资源简介

四川省成都市新都区2024—2025学年下学期七年级数学期末试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每个小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．下列图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．2020年7月，北斗三号导航系统正式开通全球服务，在全球范围其授时精度优于20纳秒，已知1纳秒秒，则20纳秒可用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．若使用如图所示的、两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（　　）
A．只有可以 B．只有可以
C．，都可以 D．，都不可以
5．如图，仪器可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是（　　）
A．边边边 B．边角边 C．角角边 D．角边角
6．下列事件中，属于随机事件的有（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和是
B．投一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是7
C．经过有交通信号灯的路口，刚好是绿灯
D．从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是白球
7．将木条a，b与c钉一起，，，要使木条a与b平行，木条b绕点B按顺时针旋转的度数至少是（　　）
A． B． C． D．
8．“乡村振兴”是党的十九大作出的重大决策部署．为了推动农业耕种现代化，甲市有某型号智能农业耕种机器12台，现决定支援给A村和B村．已知从甲市调运一台机器到A村、B村的运费分别为400元和600元．设甲市运往A村的机器为x台，则总运费y关于x的关系式为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．已知a+b=6，a-b=2，则a2-b2=　 　
10．一个盒子里放了2个白球和3个黑球，若每个球除颜色外都相同，若从盒子中摸出一个球，则这个球是白球的概率是　 　．
11．某厂家要生产一批货物，每天生产的个数与生产的天数之间的关系如下表所示：
每天生产的个数 …
生产的天数 …
则该厂家要想天完成这批货物的生产任务，则每天需要生产　 　个．
12．已知，为整数，且，则　 　(填“”，“”或“”)．
13．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
15．如图，在每个小正方形的边长都为的正方形网格中，已知的三个顶点都在格点上．
（1）画出关于直线的轴对称图形；
（2）在直线上找一点，使点到点，的距离和最小，并在图中描出点的位置(请保留画图痕迹）；
（3）求的面积．
16．今年4月在某中学校园艺术节来临之际，为了更好地了解全校名学生最喜爱的节目类型，学校艺术节筹备组随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）被抽取的问卷数量是 ，请将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“舞蹈”对应的扇形圆心角的大小为 度；
（3）请你估计全校最喜爱“歌曲”类节目的学生人数．
17．如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若平分，于点，，求的度数．
18．在中，，．点是射线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．
（1）如图1，当点在线段上时不与点重合，则 度；线段，，的数量关系为 ；
（2）当点在线段的延长线上时，
①请你写出线段，，的数量关系，并证明你的结论；
②连接，，若，，请求出的面积．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．若是一个完全平方式，则的值为　 　．
20．如图是由三个同心圆组成的游戏板，同心圆的半径从大到小分别为，和，则白色区域面积占整个面积的比值为　 　．
21．如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的值为，结果输出的是，将第次输出的结果，再次输入运算程序，进行第次运算，结果输出的是，则第次输出的结果是　 　；第次输出的结果是　 　．
22．七年级2班数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图：
其中射线为的平分线的编号为　 　．
23．动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和．如图1，若点落在上，点落在上，则的度数是　 　度；如图2，若，则的度数为　 　（用含的代数式表示）．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题．
（1）按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ；
（2）我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ；
（3）若，请求出的值．
25．如图1，在长方形中，是对角线，动点从点出发，沿着的路径运动．过点作于点．设点的运动路程为，的值为，与之间的变量关系如图2所示．
（1）请问 ， ， ；
（2）图2中(？)处该填 ；
（3）当点在线段上运动时不与端点重合，求的面积与之间的关系式(写出的取值范围)．
26．某班数学兴趣小组的同学在学习了轴对称知识后，利用一张长方形纸片进行折纸探究活动．
（1）如图1，将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是，与交于点．求证：；
（2）如图2，分别在、上取点、，将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是，连接、，探究和的位置关系，并说明你的理由；
（3）如图3，长方形纸片中，，，点为边上一点，，，将长方形纸片沿直线翻折后，点的对应点是恰好落在射线上，点的对应点是，连接，求的最小值，并说明你的理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】本题以常见图形图标为背景，考查了轴对称图形的识别。根据轴对称图形的定义（存在一条直线使图形折叠后两部分重合），逐项判断找出符合要求的选项。
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：20纳秒．
故选：D．
【分析】本题以科学记数法表示较小数为背景，考查了科学记数法的表示形式及单位换算。先将20纳秒换算为秒，再写成 a 的形式，其中 1 < 10。
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故A选项不符合题意；
B.，故B选项不符合题意；
C.，故C选项符合题意；
D.和不是同类项，不能合并，故D选项不符合题意．
故选：C．
【分析】本题以整式的运算法则为背景，考查了积的乘方、单项式乘法、同底数幂除法及合并同类项。根据积的乘方（每个因式乘方）、单项式乘法（系数乘、同底数幂指数相加）、同底数幂除法（指数相减）及合并同类项（系数相加减）等法则，逐项判断得出正确选项。
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；分类讨论
【解析】【解答】解：三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，可以把的细木条分为两截．
理由：，满足两边之和大于第三边．
故选：A．
【分析】本题以三角形框架制作为背景，考查了三角形的三边关系。根据三角形两边之和大于第三边，分析哪根铁丝分成两段后能与另一根铁丝构成三角形。
5．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴就是的平分线.
