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北京三帆中学2024—2025学年度第二学期期末质量监测八年级数学
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，属于最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）
A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 1，1， D. 1，1，1
3.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
4.下列命题正确的是（）
A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
5.一家鞋店在上一周内销售了某款女鞋30双，各种尺码鞋的销售数量如下表所示．
尺码/ cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 1 2 5 11 6 4 1
该店主决定本周进货时，影响该店主决策的统计量是（ ）
A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数
6.如图，中，，于点，是边的中点，连结．若，，则（ ）
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，点，都在函数的图象上．若，则下列四个推断正确的有（ ）
①点在第一象限；②点在函数图象上；
③；④．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.如图，在矩形中，，，点P是线段上的一个动点，连结，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共9小题，共20分。
9.若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
10.在中，，则 ．
11.已知一次函数（，是常数）的图象上有两点，，若当时，，那么的值可以是 （写出一个满足题意的值即可）．
12.某校八年级学生的数学学期成绩由平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩组成．甲、乙两名同学的各项成绩（百分制）和各项成绩占比如下表所示，那么从甲、乙两人的学期成绩看， 的学期成绩更高（填“甲”或“乙”）．
成绩项目 平时成绩 期中考试成绩 期末考试成绩
在学期成绩中的占比
甲的成绩 90 85 90
乙的成绩 88 90 85
13.如图，在中，于点，，，连接．若平分，则的长是 ．
14.如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是 ．
15.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图所示．在图中，若正方形的边长为，正方形的边长为，且，则正方形的边长为 ．
16.如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．点运动时，的面积随时间的变化关系图象如图，
（1） ；
（2）菱形的面积是 ．
17.在平面直角坐标系中，已知点和点，称以点为起点，点为终点的有向线段为“向量”，记作．用坐标表示为，．若两向量的横纵坐标均相等，则称两向量相等．当时，称点到点的变换为“沿的平移变换”．
(1) 已知点，，，则点经过“沿的平移变换”后的对应点的坐标为 ；直线：经过“沿的平移变换”后的对应直线解析式为 ；
(2) 爱研究的小帆应用“数形结合”的方法，发现：若点经过“沿的平移变换”后对应点为，那么四边形是平行四边形．请你应用小帆发现的结论解决下面的问题：
①已知点，，且四边形是平行四边形，则点的坐标为 ；
②已知点，，点经过“沿的平移变换”后对应点为，若四边形是正方形，则的坐标为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
18.计算：
(1) ；
(2)
四、解答题：本题共8小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在x轴负半轴上，点D在y轴正半轴上，且四边形是菱形．
(1) 使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）；作法：以点为圆心，的长为半径画弧，交轴负半轴于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交轴正半轴于点，连接，，，则四边形是菱形．
(2) 根据（1）中的作法，完成下面的证明；
证明： ， ，
四边形是平行四边形．（ ）（填推理的依据）
，
，
四边形是菱形．（ ）（填推理的依据）
(3) 若直线的表达式为，直接写出菱形的面积和直线的表达式．
20.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移1个单位，与函数的图象交于点．
(1) 求，的值；
(2) 在平面直角坐标系中画出的图象，观察图象后直接写出：当时，的取值范围是 ；
(3) 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，小于函数的值，直接写出的取值范围．
21.(本小题5分)
如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，．
(1) 求证：四边形是矩形；
(2) 连接，若，，求的长．
22.(本小题7分)
某校为了解该校七年级和八年级学生的数学学习情况，从这两个年级的学生中，各随机抽取了60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制，且成绩均为整数），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七年级数学成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）；
b．七年级学生数学成绩在这一组是：
70，71，71，72，76，76，77，78，78，78，79，79，79，79
c．七年级，八年级学生数学成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程 平均数 中位数 众数
七年级
八年级 83
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 写出表中的值；
(2) 在此次测试中，某七年级学生A的数学成绩为76分，某八年级学生B的数学成绩为71分，学生成绩排名更靠前的是 （填“A”或“B”），理由是 ；
(3) 若该校七年级有1200名学生，八年级有600名学生，假设该年级七、八年级学生全部参加此次测试，估计该校七年级和八年级学生中数学成绩超过70分的总人数．
23.(本小题5分)
如图，某景区内有一个露营区C，河边上原有两个观景台A和B，且．为了方便游客观赏，现计划在河边新建一个观景台P（A、P、B在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题：
(1) 试判断步道与的位置关系，并说明理由；
(2) 求观景台P与观景台B之间的距离的长．（结果保留到整数）
24.(本小题10分)
函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；
-3 -2 -1 0 1 2 3 …
6 4 2 0 2 4 6 …
经历同样的过程画函数和的图象．
(1) 函数的自变量的取值范围 ．对于函数，当 时，．
(2) 观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化．
①图象与图象的交点坐标为
②图象关于 对称
③对于函数，当时，的取值范围 ．
(3) 探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离．
(4) 拓展应用：，是函数的图象上的任意两点，且满足时，，则的取值范围是 ．
25.(本小题9分)
在中，，，是中点，为上一点，连接，为内一点，且，点关于直线的对称点为点，与交于点，连接，．
(1) 依题意补全图1；
(2) 求证：；
(3) 连接，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
26.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，对于点，定义如下：若存在两点，使得且，则称点为以这两个点为端点的线段的中点源．如图，正方形的顶点为，，，．
(1) 若点，则下列点是线段的中点源的有 （填写点的序号即可）①，②，③，④
(2) 点，都在直线上，且线段的中点源点在对角线上，若，求点的坐标．
(3) 平行四边形的四个顶点为，，，．在正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段中，若平行四边形边上的所有点均可成为其中某些线段的中点源，请直接写出的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】x≥-2
10.【答案】
11.【答案】/（答案不唯一，任意满足的值均可）
12.【答案】甲
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】

