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专题3　圆的基本性质
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
题型一　点与圆的位置关系
【典例1】 若☉O的半径为5 cm，平面上有一点A，OA=6 cm，则点A与☉O的位置关系是( )
A.点A在☉O外 B.点A在☉O上
C.点A在☉O内 D.不能确定
【点悟】 设☉O的半径为r，点P与圆心O的距离为d，则d＞r 点P在☉O外；d=r 点P在☉O上；d＜r 点P在☉O内。
变式1图
【变式1】 在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)。现计划修建一座以点O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中，需要被移栽的是
( )
A.E，F，G B.F，G，H
C.G，H，E D.H，E，F
题型二　垂径定理及其推论
【典例2】 如图，☉O的直径CD=10，弦AB=5，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为( )
　典例2图
A.5
B.
C.5
D.
【变式2－1】 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，其示意图如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且☉O被水面截得的弦AB长为5.6 m，☉O半径长为r(m)，C为运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离是1.4 m，则r的值为( )
变式2－1图
A.2 B.2.8
C.3.5 D.4
【变式2－2】 如图，AB为☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，G为劣弧AD上一动点，AG与CD的延长线相交于点F，连结AC，AD，CG，DG。记tan∠DGF=m(m为常数，且m＞1)。
(1)求证：∠AGC=∠ACF。
(2)求的值(用含m的式子表示)。
变式2－2图
题型三　圆心角与圆周角、圆内接四边形
【典例3】 如图，在直径为AB的☉O中，C，D是☉O上的两点，∠AOD=58°，CD∥AB，则∠ABC的度数为　°。
典例3图
【变式3－1】 如图，点A，B，C，D，E在☉O上，且的度数为50°，∠ACD=60°，则∠E的度数为　　°。
变式3－1图
【变式3－2】 如图1，四边形ABCD内接于☉O，对角线AC，BD相交于点G，，点F在线段BD上，且AF=AD。
(1)若∠ADB=α，请用含α的代数式表示∠ADC。
(2)求证：BF=CD。
(3)如图2，延长AF，交☉O于点M，若AM为☉O的直径，AM=13，tan∠DAC=，求AF的长。
图1　图2变式3－2图
题型四　弧长的计算
【典例4】 如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫作“正三角形的渐开线”，其中，的圆心依次按A，B，C，循环，它们依次相连结。若AB=1，则曲线CDEF的长为　　。
　典例4图
【变式4】 如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A，B，C为格点，作△ABC的外接圆，则的长为 　。
　变式4图
题型五　扇形面积的计算　
【典例5】 如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，OA=12，C是OA的中点，CD⊥OA，交于点D，以OC为半径的交OB于点E，则阴影部分的面积为　。
典例5图
【变式5】 若扇形的半径为3 cm，弧长为π cm，则该扇形的圆心角的度数为　°，面积为　　cm2。
题型六　圆的综合
【典例6】 如图1，在圆内接四边形ABCD中，AD＞BC，延长AD至点E，延长BA至点F，连结EF，延长CD，交EF于点G，已知∠EGD＋∠DAB=180°。
(1)找出一个与∠EGD相等的角，并说明理由。
(2)如图2，连结AC，BD，使EF=BD，延长CB，DA，两者相交于点H。求证：
①。
②AE=AC。
典例6图
1.如图，AB是☉O的直径，∠BAC=50°，则∠D的度数为( )
A.20° B.40°
C.50° D.80°
第1题图 第2题图
2.如图，在☉O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=2，则OC的长为( )
A.1 B.2
C.2 D.4
3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧()，点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于点D。若AC=300 m，BD=150 m，则的长为
( )
第3题图
A.300π m B.200π m
C.150π m D.100π m
4.已知一个扇形的半径为5 cm，面积为20 cm2，则它的弧长为　　cm。
5.如图，△ABC是☉O的内接三角形，若∠OBC=28°，则∠A=　　°。
第5题图
6.如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A按顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)得到AE，直角边AC绕点A按逆时针方向旋转角β(0°＜β＜90°)得到AF，连结EF。若AB=3，AC=2，且α＋β=∠B，则EF=　。
　第6题图
7.如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A，B，C，O为坐标原点。(网格中小正方形的边长为1)
(1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为　 。
(2)求的长(结果保留π)。
第7题图
8.如图，在☉O中，直径BD与弦AC相交于点E，且AB=AC。
(1)求证：∠BAC=2∠ABD。
(2)若△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求∠ABD的度数。
(3)若AB=5，BC=6，求AE的长。
第8题图
9.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，连结BE，点H在BE上运动，G为EF的中点，△AGH的周长的最小值为( )
A.2＋2 B.