故选：A
【分析】本题以角平分仪的制作原理为背景，考查了全等三角形的判定（SSS）及其对应角相等的性质。由AB=AD、BC=DC、AC为公共边，证△ABC≌△ADC，得∠BAC=∠DAC，从而AC平分∠PRQ。
6．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A. 三角形的内角和恒为，是必然事件，不符合题意；
B. 骰子只有1至6点，出现7点不可能，属于不可能事件，不符合题意；
C. 交通信号灯有红、黄、绿三种可能，遇到绿灯是随机事件，符合题意；
D. 袋中无白球，掏到白球不可能，属于不可能事件，不符合题意；
故选：C.
【分析】本题以随机事件的判断为背景，考查了必然事件、不可能事件与随机事件的区分。根据事件发生的确定性，逐项分析：A为必然事件，B、D为不可能事件，C为随机事件。
7．【答案】A
【知识点】旋转的性质；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：要使木条a与b平行，
∴旋转后，
∵，
∴旋转后，
∴木条b至少旋转：，
故选：A．
【分析】本题以木条旋转使两线平行为背景，考查了平行线的判定（同位角相等）。由平行时同位角相等得目标角度，再与当前角度相减，求出旋转的最小角度。
8．【答案】D
【知识点】整式的混合运算；函数解析式；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：运往A村的机器为x台，运费为400元/台，故A村运费为元，
运往B村的机器为台，运费为600元/台，故B村运费为元，
∴总运费y为两部分之和，即：；
故选：D.
【分析】本题以农机调配运费为背景，考查了函数关系式的建立。用含 x 的代数式分别表示运往A村和B村的费用，求和得总运费 y 关于 x 的函数表达式。
9．【答案】12
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】
【分析】分解因式代入已知值求值即可.
10．【答案】
【知识点】概率公式；约分
【解析】【解答】解：∵一个盒子里放了2个白球和3个黑球，若每个球除颜色外都相同，
∴从盒子中摸出一个球，则这个球是白球的概率是，
故答案为：．
【分析】本题以摸球试验为背景，考查了古典概型概率的计算。根据概率公式，用白球个数除以球的总数，得到摸出白球的概率。
11．【答案】
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围；反比例函数的概念；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据表格，得，
与之间的关系为，
当时，得，
解得，
每天需要生产个．
故答案为：．
【分析】本题以生产任务中天数与日产量的关系为背景，考查了从表格中获取信息、建立总量关系及利用反比例关系求解。根据表格数据求出生产总量，再用总量除以所需天数，得到每天的产量。
12．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：
∵
∴
故答案为：．
【分析】本题以代数式的大小比较为背景，考查了完全平方公式的运用及作差法比较大小。将两式作差后通分，利用完全平方公式化简，结合已知条件 a-b=1 判断差的符号。
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再根据角的和差解答即可．
14．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
；
当时，
原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；利用整式的混合运算化简求值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】本题以实数的混合运算和整式的化简求值为背景，考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值、平方差公式、完全平方公式及多项式除以单项式的运算法则。
（1）分别计算各项：、、，再合并。
（2）先利用平方差和完全平方公式展开，合并后除以 x 化简，最后代入 x=， y= 求值。
15．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，连接，交直线于点，连接，
此时，为最小值，
则点即为所求．
（3）解：的面积为
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】本题以网格中的轴对称作图、最短路径问题及三角形面积计算为背景，考查了轴对称变换、利用对称性求线段和的最小值及割补法求面积。
（1）作△ABC各顶点关于直线DE的对称点，顺次连接得△A1B1C1。
（2）作点A关于直线DE的对称点A1，连接A1B交DE于点P，此时PA+PB最小。
（3）利用矩形面积减去周围三个直角三角形面积，计算△ABC的面积。
（1）解：如图，即为所求．
（2）如图，连接，交直线于点，连接，
此时，为最小值，
则点即为所求．
（3）的面积为
16．【答案】（1），补全图形见解析
（2）
（3）解：（名），
答：估计全校最喜爱“歌曲”类节目的学生人数约为名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】（1）解：被抽取的问卷数量是（份），
“舞蹈”人数为（人），
