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湖南衡阳市衡阳市四校 2025-2026学年七年级下学期 期中数学试题（5月）
1．在公路上我们常看到如图所示的提示牌，若设此路段通行车辆的高度为，则图中不等量关系用不等式表示为（　　）
A． B． C． D．
2．下列各方程中是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知方程的解为，则m的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．7
4．已知二元一次方程组，把①代入②消元正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．若，下列不等式错误的是（　　）
A． B． C． D．
6．方程，去分母后正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．下列运用等式的性质，变形不正确的是（　　）
A．若x=y，则x+5=y+5 B．若a=b，则ac=bc
C．若 = ，则a=b D．若x=y，则
8．已知、满足方程组，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．若不等式组无解，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．图1是2026年1月份的日历，用图2所示的“九宫格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为．当图2在图1的不同位置时，代数式为定值，则m的值为（　　）
A． B．5 C． D．8
11．已知方程是关于x的一元一次方程，则a的值是　 　．
12．已知方程，若用含的代数式表示，则　 　．
13．若关于，的二元一次方程有一组解是则的值是　 　．
14．不等式的负整数解的个数是　 　个．
15．若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为　 　．
16．如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高）底面半径之比为，用两个相同的管子分别在乙容器的和高度处连通（即管子底端离容器底和）．现三个容器中均无水，若每分钟同时向甲、乙容器注入相同量的水，直至乙、丙容器的水位高度一样时停止注水．已知开始注水1分钟时，甲的水位上升，则开始注水　 　分钟时，乙容器的水位比丙容器恰好高．
17．解方程：
18．解下列方程组：
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
20．（用一元一次方程解应用题）
我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，求快马几天可以追上慢马．
21．小亮在解关于x的方程，去分母时忘记将方程右边的乘10，从而求得方程的解为．
（1）求m的值；
（2）写出正确的求解过程．
22．某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
型智能机器人台数 型智能机器人台数 总费用／万元
1 3 260
3 2 360
信息二
型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； 型智能机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求，两种型号智能机器人的单价．
（2）现该企业准备用不超过700万元购买，两种型号智能机器人共10台，则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
23．【发现问题】已知，求的值．
方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值．
方法二：将①②，求出的值．
【提出问题】怎样才能得到方法二呢？
【分析问题】为了得到方法二，可以将①②，可得．令等式左边，比较系数可得，求得．
【解决问题】
（1）请你选择一种方法，求的值；
【迁移应用】
（2）对于方程组利用方法二的思路，求的值．
24．对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若线段与线段上分别存在一点M，N，使得，则称线段是线段与线段的一条“半生线段”．数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为12．
（1）下列几组点连成的线段中，线段与线段的“半生线段”有 （填序号）；
①点M1表示的数为，点N1表示的数为6；
②点M2表示的数为，点N2表示的数为7；
③点M3表示的数为，点N3表示的数为7．
（2）点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向数轴的正方向运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，两点同时出发，相遇时停止运动．
①两点出发t秒后，线段为线段与线段的“半生线段”，请求出t的值；
②当点P，Q出发时，点A同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的负方向运动，点B同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的正方向运动（m为正整数），已知点R为线段AP的中点，是否存在某个时刻t（t为正整数），使得线段恰好为线段与线段的“半生线段”？若存在，请求出所有满足题意的m的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：∵“限高”表示通行车辆的高度要小于等于，
∴用不等式表示为．
故选：D．
【分析】限高3.5米意味着车辆高度不能超过，据此列不等式即可．
2．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A：方程中，这一项的次数是2，不满足二元一次方程中所有含未知数项的次数都为1的要求，故A不符合题意；
B：方程，一共含有、两个未知数，且所有含未知数的项次数都是1，同时属于整式方程，完全符合二元一次方程的定义，故B符合题意；
C：方程中，这一项的次数为2，不满足二元一次方程中所有含未知数项的次数都为1的要求，故C不符合题意；
D：方程中，是分式，该方程不是整式方程，不满足二元一次方程的要求，故D不符合题意.
