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专题2　简单事件发生的概率
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
题型一　事件的分类
【典例1】 下列事件中，属于必然事件的是(　B　)
A.任意买一张电影票，座位号是2的倍数
B.13个人中至少有2个人生肖相同
C.车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D.下周六会下雨
【点悟】 判断一个事件属于哪一类事件，要从事件发生的可能性出发。
【变式1】 下列说法中，错误的是(　D　)
A.“某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件
B.“13名同学至少有2名同学的出生月份相同”属于必然事件
C.“在标准大气压下，当温度降到－5 ℃时，纯水结成冰”属于必然事件
D.“某袋中有5个黄球和若干个白球，任意摸出1个球，放回，连续摸6次，都是黄球”属于不可能事件
题型二　概率的意义及计算
【典例2】 将一个质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，该点数与3的差不大于2的概率是(　D　)
A. B.
C. D.
【点悟】 利用P(A)=求事件A的概率时，要注意正确计算所有可能的结果数n和事件A包含的可能的结果数m。
【变式2】 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投掷一个体积可以忽略的物体，则该物体落到其内切圆(阴影)区域的概率为 π　，该物体落到阴影区域的可能性　＞　(填“＞”“＜”或“=”)落到空白区域的可能性。
　变式2图
【解析】 如答图，设正三角形的边长为1，则正三角形的面积为，AB=，
　变式2答图
∴OB=AB·tan 30°=，
∴圆O的半径为，其面积为π，
故落到其内切圆(阴影)区域的概率为π。
∵，
∴物体落到阴影区域的可能性大于落到空白区域的可能性。
题型三　用列表或画树状图的方法求概率
【典例3】 小丹、小林是某中学八年级的同班同学，在升入九年级时，学校打算重新组班，他们将被随机编入A，B，C三个班。
(1)请你用列表或画树状图的方法，列出所有可能的结果。
(2)求两人再次成为同班同学的概率。
解：(1)画树状图如答图。
典例3图
由树状图可知，所有可能的结果为AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC。
(2)由(1)可知，两人再次成为同班同学的概率=。
【点悟】 一般地，计算涉及两步的随机事件的概率，既可以用列表法也可以用画树状图法，涉及三步以上的随机事件的概率，通常用画树状图法。值得注意的是，在利用列表法、画树状图法求概率时，各种情况出现的可能性必须相等，否则会产生错误。
【变式3】 已知4张卡片上分别写有－1，0，1，2，它们除所写的数不同外其余全部相同。先从中随机抽取一张，将抽到的卡片上的数记为x，不放回，再随机抽取一张记为y，则点(x，y)落在函数y=x2－x＋1的图象上的概率是 　。
【解析】 画树状图如答图。
　变式3答图
共有12种等可能的结果，其中点(x，y)落在函数y=x2－x＋1的图象上的结果只有(0，1)这一种，∴概率是。
题型四　用频率估计概率
【典例4】 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种球共40个，某班同学做摸球试验，他们将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1 000 3 000
摸到白球的 次数m 70 128 171 302 481 599 1 806
摸到白球的 频率 0.700 0.640 0.570 0.604 0.601 0.599 0.602
　　(1)请估计当n很大时，摸到白球的概率为　0.6　(精确到0.1)。
(2)估算盒子里白球的个数为　24　。
(3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x的值最有可能是多少？
解：(3)由题意，得24＋1=0.5(40＋x)，
解得x=10。
故可以推测出x的值最有可能是10。
【点悟】 可以用频率估计概率，但频率并不等于概率，当试验次数较少时，频率很可能与概率相差较大。
【变式4】 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点)，记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 …
小石子落在圆内(含圆上)的次数m 21 59 124 …
小石子落在圆外的阴影部分(含外缘)的次数n 29 91 176 …
　　(1)当投掷的次数很大时，m∶n的值越来越接近　0.7　(精确到0.1)。
(2)若以小石子落在不规则图形内的总次数为总数(即m＋n)，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率稳定在　0.4　附近(精确到0.1)。
(3)请你利用(2)中所得频率，估计整个封闭图形的面积是多少平方米(结果保留π)？
　变式4图
解：(1)21÷29≈0.72；
59÷91≈0.65；
124÷176≈0.70；
…
当投掷的次数很大时，m∶n的值越来越接近0.7。
(3)设封闭图形的面积为a，由题意，得=0.4，解得a=10π，
即整个封闭图形的面积是10π平方米。
题型五　判断游戏的公平性
【典例5】 小明和小刚用如图所示的两个均分的转盘做“配紫色”游戏，游戏规则：分别任意旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫色。若配成紫色，则小刚获胜，否则小明获胜。
