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2026年全国高中数学联赛江西省预赛试题
(6月21日上午9:30—12:00)
一、填空题(每小题7分，共56分)
1.若 则
2.实数a，b满足集合 则 末尾的两位数是 .
3.已知函数 有零点，则 的最小值为 .
4.点C,D是直线y=2x+1与曲线 交点的两个三等分点，点P在y轴上，则|PC|+|PD|的最小值为 .
5.正方体的顶点和它的中心构成的9个点中取3点能构成锐角三角形顶点的概率为 .
6.已知数列{an}满足 则
7.使得 的值为整数的所有有理数m的和为 .
8.已知复数z满足|z|=2,则 的最大值为 .
二、解答题(14+15+15+20=64分)
9 .关于 x 的方程 的四正根 α,β,γ,δ,使得不等式 恒成立，求k的最大值.
10.正实数a、b、c满足:
求 的值.
11. △ABC的内切圆□I与边AC,AB分别切于点E,F ,分别连接EI,FI并延长交□I于点J,K.若AE=BC ,求证: I,J,B,C,K五点共圆.
12.对给定的奇素数p，试说明满足下述条件的正整数N是否存在.若存在，求出其中最小的.
(2)其标准分解 满足
2026年全国高中数学联赛江西省预赛
试题参考答案
(6月21日上午9:30-12:00)
一、填空题(每小题7分，共56分)
1.若 则
答案：
解：由题 得 从而
2.实数a，b满足集合 则 末尾的两位数是 .
答案: 24
解:由题b=0,所以 得 所以 的末尾两位数为25，从而所求的两位数为24.
3.已知函数 有零点，则 的最小值为 .
答案：2
解：原问题等价于点(0，2)到动直线( 上的点(a，b)的距离平方的最小值，记为d .由点到线的距离公式可知
令 有 故所求的最小值为2，且当 时可取到.
4.点C,D是直线y=2x+1与曲线 交点的两个三等分点，点P在y轴上,则|PC|+|PD|的最小值为 .
答案：
解：设A(x ，y )，B(x ，y )是直线和曲线的两交点，则C，D对应的坐标为 由题，联立直线方程和曲线方程化简得， 解得 所以 A，B，C，D均在 y轴左侧，故所求最小值 d为点 与点 的距离，所以
故所求最小值为
5.正方体的顶点和它的中心构成的9个点中取3点能构成锐角三角形顶点的概率为 .
答案：
解：不妨设正方体边长为1，则构成正方体的8个顶点能连出( 条线段，其中长度为1， , 的线段分别有12，12，4条.
当选取的3点均为正方体的顶点时，若其中有两点连线长度为1或 时，只能形成直角三角形.所以要使得 3 点能构成锐角三角形，须得 3 点间两两连线长度为 ，易得此时有8种选择.
当选取的3点之一为正方体中心，则其余2点是正方体顶点，它们和中心的距离均为 注意到 故此时要构成锐角三角形，当且仅当不是中心的2个顶点距离为1，有12种选择.
综上，所求概率为
6.已 知 数 列 {an}满 足 则
答案：5
解：由题得
注意到 若 则 所以
得 由数学归纳法知，对任意n≥1, an>1.
又 故 an递减,所以当n≥2时,
注意到n≥2时， 所以 进一步可知， 所以 从而对n≥3有， 所以 至此得
另一方面， 综上，所以
7.使得 的值为整数的所有有理数m的和为 .
答案: 12
解：由题，
(1)当m∈Z时,注意到49有3个正因数1,7,49,此时,m∈{50,8,2,0,-6,-48}.
(2)当m Z时,设 此时
所以 从而q|3,故有q=3.此时有(p,3)=(p,p-3)=1,且
所以((p-3)|49,得p∈{52,10,4,2,-4,-46}.
综上易得，所求的和为6+6=12.
8.已知复数z满足|z|=2,则 的最大值为 .
答案：
解：原问题等价于如图所示的几何问题：求PA ·PB·PC 的最大值.由阿氏圆知PC=2PB,即求4PA . PB 的最大值.
在△PAB中，由斯特瓦尔特定理得 故有
在 即 时可以取等.
二、解答题 (14+15+15+20=64分)
9.关于x的方程. 的四正根α，β，γ，δ，使得不等式
恒成立，求k的最大值.
解: 由已知条件易知α+β+γ+δ=4.记, 注意到
所以
化简得 即 可验证当 时取等.
10.正实数a、b、c满足:
求 的值.
解：已知条件可化为 由余弦定理知，正实数a、b、c等价于如图所示的线段OA,OB,OC长,其中∠AOB=120°,∠AOC=90°,∠BOC=150°.由 得 所以
整理得
又以AB为直角边作直角△ABD 满足∠ADB=60°,则A,O,B,D四点共圆且D，O，C三点共线.所以 由余弦定理得 再由托勒密定理得a·BD+b·AD=AB·OD,所以 故有 即
综上， .
11.△ABC的内切圆⊙I 与边AC,AB分别切于点E,F,分别连接EI,FI 并延长交⊙I于点J,K.若AE=BC,求证: I,J,B,C,K五点共圆.
证明：如下图，以A为中心将点I，E伸长2倍到点I'，E'，点O为II'的中点，如图连接线段.由题AE=AF=BC,,线段I'J,I'E分别平行且等于线段AE,AF,所以I'J,I'K与⊙I切于点J,K,I'K=BC=IJ,点I,J,I',K四点共圆. 又.I'E'//IE,且
又 注 意 到BC=BF+CE=AE=EC+CE',所 以E'C=FB,从而 进一步有 所以 得点C,K,B,I'四点共圆,同理,点C,J,B,I'四点共圆,至此有点C,K,I,J,B,I'六点共圆，结论得证.
12.对给定的奇素数p，试说明满足下述条件的正整数N是否存在.若存在，求出其中最小的.
(2)其标准分解 满足
解：事实上， 即为所求.
p=3时, 显然成立.下证p>3时依然成立.
一方面 另一方面
即p 不能整除((p-1)"+1,故(p-1)"+1必有不同于 p的素因子，不妨设为q，此时有 即
记δm(n)为n对模m的阶.此时有δ (p-1){p,δg(p-1)|2p,故 或2p.若 则有 必有p-1≡-1(mod q),即p=q,矛盾.故 又由费马小定理有 由阶的性质可知2p|q-1,即q≡1(mod 2p),有q>p,从而 的所有素因子均满足
又由函数f(x)= xlnx在x∈(1,+∞)上单调递增知. 故 即有 故只需证：
一方面,注意到: 0又x>0时, 故有
另一方面，易证 故有
综上，即有 得证.

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