故选：B.
【分析】根据二元一次方程的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵的解为，
∴将代入原方程得，
整理得，
解得．
故答案为：C
【分析】本题考查方程的解的基本概念，使方程左右两边相等的未知数的值。解题关键在于“代入法”：将已知的解 x=1代入原方程，转化为关于 m的简单等式，再通过移项或计算直接求出 m的值。
4．【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵
∴ 将①代入②，得，
去括号得．
故选：D.
【分析】根据代入消元法解二元一次方程组的步骤，将①中的表达式代入②，转化为一元一次方程，再进行化简，即可得出答案．
5．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：，根据不等式的性质一得，故A不符合题意；
B：，根据不等式的性质一得，故B不符合题意；
C：，根据不等式的性质二得，故C不符合题意；
D：，根据不等式的性质二得，故D符合题意；
故选：D．
【分析】根据不等式的基本性质逐项进行判断，即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以6得，．
故选：A.
【分析】根据等式的性质，方程两边同乘以6得出，即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、若x=y，则x+5=y+5，正确，不合题意；
B、若a=b，则ac=bc，正确，不合题意；
C、若 = ，则a=b，正确，不合题意；
D、若x=y，则 ，a≠0，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【分析】直接利用等式的基本性质进而判断得出即可．
8．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由①②得，
则．
故选：C.
【分析】根据加减消元法，①②得出，等式两边再同时除以3，得出，即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得：
，
解不等式得：
，
∵不等式组无解，
∴，
解得：．
故答案为：D．
【分析】由题意，先求出两个不等式的解集，然后由不等式组无解并结合”大大小小无解“可得关于的不等式，解这个关于a的不等式即可求解．
10．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：根据题意可得，
，，，
∴
，
∵代数式为定值，
∴，解得，
故选：C ．
【分析】
利用日历中横向相邻数相差1，纵向相邻数差7的规律，用用一个字母表示出其他三个字母，然后代入代数式化简，最后根据代数式的值为定值求出m的值.
11．【答案】
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴x的指数，解得或．
又∵系数，即，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查了一元一次方程。根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1，且系数不为0，因此且，两者结合锁定唯一解可得a的值．本题核心考查一元一次方程的定义——即“只含一个未知数、未知数的最高次数为1、且未知数系数不为0”。
12．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：移项可得：，
整理得：，
系数化为1后得到：．
故填：
【分析】要把这个二元一次方程改写成用含x的式子表示y的形式，只需要先把含x的项移到等式的右侧，再将等式两边同时除以-2，就可以得到结果．
13．【答案】1
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：根据题意把代入得，解得.
故答案为：．
【分析】把二元一次方程的解代入方程，解出即可得答案.
14．【答案】3
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴符合要求的负整数有、、，一共个.故填：3.
【分析】先解出不等式得到x的取值范围，再在取值范围内找出所有符合要求的负整数，最后统计个数，即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式组，得，
∵关于的不等式组有4个整数解，
∴不等式组的解集为，整数解为，
∴，
∴.
故填：.
【分析】解不等式组求出不等式组的解集，再根据不等式组有4个整数解，得到关于的不等式组，再解不等式组求出a的取值范围，即可得出答案.
