资源简介

专题4　相似三角形
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
题型一　比例线段、平行线分线段成比例定理
【典例1】 如图，已知在△ABC中，D为BC边上一点，连结AD，E，F分别为AB，AC上的点，且EF∥BC，交AD于点G，连结BG并延长，交AC于点H。若AE∶AB=2∶3，CD∶BD=2∶3，则GH∶BG的值为( )
典例1图
A.4∶9 B.4∶11
C.2∶5 D.2∶3
【点悟】 利用平行线分线段成比例定理解题时，要注意找好对应线段。
变式1图
【变式1】 如图，已知点F在AB上，且AF∶BF=1∶2，D是BC延长线上一点，BC∶CD=2∶1，连结FD，与AC相交于点N，则FN∶ND= 　。
题型二　相似三角形的判定
【典例2】 如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2=AE·AB，连结DE。
(1)求证：△ABD∽△ADE。
(2)若∠BAC=α，求∠EDC(结果用含α的代数式表示)。
(3)若AB=5，AD=4，DE=2，求EC的长。
　典例2图
【变式2－1】 如图，已知AB=AC，BC=16，以AC为底在△ABC外作腰长为10的等腰三角形DAC。
(1)如图1，若AD∥BC，则AC的长为　。
(2)如图2，若∠ADC=2∠ACB，则△ABC的面积为　 。
　
图1 图2
变式2－1图
【变式2－2】 如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，把△ABD沿AD折叠，点B落在AC边上的点B'处，把△CDE沿DE折叠，点C恰好与点A重合。
(1)求证：△ABD∽△CBA。
(2)当BD=4，CD=5时，求EB'的长。
变式2－2图
题型三　相似三角形的性质
【典例3】 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连结AF，BE，两者相交于点G，则S△EFG∶S△ABG=( )
　典例3图
A.1∶3 B.3∶1
C.1∶9 D.9∶1
【变式3－1】 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC。若AD∶DB=1∶2，则△ADE与△EBC的面积之比为　 　。
变式3－1图
【变式3－2】 一块材料的形状是等腰三角形ABC，底边BC=120 cm，高AD=120 cm。
(1)若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上(如图1)，则这个正方形的边长为多少？
(2)若把这块材料加工成正方体零件(如图2，阴影部分为正方体展开图)，则正方体的表面积为多少？
变式3－2图
题型四　相似多边形及位似图形
【典例4】 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则点C的对应点的坐标为( )
　典例4图
A. B.(2，4)
C.(2，4)或(－2，－4) D.(2，－4)或(－2，4)
变式4图
　　【变式4】 如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD=2，AB=4，剪去一个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，则CF的长为　　。
题型五　相似三角形的综合
【典例5】 【初步探究】(1)如图1，在Rt△ABC中，AB=BC，D是BC上的点，连结AD，将AD绕点A逆时针旋转45°并延长，交BC的延长线于点E。
①求证：△ACD∽△EAD。
②若，求的值。
【拓展提升】(2)如图2，在Rt△ABC中，AB=BC=20。D，E为BC边上两点，DE=7，连结AD，AE。若∠BAD＋∠AEC=135°，求CE的长。
　
典例5图
【变式5】 如图，△ABC是☉O的内接三角形，AB是☉O的直径，AC=，BC=2，点F在AB上，连结CF并延长，交☉O于点D，连结BD，作BE⊥CD，垂足为E。
(1)求证：△DBE∽△ABC。
(2)若AF=2，求ED的长。
变式5图
1.两个相似三角形的周长之比为1∶4，则它们的面积之比为( )
A.1∶16 B.1∶8
C.1∶4 D.1∶2
2.如图，在△ABC中，E是AC的中点，点D在AB上，下列条件中，不能判定△ADE∽△ABC的是( )
第2题图
A.DE∥BC
B.∠AED=∠C
C.D是AB的中点
D.DE=BC
3.如图，在△ABC外任取一点O，连结AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，有下列说法：①△ABC与△DEF是位似图形；②△OBC与△OEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长之比为1∶2；④△ABO与△DEO的面积之比为4∶1。其中正确的是( )
第3题图
A.①③ B.①②④
C.②③④ D.①②③④
4.如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E，F分别为边AB，AC，BC上的点，AC=3AD，AB=3AE，添加一个条件：　 　，可以使△FDB与△ADE相似(只需写出一个)。
　第4题图
5.如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在边AB上，AM=3。若过点M作直线MN与边AC相交于点N，使截得的三角形与原三角形(△ABC)相似，则MN的长为　 。
　第5题图
6.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC为锐角，AD，BE是△ABC的两条高线，BE与AD相交于点Q。
(1)求证：△BDQ∽△ADB。
(2)若=3，求∠C的正切值。
第6题图
7.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，点E在CD上，连结AE，AF，分别交BD于点G，H，∠DAE=45°，F为BC的中点，连结EF。
(1)求证：BD=2EF。
(2)当EF=6时，求GH的长。
第7题图
8.如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为( )
　　　
