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人教版（2024）七年级下册 10.3 实际问题与二元一次方程组 暑期巩固
和差倍分问题
1、“五一黄金周”期间，几位同学一起去郊外游玩．男同学都背着红色的旅行包，女同学都背着黄色的旅行包．其中一位男同学说，我看到红色旅行包个数是黄色旅行包个数的1.5倍．另一位女同学却说，我看到的红色旅行包个数是黄色旅行包个数的2倍．如果这两位同学说的都对，那么女同学的人数是(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
2、食堂的存煤计划用若干天，若每天用130kg，则缺少60kg；若每天用120kg，则还剩余60kg．设食堂的存煤共有xkg，计划用y天，则下面所列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
3、甲种防腐药水含药30%，乙种防腐药水含药75%，现用这两种防腐药水配制含药50%的防腐药水18千克，两种药水各需要多少千克？设甲种药水需要x千克，乙种药水需要y千克，则所列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
4、《九章算术》是我国东汉年间的数学经典著作，在“方程”一章里二元一次方程组是由算筹布置而成的．算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排．如图1，各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与方程中的常数项，以方程组的形式表述出来就是，类似地，图2所示的算筹图可以用方程组表述为： ．
5、现有一辆卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由A部件和部件组成．已知3个A部件和2个部件的总质量为7.6吨，5个A部件和3个部件的质量相等．求1个A部件和1个部件的质量各是多少？
数字问题
1、已知甲、乙两数的和是31，甲数比乙数的2倍还少5．设甲数为x，乙数为y，则这两个数分别是（　　）
A.31和19 B.19和31 C.30和20 D.20和30
2、《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题：“今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.甲、乙持钱几何？”题意大意是：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50.如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50.甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带钱为x，乙带钱为y，则可列方程组
A. B. C. D.
3、对于任意一个三位正整数m，如果m满足百位上的数字小于个位上的数字，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么称这个数m为“两头和数”．
（1）最小的“两头和数”是 ；
（2）用“两头和数”m的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为．若t是“两头和数”，且t的4倍与t的十位数字的2倍之和是5的倍数，则的最大值为 ．
4、一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，十位数字与个位数字互换后，所得的新两位数比原来的两位数小18，则原来的两位数是 　 　．
5、有一个两位数，除以它的各位数字之和，商为7，余数是6，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新数除以其各位数字之和，商为3，余数是5，求这个两位数．
年龄问题
1、6年前，A的年龄是B的3倍，现在A的年龄是B的2倍，A现在的年龄是(　　)
A.12 B.18 C.24 D.30
2、甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）
A.甲比乙大5岁 B.甲比乙大10岁 C.乙比甲大10岁 D.乙比甲大5岁
3、10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
4、小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁．
5、一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ．
6、某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁．
7、已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差．
行程问题
1、某船顺流航行用，逆流航行用，则水流的速度与船在静水中的速度分别为（ ）
A.， B.， C.， D.，
2、轮船顺流航行时m千米/小时，逆流航行时千米/小时，则水流速度（ ）
A.2千米/小时 B.3千米/小时 C.6千米/小时 D.不能确定
3、甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑16米，甲8秒钟可以追上乙；如果乙先跑2秒钟，甲4秒钟可以追上乙；求甲、乙二人每秒钟各跑多少米？若设甲每秒钟跑x米，乙每秒钟跑y米，则所列方程组应该是（　　）
