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陕西省西安市蓝田县2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；逐项进行判断，即可得出答案．
2．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；
B、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；
C、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；
D、能用完全平方公式因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
【分析】根据完全平方公式的特征进行分解因式，即可得出答案．
3．在平面直角坐标系中，将点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，点的平移遵循“横坐标不变，纵坐标上加下减”的规则。已知原点坐标为 (–2， 1)，沿 y 轴向上平移1个单位，即纵坐标加1：新纵坐标 = 1 + 1 = 2，横坐标保持 –2 不变。
因此，平移后点的坐标为 (–2， 2)。
故答案为：B
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律：沿 x 轴方向平移：左减右加（横坐标变化）；沿 y 轴方向平移：上加下减（纵坐标变化）。
4．如图，在中，，，点，，分别是边，，的中点，连接，，则四边形的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点，，分别是边，，的中点，
和是的中位线，
，，
，，
，，
，，
四边形的周长．
故选：C．
【分析】根据三角形中位线定理得到，，由线段的中点定义得出，，再求出四边形的周长，即可得出答案．
5．如图，已知函数（为常数，且）与函数（为常阳数且）的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察函数图象可得：当时，一次函数的图象位于直线的下方，
因此不等式的解集为．
故选：D．
【分析】根据两个函数图象的位置关系得出当时，一次函数的图象位于直线的下方，即可得出答案.
6．将直角三角板与直角三角板如图摆放，点在边上，与相交于点，若，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：已知△ABC是含30°角的直角三角板，，，
，
∵△ADE是等腰直角三角板，，
，
∵，
，
，
∴阴影部分的面积为：．
故选：A ．
【分析】利用“含角的直角三角形中，30°角对的直角边是斜边的一半”，得出，再根据△ACF是等腰直角三角形，得，再根据三角形面积公式进行计算，即可得出阴影部分面积.
7．若关于的分式方程有增根，则的值是（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边同乘得：
，
∵分式方程有增根，
∴，
将代入整式方程：得，
解得，
故选： B．
【分析】根据解分式方程的步骤先将分式方程转化为整式方程，根据分式方程增根的定义确定的值，再代入整式方程求出的值，即可得出答案．
8．如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理求出，然后由旋转的性质求出，再次根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理求出，最后即可求得的度数．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9．若分式的值为，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：若分式的值为，则且，
解得，
故填：．
【分析】根据分式的值为，分子为且分母不为，得出且，即可得出答案．
10．多项式和的公因式是　 　．
【答案】
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：，
故多项式和的公因式是，
故填：．
【分析】先将可以分解因式的多项式分解，再对比两个多项式，找出它们共同含有的因式，即可得出答案．
11．将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于，
，
故填：．
【分析】根据正多边形的内角和定理分别求出正五边形和正六边形的内角，再用正六边形的内角减去正五边形的内角，即可得出答案．
12．若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∵关于x的不等式组的解集为，
∴，
故填：．
【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得出答案．
13．如图，已知在 中，，点是和的平分线的交点，过点作，分别交、于、两点，连接、．已知下列结论：①；②点是的中点；③则其中所有正确的结论为　 　（填序号）．
【答案】①②③
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
，，，，
，
点是和的角平分线的交点，
，，
，
，
，所以正确；
，
，，
，，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
即点为的中点，所以正确；
，
设，，
，，
，
，
，所以正确；
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的性质得到，，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出，从而得出，即可判断正确；利用平行线的性质证明，得出，，再证出四边形为平行四边形得出，从而得出，即可判断正确；设，，得出，，，，利用，即可判断正确．
三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14．分解因式：．
【答案】解：原式．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可得出答案．
15．解方程：．
【答案】解：方程两边同乘x（x-2）得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤，方程两边同乘x（x-2）将原方程化为整式方程，解整式方程求出的值，再进行检验，即可得出答案．