图1 图2
第8题图
A. B.
C. D.
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P，Q分别为边BC，AB上的两个动点。若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ= 　。
第9题图
10.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，DE=AF，CE与DF相交于点M，连结BM。
(1)求证：CE⊥DF。
(2)若E为AD的中点，
①求的值。
②求证：BC=BM。
第10题图
11.【概念呈现】有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形。如图1，在△ABC与△DEF中，若∠B＋∠E=180°，∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF是“和合”三角形。
【性质探究】(1)如图2，线段AB，CD相交于点O，AC=BD，∠CAO＋∠DBO=180°，容易知道△AOC与△BOD是“和合”三角形。爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点D作DE∥AC，交AB于点E。请证明△AOC≌△EOD。
【拓展应用】(2)如图3，D是等边三角形ABC的边AC上的一动点，E在AB的延长线上，CD=BE，连结DE，交BC于点F，连结AF。
①若FC=2FB，求∠FDC的度数。
②当的值为多少时，△AED与△AEC是“和合”三角形？
第11题图专题4　相似三角形
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　
题型一　比例线段、平行线分线段成比例定理
【典例1】 如图，已知在△ABC中，D为BC边上一点，连结AD，E，F分别为AB，AC上的点，且EF∥BC，交AD于点G，连结BG并延长，交AC于点H。若AE∶AB=2∶3，CD∶BD=2∶3，则GH∶BG的值为(　B　)
典例1图
A.4∶9 B.4∶11
C.2∶5 D.2∶3
【解析】 ∵EF∥BC，
∴AG∶AD=AE∶AB=2∶3，△AGF∽△ADC，
∴GF∶DC=AG∶AD=2∶3。
∵CD∶BD=2∶3，
∴CD∶BC=2∶5，
∴GF∶BC=4∶15。
∵FG∥BC，∴△HGF∽△HBC，
∴HG∶HB=GF∶BC=4∶15，
∴HG∶BG=4∶11。
【点悟】 利用平行线分线段成比例定理解题时，要注意找好对应线段。
变式1图
【变式1】 如图，已知点F在AB上，且AF∶BF=1∶2，D是BC延长线上一点，BC∶CD=2∶1，连结FD，与AC相交于点N，则FN∶ND= 　。
【解析】 如答图，过点F作FE∥AC，交BD于点E。
变式1答图
∵FE∥AC，
∴，
∴。
又∵，
∴，∴。
题型二　相似三角形的判定
【典例2】 如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2=AE·AB，连结DE。
(1)求证：△ABD∽△ADE。
(2)若∠BAC=α，求∠EDC(结果用含α的代数式表示)。
(3)若AB=5，AD=4，DE=2，求EC的长。
　典例2图
解：(1)∵AD2=AE·AB，
∴。
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAE，
∴△ABD∽△ADE。
(2)∵△ABD∽△ADE，∴∠ADB=∠AED，
∴∠EDC=∠AED－∠C=∠ADB－∠C=∠DAC=∠BAC。
又∵∠BAC=α，∴∠EDC=α。
(3)∵AD2=AE·AB，AB=5，AD=4，DE=2，
∴AE=。
设EC=x，则AC=x＋。
∵∠EDC=∠DAC，∠C=∠C，
∴△EDC∽△DAC，
∴，
∴DC2=EC·AC=x，DC=AC=，
∴=x，
解得x1=，x2=－(不合题意，舍去)，
∴EC的长是。