A. B. C. D.
4、A，B两码头之间的距离为120千米，一艘船在两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，则水流速度是 　 　千米/小时．
5、某部队进行军训从甲地到乙地，要翻越一座山，没有平路可走，去用了6.5小时，返回时用了7.5小时．已知走上坡每小时5千米，走下坡时每小时千米．甲、乙两地的公路长_______千米．
6、甲乙两人分别从两地出发相向而行（不同时），甲骑自行车，乙步行．两人在距地450米处第一次相遇，甲继续骑车到地后返回地拿东西，同时将速度提高，在距地350米处追上乙．到达地后立即前往地，在距地250米处再次与乙相遇，最后两人同时到达目的地．求两地的距离．
工程问题
1、用计算机打一份稿子，甲打30分后由乙继续打25分可以完成；如果乙先打，打30分后由甲继续打24分就可以完成．则甲、乙二人单独打完这份稿子各需的时间为(　　)
A.50分，60分 B.60分，50分 C.60分，45分 D.62分，50分
2、一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3 520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3 480元，甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？(　　)
A.甲单独工作一天商店应付240元，乙单独工作一天商店应付320元
B.甲单独工作一天商店应付200元，乙单独工作一天商店应付180元
C.甲单独工作一天商店应付140元，乙单独工作一天商店应付300元
D.甲单独工作一天商店应付300元，乙单独工作一天商店应付140元
3、一项工作，甲先完成全部工作的，然后乙完成余下部分，两人共用天；若甲先完成全部工作的，然后乙完成余下部分，两人共用天，则甲单独完成此项工作需 天.
4、汾河作为太原市的“母亲河”，记录着太原悠久的历史，是太原具有里程碑意义的宝贵资源．为打造汾河太原段滨河区景观，现有一段长为289米的河道治理任务，分别由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天治理13米，乙工程队每天治理9米，共用时25天．
(1)课堂上小宇和小军两位同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
小宇： ，
小军：，
请在上面方框中补全两位同学所列的方程组；并根据小宇同学所列的方程组，指出未知数，表示的意义．
小宇：表示______；表示______．
(2)请求出甲、乙两工程队分别治理河道多少米？（写出完整的解答过程）
调配问题
1、“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则下列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
2、盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
3、某服装厂生产一款上衣，已知每米布料可以做1个衣身或3个衣袖．现计划用50米布料生产这款上衣．设用x米做衣身，用y米做衣袖，要使得做好的衣身与衣袖恰好配套（1个衣身配2个衣袖），可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
4、某农业合作社王经理安排20个劳动力来耕作50亩地，这些地可种蔬菜也可种棉花，已知种植蔬菜每亩需0.5个劳动力，种植棉花每亩需0.25个劳动力，为使所有的土地都种上蔬菜(或棉花)，且全部劳动力都有工作，则应安排种植棉花____亩，蔬菜____亩．
5、某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位．
(1)求A，B两种车型各有多少个座位．
(2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？
销售与购物的问题
1、某商场购进商品后，加价40%作为销售价．商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元，两种商品原售价之和为490元，甲、乙两种商品的进价分别是(　　)
A.200元，150元 B.210元，280元 C.280元，210元 D.150元，200元
2、小芳家新房装修，厨房采用彩色地砖和单色地砖搭配使用，彩色地砖24元/块，单色地砖12元/块，购买的单色地砖数是彩色地砖数的2倍少15块，买两种地砖共花去2220元，求购买的彩色地砖数和单色地砖数．若设彩色地砖数是x，单色地砖数是y，则列的方程是（　　）