补全图形如下：
故答案为：；
（2）扇形统计图中“舞蹈”对应的扇形圆心角的大小为，
故答案为：；
【分析】本题以校园艺术节节目类型调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联、样本容量的计算、圆心角的求法及用样本估计总体。
（1）由已知类别人数和扇形图所占百分比，计算样本总人数，再补全条形图。
（2）用360°乘以“舞蹈”在样本中所占比例，得圆心角。
（3）用全校总人数乘以样本中“歌曲”所占比例，估计全校喜欢歌曲的人数。
（1）解：被抽取的问卷数量是（份），
“舞蹈”人数为（人），
补全图形如下：
故答案为：；
（2）扇形统计图中“舞蹈”对应的扇形圆心角的大小为，
故答案为：；
（3）（名），
答：估计全校最喜爱“歌曲”类节目的学生人数约为名．
17．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
若平分，，
，
，
，
．
【知识点】角的运算；垂线的概念；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】本题以平行线的判定与性质为背景，考查了平行线的性质、同旁内角互补判定平行及角平分线的应用。
（1）由AE∥CD得∠D+∠DAE=180°，结合已知∠D+∠AEF=180°得∠DAE=∠AEF，从而AD∥EF，再由平行线性质得∠BAD=∠BFE。
（2）利用垂直和平行得∠AEB=90°，由角平分线及平行线性质求∠AEF，再通过角的和差求∠BEF。
（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
若平分，，
，
，
，
．
18．【答案】（1）；；
（2）解：①线段、、的数量关系是：，证明如下：
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
②，，
，
由①可知：，
，，
在中，，，
，
，
，
，
即，
的面积是：．
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）解：在中，，，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
故答案为：；；
【分析】本题以等腰直角三角形中的旋转为背景，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质及三角形面积的计算。
（1）利用旋转得AE=AD、∠DAE=90°，证△ABE≌△ACD，得BE=CD、∠ABE=45°，从而∠CBE=90°，BD=BC-BE。
（2）①当D在BC延长线上时，同理证全等得BE=CD，则BD=BC+BE。
②利用全等求相关线段长，证BE⊥BD，用三角形面积公式计算。
（1）解：在中，，，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
故答案为：；；
（2）①线段、、的数量关系是：，证明如下：
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
②，，
，
由①可知：，
，，
在中，，，
，
，
，
，
即，
的面积是：．
19．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题以完全平方式的结构特征为背景，考查了完全平方公式的应用。根据完全平方式 a2 2ab + b2的形式，确定中间项系数 m 的值，再计算 m2。
20．【答案】
【知识点】求比值；圆环的面积
【解析】【解答】解：∵整个图形的面积，白色区域面积的面积，
∴白色区域面积占整个面积的比值为
故答案为：．
【分析】本题以同心圆构成的游戏板为背景，考查了圆的面积公式及面积比的计算。用最大圆面积减去中间圆面积得白色区域面积，再除以整个图形面积，求出比值。
21．【答案】；
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意可得，
第一次输出的结果为，
第二次输出的结果为，
第三次输出的结果为，
第四次输出的结果为，
第五次输出的结果为，
第六次输出的结果为，
…，
由上可得，从第二次输出结果开始，以，，依次循环出现，
∵，
∴第次输出的结果是．
故答案为：；．
【分析】本题以程序运算为背景，考查了代数式的求值与周期规律的探索。按照给定的运算规则，依次计算每次输出的结果，观察发现输出结果从第二次开始呈周期循环，根据循环周期推算第6次和第2025次的结果。
22．【答案】①②③④
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①：由作图痕迹可知，射线为的平分线；
②：由作图痕迹可知，，，
又，
，
同理可得，，
，
射线为的平分线；
③：由作图痕迹可知，，，
可得，
又由图可知，
，
，
射线为的平分线；
④：由作图痕迹可知，，是等腰三角形，
射线是的垂直平分线，
也是的平分线．
故答案为：①②③④．
【分析】本题以尺规作角平分线的多种方法为背景，考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的性质及等腰三角形“三线合一”的应用。根据各图形中的作图痕迹，利用几何原理逐一判断射线OP是否为∠AOB的平分线。
23．【答案】；或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；补角；分类讨论