(1)请用列表或画树状图的方法求出小明获胜的概率。
(2)这个游戏对双方公平吗？请说明理由。
　　
典例5图
解：(1)画树状图如答图。
　典例5答图
共有9种等可能的结果，其中不能配成紫色的结果有7种，
∴P(小明获胜)=。
(2)这个游戏对双方不公平。理由如下：
∵能配成紫色的结果有2种，
∴P(小刚获胜)=。
又∵P(小明获胜)=，
∴这个游戏对双方不公平。
【变式5】 如图是三个可以自由转动的转盘，甲、乙两人中，甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字。
(1)当转盘A和转盘B所指的数字之和为4时，就算甲获胜，否则就算乙获胜。请写出甲获胜的概率。
(2)转动三个转盘得到三个数字，当这三个数字中有相同的数时，就算甲获胜，否则就算乙获胜。请判断这个游戏对双方是否公平，并说明理由。
变式5图
解：(1)画树状图如答图1。
变式5答图1
共有4种等可能的结果，转盘A和转盘B所指的数字之和为4的结果有2种，
∴P(甲获胜)=。
(2)游戏对双方不公平。理由如下：
画树状图如答图2。
变式5答图2
有(1，2，1)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，3)，(2，2，1)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，3)，共8种等可能的结果，其中6种结果含有相同的数，
∴P(甲获胜)=，
P(乙获胜)=1－≠，
∴游戏对双方不公平。
1.下列事件中，属于随机事件的是(　D　)
A.抛出的篮球会下落
B.在只有白球的袋子里摸出1个红球
C.地球绕太阳公转
D.购买10张彩票，中一等奖
2.若气象部门预报明天下雨的概率是85%，则下列说法正确的是(　A　)
A.明天下雨的可能性比较大
B.明天一定不会下雨
C.明天一定会下雨
D.明天下雨的可能性比较小
3.在 ， ，π这4个实数中，任取1个数为无理数的概率是(　B　)
A. B.
C. D.1
4.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和9个黄球，它们只有颜色不同，摇匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，估计口袋中有红球(　C　)
A.14个 B.20个
C.21个 D.30个
5.有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是 　。
6.小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次。小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果第一次是正面，第二次是反面，那么我赢。”小红赢的概率是 　，据此判断该游戏对双方　公平　(填“公平”或“不公平”)。
【解析】 2次抛硬币出现的可能的结果有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，且每一个结果出现的可能性相同，∴P(小红赢)=，P(小明赢)=，∴游戏对双方公平。
7.如图，四边形ABCD与四边形DCEF均是边长为1的正方形，连结点A，B，C，D，E，F中任意两点均可得到一条线段，在连结两点所得的所有线段中，任取一条线段，则取到长度为无理数的线段的概率为 　。
第7题图
【解析】 连结两点所得的所有线段有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15条，
其中长度为无理数的线段有AC，AE，BD，BF，CF，DE，共6条，
∴在连结两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为无理数的线段的概率为。
8.小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3。现将标有数字的一面朝下，小明和小亮各从中任意抽取一张。计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数那么小明胜，和为偶数那么小亮胜。
(1)求小亮抽到标有数字3的卡片取胜的概率。
(2)请判断该游戏对双方是否公平？请用列表或画树状图等方法说明理由。
解：(1)画树状图如答图。
第8题答图
共有6种等可能的结果，其中小亮取胜的结果有2种，且小亮抽到标有数字3的卡片取胜的结果有1种，
所以小亮抽到标有数字3的卡片取胜的概率=。
(2)这个游戏对双方不公平。理由如下：
P(小明胜)=，P(小亮胜)=。
∵，
∴这个游戏对双方不公平。
9.不透明的口袋里只有8个球，且它们除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球。
(1)如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求x和y的值。
(2)在(1)的条件下，现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球，是红球的概率为，求取走多少个白球。
解：(1)∵摸到红球与摸到白球的可能性相等，且x＋y=8，
∴x=y=4。
(2)设取走m个白球，放入m个红球，则口袋中现在有白球(4－m)个，红球(4＋m)个，
由题意，得，解得m=3。
答：取走3个白球。
10.投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，如果把向上一面的点数依次记为a，b，那么方程x2＋ax＋b=0有解的概率是(　D　)