A. B. C. D.
3、不考虑优惠，买2本笔记本和3支水笔共需22元，买4本笔记本和3支水笔共需38元，则购买5本笔记本和10支水笔共需（ ）
A.60元 B.10元 C.8元 D.2元
4、为准备母亲节礼物，同学们委托小明用其支付宝余额团购鲜花或礼盒．每束鲜花的售价相同，每份礼盒的售价也相同，若团购14束鲜花和17份礼盒，余额差70元；若团购17束鲜花和14份礼盒，余额剩50元．若团购18束鲜花和13份礼盒，则支付宝余额剩 　元．
5、麦麦蛋糕店促销“葡式蛋挞”和“香草泡芙”，已知“葡式蛋挞”成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售两种蛋糕共136份，获利1438元．
(1)求第一天这两种蛋糕的销量分别是多少份；
(2)经过第一天的销售后，这两种蛋糕的库存发生了变化，为了更好的销售这两种蛋糕，店主决定把“葡式蛋挞”的售价在原来的基础上增加，“香草泡芙”的售价在原来的基础上减少，“葡式蛋挞”的销量在原来的基础上减少了12份，“香草泡芙”的销量在原来的基础上增加了31份，但两种蛋糕的成本不变，结果获利比第一天多165元，求a的值．
运输问题
1、某货运公司有大、小两种货车，已知9辆小货车一次运货的质量比7辆大货车少6吨，11辆小货车一次运货的质量比7辆大货车一次运货的质量多2吨，则1辆小货车一次可以运货的质量为（　　）
A.6吨 B.5吨 C.4吨 D.3吨
2、若辆板车与辆卡车一次能运吨货，辆板车与辆卡车一次能运吨，设每辆板车每次可运吨货，每辆卡车每次可运吨货，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
3、有大小两种货车，3辆大货车与2辆小货车一次可以运货20吨，5辆大货车与4辆小货车一次可以运货35吨，则4辆大货车与2辆小货车一次可以运货（　　）
A.22吨 B.23吨 C.24吨 D.25吨
4、4辆小货车与7辆大卡车一次能运37吨，6辆小货车和3辆大卡车一次能运货18吨，问1辆小货车和1辆大卡车一次共运货　 　吨．
5、某运输公司有A，B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A，B两种货车将全部货物一次运完（A，B两种货车均满载），怎样设计运输方案？请你列出所有的运输方案．
6、如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连.这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地.已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/（t·km），铁路运价为0.2元/（t·km），且这两次运输共支出公路运费5 200元，铁路运费16 640元.那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？
计费问题
1、某市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
2、宁波市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．小明乘坐这种出租车走了8km，付了23元；小红乘坐这种出租车走了13km，付了35元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
3、李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.7元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花去电费74元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量．
4、某旅行社拟寒假期间推出研学游活动，原定收费标准为200元/人，现预售期间推出优惠方案如表所示.
已知甲校报名参加的学生人数多于100，乙校报名参加的学生人数少于100，经核算，若两校分别组团共需花费46 000元，若两校联合组团只需花费39 000元.
(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200吗？为什么？
(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？
积分问题
1、小明和爸爸一起做投篮游戏，两人商定：小明投中1个得3分，爸爸投中1个得1分，结果两人一共投中20个，两人的得分恰好相等．设小明投中x个，爸爸投中y个，根据题意列方程组为(　　)
A. B. C. D.
2、某次知识竞赛共出了25道题，评分标准如下：答对1题加4分；答错1题扣1分，不答记0分，已知李刚不答的题比答错的题多2题，他的总分为74分，则他答对了(　　)
A.19道 B.18道 C.20道 D.21道
3、在某校举办的足球比赛中规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？(　　)
A.胜了5场，平了5场
B.胜了4场，平了6场
C.胜了6场，平了4场
D.胜了7场，平了3场
4、某足球赛一个赛季共进行了26轮比赛(即每队均需26场)，其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分，则这个队在第一赛季中胜、平、负的场数依次是____________．
5、中国CBA篮球赛中，八一队某主力队员在一场比赛中22投14中，得了28分，除了3个三分球全中外，他还投中了______个2分球和______个罚球．
6、为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在九年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共14个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积4分，负一场积2分．某班级在13场比赛中获得总积分为44分，问该班级胜负场数分别是多少？
（2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中28个球（只有2分球和3分球），所得总分为60分，问该班级这场比赛中投中了多少个3分球？
7、为丰富校园生活，推动“五育并举”，减轻学生学习压力，提高学生身体素质．某学校举办了春季篮球比赛．比赛规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分．某队在10场比赛中胜了6场，共得20分，问该队负了几场．
与几何有关的问题
1、如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据如图中所示，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.18 B.20 C.22 D.24
2、用8个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点，则点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3、如图，在长方形ABCD中放入6个相同的小长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长为a，宽为b.则长方形的长为 ,宽为 .