16．某市郊公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，园林管理部门准备修建一座八角观景亭，要使点到荔枝古树，的距离相等，且点到围墙和围墙的距离相等，请你用尺规作图的方法找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，先作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点，则点即为所求．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；线段垂直平分线的应用；角平分线的应用
【解析】【分析】根据点到荔枝古树，的距离相等，作线段的垂直平分线，再根据 点到围墙和围墙的距离相等， 作的平分线，两线相交于点，即可得出点即为所求．
17．已知是关于的一元一次不等式，试求的值，并解这个一元一次不等式．
【答案】解：是关于的一元一次不等式，
，
解得，
将代入不等式得，
，
解得．
【知识点】一元一次不等式的概念；解一元一次不等式
【解析】【分析】根据一元一次不等式的定义得出，求出=4，再代入不等式得出，解不等式求出不等式的解集，即可得出答案．
18．如图，在中，平分，过点作，交于点，连接，若，求证：．
【答案】证明：∵平分，
，
，
，
，
，
，
，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，从而得出，根据等腰三角形的判定定理得出，，利用，即可得出答案．
19．如图，在中，点E、F分别是边、的中点，若，求的度数．
【答案】解：四边形是平行四边形，
∴，，
点E、F分别是、的中点，
∴，，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；线段的中点；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据线段中点定义得出，从而证出四边形是平行四边形，得出，再由平行线的性质得出，即可得出答案．
20．解不等式组，并在数轴上表示出此不等式组的解集．
【答案】解：解不等式得，，
，
，
解不等式得，，
，
，
∴原不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出每个不等式的解集，找出两个解集的公共部分，再在数轴并表示出此不等式组的解集，即可得出答案.
21．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：，
，
，
，
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式混合运算顺序，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，把原式进行化简，再把代入进行计算，即可得出答案．
22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上．
（1）请画出关于原点对称的图形，点、、的对应点分别为点、、；
（2）将绕原点逆时针旋转，画出旋转后得到的，点、、的对应点分别为点、、，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
点的坐标为.
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）分别作出点A，B，C关于原点对称的点A1，B1，C1，再顺次连接，即可画出；（2）分别作出点A，B，C旋转后的对应点A2，B2，C2，再顺次连接，即可画出，再直接写出点A2的坐标.
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
点的坐标为．
23．“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的键子数量相同．求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
【答案】解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设毽子的单价为x元，跳绳的单价为元，根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案．
24．如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：如图，延长交于点G，
∵，平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴为的中位线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵D、E分别是、的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）延长交于点G，根据垂直的定义和角平分线的定义得出，，再利用ASA证出，得出，再根据三角形中位线定理得出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质得出，根据线段中点定义得出，再根据，得出，利用，即可证出.
（1）证明：延长交于点G，
∵，平分，
∴，，
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴为的中位线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵D、E分别是、的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
25．某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有两种收费方式，详情见下表：
收费方式 详细介绍（注：不足一个小时的按一小时计算）
会员卡 办卡需元，每活动小时收费元
普通卡 进入文体中心要收取元/日，可免费进行文体活动小时，后续收费元/小时
小明打算一个月（30天）都去文体中心活动，每天活动的时间为小时（为正整数，且）．
（1）如果小明选择办会员卡一个月需要花费______元；选择办普通卡一个月需要花费______元；（用含的代数式表示）
（2）对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，小明办哪种更划算？