【解析】【解答】解：如图：
由翻折的性质可得，
，
，，
；
如图：
，
，
由翻折可知，，
，
；
如图：
，
，
由翻折可知，，
，
；
综上所述，的度数为或．
故答案为：，或．
【分析】本题以长方形纸片折叠为背景，考查了翻折的性质、平角的定义及分类讨论思想。第一空：利用翻折得对应角相等，结合平角列方程求∠EPF的度数。第二空：分两种情况讨论，根据∠A'PD'=α及翻折后角的关系，通过平角或周角的和差关系，用含α的代数式表示∠EPF。
24．【答案】（1） ，
（2）；
（3）解：∵，当时，
∴
即①
当时，
即②
①+②得，
即
∴
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）解：由题中规律可知，结合杨辉三角形：
，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6，
故答案为：5 ，6；
（2）由题中规律可知，结合杨辉三角形：
；
将等式中的“”代换成“”，得到
；
故答案为：；；
【分析】本题以杨辉三角为背景，考查了二项式展开式的系数规律、代数式代换求展开式及赋值法求系数和。
（1）根据杨辉三角的系数规律，写出 的展开式，确定项数和指定项的系数。
（2）利用杨辉三角写出 的展开式，再将 b 替换为 -b 得到 的展开式。
（3）分别令 x=1 和 x=-1 得到两个等式，相加后消去奇次项系数，求出偶次项系数之和。
（1）解：由题中规律可知，结合杨辉三角形：
，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6，
故答案为：5 ，6；
（2）由题中规律可知，结合杨辉三角形：
；
将等式中的“”代换成“”，得到
；
故答案为：；；
（3）解：∵，
当时，
∴
即①
当时，
即②
①+②得，
即
∴
25．【答案】（1），，
（2）
（3）解：点在线段上运动时不与端点重合，则∴
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围；矩形的性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】（1）解：根据图2可得，当时，取得最小值，此时运动到点，即，
当点运动到点点时，，取得最大值，此时
在中，
∴；
故答案为：，，．
（2）解：由（1）可得，
∴当时，取得最小值，此时运动到点，则
故答案为：．
【分析】本题以长方形中的动点问题为背景，考查了勾股定理、函数图象的识别及三角形面积关系式的建立。
（1）从图象中读取关键点的坐标，确定AC、BC的长，再利用勾股定理求AB。
（2）根据图象及（1）中结论，计算点运动到A时的y值。
（3）当点N在AB上运动时，用含x的式子表示NE，利用三角形面积公式写出S与x的关系式，并确定x的取值范围。
（1）解：根据图2可得，当时，取得最小值，此时运动到点，即，
当点运动到点点时，，取得最大值，此时
在中，
∴；
故答案为：，，．
（2）解：由（1）可得，
∴当时，取得最小值，此时运动到点，则
故答案为：．
（3）解：点在线段上运动时不与端点重合，则
∴
26．【答案】（1）证明：∵四边形是长方形，
∴，，
∵将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
（2）解：，
理由如下，∵将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是，
∴，
∴，
（3）解：的最小值为，理由如下，如图，设交于点，
由（2）可得
当时，，此时取得最小值，
∵四边形是长方形，
∴，，
∵，
∴
∴
又∵
又∵
∴
∴，，
∴
【知识点】垂线的概念；垂线段最短及其应用；平行线的判定；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题以长方形纸片折叠为背景，考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定及垂线段最短的应用。
（1）由折叠得对应边相等、对应角相等，结合长方形性质证△DGH≌△BCH。
（2）由折叠得折痕垂直平分对应点连线，从而AA'∥DD'。
（3）利用（2）中结论得AA'∥DD'，当BD'⊥AA'时BD'最小，通过全等转化得BD'=CD，从而得最小值。
（1）证明：∵四边形是长方形，
∴，，
∵将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
（2）解：，理由如下，
∵将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是，
∴，
∴，
（3）解：的最小值为，理由如下，如图，设交于点，
由（2）可得
当时，，此时取得最小值，
∵四边形是长方形，
∴，，
∵，
∴
∴
又∵
又∵
∴
∴，，
∴
1 / 1四川省成都市新都区2024—2025学年下学期七年级数学期末试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每个小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．下列图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】本题以常见图形图标为背景，考查了轴对称图形的识别。根据轴对称图形的定义（存在一条直线使图形折叠后两部分重合），逐项判断找出符合要求的选项。