C.＋2 D.2
第9题图
10.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，直径AB=10，D是的中点，弦DE⊥AB，∠EDC=99°，则的长为　 　。
第10题图
11.如图，☉O是△ADC的外接圆，AB是☉O的直径，G是上的一点，B是的中点，AB与CD相交于点E，连结AG并延长，交DC的延长线于点F。
(1)求证：∠ADC=∠AGD。
(2)若sin∠ADG=，AE=3，求AF的长。
(3)若=a2，求的值(用含a的代数式表示)。
第11题图
12.如图，△ABC内接于☉O，AB=AC，E是上的一个动点(不与点A，C重合)。
(1)如图1，若☉O的半径为2，∠BAC=45°，求BC的长。
(2)如图2，连结AE，CE。若BE=AE＋CE，求∠BAC的度数。
(3)如图3，过点E作EF⊥AB于点F。若=m，对于CE的任意长度，都有2EF2－5m·CE2＋的值是一个定值，求m的值。
第12题图专题3　圆的基本性质
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
题型一　点与圆的位置关系
【典例1】 若☉O的半径为5 cm，平面上有一点A，OA=6 cm，则点A与☉O的位置关系是(　A　)
A.点A在☉O外 B.点A在☉O上
C.点A在☉O内 D.不能确定
【点悟】 设☉O的半径为r，点P与圆心O的距离为d，则d＞r 点P在☉O外；d=r 点P在☉O上；d＜r 点P在☉O内。
变式1图
【变式1】 在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)。现计划修建一座以点O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中，需要被移栽的是
(　A　)
A.E，F，G B.F，G，H
C.G，H，E D.H，E，F
题型二　垂径定理及其推论
【典例2】 如图，☉O的直径CD=10，弦AB=5，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为(　D　)
　典例2图
A.5
B.
C.5
D.
【解析】 如答图，连结OA。
　典例2答图
∵☉O的直径CD=10，∴OA=5。
∵AB=5，AB⊥CD，
∴AM=AB=×5，
∴在Rt△AOM中，
OM=，
∴DM=OD＋OM=5＋。
【点悟】 在已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，运用勾股定理来解决。
【变式2－1】 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，其示意图如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且☉O被水面截得的弦AB长为5.6 m，☉O半径长为r(m)，C为运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离是1.4 m，则r的值为(　C　)
变式2－1图
A.2 B.2.8
C.3.5 D.4
【解析】 如答图，连结OC，交AB于点D。
变式2－1答图
由题意，得OA=OC=r(m)，OC⊥AB，CD=1.4 m，
∴AD=BD=AB=2.8 m，∠ADO=90°，OD=(r－1.4)m，
由OA2=AD2＋OD2，得r2=2.82＋(r－1.4)2，
解得r=3.5。
【变式2－2】 如图，AB为☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，G为劣弧AD上一动点，AG与CD的延长线相交于点F，连结AC，AD，CG，DG。记tan∠DGF=m(m为常数，且m＞1)。
(1)求证：∠AGC=∠ACF。
(2)求的值(用含m的式子表示)。
变式2－2图
解：(1)∵AB为☉O的直径，弦CD⊥AB，
∴，∴∠AGC=∠ACF。
(2)∵∠AGC=∠ACF，∠CAG=∠FAC，
∴△ACG∽△AFC，∴，
∴AC2=AG·AF。