A. B.
C. D.
【解析】 画树状图如答图。
　第10题答图
共有36种等可能的结果，其中使a2－4b≥0，即a2≥4b的结果有19种，
∴方程x2＋ax＋b=0有解的概率是。
11.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是 　。
12.平面直角坐标系xOy中有四点A(－2，0)，B(－1，0)，C(0，1)，D(0，2)，在A，B，C，D中任取两点，与点O一起为顶点作三角形，求所作三角形是等腰直角三角形的概率。
解：画出示意图如答图。
　第12题答图
在A，B，C，D中任取两点，与点O一起为顶点作三角形，一共可作4个三角形，
其中所作三角形是等腰直角三角形的有2个，
∴P(所作三角形是等腰直角三角形)=。
13.有4张正面分别写有数字－2，2，4，6的不透明卡片，它们除数字外完全相同，将它们背面朝上洗匀。
(1)随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字记为x，y，用列表或画树状图的方法求点P(x，y)在第一象限的概率。
(2)随机抽取一张记下数字后(不放回)，再从余下的3张中随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字记为m，n，用列表或画树状图的方法求点P(m，n)在第二象限的概率。
解：(1)画树状图如答图1。
第13题答图1
由树状图知，共有16种等可能的结果，其中在第一象限的结果有(2，2)，(2，4)，(2，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)共9种，
∴点P(x，y)在第一象限的概率为P1=。
(2)画树状图如答图2。
第13题答图2
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中在第二象限的结果有(－2，2)，(－2，4)，(－2，6)，共3种，
∴点P(m，n)在第二象限的概率为P2=。
14.学习习近平总书记关于生态文明建设的重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校。某校张老师为了解本班学生3月植树的成活情况，对本班全体学生所植树苗进行了调查，并将调查结果分为三类：A：所植树苗成活率高；B：所植树苗成活率中等；C：所植树苗成活率差。请根据图中信息，解答下列问题：
　
第14题图
(1)求全班学生总人数。
(2)在扇形统计图中，a=　15　，b=　60　，C类所在的扇形圆心角度数为　54　°。
(3)张老师在班上随机选择了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人。若再从这4名学生中随机抽取2名，请用列表或画树状图的方法求出这4名学生中抽取的2名都是B类学生的概率。
解：(1)10÷25%=40。
答：全班学生总人数为40。
(2)∵B类百分比为×100%=60%，
∴b=60。
∵C类人数为40－(10＋24)=6，
∴C类百分比为×100%=15%，
∴a=15，
∴C类所在扇形的圆心角度数为360°×15%=54°。
(3)列表如下：
类别 A B B C
A — BA BA CA
B AB — BB CB
B AB BB — CB
C AC BC BC —
由表可知，共有12种等可能的结果，其中都是B类学生的结果有2种，
∴P(都是B类学生)=。专题2　简单事件发生的概率
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
题型一　事件的分类
【典例1】 下列事件中，属于必然事件的是( )
A.任意买一张电影票，座位号是2的倍数
B.13个人中至少有2个人生肖相同
C.车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D.下周六会下雨
【点悟】 判断一个事件属于哪一类事件，要从事件发生的可能性出发。
【变式1】 下列说法中，错误的是( )
A.“某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件
B.“13名同学至少有2名同学的出生月份相同”属于必然事件
C.“在标准大气压下，当温度降到－5 ℃时，纯水结成冰”属于必然事件
D.“某袋中有5个黄球和若干个白球，任意摸出1个球，放回，连续摸6次，都是黄球”属于不可能事件
题型二　概率的意义及计算
【典例2】 将一个质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，该点数与3的差不大于2的概率是( )