2．2020年7月，北斗三号导航系统正式开通全球服务，在全球范围其授时精度优于20纳秒，已知1纳秒秒，则20纳秒可用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：20纳秒．
故选：D．
【分析】本题以科学记数法表示较小数为背景，考查了科学记数法的表示形式及单位换算。先将20纳秒换算为秒，再写成 a 的形式，其中 1 < 10。
3．下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故A选项不符合题意；
B.，故B选项不符合题意；
C.，故C选项符合题意；
D.和不是同类项，不能合并，故D选项不符合题意．
故选：C．
【分析】本题以整式的运算法则为背景，考查了积的乘方、单项式乘法、同底数幂除法及合并同类项。根据积的乘方（每个因式乘方）、单项式乘法（系数乘、同底数幂指数相加）、同底数幂除法（指数相减）及合并同类项（系数相加减）等法则，逐项判断得出正确选项。
4．若使用如图所示的、两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（　　）
A．只有可以 B．只有可以
C．，都可以 D．，都不可以
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；分类讨论
【解析】【解答】解：三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，可以把的细木条分为两截．
理由：，满足两边之和大于第三边．
故选：A．
【分析】本题以三角形框架制作为背景，考查了三角形的三边关系。根据三角形两边之和大于第三边，分析哪根铁丝分成两段后能与另一根铁丝构成三角形。
5．如图，仪器可以用来平分一个角，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是（　　）
A．边边边 B．边角边 C．角角边 D．角边角
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴就是的平分线.
故选：A
【分析】本题以角平分仪的制作原理为背景，考查了全等三角形的判定（SSS）及其对应角相等的性质。由AB=AD、BC=DC、AC为公共边，证△ABC≌△ADC，得∠BAC=∠DAC，从而AC平分∠PRQ。
6．下列事件中，属于随机事件的有（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和是
B．投一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是7
C．经过有交通信号灯的路口，刚好是绿灯
D．从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是白球
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A. 三角形的内角和恒为，是必然事件，不符合题意；
B. 骰子只有1至6点，出现7点不可能，属于不可能事件，不符合题意；
C. 交通信号灯有红、黄、绿三种可能，遇到绿灯是随机事件，符合题意；
D. 袋中无白球，掏到白球不可能，属于不可能事件，不符合题意；
故选：C.
【分析】本题以随机事件的判断为背景，考查了必然事件、不可能事件与随机事件的区分。根据事件发生的确定性，逐项分析：A为必然事件，B、D为不可能事件，C为随机事件。
7．将木条a，b与c钉一起，，，要使木条a与b平行，木条b绕点B按顺时针旋转的度数至少是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】旋转的性质；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：要使木条a与b平行，
∴旋转后，
∵，
∴旋转后，
∴木条b至少旋转：，
故选：A．
【分析】本题以木条旋转使两线平行为背景，考查了平行线的判定（同位角相等）。由平行时同位角相等得目标角度，再与当前角度相减，求出旋转的最小角度。
8．“乡村振兴”是党的十九大作出的重大决策部署．为了推动农业耕种现代化，甲市有某型号智能农业耕种机器12台，现决定支援给A村和B村．已知从甲市调运一台机器到A村、B村的运费分别为400元和600元．设甲市运往A村的机器为x台，则总运费y关于x的关系式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】整式的混合运算；函数解析式；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：运往A村的机器为x台，运费为400元/台，故A村运费为元，
运往B村的机器为台，运费为600元/台，故B村运费为元，
∴总运费y为两部分之和，即：；
故选：D.
【分析】本题以农机调配运费为背景，考查了函数关系式的建立。用含 x 的代数式分别表示运往A村和B村的费用，求和得总运费 y 关于 x 的函数表达式。
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．已知a+b=6，a-b=2，则a2-b2=　 　
【答案】12
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】
【分析】分解因式代入已知值求值即可.
