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安徽合肥市第四十五中学等校2025－2026学年八年级第二学期期末测试数学试题卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
2.下列等式正确的是( )
A. B. C. D.
3.函数的自变量x的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
4.下列式子中，是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
5.如图，在 ABCD中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AD，AB于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G.作射线AG交DC于点H，若CH=2，BC=3.则AB=（）
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6
6.如图，在矩形中，，点和是边上的两点，连接、，将和沿、折叠后，点和点重合于点，则的长是（ ）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 8
7.如图，在 ABCD中，F是BC边上一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAF.若BF=6，CF=2，则AF的长为（　　）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14
8.已知一次函数的图象与直线y＝-x+1平行，且过点(8，2)，那么此一次函数的解析式为（ ）
A. y＝-x-2 B. y＝-x-6 C. y＝-x+10 D. y＝-x-1
9.如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是( )
A. B. C. D.
10.如图1，在面积为4的正方形中，E为边的中点，动点F从点D出发，在正方形的边上沿匀速运动，运动到点B时停止．设点F的运动路程为x，线段的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，共21分。
11.如图，在中，，点在边上，且，过点作，交的延长线于点，若，则的长为 ．
12.如图，在中，，过点作于点，，．
(1) 的长为 ．
(2) 点在线段上，过点作于点，若，则的长为 ．
13.如图，在 ABCD中，AB＝9，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F．
(1) EF的长为 ．
(2) 把“问题”中的条件“AB＝9，AD＝6”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值为 ．
14.如图，矩形中，，．点N是边上一动点，将沿折叠，使点B落在点M处，延长交矩形的一边与点E，
(1) 当为的角平分线时，的度数为 ；
(2) 当点E为中点时，则的长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共99分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知平行四边形中，，，，过点作交边于点．
(1) 如图1，为边上一点，当时，求线段的长；
(2) 如图2，为平行四边形所在平面内一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，为线段的中点，连接，，探究并证明线段和之间的数量关系；
(3) 如图3，为直线上一动点，连接并将绕点逆时针旋转到，连接，，当取得最小值时，过点作于点，将线段在直线上平移得到，连接，，直接写出的最小值．
16.(本小题8分)
下面是小乐设计的“利用已知矩形作一个菱形和一个平行四边形”的尺规作图过程．
已知：矩形．
求作：菱形，平行四边形．
作法：
①过点作射线交线段于点；
②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点；
③分别以点、为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点（不同于点），连接、．则四边形即为所求作的菱形．
连接、，则四边形即为所求作的平行四边形．
(1) 请你用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2) 完成以下证明：，
四边形是菱形．（① ）（填推理的依据）
四边形为矩形，
，．
四边形是菱形，
，，
，，
四边形是平行四边形．（② ）（填推理的依据）
17.(本小题12分)
你能找出规律吗
(1) 计算：= ，= .= ，= .
(2) 请按找到的规律计算：①；②；
(3) 已知：a=， b=，则= (用含a、b的式子表示).
18.(本小题12分)
如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B、C不重合)，连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M．
(1) 试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
(2) 当AB=3，BP=2PC，求QM的长；
(3) 当BP=m，PC=n时，求AM的长．
19.(本小题12分)
【问题探究】
如图，正方形中，是对角线，现有较大的直角三角板，一边始终经过点．直角顶点在射线上移动，另一边交于．
(1) 如图1，当点在边上时，探究与所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过点作于点，于点，根据正方形的性质和角平分线的性质很容易证明，得出结论，请你帮他写出完整的证明过程
(2) 【类比思考】如图2，当点落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想．
(3) 【拓展应用】如图3，过点作于点，若正方形的边长为2，则在点运动的过程中，发现的长度不发生变化，请直接写出这个不变的值为 ．
20.(本小题8分)
根据所给素材，完成相应任务．
玩转三角尺
活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角尺，如图1所示．其中，为直角，，把两直角顶点重合（点A与点F重合于点O），旋转三角尺进行探究活动
素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上．
素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形的对边．
素材3 李老师提出问题：如图4，在上述操作过程（），与的面积比是否为定值？
解决问题
任务1 （1）根据图2，直接写出线段的长为______．
任务2 （2）根据图3帮助小聪同学写出的推导过程．
任务3 （3）请你解答李老师的问题，并说明理由．
21.(本小题12分)
【问题提出】
如图，在中，，，是的中线，是边上一点，连接，以为边作等边，且点在的内部，连接，．
(1) 求证：；
(2) 试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；
(3) 【问题解决】
如图，是某小区的健身场地，，，为了让住户们有更多的健身空间，物业计划对进行扩建，以小路为边作等边为儿童活动区，以为边作等边为成人健身区，沿线段铺设一条健身步道，步道与小路相交于点，且小路米，现需要翻修小路，求小路的长．
22.(本小题8分)
如图，平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴上，，将矩形沿直线折叠使点与点重合，直线与、、的交点分别为，，．
(1) 直接写出点和点的坐标为： ； ；
(2) 若点在轴上，点为平面直角坐标系中任意一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，求满足上述条件的点的坐标．
23.(本小题15分)
在等腰中，，，点D为上一点，连接．
(1) 如图1，若平分，，求的长；
(2) 如图2，过点D作，交于点E，交延长线于点F，连接，，用等式表示线段，的数量关系并证明；
(3) 如图3，，P为上的点，且，连接，当取最小值时，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，在的延长线上取一点M，且，连接，若，为锐角，请直接写出的值．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】【小题1】