16．【答案】2或27
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高）底面半径之比为，
∴甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高）底面的面积之比为，
∵开始注水1分钟时，甲的水位上升，
∴甲水面上升的速度为，
∴乙水面上升的速度为，丙水面上升的速度为，
∵，
∴注水10分钟时，乙中的水开始向丙中注入（此时起乙注入的水全部注入丙，乙的高度不变），注水12分钟时，甲中的水开始向乙中注入（此时起甲和乙注入的水都注入丙，甲、乙的高度不变），
设开始注水t分钟时，乙容器的水位比丙容器恰好高，
当乙中水的高度没有达到时，则，
解得；
当乙中水的高度达到时，则，
解得；
综上所述，或；
∴开始注水2分钟或27分钟时，乙容器的水位比丙容器恰好高，
故答案为：2或27．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，核心在于理解连通器触发条件与水位变化分段函数建模。根据题意可得甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高）底面的面积之比为，水位上升速率由“注水量相同”和“底面积比例”推导，则可求出甲水面上升的速度为，乙水面上升的速度为，丙水面上升的速度为；注水10分钟时，乙中的水开始向丙中注入（乙注入的水全部注入丙，乙的高度不变），注水12分钟时，甲中的水开始向乙中注入（甲和乙注入的水都注入丙，甲、乙的高度不变）。据此分两种情况：乙中水的高度没有达到和乙中水的高度达到，分别建立方程求解即可．① 早期阶段（t <10）：丙尚未有效接收水流（或视为0），直接令乙水位=1cm → t=2；② 后期阶段（t >12）：乙=5cm恒定，丙持续上升，列方程求其达4cm所需时间 → 解得t=27（依参考解析代数式）。
17．【答案】解：，
去括号得：，
移项得，
合并同类项得：，
化系数为1：．
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】根据解一元一次方程的步骤，依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可得出答案.
18．【答案】解：，
，得，
解得；
把代入①，得，
解得；
∴.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，即可得出答案.
19．【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集是：，
∴把解集在数轴上表示出来如下图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可.
20．【答案】解：设快马天追上慢马，
根据题意得：，
解得：，
答：快马20天追上慢马．
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【分析】设快马天追上慢马，根据题意列出方程，解方程求出的值，即可得出答案．
21．【答案】（1）解：∵是方程的解，
，
∴；
（2）解：∵，
∴原方程可化为：，
，
，
，
．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；一元一次方程-错解复原问题
【解析】【分析】（1）先根据小亮错误的去分母方法，得出是方程的解，将代入方程，解方程即可求出的值；
（2）将的值代入原方程，再根据解一元一次方程的步骤，依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求出方程的解．
（1）解：依题意，
是方程的解，
，
解得．
（2）解：∵由（1）得，
∴原方程可化为：，
，
，
，
．
22．【答案】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，则型单价为万元，
根据题意得：，
，
，
，
则型单价为万元，
答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台，
依题意得：，
解得，
∵为正整数，
∴，
∴有种购买方案，
每天分拣快递万件，方案如下：
①购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）；
②购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）；
③购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）；
④购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）；
⑤购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件），
∵，
∴当时，每天分拣快递的件数最多，最多为万件，
∴选择购买型智能机器人台，购买型智能机器人台．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设型单价为万元，型单价为万元，根据题意列出方程，解方程求出x的值，再求出的值，即可得出答案；
（2）设购买型智能机器人台，购买型智能机器人台，根据题意列出不等式，解不等式求出a的取值范围，再根据a为正整数，得出a的值，再求出选择各方案每天分拣快递的件数，比较后即可得出答案．
（1）解：设型智能机器人的单价为万元，由第一组购买数据，型单价为万元．
根据单价为正数的约束，列不等式：
结合第二组购买数据列方程：
则型单价为万元．
因此，型单价为80万元，型单价为60万元．
答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元．
（2）解：设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台．
依题意，得，
解得．
∵为正整数，
∴，
∴有种购买方案，
每天分拣快递万件，方案如下：
①购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）；
②购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）；
③购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）；
④购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）；
⑤购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件），
∵，
∴当时，每天分拣快递的件数最多，最多为万件，
所以选择购买型智能机器人台，购买型智能机器人台．
23．【答案】解：方法一：，
，得：，
解得：，
将代入②，得：，
解得：，
∴；
方法二：
，
得：，
令，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：，
得：，
令，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）方法一：根据加减消元法求出x，y的值，再代入7x+7y进行计算，即可得出答案；
方法二：根据题中提供的方法，得出，再令，列出方程组，解方程组求出m和n的值，再代入进行计算，即可得出答案；
（2）根据题中提供的方法：得出，再令，列出方程组，解方程组求出m和n的值，再代入进行计算，即可得出答案.