【答案】（1）解：；；
（2）解：若，则，
当时，小明办普通卡更划算；
若，则，
当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；
若，则，
当时，小明办会员卡更划算，
答：当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）小明选择办会员卡一个月需要花费元；
选择办普通卡一个月需要花费元．
故填：；；
【分析】（1）分别用含的代数式表示出小明选择办会员卡和选择办普通卡一个月所需费用，即可得出答案；
（2）分三种情况讨论：，，三种情况，分别求出的取值范围或的值，即可得出答案．
（1）根据题意得：小明选择办会员卡一个月需要花费元；
选择办普通卡一个月需要花费元．
故答案为：，；
（2）若，则，
当时，小明办普通卡更划算；
若，则，
当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；
若，则，
当时，小明办会员卡更划算．
答：当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算．
26．【思路梳理】
（1）如图，已知为等边三角形，点是边上的动点，连接，将沿翻折，点的对应点为．若，，求线段的长；
【操作发现】
（2）如图，学校劳动实践基地里，有一块等边三角形的小菜园，同学们开展“创意种植分区”活动，小萱打算利用对称，设计特色种植区：在边上选一个点，连接，将沿着对称，这就划分出一个“对称特色区”，点的对应点为点，连接，在点处修建一个储水池，与相交于点，小萱在边合适位置修建工具站，连接，现要沿，修建两条运输通道，沿修建一条灌溉水渠，实际施工测量时，发现所在直线与垂直，且，现要判断线段，，之间的数量关系，请你帮忙判断并说明理由．
【答案】解：（1）如图，过作于点，
是等边三角形，
，，
，
，
，
将沿翻折，
，，
，
，
，
，
，
；
（2），理由如下：
如图，延长交于点，
，为等边三角形，
，，
，
，
为等腰三角形，
与关于对称，
，，，
，
平分，
，
，即，
垂直平分，
，，
，
，
，，
，，
，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）过作于，利用含的直角三角形的性质、勾股定理等求出，的长，利用翻折的性质得出，，利用三角形内角和定理得出，利用等角对等边得出，从而求出的长，利用，即可得出答案；
（2）延长交于点，根据等边三角形的性质得到，，得出，根据轴对称的性质得到，，，得出，根据线段垂直平分线的性质得到，，得出，从而得出
，根据等腰三角形的性质得出，利用．即可得出答案．
1 / 1陕西省西安市蓝田县2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，将点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，点，，分别是边，，的中点，连接，，则四边形的周长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知函数（为常数，且）与函数（为常阳数且）的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
6．将直角三角板与直角三角板如图摆放，点在边上，与相交于点，若，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
7．若关于的分式方程有增根，则的值是（　　）
A． B． C．或 D．
8．如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9．若分式的值为，则的值是　 　．
10．多项式和的公因式是　 　．
11．将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则的度数为　 　．
12．若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围为　 　．
13．如图，已知在 中，，点是和的平分线的交点，过点作，分别交、于、两点，连接、．已知下列结论：①；②点是的中点；③则其中所有正确的结论为　 　（填序号）．
三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14．分解因式：．
15．解方程：．
16．某市郊公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，园林管理部门准备修建一座八角观景亭，要使点到荔枝古树，的距离相等，且点到围墙和围墙的距离相等，请你用尺规作图的方法找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）
17．已知是关于的一元一次不等式，试求的值，并解这个一元一次不等式．
18．如图，在中，平分，过点作，交于点，连接，若，求证：．
19．如图，在中，点E、F分别是边、的中点，若，求的度数．
20．解不等式组，并在数轴上表示出此不等式组的解集．
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上．
（1）请画出关于原点对称的图形，点、、的对应点分别为点、、；
（2）将绕原点逆时针旋转，画出旋转后得到的，点、、的对应点分别为点、、，并直接写出点的坐标．
23．“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的键子数量相同．求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
24．如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：．
25．某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳、器械等多种文体活动，现有两种收费方式，详情见下表：
收费方式 详细介绍（注：不足一个小时的按一小时计算）
会员卡 办卡需元，每活动小时收费元
普通卡 进入文体中心要收取元/日，可免费进行文体活动小时，后续收费元/小时
小明打算一个月（30天）都去文体中心活动，每天活动的时间为小时（为正整数，且）．
（1）如果小明选择办会员卡一个月需要花费______元；选择办普通卡一个月需要花费______元；（用含的代数式表示）