【点悟】 判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定定理1)或找夹角的两边对应成比例(用判定定理2)；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等(用判定定理2)或第三边成比例(用判定定理3)；(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明任意两边对应成比例；(5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例。
【变式2－1】 如图，已知AB=AC，BC=16，以AC为底在△ABC外作腰长为10的等腰三角形DAC。
(1)如图1，若AD∥BC，则AC的长为　4　。
(2)如图2，若∠ADC=2∠ACB，则△ABC的面积为　32或128　。
　
图1 图2
变式2－1图
【解析】 (1)∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB。
∵AB=AC，△DAC是以AC为底的等腰三角形，
∴∠B=∠ACB=∠DAC=∠DCA，
∴△ABC∽△DCA，
∴，
∴AC2=BC·AD=16×10=160，
∴AC=4(负值舍去)。
(2)如答图，分别过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥AC于点N，
变式2－1答图
∴∠ADC=2∠NDC，BC=2CM，AC=2NC。
又∵∠ADC=2∠ACB，
∴∠NDC=∠ACB。
∵AM⊥BC，DN⊥AC，
∴∠DNC=∠CMA=90°，
∴△NDC∽△MCA，
∴。
设AM=x，
∴，
∴NC2=5x。
又∵AM2＋MC2=AC2=4NC2，
∴x2＋82=20x，
解得x1=4，x2=16，
∴当x=4时，S△ABC=BC·AM=32；
当x=16时， S△ABC=BC·AM=128。
综上所述，△ABC的面积为32或128。
【变式2－2】 如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，把△ABD沿AD折叠，点B落在AC边上的点B'处，把△CDE沿DE折叠，点C恰好与点A重合。
(1)求证：△ABD∽△CBA。
(2)当BD=4，CD=5时，求EB'的长。
变式2－2图
解：(1)∵把△ABD沿AD折叠，点B落在AC边上的点B'处，
∴∠DAB=∠DAC。
∵把△CDE沿DE折叠，点C恰好与点A重合，
∴∠C=∠DAC，∴∠DAB=∠C。
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA。
(2)∵BD=4，CD=5，
∴BC=BD＋CD=4＋5=9。
∵△ABD∽△CBA，
∴，
∴BA2=BD·BC=4×9=36，
∴BA=6。
由折叠，得AD=CD=5，B'A=BA=6，AE=CE，
∴CA=，
∴AE=CA=，
∴EB'=B'A－AE=6－，
∴EB'的长是。
题型三　相似三角形的性质
【典例3】 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连结AF，BE，两者相交于点G，则S△EFG∶S△ABG=(　C　)
　典例3图
A.1∶3 B.3∶1
C.1∶9 D.9∶1
【解析】 ∵E，F为CD边的两个三等分点，
∴EF=CD。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴EF=AB，△EFG∽△BAG，
∴S△EFG∶S△ABG=。
【点悟】 (1)相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方；(2)相似三角形对应高线、中线、角平分线长的比等于相似比。
【变式3－1】 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC。若AD∶DB=1∶2，则△ADE与△EBC的面积之比为　1∶6　。
变式3－1图
【变式3－2】 一块材料的形状是等腰三角形ABC，底边BC=120 cm，高AD=120 cm。
(1)若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上(如图1)，则这个正方形的边长为多少？