24．【答案】（1）①②
（2）解：①∵点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向数轴的正方向运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，两点同时出发，
∴线段与线段的“半生线段”，
∴，
解得，
∴两点出发2秒后，线段为线段与线段的“半生线段”；
②存在，
∵点A同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的负方向运动，点B同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的正方向运动（m为正整数），
∴线段与线段的“半生线段”为，
∵点R为线段的中点，
∴点R表示的数为，
∴线段，
∴，
∴，
∵t为正整数，m为正整数，
∴当时，；
当时，；
∴m的值为16或4.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：∵点A表示的数为-6，点B表示的数为12，
∴线段与线段的“半生线段”，
由①点M1表示的数为，点N1表示的数为6，得，符合题意；
由②点M2表示的数为，点N2表示的数为7，得，符合题意；
由③点M3表示的数为，点N3表示的数为7，得，不符合题意；
故填：①②；
【分析】（1）根据“半生线段”的定义，分别进行判断，即可得出答案；（2）①根据题意列出方程， 解方程求出t的值，即可得出答案；②根据题意列出方程，得出，再根据t为正整数，m为正整数，得出当时，，
当时，，即可得出答案.
（1）解：∵点A表示的数为-6，点B表示的数为12，
∴线段与线段的“半生线段”，
由①点M1表示的数为，点N1表示的数为6，得，符合题意；
由②点M2表示的数为，点N2表示的数为7，得，符合题意；
由③点M3表示的数为，点N3表示的数为7，得，不符合题意；
故答案为：①②；
（2）①∵点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向数轴的正方向运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，两点同时出发，
∴线段与线段的“半生线段”，
∴，
解得，
∴两点出发2秒后，线段为线段与线段的“半生线段”；
②∵点A同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的负方向运动，点B同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的正方向运动（m为正整数），
∴线段与线段的“半生线段”为，
∵点R为线段的中点，
∴点R表示的数为，
∴线段，
∴，
∴，
∵t为正整数，m为正整数，
∴当时，；
当时，．
1 / 1湖南衡阳市衡阳市四校 2025-2026学年七年级下学期 期中数学试题（5月）
1．在公路上我们常看到如图所示的提示牌，若设此路段通行车辆的高度为，则图中不等量关系用不等式表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：∵“限高”表示通行车辆的高度要小于等于，
∴用不等式表示为．
故选：D．
【分析】限高3.5米意味着车辆高度不能超过，据此列不等式即可．
2．下列各方程中是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A：方程中，这一项的次数是2，不满足二元一次方程中所有含未知数项的次数都为1的要求，故A不符合题意；
B：方程，一共含有、两个未知数，且所有含未知数的项次数都是1，同时属于整式方程，完全符合二元一次方程的定义，故B符合题意；
C：方程中，这一项的次数为2，不满足二元一次方程中所有含未知数项的次数都为1的要求，故C不符合题意；
D：方程中，是分式，该方程不是整式方程，不满足二元一次方程的要求，故D不符合题意.
故选：B.
【分析】根据二元一次方程的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
3．已知方程的解为，则m的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．7
【答案】C
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵的解为，
∴将代入原方程得，
整理得，
解得．
故答案为：C
【分析】本题考查方程的解的基本概念，使方程左右两边相等的未知数的值。解题关键在于“代入法”：将已知的解 x=1代入原方程，转化为关于 m的简单等式，再通过移项或计算直接求出 m的值。
4．已知二元一次方程组，把①代入②消元正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵
∴ 将①代入②，得，
去括号得．
故选：D.
【分析】根据代入消元法解二元一次方程组的步骤，将①中的表达式代入②，转化为一元一次方程，再进行化简，即可得出答案．
5．若，下列不等式错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：，根据不等式的性质一得，故A不符合题意；
B：，根据不等式的性质一得，故B不符合题意；
C：，根据不等式的性质二得，故C不符合题意；
D：，根据不等式的性质二得，故D符合题意；
故选：D．
【分析】根据不等式的基本性质逐项进行判断，即可得出答案.