17.【答案】【小题1】

【小题2】

或

18.【答案】【小题1】
解：原式
；
【小题2】
解：原式
．

19.【答案】【小题1】
解：所求图形如图所示；
【小题2】

对角线互相平分的四边形是平行四边形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【小题3】
解：对于直线，
令，则，解得，
令，则，
∴，，
∴，，
∴在菱形中，，，
∴．
∵，
∴，
设过点，的直线的表达式为，
则，
解得，
∴直线的表达式为．

20.【答案】【小题1】
解：将函数的图象向上平移1个单位，则解析式为，
∵点是直线和直线的交点，
∴，
解得；
【小题2】
图象如图：
；
【小题3】
解：当时，；当时，；
∵当时，函数的值大于函数的值，小于函数的值，
∴当时，，
解得．

21.【答案】【小题1】
证明∶，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
【小题2】
解：∵四边形是菱形，
，，
，
，，
，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴．

22.【答案】【小题1】
解：∵，七年级抽取学生人数为60名，
∴第30，31名学生的数学成绩在，且分别为78，79，
∴（分）；
【小题2】
B
∵在此次测试中，某七年级学生A的数学成绩为76分，中位数为分，
∴七年级有一半及以上的学生的数学成绩比学生A高，
∵某八年级学生B的数学成绩为71分，中位数为分，
∴八年级有一半及以上的学生的数学成绩比学生B低，
∴学生成绩排名更靠前的是B；
【小题3】
解：七年级：
抽取的60人中，成绩超过70分的人数为（人），占比为．
七年级共有1200人，因此超过70分的人数约为（人）．
八年级：
八年级的中位数是，说明成绩高于分的人数占一半，即60名样本中，超过70分的人数约为30人，占比为，
八年级共有600人，因此超过70分的人数约为（人）．
∴总人数为（人）．

23.【答案】【小题1】
解：，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
即；
【小题2】
解：设，
∵，
∴，
∵，，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴，
∴的长．

24.【答案】【小题1】
全体实数

【小题2】



【小题3】
解：由图象，可知
函数向下平移个单位长度得，
函数向左平移个单位长度得；
【小题4】

25.【答案】【小题1】
依题意补全图形如下：
【小题2】
证明：连接．
∵点D关于直线的对称点为E，，
，．
．
∵．
．
，
．
．
【小题3】
线段与的数量关系是：．证明如下：
连接并延长到F，使得，连接．
∴点N是中点．
∵点D与点E关于直线的对称，
∴点M是中点．
∴为的中位线．
．
∵点N是中点，
．
，，
．
，．
，
．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．

26.【答案】【小题1】
②③
【小题2】
解：点，都在直线上，且，
点的坐标为，
设点坐标为，
点为线段的中点源，
点坐标为，即，
或，即，
，，
可设直线的函数解析式为，
可得，解得，
直线的函数解析式为，
点在对角线上，
，解得，
或，解得，
点坐标为或．
【小题3】
解：，
点在直线：上运动，
对于点，定义如下：若存在两点，使得且，称点为以这两个点为端点的线段的中点源．
，
点为点和点的中点，
若在正方形的边上（包括顶点）任取两点，
则线段的中点源在线段的延长线或线段的延长线上，
平行四边形边上的所有点只能在正方形的边上或正方形的外部．
如图，当平行四边形在第二象限时，
正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段的中点源的横坐标的最小值为，
纵坐标的最大值为，
要使平行四边形边上的所有点均可成为其中某些线段的中点源，
须满足，，解得；
如图，当平行四边形在第四象限时，
平行四边形的四个顶点为，，，，
点向右平移个单位，向上平移一个单位变成点，
，
轴，，
为等腰直角三角形，且，
，
，
，
，
点到轴和轴的距离均为，
，
正方形的边上（包括顶点）任取两点连接的线段的中点源的横坐标的最大值为，
纵坐标的最小值为，
要使平行四边形边上的所有点均可成为其中某些线段的中点源，
须满足，，解得；
综上，的取值范围为或．

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