(2)若把这块材料加工成正方体零件(如图2，阴影部分为正方体展开图)，则正方体的表面积为多少？
变式3－2图
解：(1)设正方形的边长EH为x(cm)。
∵AD是△ABC的高线，∴∠ADB=90°。
∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，
∴∠AKE=∠ADB=90°，△AEH∽△ABC，KD=x(cm)，
∴，
∴，
解得x=60。
答：这个正方形的边长为60 cm。
(2)设正方体的棱长MN为a(cm)。
∵AD为△ABC的高线，∴∠ADB=90°。
∵MN∥BC，
∴∠APM=∠ADB=90°，△AMN∽△ABC，PD=4a(cm)，
∴，∴，
解得a=24，
∴6a2=6×242=3 456 cm2。
答：正方体的表面积为3 456 cm2。
题型四　相似多边形及位似图形
【典例4】 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则点C的对应点的坐标为(　C　)
　典例4图
A. B.(2，4)
C.(2，4)或(－2，－4) D.(2，－4)或(－2，4)
【点悟】 如果位似变换以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形与原图形对应点的坐标比等于k或－k。
变式4图
　　【变式4】 如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD=2，AB=4，剪去一个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，则CF的长为　1　。
【解析】 ∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=2，DC=AB=4。
∵矩形EBCF∽矩形BCDA，
∴，即，∴CF=1。
题型五　相似三角形的综合
【典例5】 【初步探究】(1)如图1，在Rt△ABC中，AB=BC，D是BC上的点，连结AD，将AD绕点A逆时针旋转45°并延长，交BC的延长线于点E。
①求证：△ACD∽△EAD。
②若，求的值。
【拓展提升】(2)如图2，在Rt△ABC中，AB=BC=20。D，E为BC边上两点，DE=7，连结AD，AE。若∠BAD＋∠AEC=135°，求CE的长。
　
典例5图
解：(1)①∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°=∠DAE。
又∵∠ADC=∠EDA，
∴△ACD∽△EAD。
②∵，
故设BD=a，CD=3a，则BC=AB=4a。
由勾股定理可得AD=a。
设CE=x。
由△ACD∽△EAD可知AD2=DE·CD，
即17a2=3a(3a＋x)，解得x=a，
故。
(2)∵△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=20，
∴AC=20。
∵∠C=45°，∴∠EAC＋∠AEC=135°。
又∵∠BAD＋∠AEC=135°，
∴∠EAC=∠BAD。
如答图，过点E作EF⊥AC于点F。
典例5答图
设CE=x，∵∠C=45°，
∴EF=CF=x，AF=20x，BD=20－7－x=13－x。
∵∠EAC=∠BAD，∠EFA=∠B=90°，
∴△BAD∽△FAE，
∴，即，
整理，得x2－73x＋520=0，
解得x1=8或x2=65(不合题意，舍去)，
故CE的长为8。
【变式5】 如图，△ABC是☉O的内接三角形，AB是☉O的直径，AC=，BC=2，点F在AB上，连结CF并延长，交☉O于点D，连结BD，作BE⊥CD，垂足为E。
(1)求证：△DBE∽△ABC。
(2)若AF=2，求ED的长。
变式5图
解：(1)∵AB为直径，
∴∠ACB=90°。
∵BE⊥CD，
∴∠BED=90°。
∵ 所对的圆周角为∠BDE和∠BAC，
∴∠BDE=∠BAC，
∴△DBE∽△ABC。
(2)如答图，过点C作CG⊥AB，垂足为G。
变式5答图
∵∠ACB=90°，AC=，BC=2，
∴AB==5。
∵CG⊥AB，