由四边形ACDG内接于☉O，易知∠ACE=∠AGC=∠DGF，
∴AE=CE·tan∠ACE=mCE，
∴AC2=CE2＋AE2=(1＋m2)CE2，
∴=1＋m2。
题型三　圆心角与圆周角、圆内接四边形
【典例3】 如图，在直径为AB的☉O中，C，D是☉O上的两点，∠AOD=58°，CD∥AB，则∠ABC的度数为　61　°。
典例3图
【解析】 ∵∠AOD=58°，
∴∠ACD=∠AOD=29°。
∵CD∥AB，∴∠CAB=∠ACD=29°。
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°－∠CAB=61°。
【点悟】 (1)在同圆(或等圆)中，圆心角(或圆周角)、弧、弦、弦心距中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等，利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；(2)注意圆中的隐含条件(半径相等)的应用；(3)圆周角定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系是进行圆内角度转化与计算的主要依据，遇直径，要想到直径所对的圆周角是90°，从而获得直角三角形；遇到弧所对的圆周角与圆心角，要想到同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍以及同弧所对的圆周角相等。
【变式3－1】 如图，点A，B，C，D，E在☉O上，且的度数为50°，∠ACD=60°，则∠E的度数为　95　°。
变式3－1图
【解析】 如答图，连结OA，OB。
变式3－1答图
∵的度数为50°，∴∠AOB=50°，
∴∠ACB=∠AOB=25°。
又∵∠BCD=∠ACB＋∠ACD=85°，∠BCD＋∠E=180°，
∴∠E=180°－∠BCD=95°。
【变式3－2】 如图1，四边形ABCD内接于☉O，对角线AC，BD相交于点G，，点F在线段BD上，且AF=AD。
(1)若∠ADB=α，请用含α的代数式表示∠ADC。
(2)求证：BF=CD。
(3)如图2，延长AF，交☉O于点M，若AM为☉O的直径，AM=13，tan∠DAC=，求AF的长。
图1　图2变式3－2图
解：(1)∵，
∴∠ABC=∠ADB=α。
∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠ABC＋∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°－∠ABC=180°－α。
(2)∵AF=AD，∴∠AFD=∠ADB，
∴∠AFB=180°－∠AFD=180°－∠ADB=180°－∠ABC，
∴∠AFB=∠ADC。
又∵∠ABD=∠ACD，AF=AD，
∴△ABF≌△ACD(AAS)，
∴BF=CD。
(3)如答图，连结BM，MC。
变式3－2答图
∵AM是直径，
∴∠ABM=∠ACM=90°。
又∵AM=AM，AB=AC，
∴Rt△ABM≌Rt△ACM(HL)，
∴∠BAM=∠CAM。
∵△ABF≌△ACD，
∴∠BAM=∠CAD，
∴∠DAC=∠BAM=∠CAM=∠CBM。
∵AB=AC，AM是直径，∴AM⊥BC。
∵tan∠DAC=，
∴=tan∠MBP==tan∠BAM=，
∴。
又∵MP＋AP=AM=13，
∴MP=4，AP=9，∴BP=6。
∵∠AFD=∠ADF，
∴∠BFM=∠BMF，∴BM=BF。
又∵BP⊥MF，
∴PF=MP=4，
∴AF=AP－PF=5。
题型四　弧长的计算
【典例4】 如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫作“正三角形的渐开线”，其中，的圆心依次按A，B，C，循环，它们依次相连结。若AB=1，则曲线CDEF的长为　4π　。
　典例4图
【解析】 的长为的长为的长为=2π，则曲线CDEF的长为π＋π＋2π=4π。
【点悟】 若忘记了弧长的计算公式，则可利用弧的度数占360°的几分之几来计算，但这样会多花时间。