（2）对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，小明办哪种更划算？
26．【思路梳理】
（1）如图，已知为等边三角形，点是边上的动点，连接，将沿翻折，点的对应点为．若，，求线段的长；
【操作发现】
（2）如图，学校劳动实践基地里，有一块等边三角形的小菜园，同学们开展“创意种植分区”活动，小萱打算利用对称，设计特色种植区：在边上选一个点，连接，将沿着对称，这就划分出一个“对称特色区”，点的对应点为点，连接，在点处修建一个储水池，与相交于点，小萱在边合适位置修建工具站，连接，现要沿，修建两条运输通道，沿修建一条灌溉水渠，实际施工测量时，发现所在直线与垂直，且，现要判断线段，，之间的数量关系，请你帮忙判断并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；逐项进行判断，即可得出答案．
2．【答案】D
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；
B、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；
C、不能用完全平方公式因式分解，故本选项不符合题意；
D、能用完全平方公式因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
【分析】根据完全平方公式的特征进行分解因式，即可得出答案．
3．【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，点的平移遵循“横坐标不变，纵坐标上加下减”的规则。已知原点坐标为 (–2， 1)，沿 y 轴向上平移1个单位，即纵坐标加1：新纵坐标 = 1 + 1 = 2，横坐标保持 –2 不变。
因此，平移后点的坐标为 (–2， 2)。
故答案为：B
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律：沿 x 轴方向平移：左减右加（横坐标变化）；沿 y 轴方向平移：上加下减（纵坐标变化）。
4．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点，，分别是边，，的中点，
和是的中位线，
，，
，，
，，
，，
四边形的周长．
故选：C．
【分析】根据三角形中位线定理得到，，由线段的中点定义得出，，再求出四边形的周长，即可得出答案．
5．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察函数图象可得：当时，一次函数的图象位于直线的下方，
因此不等式的解集为．
故选：D．
【分析】根据两个函数图象的位置关系得出当时，一次函数的图象位于直线的下方，即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：已知△ABC是含30°角的直角三角板，，，
，
∵△ADE是等腰直角三角板，，
，
∵，
，
，
∴阴影部分的面积为：．
故选：A ．
【分析】利用“含角的直角三角形中，30°角对的直角边是斜边的一半”，得出，再根据△ACF是等腰直角三角形，得，再根据三角形面积公式进行计算，即可得出阴影部分面积.
7．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边同乘得：
，
∵分式方程有增根，
∴，
将代入整式方程：得，
解得，
故选： B．
【分析】根据解分式方程的步骤先将分式方程转化为整式方程，根据分式方程增根的定义确定的值，再代入整式方程求出的值，即可得出答案．
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理求出，然后由旋转的性质求出，再次根据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理求出，最后即可求得的度数．
9．【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：若分式的值为，则且，
解得，
故填：．
【分析】根据分式的值为，分子为且分母不为，得出且，即可得出答案．
10．【答案】
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：，
故多项式和的公因式是，
故填：．
【分析】先将可以分解因式的多项式分解，再对比两个多项式，找出它们共同含有的因式，即可得出答案．
11．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于，
，
故填：．
【分析】根据正多边形的内角和定理分别求出正五边形和正六边形的内角，再用正六边形的内角减去正五边形的内角，即可得出答案．
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∵关于x的不等式组的解集为，
∴，
故填：．
【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得出答案．
13．【答案】①②③
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
，，，，
，
点是和的角平分线的交点，
，，
，
，
，所以正确；
，
，，
，，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
即点为的中点，所以正确；
，
设，，
，，
，
，
，所以正确；
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的性质得到，，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出，从而得出，即可判断正确；利用平行线的性质证明，得出，，再证出四边形为平行四边形得出，从而得出，即可判断正确；设，，得出，，，，利用，即可判断正确．
14．【答案】解：原式．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可得出答案．
15．【答案】解：方程两边同乘x（x-2）得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤，方程两边同乘x（x-2）将原方程化为整式方程，解整式方程求出的值，再进行检验，即可得出答案．