∴AG=AC·cos A==1。
∵AF=2，∴FG=AG=1，∴AC=FC，
∴∠CAF=∠CFA=∠BFD=∠BDF，
∴BD=BF=AB－AF=5－2=3。
∵△DBE∽△ABC，∴，
∴，∴ED=。
1.两个相似三角形的周长之比为1∶4，则它们的面积之比为(　A　)
A.1∶16 B.1∶8
C.1∶4 D.1∶2
2.如图，在△ABC中，E是AC的中点，点D在AB上，下列条件中，不能判定△ADE∽△ABC的是(　D　)
第2题图
A.DE∥BC
B.∠AED=∠C
C.D是AB的中点
D.DE=BC
3.如图，在△ABC外任取一点O，连结AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，有下列说法：①△ABC与△DEF是位似图形；②△OBC与△OEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长之比为1∶2；④△ABO与△DEO的面积之比为4∶1。其中正确的是(　B　)
第3题图
A.①③ B.①②④
C.②③④ D.①②③④
4.如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E，F分别为边AB，AC，BC上的点，AC=3AD，AB=3AE，添加一个条件：　∠A=∠BFD(答案不唯一)　，可以使△FDB与△ADE相似(只需写出一个)。
　第4题图
5.如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在边AB上，AM=3。若过点M作直线MN与边AC相交于点N，使截得的三角形与原三角形(△ABC)相似，则MN的长为　4或6　。
　第5题图
【解析】 分两种情况讨论：
①当△AMN∽△ABC时，如答图1，
此时。
第5题答图1
∵AM=3，BC=12，AB=9，
∴，∴MN=4；
②当△AMN∽△ACB时，如答图2，
此时。
第5题答图2
∵AM=3，AC=6，BC=12，
∴，∴MN=6。
综上所述，MN的长为4或6。
6.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC为锐角，AD，BE是△ABC的两条高线，BE与AD相交于点Q。
(1)求证：△BDQ∽△ADB。
(2)若=3，求∠C的正切值。
第6题图
解：(1)∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD。
∵BE⊥AC，AD⊥BC，∠C=∠C，
∴∠CBE=∠CAD，∴∠BAD=∠CBE。
又∵∠ADB=∠BDQ，∴△BDQ∽△ADB。
(2)设DQ=x，则AQ=3x，AD=4x。
由(1)知，△BDQ∽△ADB，
∴，∴DB2=DQ·AD，∴BD=2x。
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=2x。
在Rt△ACD中，tan C==2。
7.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，点E在CD上，连结AE，AF，分别交BD于点G，H，∠DAE=45°，F为BC的中点，连结EF。
(1)求证：BD=2EF。
(2)当EF=6时，求GH的长。
第7题图
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AB=2AD，
∴AB=CD=2AD，∠ADC=∠DAB=90°，AD=BC。
∵∠DAE=45°，
∴∠DEA=90°－45°=45°=∠DAE，
∴AD=ED，
∴CD=2DE，
∴DE=CE。
又∵F为BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴BD=2EF。
(2)∵AB=CD=2AD=2DE，
∴。
∵在矩形ABCD中，CD∥AB，
∴△DEG∽△BAG，
∴，
∴。
由(1)知EF∥DB，∴△AGH∽△AEF，
∴，
∴GH=EF=4。
8.如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为(　A　)
　　　