【小题2】

13.【答案】【小题1】
3
【小题2】
2或或

14.【答案】【小题1】

【小题2】

15.【答案】【小题1】
解：如图所示，过点作于点，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴；
【小题2】
解：，理由如下：
如图，延长到点，使，连接，，延长交的延长线于点，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
【小题3】
解：取中点，将绕点逆时针旋转，得，连接，，
由旋转得，，，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形中，，，为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点、、共线，
∵，
∴，
∴点的轨迹为过线段中点且平行于的直线上，
如图，过点作直线的对称点，连接，
由对称得，
∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，
此时点位置如图，过点作于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由对称得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
作点关于的对称点，在上取点，使，设交于点，过点作于点，
∴，，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由两点之间最短距离得，当且仅当、、依次共线时取得最小值，
由（1）知与间的距离为，
∴，
∴，
∵，平行四边形中，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．

16.【答案】【小题1】
解：图形如图所示：
【小题2】
四条边相等的四边形是菱形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

17.【答案】【小题1】
6
6
20
20
【小题2】
由（1）中的计算结果可知：当时，，
∴①；
②；
【小题3】


18.【答案】【小题1】
解：AP=BQ．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠ABQ+∠CBQ=90°．
∵BQ⊥AP，
∴∠PAB+∠QBA=90°，
∴∠PAB=∠CBQ．
在△PBA和△QCB中，
，
∴△PBA≌△QCB，
∴AP=BQ；
【小题2】
过点Q作QH⊥AB于H，如图．
∵四边形ABCD是正方形，
∴QH=BC=AB=3．
∵BP=2PC，
∴BP=2，PC=1，
∴BQ=AP===，
∴BH===2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC // AB，
∴∠CQB=∠QBA．
由折叠可得∠C′QB=∠CQB，
∴∠QBA=∠C′QB，
∴MQ=MB．
设QM=x，则有MB=x，MH=x-2．
在Rt△MHQ中，
根据勾股定理可得x2=(x-2)2+32，
解得x=．
∴QM的长为；
【小题3】
过点Q作QH⊥AB于H，如图．
∵四边形ABCD是正方形，BP=m，PC=n，
∴QH=BC=AB=m+n．
∴BQ2=AP2=AB2+PB2，
∴BH2=BQ2-QH2=AB2+PB2-AB2=PB2，
∴BH=PB=m．
设QM=x，则有MB=QM=x，MH=x-m．
在Rt△MHQ中，
根据勾股定理可得x2=(x-m)2+(m+n)2，
解得x=m+n+，
∴AM=MB-AB=m+n+- m-n=．
∴AM的长为．

19.【答案】【小题1】
证明：过P作，如图所示：
∵P，C为正方形对角线上的点，
∴平分，，
∴，
∴四边形为正方形，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【小题2】
解：，理由如下，
过P作，
∴
∵P，C为正方形对角线上的点，
∴平分，，
∴，
∴四边形为正方形，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小题3】


20.【答案】解：（）在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（）∵（已知），（已知），
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴
（）与的面积比是定值，理由：
作于，交延长线于，如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴与的面积比是定值．

21.【答案】【小题1】
证明：∵是的中线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
【小题2】
解：，理由，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由（）得，，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴；
【小题3】
解：∵是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∴，
如图，过点作中线，
∵是等边三角形，点是中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴米，
∵是中点，
∴（米），
∴米，
∴小路的长为米．

22.【答案】【小题1】


【小题2】
解：∵，，
∴，
①如图所示，当，为菱形的邻边时，，
∵轴，，
∴轴，
当点在位置，当点在位置时，，
∴；
当点在位置，当点在位置时，，
∴；
②如图所示，当，为菱形的邻边时，
由，点得点在轴负半轴上，，
∴；
③如图所示，当，为菱形的邻边时，，，，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得：，
∴，
∴；
综上的坐标为：，，，．

23.【答案】【小题1】
解：过点D作，交于点H．
∵在等腰中，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
在中，，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴．
【小题2】
解：．证明如下：
过点A作，且，连接，，
∵在等腰中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
在和中，
∴，
∴，
∵中，，，
∴，
∴．
【小题3】
解：以B为顶点，为边，在的下方作，且截取，连接，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、G三点共线时，取最小值，
∵，，
∴，，
此时，过A作于E，过G作于F，
则和都是等腰直角三角形，
∴，，
又，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵旋转，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．

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