6．方程，去分母后正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以6得，．
故选：A.
【分析】根据等式的性质，方程两边同乘以6得出，即可得出答案.
7．下列运用等式的性质，变形不正确的是（　　）
A．若x=y，则x+5=y+5 B．若a=b，则ac=bc
C．若 = ，则a=b D．若x=y，则
【答案】D
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、若x=y，则x+5=y+5，正确，不合题意；
B、若a=b，则ac=bc，正确，不合题意；
C、若 = ，则a=b，正确，不合题意；
D、若x=y，则 ，a≠0，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【分析】直接利用等式的基本性质进而判断得出即可．
8．已知、满足方程组，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由①②得，
则．
故选：C.
【分析】根据加减消元法，①②得出，等式两边再同时除以3，得出，即可得出答案.
9．若不等式组无解，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得：
，
解不等式得：
，
∵不等式组无解，
∴，
解得：．
故答案为：D．
【分析】由题意，先求出两个不等式的解集，然后由不等式组无解并结合”大大小小无解“可得关于的不等式，解这个关于a的不等式即可求解．
10．图1是2026年1月份的日历，用图2所示的“九宫格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为．当图2在图1的不同位置时，代数式为定值，则m的值为（　　）
A． B．5 C． D．8
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：根据题意可得，
，，，
∴
，
∵代数式为定值，
∴，解得，
故选：C ．
【分析】
利用日历中横向相邻数相差1，纵向相邻数差7的规律，用用一个字母表示出其他三个字母，然后代入代数式化简，最后根据代数式的值为定值求出m的值.
11．已知方程是关于x的一元一次方程，则a的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴x的指数，解得或．
又∵系数，即，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查了一元一次方程。根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1，且系数不为0，因此且，两者结合锁定唯一解可得a的值．本题核心考查一元一次方程的定义——即“只含一个未知数、未知数的最高次数为1、且未知数系数不为0”。
12．已知方程，若用含的代数式表示，则　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：移项可得：，
整理得：，
系数化为1后得到：．
故填：
【分析】要把这个二元一次方程改写成用含x的式子表示y的形式，只需要先把含x的项移到等式的右侧，再将等式两边同时除以-2，就可以得到结果．
13．若关于，的二元一次方程有一组解是则的值是　 　．
【答案】1
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：根据题意把代入得，解得.
故答案为：．
【分析】把二元一次方程的解代入方程，解出即可得答案.
14．不等式的负整数解的个数是　 　个．
【答案】3
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴符合要求的负整数有、、，一共个.故填：3.
【分析】先解出不等式得到x的取值范围，再在取值范围内找出所有符合要求的负整数，最后统计个数，即可得出答案.
15．若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式组，得，
∵关于的不等式组有4个整数解，
∴不等式组的解集为，整数解为，
∴，
∴.
故填：.
【分析】解不等式组求出不等式组的解集，再根据不等式组有4个整数解，得到关于的不等式组，再解不等式组求出a的取值范围，即可得出答案.