图1 图2
第8题图
A. B.
C. D.
【解析】 如答图所示标注字母，过点C作CE⊥水平桌面于点E。
　第8题答图
易得图1中没有水的部分高度为2，图2中没有水的部分的形状为以AB为高的长方体的一半，
∴易知AB=4。
又∵AC=3，
∴BC==5。
∵BC∥DE，AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDE。
又∵∠A=∠DEC=90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∴，
∴CE=。
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P，Q分别为边BC，AB上的两个动点。若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ= 或　。
第9题图
【解析】 在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10。
当QP⊥BC时，QP∥AC，在等腰三角形APQ中，只能是AQ=PQ，
∴△BPQ∽△BCA，
∴。
设QP=AQ=x，则QB=10－x，
∴，解得x=，
∴AQ=；
当PQ⊥AB时，△APQ是等腰直角三角形，且只能是AQ=PQ。设AQ=PQ=y。
易知△ABC∽△PBQ，
∴，
∴，解得y=，
∴AQ=。
综上所述，AQ的长为或。
10.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，DE=AF，CE与DF相交于点M，连结BM。
(1)求证：CE⊥DF。
(2)若E为AD的中点，
①求的值。
②求证：BC=BM。
第10题图
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠CDE=90°，AD=CD。
又∵DE=AF，
∴△ADF≌△DCE(SAS)，
∴∠ADF=∠DCE。
又∵∠ADF＋∠CDF=∠ADC=90°，
∴∠DCE＋∠CDF=90°，
∴∠DMC=90°，
∴CE⊥DF。
(2)①如答图，延长BA，CE，两者相交于点G。
∵E是AD的中点，
∴AE=ED。
∵BG∥CD，
∴∠G=∠ECD。
又∵∠GEA=∠CED，AE=DE，
∴△GAE≌△CDE(AAS)，
∴GA=CD。
设正方形ABCD的边长为2a，
则CD=GA=2a，AF=ED=AE=a，
∴FG=3a。
∵BG∥CD，
∴△DCM∽△FGM，
∴。
第10题答图
②如答图，过点B作BH⊥EC于点H，则∠BHC=90°=∠DMC。
又∵∠DCB=90°，
∴∠MDC=90°－∠DCM=∠BCH。
又∵DC=CB，
∴△DMC≌△CHB(AAS)，
∴DM=CH。
已证得△ADF≌△DCE，△GAE≌△CDE，
∴设CE=DF=GE=5x，则GC=10x。
∵BG∥CD，
∴，
∴DM=CH=DF=2x，CM=GC=4x，
∴MH=2x=CH。
又∵BH⊥EC，∴BC=BM。
11.【概念呈现】有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形。如图1，在△ABC与△DEF中，若∠B＋∠E=180°，∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF是“和合”三角形。
【性质探究】(1)如图2，线段AB，CD相交于点O，AC=BD，∠CAO＋∠DBO=180°，容易知道△AOC与△BOD是“和合”三角形。爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点D作DE∥AC，交AB于点E。请证明△AOC≌△EOD。
【拓展应用】(2)如图3，D是等边三角形ABC的边AC上的一动点，E在AB的延长线上，CD=BE，连结DE，交BC于点F，连结AF。
①若FC=2FB，求∠FDC的度数。
②当的值为多少时，△AED与△AEC是“和合”三角形？
第11题图
解：(1)∵DE∥AC，
∴∠A=∠DEO。
∵∠A＋∠B=180°，∠DEO＋∠DEB=180°，
∴∠B=∠DEB，
∴DE=DB。
又∵AC=DB，
∴AC=DE。
又∵∠AOC=∠EOD，
∴△AOC≌△EOD(AAS)。
(2)①如答图1，过点D作DJ∥BE，交BC于点J。
第11题答图1
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°。
∵DJ∥AE，
∴∠DJC=∠ABC=60°，
∴△DJC是等边三角形，
∴DJ=DC=CJ，
∴∠JDC=60°。
又∵BE=CD，
∴BE=DJ。
同(1)可证△EBF≌△DJF(AAS)，
∴BF=FJ。
∵CF=2BF，
∴FJ=CJ=DJ，
∴∠DFJ=∠JDF=∠DJC=30°，
∴∠FDC=∠FDJ＋∠JDC=90°。
②∵点D，C在同一条直线上且不重合，
∴在“和合”三角形△AED和△AEC中，
相等的角只能是∠EAD=∠EAC，
∴ED=EC。
如答图2，过点E作ET∥BC，交AC的延长线于点T。
第11题答图2
∵BC∥ET，
∴∠ABC=∠AET=60°，∠ACB=∠T=60°，
∴△AET是等边三角形，
∴AE=AT=ET。
∵AB=AC，
∴BE=CT。
∵BE=CD，
∴CD=CT。
又∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠ADE=∠ECT。
又∵∠EAD=∠T，EA=ET，
∴△EAD≌△ETC(AAS)，
∴AD=CT=DC。
过点D作DJ∥AB，交BC于点J。
由①可知BF=FJ，△DJC是等边三角形，
∴CD=CJ=DJ=AC=BC，
∴BJ=JC，
∴。

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