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2025-2026学年内蒙古呼和浩特市新城区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式是二次根式的是（　　）
A. B. 2 C. D.
2.李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是15cm、20cm、25cm,据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（　　）
A. 直角三角形两个锐角互余 B. 勾股定理的逆定理
C. 三角形内角和等于180° D. 勾股定理
3.数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科.下列四个漂亮的数学图象中，表示y是x的函数的是（　　）
A. - B. C. D.
4.如图，取两根长度不等的细木棒AC，BD，将它们的中点重合固定（记为点O），转动木棒AC，在∠AOD由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形ABCD，下列结论一定成立的是（　　）
A. AB=AD B. OA=AD C. ∠BAD=∠ABC D. ∠BAD=∠BCD
5.“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”.如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的高度随时间的变化情况，则下列说法错误的是（　　）
A. 风筝最初的高度为30m B. 2min到4min之间，风筝的高度持续上升
C. 1min时高度和5min时高度相同 D. 3min时风筝达到最大高度为60m
6.在八年级（1）班小组组徽设计比赛中，某六人小组设计的组徽由六个正九边形如图所示拼接而成，则图中∠ABC的度数为（　　）
A. 60°
B. 70°
C. 80°
D. 90°
7.如图，在△ABC中，D是AB的中点，CE平分∠ACB，AE⊥CE，垂足为E，连接DE.若AC=14，BC=20，则DE的长是（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8.大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周伸算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD，中空的部分是小正方形EFGH，连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P，若GO=GP，则直角三角形的边CG与BG之比是（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
9.函数y=中自变量x的取值范围是______．
10.如图是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台台面20cm的点C处连接着出水口D处的水管，水管AB上的点E处安装有红外感应装置，已知出水口点D到点C的距离为12cm,且CD⊥AB，出水口点D到点E的距离为13cm,则红外感应装置到洗手台台面的距离BE为 cm.
11.如图，在菱形ABCD中AE⊥BC，垂足为E，交BD于F，E为BC中点，若，则AF= .
12.如图，在正方形ABCD中，AB=2，点O是对角线AC与BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F且∠EOF=90°，有下列结论：
①△COE≌△DOF；
②BE=CF；
③若点K为线段EF上一点，则OK+CK的最小值为2；
④四边形CEOF的面积为1；
⑤BE2+CE2=OE2.
其中正确的是 .（填序号）
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
13.计算：
（1）；
（2）.
四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题10分)
在汽车的研发生产过程中，有一个程序是根据样车测试结果，进行设计优化和调整，其中安全性测试中的某一项任务是在平整的路面上进行刹车距离测试.如表是某型号的汽车刹车距离测试采样紧急刹车后仍将滑行s米与刹车前汽车的速度v千米/小时之间的表格：
刹车前汽车的速度：v（千米/小时） 15 30 45 60 90 120
滑行距离：s（米） 0.75 3 6.75 12 27 48
（1）当汽车速度为60千米/小时，汽车滑行的距离是多少米？
（2）据了解，请求出s与v的函数关系式；
（3）若某次测试中滑行距离为18.75米，则紧急刹车前的速度是多少千米/小时？
15.(本小题10分)
如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为12cm2和27cm2的正方形纸片A，B.
（1）求原长方形纸片的周长.
（2）写出图1中阴影部分图形（长方形）的长和宽，并求出它的面积.
（3）小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为25cm2的正方形纸片吗？请说明理由.
16.(本小题10分)
如图，在 ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF，OF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD=6，CE=4，∠ADC=60°，求OF的长．
17.(本小题10分)
如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的高.
（1）若CD=2，AD=4，BD=8，求证：AB⊥AC；
（2）根据（1）中的结论，小明发现：当满足AD2=BD CD时，△ABC一定为直角三角形.小明的判断正确吗？为什么？
（3）如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁BD⊥AC于点 D.经测量，斜梁AC=5m,BD=2.4m,横梁BC=4m.若横梁BC与竖梁AB垂直则为安全房梁.请判断该房梁是否安全，并说明理由.
18.(本小题14分)
综合与实践
定义：将宽与长的比值为（n为正整数）的矩形称为n阶奇妙矩形.
（1）概念理解：
当n=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图1，这就是我们在数学活动中认识过的黄金矩形，它的宽（AD）与长（CD）的比值是______.
（2）操作验证：
用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图2）：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；
第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；
第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK；
试说明：矩形GDCK是黄金矩形.
（3）迁移探究：
小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到.他还发现：如图3，点E为正方形ABCD边AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值.请写出这个定值，并说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】x≥-2且x≠2
10.【答案】15
11.【答案】2
12.【答案】①②④
13.【答案】-6 2+2
14.【答案】12米；
s=v2；
若某次测试中滑行距离为18.75米，则紧急刹车前的速度是75千米/小时
15.【答案】 阴影部分的长为，宽为，面积为6 不能在长方形纸片上裁出两块面积是25cm2的正方形纸片．理由如下：
∵面积为25cm2的正方形纸片的边长为，
则，
∴不能在长方形纸片上裁出两块面积是25cm2的正方形纸片
16.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∵CF=BE，
∴BC=EF，
∴AD∥EF，AD=EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴平行四边形AEFD是矩形
17.【答案】在三角形ABC中，AD为BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵CD=2，AD=4，BD=8，
在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC2=AD2+CD2=42+22=20，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AB2=AD2+BD2=42+82=80，
∴BC=CD+BD=10，
∵20+80=102，即AC2+AB2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴AB⊥AC 小明的判断正确；理由如下：
∵AD⊥BC，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2=AC2-CD2①，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2=AB2-BD2②，
①+②得：2AD2=AC2-CD2+AB2-BD2=AC2+AB2-CD2-BD2，
∵AD2=BD CD，
∴2BD CD=AC2+AB2-CD2-BD2，
∴BD2+2BD CD+CD2=AC2+AB2，
∴（BD+CD）2=AC2+AB2，即BC2=AC2+AB2，
∴△ABC为直角三角形 该房梁安全；理由如下：
∵BC=4m，BD=2.4m，BD⊥AC，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得：，
∴AD=5-3.2=1.8（m），
∴m，
∴AB2+BC2=32+42=25=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴这个房梁安全
18.【答案】 如图2，连接EG，
设正方形的边长为2，
根据折叠的性质，可得AE=EB=1，
设DG=x，则AG=2-x，
根据折叠，可得GH=GD=x，CH=CD=2，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：，
∴，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：AG2+AE2=GE2，
在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH2+EH2=GE2
∴，
解得：，
∴，
∴矩形GDCK是黄金矩形 四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值；定值为．理由如下：
如图3，连接GE，设正方形的边长为1，设EB=m，则AE=1-m，
设DG=x，则AG=1-x，
根据折叠，可得GH=GD=x，CH=CD=1，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：，
∴，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：AG2+AE2=GE2，
在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH2+EH2=GE2，
∴，
整理得：，
∴四边形AGHE的周长为=x+1，
矩形GDCK的周长为2（GD+DC）=2（x+1），
∴四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值；定值为
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