【变式4】 如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A，B，C为格点，作△ABC的外接圆，则的长为 π　。
　变式4图
题型五　扇形面积的计算　
【典例5】 如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，OA=12，C是OA的中点，CD⊥OA，交于点D，以OC为半径的交OB于点E，则阴影部分的面积为　12π＋18　。
典例5图
【解析】 如答图，连结OD。
　典例5答图
∵C是OA的中点，
∴OC=OA=OD。
又∵CD⊥OA，
∴∠CDO=30°，∴∠DOC=60°。
又∵∠AOB=120°，
∴∠BOD=60°。
∵OD=OA=12，∴OC=6，
∴CD=6，
∴S阴影=S扇形BOD＋S△OCD－S扇形COE
=×6×6
=12π＋18。
【点悟】 求不规则图形的面积，常转化为易解决的基本图形计算，或通过面积的和差来计算。
【变式5】 若扇形的半径为3 cm，弧长为π cm，则该扇形的圆心角的度数为　80　°，面积为　2π　cm2。
【解析】 设该扇形的圆心角的度数为n°，由题意，得π，解得n=80，
∴面积S==2π(cm2)。
题型六　圆的综合
【典例6】 如图1，在圆内接四边形ABCD中，AD＞BC，延长AD至点E，延长BA至点F，连结EF，延长CD，交EF于点G，已知∠EGD＋∠DAB=180°。
(1)找出一个与∠EGD相等的角，并说明理由。
(2)如图2，连结AC，BD，使EF=BD，延长CB，DA，两者相交于点H。求证：
①。
②AE=AC。
典例6图
解：(1)∠C=∠EGD。理由如下：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠C＋∠DAB=180°。
∵∠EGD＋∠DAB=180°，∴∠C=∠EGD。
(2)①易知∠DCB＋∠DAB=180°。
又∵∠EGD＋∠DAB=180°，
∴∠DCB=∠EGD，∴EF∥BH，
∴△AEF∽△AHB，∴。
②方法一：∵，∴。
∵∠DHB=∠CHA，∠HDB=∠HCA，
∴△HAC∽△HBD，
∴，∴。
又∵EF=BD，∴AE=AC。
方法二：如答图，过点A作AM∥EF，连结DM，BM。
典例6答图
∵AM∥EF，∴∠F=∠MAB=∠MDB。
∵四边形ABMD内接于☉O，
∴∠EAF=180°－∠DAB=∠DMB。
又∵EF=BD，∴△EFA≌△BDM(AAS)，
∴AE=MB。
由①知，EF∥BH，∴AM∥HC，
∴∠AMB=∠MBC，
∴，∴，
∴AC=MB，∴AE=AC。
1.如图，AB是☉O的直径，∠BAC=50°，则∠D的度数为(　B　)
A.20° B.40°
C.50° D.80°
第1题图 第2题图
2.如图，在☉O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=2，则OC的长为(　B　)
A.1 B.2
C.2 D.4
【解析】 连结OB，设OA交BC于点E，如答图。
　第2题答图
∵∠ADB=30°，∴∠AOB=60°。
∵OA⊥BC，BC=2，∴BE=BC=。
在Rt△BOE中，sin∠AOB=，
∴sin 60°=，
∴OB=2，∴OC=2。
3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧()，点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于点D。若AC=300 m，BD=150 m，则的长为
(　B　)
第3题图
A.300π m B.200π m
C.150π m D.100π m
【解析】 ∵OB⊥AC，∴，
∴AD=AC=150 m，∠AOC=2∠AOB。
∵在Rt△AOD中，AD2＋OD2=OA2，且OA=OB，
∴AD2＋(OA－BD)2=OA2，
∴(150)2＋(OA－150)2=OA2，
∴OA=300 m，
∴sin∠AOB=，
∴∠AOB=60°，∴∠AOC=120°，
∴=200π(m)。
4.已知一个扇形的半径为5 cm，面积为20 cm2，则它的弧长为　8　cm。
5.如图，△ABC是☉O的内接三角形，若∠OBC=28°，则∠A=　62　°。