10．一个盒子里放了2个白球和3个黑球，若每个球除颜色外都相同，若从盒子中摸出一个球，则这个球是白球的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；约分
【解析】【解答】解：∵一个盒子里放了2个白球和3个黑球，若每个球除颜色外都相同，
∴从盒子中摸出一个球，则这个球是白球的概率是，
故答案为：．
【分析】本题以摸球试验为背景，考查了古典概型概率的计算。根据概率公式，用白球个数除以球的总数，得到摸出白球的概率。
11．某厂家要生产一批货物，每天生产的个数与生产的天数之间的关系如下表所示：
每天生产的个数 …
生产的天数 …
则该厂家要想天完成这批货物的生产任务，则每天需要生产　 　个．
【答案】
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围；反比例函数的概念；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据表格，得，
与之间的关系为，
当时，得，
解得，
每天需要生产个．
故答案为：．
【分析】本题以生产任务中天数与日产量的关系为背景，考查了从表格中获取信息、建立总量关系及利用反比例关系求解。根据表格数据求出生产总量，再用总量除以所需天数，得到每天的产量。
12．已知，为整数，且，则　 　(填“”，“”或“”)．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：
∵
∴
故答案为：．
【分析】本题以代数式的大小比较为背景，考查了完全平方公式的运用及作差法比较大小。将两式作差后通分，利用完全平方公式化简，结合已知条件 a-b=1 判断差的符号。
13．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再根据角的和差解答即可．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
；
当时，
原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；利用整式的混合运算化简求值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】本题以实数的混合运算和整式的化简求值为背景，考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值、平方差公式、完全平方公式及多项式除以单项式的运算法则。
（1）分别计算各项：、、，再合并。
（2）先利用平方差和完全平方公式展开，合并后除以 x 化简，最后代入 x=， y= 求值。
15．如图，在每个小正方形的边长都为的正方形网格中，已知的三个顶点都在格点上．
（1）画出关于直线的轴对称图形；
（2）在直线上找一点，使点到点，的距离和最小，并在图中描出点的位置(请保留画图痕迹）；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，连接，交直线于点，连接，
此时，为最小值，
则点即为所求．
（3）解：的面积为
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】本题以网格中的轴对称作图、最短路径问题及三角形面积计算为背景，考查了轴对称变换、利用对称性求线段和的最小值及割补法求面积。
（1）作△ABC各顶点关于直线DE的对称点，顺次连接得△A1B1C1。
（2）作点A关于直线DE的对称点A1，连接A1B交DE于点P，此时PA+PB最小。
（3）利用矩形面积减去周围三个直角三角形面积，计算△ABC的面积。
（1）解：如图，即为所求．
（2）如图，连接，交直线于点，连接，
此时，为最小值，
则点即为所求．
（3）的面积为
16．今年4月在某中学校园艺术节来临之际，为了更好地了解全校名学生最喜爱的节目类型，学校艺术节筹备组随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）被抽取的问卷数量是 ，请将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“舞蹈”对应的扇形圆心角的大小为 度；
（3）请你估计全校最喜爱“歌曲”类节目的学生人数．
【答案】（1），补全图形见解析
（2）
（3）解：（名），
答：估计全校最喜爱“歌曲”类节目的学生人数约为名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】（1）解：被抽取的问卷数量是（份），
“舞蹈”人数为（人），
补全图形如下：
故答案为：；
（2）扇形统计图中“舞蹈”对应的扇形圆心角的大小为，
故答案为：；
【分析】本题以校园艺术节节目类型调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联、样本容量的计算、圆心角的求法及用样本估计总体。
（1）由已知类别人数和扇形图所占百分比，计算样本总人数，再补全条形图。
（2）用360°乘以“舞蹈”在样本中所占比例，得圆心角。
（3）用全校总人数乘以样本中“歌曲”所占比例，估计全校喜欢歌曲的人数。
（1）解：被抽取的问卷数量是（份），
“舞蹈”人数为（人），
补全图形如下：
故答案为：；
（2）扇形统计图中“舞蹈”对应的扇形圆心角的大小为，
故答案为：；
（3）（名），
答：估计全校最喜爱“歌曲”类节目的学生人数约为名．
17．如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若平分，于点，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
若平分，，
，
，
，
．
【知识点】角的运算；垂线的概念；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】本题以平行线的判定与性质为背景，考查了平行线的性质、同旁内角互补判定平行及角平分线的应用。