16．如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高）底面半径之比为，用两个相同的管子分别在乙容器的和高度处连通（即管子底端离容器底和）．现三个容器中均无水，若每分钟同时向甲、乙容器注入相同量的水，直至乙、丙容器的水位高度一样时停止注水．已知开始注水1分钟时，甲的水位上升，则开始注水　 　分钟时，乙容器的水位比丙容器恰好高．
【答案】2或27
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高）底面半径之比为，
∴甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高）底面的面积之比为，
∵开始注水1分钟时，甲的水位上升，
∴甲水面上升的速度为，
∴乙水面上升的速度为，丙水面上升的速度为，
∵，
∴注水10分钟时，乙中的水开始向丙中注入（此时起乙注入的水全部注入丙，乙的高度不变），注水12分钟时，甲中的水开始向乙中注入（此时起甲和乙注入的水都注入丙，甲、乙的高度不变），
设开始注水t分钟时，乙容器的水位比丙容器恰好高，
当乙中水的高度没有达到时，则，
解得；
当乙中水的高度达到时，则，
解得；
综上所述，或；
∴开始注水2分钟或27分钟时，乙容器的水位比丙容器恰好高，
故答案为：2或27．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，核心在于理解连通器触发条件与水位变化分段函数建模。根据题意可得甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高）底面的面积之比为，水位上升速率由“注水量相同”和“底面积比例”推导，则可求出甲水面上升的速度为，乙水面上升的速度为，丙水面上升的速度为；注水10分钟时，乙中的水开始向丙中注入（乙注入的水全部注入丙，乙的高度不变），注水12分钟时，甲中的水开始向乙中注入（甲和乙注入的水都注入丙，甲、乙的高度不变）。据此分两种情况：乙中水的高度没有达到和乙中水的高度达到，分别建立方程求解即可．① 早期阶段（t <10）：丙尚未有效接收水流（或视为0），直接令乙水位=1cm → t=2；② 后期阶段（t >12）：乙=5cm恒定，丙持续上升，列方程求其达4cm所需时间 → 解得t=27（依参考解析代数式）。
17．解方程：
【答案】解：，
去括号得：，
移项得，
合并同类项得：，
化系数为1：．
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】根据解一元一次方程的步骤，依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可得出答案.
18．解下列方程组：
【答案】解：，
，得，
解得；
把代入①，得，
解得；
∴.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，即可得出答案.
19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集是：，
∴把解集在数轴上表示出来如下图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可.
20．（用一元一次方程解应用题）
我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，求快马几天可以追上慢马．
【答案】解：设快马天追上慢马，
根据题意得：，
解得：，
答：快马20天追上慢马．
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【分析】设快马天追上慢马，根据题意列出方程，解方程求出的值，即可得出答案．
21．小亮在解关于x的方程，去分母时忘记将方程右边的乘10，从而求得方程的解为．
（1）求m的值；
（2）写出正确的求解过程．
【答案】（1）解：∵是方程的解，
，
∴；
（2）解：∵，
∴原方程可化为：，
，
，
，
．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；一元一次方程-错解复原问题
【解析】【分析】（1）先根据小亮错误的去分母方法，得出是方程的解，将代入方程，解方程即可求出的值；
（2）将的值代入原方程，再根据解一元一次方程的步骤，依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求出方程的解．
（1）解：依题意，
是方程的解，
，
解得．
（2）解：∵由（1）得，
∴原方程可化为：，
，
，
，
．
22．某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
型智能机器人台数 型智能机器人台数 总费用／万元
1 3 260
3 2 360
信息二
型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； 型智能机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求，两种型号智能机器人的单价．
（2）现该企业准备用不超过700万元购买，两种型号智能机器人共10台，则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
【答案】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，则型单价为万元，
根据题意得：，
，
，
，
则型单价为万元，
答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台，
依题意得：，
解得，
∵为正整数，
∴，
∴有种购买方案，
每天分拣快递万件，方案如下：
①购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）；
②购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）；
③购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）；
④购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）；
⑤购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件），
∵，
∴当时，每天分拣快递的件数最多，最多为万件，
∴选择购买型智能机器人台，购买型智能机器人台．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设型单价为万元，型单价为万元，根据题意列出方程，解方程求出x的值，再求出的值，即可得出答案；
（2）设购买型智能机器人台，购买型智能机器人台，根据题意列出不等式，解不等式求出a的取值范围，再根据a为正整数，得出a的值，再求出选择各方案每天分拣快递的件数，比较后即可得出答案．
（1）解：设型智能机器人的单价为万元，由第一组购买数据，型单价为万元．
根据单价为正数的约束，列不等式：
结合第二组购买数据列方程：
则型单价为万元．
因此，型单价为80万元，型单价为60万元．
答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元．
（2）解：设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台．
依题意，得，
解得．
∵为正整数，
∴，
∴有种购买方案，
每天分拣快递万件，方案如下：
①购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）；
②购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）；
③购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）；
④购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）；
⑤购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件），
∵，
∴当时，每天分拣快递的件数最多，最多为万件，
所以选择购买型智能机器人台，购买型智能机器人台．
23．【发现问题】已知，求的值．
方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值．
方法二：将①②，求出的值．
【提出问题】怎样才能得到方法二呢？
【分析问题】为了得到方法二，可以将①②，可得．令等式左边，比较系数可得，求得．
【解决问题】
（1）请你选择一种方法，求的值；
【迁移应用】
（2）对于方程组利用方法二的思路，求的值．
【答案】解：方法一：，
，得：，
解得：，
将代入②，得：，
解得：，
∴；
方法二：
，
得：，
令，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：，
得：，
令，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）方法一：根据加减消元法求出x，y的值，再代入7x+7y进行计算，即可得出答案；
方法二：根据题中提供的方法，得出，再令，列出方程组，解方程组求出m和n的值，再代入进行计算，即可得出答案；
（2）根据题中提供的方法：得出，再令，列出方程组，解方程组求出m和n的值，再代入进行计算，即可得出答案.
