间距为FH=x(cm)，
则100＋x＋100＋x＋91=4×100，
解得x≈13。
答：电池板之间的最大间距约为13 cm。
方案二：如图，设新电池板的长度AD'=y(cm)，
如答图3，过点D'作水平线AC的垂线，交AB于点E'，则DE∥D'E'。
第21题答图3
∵点H在任意时刻均不能落在EF内，
∴电池板安装在AF长度时取到最大，当α=14°时，AF有最大值。
同任务二可得，AF=y cm。
∵电池板与坡度保持不变，DE∥D'E'，
∴△ADE∽△AD'E'，∴，即，解得AE'=。
由题意，得y=4×100，解得y≈172.4。
答：原来100 cm长的电池板最大可以定制约为172.4 cm。
22.(10分)如图1，☉O是△ABC的外接圆，点O在AB上，延长AB至点D，使得∠DCB=∠CAB。
(1)(4分)求证：DC为☉O的切线。
(2)(6分)若∠ACB的平分线CE交线段AB于点F，交于点E，连结BE，如图2，其中CD=4，tan∠CEB=，求CF·CE的值。
解：(1)如答图1，连结OC，则OC=OA，∴∠OCA=∠CAB。
又∵∠DCB=∠CAB，∴∠DCB=∠OCA。
∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCD=90°。
又∵OC是☉O的半径，∴DC是☉O的切线。
第22题答图1 第22题答图2
(2)如答图2，过点F作FH⊥AC于点H，则∠CHF=∠AHF=90°。
∵∠ACB=90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠HCF=∠HFC=45°，∴FH=CH。
∵∠A=∠CEB，∴=tan A=tan∠CEB=，∴，HA=2FH。
∵∠AHF=∠ACB=90°，∴FH∥BC，∴，∴FA=2BF。
∵∠DCB=∠DAC，∠D=∠D，∴△DCB∽△DAC，∴，
∴BD=CD=×4=2，AD=2CD=2×4=8，
∴AB=AD－BD=8－2=6，∴2BF＋BF=6，∴BF=2，FA=4，
∴FH2＋(2FH)2=42，∴CH=FH=，∴CF=CH=。
∵∠E=∠A，∠EFB=∠AFC，
∴△EFB∽△AFC，∴，∴FE=，
∴CE=CF＋FE=，∴CF·CE=。
23.(10分)新定义：我们把抛物线y=ax2＋bx＋c(其中ab≠0)与抛物线y=bx2＋ax＋c称为“关联抛物线”。例如：抛物线y=2x2＋3x＋1的“关联抛物线”为：y=3x2＋2x＋1。已知抛物线C1：y=2ax2＋ax＋a－3(a≠0)的“关联抛物线”为C2。
(1)(4分)写出C2的表达式(用含a的式子表示)及顶点坐标。
(2)(6分)若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N。
①(3分)当MN=6a时，求点P的坐标。
②(3分)当a－3≤x≤a－1时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值。
解：(1)由题意可得，C2的表达式为：y=ax2＋2ax＋a－3(a≠0)。
∵y=ax2＋2ax＋a－3=a(x＋1)2－3，∴C2的顶点坐标为(－1，－3)。
(2)①设点P的横坐标为m，
∴点M(m，2am2＋am＋a－3)，N(m，am2＋2am＋a－3)，
∴MN=|2am2＋am＋a－3－(am2＋2am＋a－3)|=|am2－am|。
∵MN=6a，∴|am2－am|=6a，
解得m=－2或m=3，
∴点P(－2，0)或(3，0)。
②∵y=a(x＋1)2－3，∴当x=－1时，y=－3。
当x=a－3时，y=a(a－3＋1)2－3=a(a－2)2－3；
当x=a－1时，y=a(a－1＋1)2－3=a3－3。
分三种情况讨论：
Ⅰ.当a－3≤－1≤a－1且－1－(a－3)＞a－1－(－1)时，即0＜a＜1，
函数的最大值为a(a－2)2－3，函数的最小值为－3，
∴a(a－2)2－3－(－3)=2a，
解得a=2－或a=2＋(不符合题意，舍去)；
Ⅱ.当a－3≤－1≤a－1且－1－(a－3)＜a－1－(－1)时，即1＜a≤2，
函数的最大值为a3－3，函数的最小值为－3，
∴a3－3－(－3)=2a，
解得a=或a=－(舍去)；
Ⅲ.当－1≤a－3＜a－1时，即a≥2，
函数的最大值为a3－3，最小值为a(a－2)2－3，
∴a3－3－[a(a－2)2－3]=2a，
解得a=或0(均舍去)。
综上所述，a的值为2－或。
24.(12分)如图，已知AF是☉O的直径，弦BC⊥AF于点G，D是上的一点，AD，BC的延长线相交于点E。连结BD交AF于点M，连结CD。若ED=2AD。
【认识图形】(1)(3分)求证：∠EDC=∠ADB。
【探索关系】(2)(6分)①(3分)BD与BE之间有什么数量关系？
②(3分)设=x，=y，求y关于x的函数关系式。
【问题解决】(3)(3分)若BM=3，MD=4，求AD的长。
　　　
第24题答图1　　　 第24题答图2
解：(1)如答图1，连结AC。
由条件可知，∴∠ABC=∠ACB。
又∵，∴∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠ABC。
∵四边形ABCD是☉O的内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC=180°，∴∠ADB＋∠ADC=180°。
又∵∠EDC＋∠ADC=180°，∴∠EDC=∠ADB。
(2)①∵∠ADB=∠ABE，∠EAB=∠BAD，∴△EAB∽△BAD，∴。
∵ED=2AD，
设AD=m，则ED=2m，AE=AD＋ED=3m，
∴，∴AB=m，∴，即BE=BD。
②如答图2，过点D作DH⊥EB于点H。
由条件可知AG∥DH，∴，∴GH=GE。
∵MG∥DH，∴=x=。
∵=y，∴y=3x。
(3)由条件可得=y=3×=3×=4，
∴GE=4GB，设GB=a，则BE=GB＋GE=a＋4a=5a。
又∵BC⊥AF，∴GB=GC，∴EC＋GC=GE=4GB，∴EC=3GB。
由①可得，∴EB=BD=(MB＋DM)=×(3＋4)=21，
∴BG=，∴BC=2BG=，EC=21－。
∵∠E=∠E，∠EDC=∠ABE，∴△ECD∽△EAB，∴。
∵ED=2AD，设AD=m，则ED=2m，AE=AD＋ED=3m，
∴，解得m=，∴AD=。

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