（1）由AE∥CD得∠D+∠DAE=180°，结合已知∠D+∠AEF=180°得∠DAE=∠AEF，从而AD∥EF，再由平行线性质得∠BAD=∠BFE。
（2）利用垂直和平行得∠AEB=90°，由角平分线及平行线性质求∠AEF，再通过角的和差求∠BEF。
（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
若平分，，
，
，
，
．
18．在中，，．点是射线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．
（1）如图1，当点在线段上时不与点重合，则 度；线段，，的数量关系为 ；
（2）当点在线段的延长线上时，
①请你写出线段，，的数量关系，并证明你的结论；
②连接，，若，，请求出的面积．
【答案】（1）；；
（2）解：①线段、、的数量关系是：，证明如下：
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
②，，
，
由①可知：，
，，
在中，，，
，
，
，
，
即，
的面积是：．
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）解：在中，，，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
故答案为：；；
【分析】本题以等腰直角三角形中的旋转为背景，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质及三角形面积的计算。
（1）利用旋转得AE=AD、∠DAE=90°，证△ABE≌△ACD，得BE=CD、∠ABE=45°，从而∠CBE=90°，BD=BC-BE。
（2）①当D在BC延长线上时，同理证全等得BE=CD，则BD=BC+BE。
②利用全等求相关线段长，证BE⊥BD，用三角形面积公式计算。
（1）解：在中，，，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
故答案为：；；
（2）①线段、、的数量关系是：，证明如下：
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
②，，
，
由①可知：，
，，
在中，，，
，
，
，
，
即，
的面积是：．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．若是一个完全平方式，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题以完全平方式的结构特征为背景，考查了完全平方公式的应用。根据完全平方式 a2 2ab + b2的形式，确定中间项系数 m 的值，再计算 m2。
20．如图是由三个同心圆组成的游戏板，同心圆的半径从大到小分别为，和，则白色区域面积占整个面积的比值为　 　．
【答案】
【知识点】求比值；圆环的面积
【解析】【解答】解：∵整个图形的面积，白色区域面积的面积，
∴白色区域面积占整个面积的比值为
故答案为：．
【分析】本题以同心圆构成的游戏板为背景，考查了圆的面积公式及面积比的计算。用最大圆面积减去中间圆面积得白色区域面积，再除以整个图形面积，求出比值。
21．如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的值为，结果输出的是，将第次输出的结果，再次输入运算程序，进行第次运算，结果输出的是，则第次输出的结果是　 　；第次输出的结果是　 　．
【答案】；
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：由题意可得，
第一次输出的结果为，
第二次输出的结果为，
第三次输出的结果为，
第四次输出的结果为，
第五次输出的结果为，
第六次输出的结果为，
…，
由上可得，从第二次输出结果开始，以，，依次循环出现，
∵，
∴第次输出的结果是．
故答案为：；．
【分析】本题以程序运算为背景，考查了代数式的求值与周期规律的探索。按照给定的运算规则，依次计算每次输出的结果，观察发现输出结果从第二次开始呈周期循环，根据循环周期推算第6次和第2025次的结果。
22．七年级2班数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图：
其中射线为的平分线的编号为　 　．
【答案】①②③④
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：①：由作图痕迹可知，射线为的平分线；
②：由作图痕迹可知，，，
又，
，
同理可得，，
，
射线为的平分线；
③：由作图痕迹可知，，，
可得，
又由图可知，
，
，
射线为的平分线；
④：由作图痕迹可知，，是等腰三角形，
射线是的垂直平分线，
也是的平分线．
故答案为：①②③④．
【分析】本题以尺规作角平分线的多种方法为背景，考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的性质及等腰三角形“三线合一”的应用。根据各图形中的作图痕迹，利用几何原理逐一判断射线OP是否为∠AOB的平分线。
23．动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和．如图1，若点落在上，点落在上，则的度数是　 　度；如图2，若，则的度数为　 　（用含的代数式表示）．
【答案】；或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；补角；分类讨论
【解析】【解答】解：如图：
由翻折的性质可得，
，
，，
；
如图：
，
，
由翻折可知，，
，
；
如图：
，
，
由翻折可知，，
，
；
综上所述，的度数为或．
故答案为：，或．