24．对于数轴上的两条线段，给出如下定义：若线段与线段上分别存在一点M，N，使得，则称线段是线段与线段的一条“半生线段”．数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为12．
（1）下列几组点连成的线段中，线段与线段的“半生线段”有 （填序号）；
①点M1表示的数为，点N1表示的数为6；
②点M2表示的数为，点N2表示的数为7；
③点M3表示的数为，点N3表示的数为7．
（2）点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向数轴的正方向运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，两点同时出发，相遇时停止运动．
①两点出发t秒后，线段为线段与线段的“半生线段”，请求出t的值；
②当点P，Q出发时，点A同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的负方向运动，点B同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的正方向运动（m为正整数），已知点R为线段AP的中点，是否存在某个时刻t（t为正整数），使得线段恰好为线段与线段的“半生线段”？若存在，请求出所有满足题意的m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①②
（2）解：①∵点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向数轴的正方向运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，两点同时出发，
∴线段与线段的“半生线段”，
∴，
解得，
∴两点出发2秒后，线段为线段与线段的“半生线段”；
②存在，
∵点A同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的负方向运动，点B同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的正方向运动（m为正整数），
∴线段与线段的“半生线段”为，
∵点R为线段的中点，
∴点R表示的数为，
∴线段，
∴，
∴，
∵t为正整数，m为正整数，
∴当时，；
当时，；
∴m的值为16或4.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型
【解析】【解答】解：∵点A表示的数为-6，点B表示的数为12，
∴线段与线段的“半生线段”，
由①点M1表示的数为，点N1表示的数为6，得，符合题意；
由②点M2表示的数为，点N2表示的数为7，得，符合题意；
由③点M3表示的数为，点N3表示的数为7，得，不符合题意；
故填：①②；
【分析】（1）根据“半生线段”的定义，分别进行判断，即可得出答案；（2）①根据题意列出方程， 解方程求出t的值，即可得出答案；②根据题意列出方程，得出，再根据t为正整数，m为正整数，得出当时，，
当时，，即可得出答案.
（1）解：∵点A表示的数为-6，点B表示的数为12，
∴线段与线段的“半生线段”，
由①点M1表示的数为，点N1表示的数为6，得，符合题意；
由②点M2表示的数为，点N2表示的数为7，得，符合题意；
由③点M3表示的数为，点N3表示的数为7，得，不符合题意；
故答案为：①②；
（2）①∵点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向数轴的正方向运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，两点同时出发，
∴线段与线段的“半生线段”，
∴，
解得，
∴两点出发2秒后，线段为线段与线段的“半生线段”；
②∵点A同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的负方向运动，点B同时以每秒m个单位长度的速度向数轴的正方向运动（m为正整数），
∴线段与线段的“半生线段”为，
∵点R为线段的中点，
∴点R表示的数为，
∴线段，
∴，
∴，
∵t为正整数，m为正整数，
∴当时，；
当时，．
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