第5题图
【解析】 如答图，连结OC。
第5题答图
∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=28°，
∴∠BOC=180°－∠OCB－∠OBC=124°，
∴∠A=∠BOC=62°。
6.如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A按顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)得到AE，直角边AC绕点A按逆时针方向旋转角β(0°＜β＜90°)得到AF，连结EF。若AB=3，AC=2，且α＋β=∠B，则EF= 　。
　第6题图
【解析】 ∵α＋β=∠B，∠C=90°，
∴∠EAF=∠BAC＋∠B=90°，
∴△AEF是直角三角形。
又∵AE=AB=3，AF=AC=2，
∴EF=。
7.如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A，B，C，O为坐标原点。(网格中小正方形的边长为1)
(1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为　(2，－1)　。
(2)求的长(结果保留π)。
第7题图
解：(1)如答图，连结BC，分别作AB，BC的垂直平分线，两条直线相交于点P。圆心P的坐标为(2，－1)。
第7题答图
(2)如答图，连结AP，CP，AC。
由勾股定理，得AP2=22＋42=20，PC2=22＋42=20，AC2=22＋62=40，
∴AP2＋PC2=AC2，AP=2，
∴∠APC=90°，
∴的长为π。
8.如图，在☉O中，直径BD与弦AC相交于点E，且AB=AC。
(1)求证：∠BAC=2∠ABD。
(2)若△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求∠ABD的度数。
(3)若AB=5，BC=6，求AE的长。
第8题图
解：(1)如答图，连结AO并延长，交BC于点H。
第8题答图
∵AB=AC，∴，
∴AH垂直平分BC，
∴AH平分∠BAC，
即∠BAC=2∠BAH。
∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAH，
∴∠BAC=2∠ABD。
(2)设∠ABD=α，则∠BAC=2α，
∴∠AED=∠ABD＋∠BAC=α＋2α=3α。
∵BD为直径，∴∠BAD=90°。
当AD=AE时，∠ADB=∠AED=3α，
∴α＋3α=90°，解得α=22.5°；
当DA=DE时，∠DAE=∠AED=3α，
∴∠BAD=2α＋3α=90°，解得α=18°。
综上所述，∠ABD的度数为18°或22.5°。
(3)∵AH⊥BC，
∴BH=CH=BC=3。
在Rt△ABH中，AH==4。
设☉O的半径为r，则OA=OB=r，OH=4－r。
在Rt△OBH中，32＋(4－r)2=r2，
解得r=，∴BD=2r=。
在Rt△ABD中，AD=。
在Rt△BCD中，CD=。
易知AH∥CD，∴△AEO∽△CED，
∴，
∴，
∴AE=×5=。
9.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，连结BE，点H在BE上运动，G为EF的中点，△AGH的周长的最小值为(　B　)
A.2＋2 B.
C.＋2 D.2
第9题图
【解析】 如答图，要使△AGH的周长最小，则AH＋HG的值最小。
第9题答图
利用正六边形的性质，作点G关于BE的对称点G'，则G'E=GE=1，连结AG'交BE于点H'，连结AE，H'G，则H'G=H'G'，易知此时AH＋HG=AH'＋GH'=AG'，值最小。
∵∠AFE=120°，AF=EF=2，
∴∠AEF=30°，
∴易知AE=2。
∵∠AEG'=∠DEF－∠AEF=90°，
∴AG'=，
∴AH'＋GH'=。
过点A作AM⊥EF，交EF的延长线于点M，则∠AFM=60°，
∴FM=AF=1，
∴AM=，GM=2，
∴AG=，
△AGH的周长的最小值为。