【分析】本题以长方形纸片折叠为背景，考查了翻折的性质、平角的定义及分类讨论思想。第一空：利用翻折得对应角相等，结合平角列方程求∠EPF的度数。第二空：分两种情况讨论，根据∠A'PD'=α及翻折后角的关系，通过平角或周角的和差关系，用含α的代数式表示∠EPF。
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题．
（1）按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ；
（2）我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ；
（3）若，请求出的值．
【答案】（1） ，
（2）；
（3）解：∵，当时，
∴
即①
当时，
即②
①+②得，
即
∴
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）解：由题中规律可知，结合杨辉三角形：
，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6，
故答案为：5 ，6；
（2）由题中规律可知，结合杨辉三角形：
；
将等式中的“”代换成“”，得到
；
故答案为：；；
【分析】本题以杨辉三角为背景，考查了二项式展开式的系数规律、代数式代换求展开式及赋值法求系数和。
（1）根据杨辉三角的系数规律，写出 的展开式，确定项数和指定项的系数。
（2）利用杨辉三角写出 的展开式，再将 b 替换为 -b 得到 的展开式。
（3）分别令 x=1 和 x=-1 得到两个等式，相加后消去奇次项系数，求出偶次项系数之和。
（1）解：由题中规律可知，结合杨辉三角形：
，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6，
故答案为：5 ，6；
（2）由题中规律可知，结合杨辉三角形：
；
将等式中的“”代换成“”，得到
；
故答案为：；；
（3）解：∵，
当时，
∴
即①
当时，
即②
①+②得，
即
∴
25．如图1，在长方形中，是对角线，动点从点出发，沿着的路径运动．过点作于点．设点的运动路程为，的值为，与之间的变量关系如图2所示．
（1）请问 ， ， ；
（2）图2中(？)处该填 ；
（3）当点在线段上运动时不与端点重合，求的面积与之间的关系式(写出的取值范围)．
【答案】（1），，
（2）
（3）解：点在线段上运动时不与端点重合，则∴
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围；矩形的性质；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】（1）解：根据图2可得，当时，取得最小值，此时运动到点，即，
当点运动到点点时，，取得最大值，此时
在中，
∴；
故答案为：，，．
（2）解：由（1）可得，
∴当时，取得最小值，此时运动到点，则
故答案为：．
【分析】本题以长方形中的动点问题为背景，考查了勾股定理、函数图象的识别及三角形面积关系式的建立。
（1）从图象中读取关键点的坐标，确定AC、BC的长，再利用勾股定理求AB。
（2）根据图象及（1）中结论，计算点运动到A时的y值。
（3）当点N在AB上运动时，用含x的式子表示NE，利用三角形面积公式写出S与x的关系式，并确定x的取值范围。
（1）解：根据图2可得，当时，取得最小值，此时运动到点，即，
当点运动到点点时，，取得最大值，此时
在中，
∴；
故答案为：，，．
（2）解：由（1）可得，
∴当时，取得最小值，此时运动到点，则
故答案为：．
（3）解：点在线段上运动时不与端点重合，则
∴
26．某班数学兴趣小组的同学在学习了轴对称知识后，利用一张长方形纸片进行折纸探究活动．
（1）如图1，将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是，与交于点．求证：；
（2）如图2，分别在、上取点、，将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是，连接、，探究和的位置关系，并说明你的理由；
（3）如图3，长方形纸片中，，，点为边上一点，，，将长方形纸片沿直线翻折后，点的对应点是恰好落在射线上，点的对应点是，连接，求的最小值，并说明你的理由．
【答案】（1）证明：∵四边形是长方形，
∴，，
∵将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
（2）解：，
理由如下，∵将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是，
∴，
∴，
（3）解：的最小值为，理由如下，如图，设交于点，
由（2）可得
当时，，此时取得最小值，
∵四边形是长方形，
∴，，
∵，
∴
∴
又∵
又∵
∴
∴，，
∴
【知识点】垂线的概念；垂线段最短及其应用；平行线的判定；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题以长方形纸片折叠为背景，考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定及垂线段最短的应用。
（1）由折叠得对应边相等、对应角相等，结合长方形性质证△DGH≌△BCH。
（2）由折叠得折痕垂直平分对应点连线，从而AA'∥DD'。
（3）利用（2）中结论得AA'∥DD'，当BD'⊥AA'时BD'最小，通过全等转化得BD'=CD，从而得最小值。
（1）证明：∵四边形是长方形，
∴，，
∵将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
（2）解：，理由如下，
∵将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是，
∴，
∴，
（3）解：的最小值为，理由如下，如图，设交于点，
由（2）可得
当时，，此时取得最小值，
∵四边形是长方形，
∴，，
∵，
∴
∴
又∵
又∵
∴
∴，，
∴
1 / 1

展开更多......

收起↑