16．【答案】解：如图，先作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点，则点即为所求．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；线段垂直平分线的应用；角平分线的应用
【解析】【分析】根据点到荔枝古树，的距离相等，作线段的垂直平分线，再根据 点到围墙和围墙的距离相等， 作的平分线，两线相交于点，即可得出点即为所求．
17．【答案】解：是关于的一元一次不等式，
，
解得，
将代入不等式得，
，
解得．
【知识点】一元一次不等式的概念；解一元一次不等式
【解析】【分析】根据一元一次不等式的定义得出，求出=4，再代入不等式得出，解不等式求出不等式的解集，即可得出答案．
18．【答案】证明：∵平分，
，
，
，
，
，
，
，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，从而得出，根据等腰三角形的判定定理得出，，利用，即可得出答案．
19．【答案】解：四边形是平行四边形，
∴，，
点E、F分别是、的中点，
∴，，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；线段的中点；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据线段中点定义得出，从而证出四边形是平行四边形，得出，再由平行线的性质得出，即可得出答案．
20．【答案】解：解不等式得，，
，
，
解不等式得，，
，
，
∴原不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出每个不等式的解集，找出两个解集的公共部分，再在数轴并表示出此不等式组的解集，即可得出答案.
21．【答案】解：，
，
，
，
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式混合运算顺序，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，把原式进行化简，再把代入进行计算，即可得出答案．
22．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
点的坐标为.
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）分别作出点A，B，C关于原点对称的点A1，B1，C1，再顺次连接，即可画出；（2）分别作出点A，B，C旋转后的对应点A2，B2，C2，再顺次连接，即可画出，再直接写出点A2的坐标.
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
点的坐标为．
23．【答案】解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设毽子的单价为x元，跳绳的单价为元，根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案．
24．【答案】（1）证明：如图，延长交于点G，
∵，平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴为的中位线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵D、E分别是、的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）延长交于点G，根据垂直的定义和角平分线的定义得出，，再利用ASA证出，得出，再根据三角形中位线定理得出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质得出，根据线段中点定义得出，再根据，得出，利用，即可证出.
（1）证明：延长交于点G，
∵，平分，
∴，，
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴为的中位线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）证明：由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵D、E分别是、的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
25．【答案】（1）解：；；
（2）解：若，则，
当时，小明办普通卡更划算；
若，则，
当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；
若，则，
当时，小明办会员卡更划算，
答：当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）小明选择办会员卡一个月需要花费元；
选择办普通卡一个月需要花费元．
故填：；；
【分析】（1）分别用含的代数式表示出小明选择办会员卡和选择办普通卡一个月所需费用，即可得出答案；
（2）分三种情况讨论：，，三种情况，分别求出的取值范围或的值，即可得出答案．
（1）根据题意得：小明选择办会员卡一个月需要花费元；
选择办普通卡一个月需要花费元．
故答案为：，；
（2）若，则，
当时，小明办普通卡更划算；
若，则，
当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；
若，则，
当时，小明办会员卡更划算．
答：当时，小明办普通卡更划算；当时，小明办普通卡或会员卡所需费用相同；当时，小明办会员卡更划算．
26．【答案】解：（1）如图，过作于点，
是等边三角形，
，，
，
，
，
将沿翻折，
，，
，
，
，
，
，
；
（2），理由如下：
如图，延长交于点，
，为等边三角形，
，，
，
，
为等腰三角形，
与关于对称，
，，，
，
平分，
，
，即，
垂直平分，
，，
，
，
，，
，，
，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）过作于，利用含的直角三角形的性质、勾股定理等求出，的长，利用翻折的性质得出，，利用三角形内角和定理得出，利用等角对等边得出，从而求出的长，利用，即可得出答案；
（2）延长交于点，根据等边三角形的性质得到，，得出，根据轴对称的性质得到，，，得出，根据线段垂直平分线的性质得到，，得出，从而得出
，根据等腰三角形的性质得出，利用．即可得出答案．
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