10.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，直径AB=10，D是的中点，弦DE⊥AB，∠EDC=99°，则的长为　3π 　。
第10题图
【解析】 如答图，连结OC，OD，OE，BE。
第10题答图
∵∠EDC=99°，
∴∠EBC=180°－99°=81°，
∴∠EOC=2∠EBC=162°。
∵DE⊥AB，AB是☉O的直径，
∴。
又∵D是的中点，
∴，
∴，
∴∠EOA=∠AOD=∠DOC=∠EOC=×162°=54°，
∴∠DOE=108°。
∵AB=10，∴OD=5，
∴的长为=3π。
11.如图，☉O是△ADC的外接圆，AB是☉O的直径，G是上的一点，B是的中点，AB与CD相交于点E，连结AG并延长，交DC的延长线于点F。
(1)求证：∠ADC=∠AGD。
(2)若sin∠ADG=，AE=3，求AF的长。
(3)若=a2，求的值(用含a的代数式表示)。
第11题图
解：(1)∵AB是直径，B是的中点，
∴AB⊥CD，∴，
∴∠ADC=∠AGD。
(2)由(1)知，∠ADC=∠AGD，AB⊥CD，
∴∠ADG＋∠GDF=∠F＋∠GDF，∠AEF=90°，
∴∠F=∠ADG，
∴AF=。
(3)由(2)知，∠ADG=∠F。
又∵∠DAG=∠FAD，
∴△DAG∽△FAD，
∴，
∴AD2=AG·AF。
∵=a2，∴AF=AG·a2，
∴AD2=AG·AG·a2，
∴AD=AG·a，
∴=a。
12.如图，△ABC内接于☉O，AB=AC，E是上的一个动点(不与点A，C重合)。
(1)如图1，若☉O的半径为2，∠BAC=45°，求BC的长。
(2)如图2，连结AE，CE。若BE=AE＋CE，求∠BAC的度数。
(3)如图3，过点E作EF⊥AB于点F。若=m，对于CE的任意长度，都有2EF2－5m·CE2＋的值是一个定值，求m的值。
第12题图
解：(1)如答图1，连结OB，OC。
第12题答图1
∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°。
∵☉O的半径为2，
∴OB=OC=2，
∴BC=OB=2。
(2)如答图2，在BE上截取BF=CE，连结AF。
第12题答图2
在△ABF和△ACE中，
∵
∴△ABF≌△ACE(SAS)，
∴∠BAF=∠CAE，AF=AE。
∵BE=AE＋CE=BF＋EF=CE＋EF，
∴EF=AE，
∴AF=EF=AE，
∴△AEF为等边三角形，
∴∠FAE=60°，
∴∠FAC＋∠CAE=60°，
∴∠FAC＋∠BAF=60°，
即∠BAC=60°。
(3)如答图3，过点A作AH∥BC，交CE的延长线于点H，过点A作AM⊥CH于点M，连结BE。
第12题答图3
∵，
∴AE=BC，∠ABE=∠BEC，
∴AB∥CE。
又∵AH∥BC，
∴四边形ABCH为平行四边形，
∴BC=AH，AB=CH，
∴AE=AH。
∵AM⊥CH，
∴EM=MH=EH。
∵EF⊥AB，AM⊥CH，AB∥CE，
∴四边形AFEM为矩形，
∴AF=EM。
设CE=a，则AF=ma，
∴EM=AF=ma，
∴EH=2EM=2ma，
∴AB=CH=CE＋EH=a＋2ma。
∵AB=AC，AE=AH，
∴∠ABC=∠ACB，∠AEH=∠H。
∵四边形ABCE为圆的内接四边形，
∴∠AEH=∠ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠AEH=∠H，
∴△AEH∽ABC，
∴，
∴，
∴AE2=2ma2＋4m2a2。
∵EF2=AE2－AF2，
∴EF2=2ma2＋4m2a2－m2a2=2ma2＋3m2a2，
∴2EF2－5m·CE2＋
=2(2ma2＋3m2a2)－5ma2＋
=4ma2＋6m2a2－5ma2＋
=6m2a2－ma2＋
=(6m2－m)CE2＋。
∵对于CE的任意长度，都有2EF2－5m·CE2＋的值是一个定值，
∴2EF2－5m·CE2＋的值与CE无关，
∴6m2－m=0，
∴m=0(不合题意，舍去)或m=，
∴m的值为。

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