A. B.
C. D.
【点悟】 利用P( )=求事件A的概率时，要注意正确计算所有可能的结果数n和事件A包含的可能的结果数m。
【变式2】 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投掷一个体积可以忽略的物体，则该物体落到其内切圆(阴影)区域的概率为 ，该物体落到阴影区域的可能性　 　(填“＞”“＜”或“=”)落到空白区域的可能性。
　变式2图
题型三　用列表或画树状图的方法求概率
【典例3】 小丹、小林是某中学八年级的同班同学，在升入九年级时，学校打算重新组班，他们将被随机编入A，B，C三个班。
(1)请你用列表或画树状图的方法，列出所有可能的结果。
(2)求两人再次成为同班同学的概率。
【变式3】 已知4张卡片上分别写有－1，0，1，2，它们除所写的数不同外其余全部相同。先从中随机抽取一张，将抽到的卡片上的数记为x，不放回，再随机抽取一张记为y，则点(x，y)落在函数y=x2－x＋1的图象上的概率是 　。
题型四　用频率估计概率
【典例4】 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种球共40个，某班同学做摸球试验，他们将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1 000 3 000
摸到白球的 次数m 70 128 171 302 481 599 1 806
摸到白球的 频率 0.700 0.640 0.570 0.604 0.601 0.599 0.602
　　(1)请估计当n很大时，摸到白球的概率为　 　(精确到0.1)。
(2)估算盒子里白球的个数为　 　。
(3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x的值最有可能是多少？
【变式4】 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点)，记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 …
小石子落在圆内(含圆上)的次数m 21 59 124 …
小石子落在圆外的阴影部分(含外缘)的次数n 29 91 176 …
　　(1)当投掷的次数很大时，m∶n的值越来越接近　　(精确到0.1)。
(2)若以小石子落在不规则图形内的总次数为总数(即m＋n)，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率稳定在　　附近(精确到0.1)。
(3)请你利用(2)中所得频率，估计整个封闭图形的面积是多少平方米(结果保留π)？
　变式4图
题型五　判断游戏的公平性
【典例5】 小明和小刚用如图所示的两个均分的转盘做“配紫色”游戏，游戏规则：分别任意旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫色。若配成紫色，则小刚获胜，否则小明获胜。
(1)请用列表或画树状图的方法求出小明获胜的概率。
(2)这个游戏对双方公平吗？请说明理由。
　　
典例5图
【变式5】 如图是三个可以自由转动的转盘，甲、乙两人中，甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字。
(1)当转盘A和转盘B所指的数字之和为4时，就算甲获胜，否则就算乙获胜。请写出甲获胜的概率。
(2)转动三个转盘得到三个数字，当这三个数字中有相同的数时，就算甲获胜，否则就算乙获胜。请判断这个游戏对双方是否公平，并说明理由。
变式5图
1.下列事件中，属于随机事件的是( )
A.抛出的篮球会下落
B.在只有白球的袋子里摸出1个红球
C.地球绕太阳公转
D.购买10张彩票，中一等奖
2.若气象部门预报明天下雨的概率是85%，则下列说法正确的是( )
A.明天下雨的可能性比较大
B.明天一定不会下雨
C.明天一定会下雨
D.明天下雨的可能性比较小
3.在 ， ，π这4个实数中，任取1个数为无理数的概率是( )
A. B.
C. D.1
4.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和9个黄球，它们只有颜色不同，摇匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，估计口袋中有红球( )
A.14个 B.20个
C.21个 D.30个
5.有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是 　。
6.小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次。小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果第一次是正面，第二次是反面，那么我赢。”小红赢的概率是 　，据此判断该游戏对双方　 　(填“公平”或“不公平”)。
7.如图，四边形ABCD与四边形DCEF均是边长为1的正方形，连结点A，B，C，D，E，F中任意两点均可得到一条线段，在连结两点所得的所有线段中，任取一条线段，则取到长度为无理数的线段的概率为 　。
第7题图
8.小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3。现将标有数字的一面朝下，小明和小亮各从中任意抽取一张。计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数那么小明胜，和为偶数那么小亮胜。
(1)求小亮抽到标有数字3的卡片取胜的概率。
(2)请判断该游戏对双方是否公平？请用列表或画树状图等方法说明理由。
9.不透明的口袋里只有8个球，且它们除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球。
(1)如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求x和y的值。
(2)在(1)的条件下，现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球，是红球的概率为，求取走多少个白球。
10.投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，如果把向上一面的点数依次记为a，b，那么方程x2＋ax＋b=0有解的概率是( )
A. B.
C. D.
11.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是 　。
12.平面直角坐标系xOy中有四点A(－2，0)，B(－1，0)，C(0，1)，D(0，2)，在A，B，C，D中任取两点，与点O一起为顶点作三角形，求所作三角形是等腰直角三角形的概率。
13.有4张正面分别写有数字－2，2，4，6的不透明卡片，它们除数字外完全相同，将它们背面朝上洗匀。
(1)随机抽取一张，记下数字且放回洗匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字记为x，y，用列表或画树状图的方法求点P(x，y)在第一象限的概率。
(2)随机抽取一张记下数字后(不放回)，再从余下的3张中随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字记为m，n，用列表或画树状图的方法求点P(m，n)在第二象限的概率。
14.学习习近平总书记关于生态文明建设的重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校。某校张老师为了解本班学生3月植树的成活情况，对本班全体学生所植树苗进行了调查，并将调查结果分为三类：A：所植树苗成活率高；B：所植树苗成活率中等；C：所植树苗成活率差。请根据图中信息，解答下列问题：
　
第14题图
(1)求全班学生总人数。
(2)在扇形统计图中，a=　　，b=　　，C类所在的扇形圆心角度数为　　°。
(3)张老师在班上随机选择了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人。若再从这4名学生中随机抽取2名，请用列表或画树状图的方法求出这4名学生中抽取的2名都是B类学生的概率。

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