4、如图1，一张正方形纸板可以裁成甲、乙2种长方形纸板，分别用4个甲、乙纸板可以拼成图2、图3所示的中间有方孔的正方形框架．已知图2、图3中框架的内正方形方孔的周长之比为，且图3中正方形框架的外围边长为36厘米．求图1中原正方形纸板的面积．
古代问题
1、《九章算术》中记载这样一个问题：“今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉．”翻译后的大致意思：5捆上等稻子少结1斗1升稻谷，相当于7捆下等稻子结的稻谷；7捆上等稻子少结2斗5升稻谷，相当于5捆下等稻子结的稻谷，问上等稻子和下等稻子1捆分别能结多少稻谷（1斗＝升）？设上等稻子和下等稻子1捆分别能结稻谷x升和y升，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
2、我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何．”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万．不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为元，一头牛价钱为元，则符合题意的方程组是（）
A. B. C. D.
3、我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题 ”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何．”其大意为：现有两匹马加一头牛价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，列出方程组是 ．
4、老长沙有一首童谣：“杨裕兴的面，奇峰阁的鸭，德园的包子真好呷．”德园包子是湖南长沙地区的传统小吃之一．德园的掌案师傅历来都是技术高超的老师傅，老面发酵，所制包点皮薄馅大、面香浓郁、颜色白净、质地松软、面呈海绵状富有回弹性，口感特有嚼劲．小何到德园买早点，“阿姨，我买8个香菇肉包和5个酸菜包．阿姨说：“一共34元．”付款后，小何说：“阿姨，少买2个酸菜包，换3个香菇肉包吧．阿姨说：“可以，但还需补交5元钱．”
（1）请从他们的对话中求出香菇肉包和酸菜包的单价；
（2）如果小何一共有且全部花掉50元，需要买20个包子，他恰好能买几个香菇肉包呢？
5、有这样一个故事：一头驴子和一只骡子驮着不同袋数的货物一同走，每袋货物都是一样重，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗 如果你给我一袋，那么我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，那么我们才恰好驮的一样多！”驴子原来所驮货物为多少袋
方案问题
1、某学校社团活动中心要添置两样体育用品：跳绳和毽子，王老师准备用36元钱去购买，根据要求，每样体育用品最少买一件，跳绳每条9元，毽子每个1元，在把钱用完的条件下，买法共有（　　）
A.5种 B.4种 C.3种 D.2种
2、某瓶中装有1角，2角，5角三种硬币，15枚硬币共3元5角，则装法有（　　）
A.4种 B.3种 C.2种 D.1种
3、为了更好的开展大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都要买且钱全部用完），则该班级的购买方案有 　 　种．
4、小明同学在A、B两家超市发现他看中的随身听和书包的单价都相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．
(1)求小明看中的随身听和书包单价各是多少元？
(2)假日期间商家开展促销活动，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售(购物满100元返购物券30元，购物满200元返购物券60元，以此类推；不足100元不返券，购物券可通用)．小明只有400元钱，他能买到一只随身听和一个书包吗？若能，选择在哪一家购买更省钱．
5、综合与实践某校组织老师和学生外出参加社会实践活动，让同学们运用所学知识策划租车方案：原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，求参加此次活动的总人数和原计划租用45座客车的数量.
合作探究
小聪：“我们可以用二元一次方程组解决这个问题，设外出参加社会实践活动的总人数为x人，原计划租用45座客车的数量为y辆，用含有y的式子表示x，得方程x=　　　　　”.
小明：“若租用同样数量的60座客车，说明60座客车也是租用y辆，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，可得坐满的客车数量比y少1，可以表示为　　　　辆，由于每辆车可乘坐60人，所以乘客的总数量为　　　　，这个数量恰好与参加活动的总人数x相等，也可得一个方程”.
问题解决
(1)请按顺序写出小聪和小明分析的结论：　　　　　，　　　　，　　　　　；
(2)根据上面的合作探究分析，列出方程组并求出它的解；
(3)若45座客车每辆每日租金为220元，60座客车每辆每日租金为300元.若租用同一种车，要使每位参加活动的人都有座位，怎样租车更合算？请直接写出租车的类型和数量.
图表信息问题
1、在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（ ）
A.， B.， C.， D.，
2、为筑牢拒毒防线，提升青少年识毒能力，2022年秋季学期花溪区某校举行“珍爱生命，远离毒品”知识竞赛活动，评分标准是：答对一题加10分，答错一题扣5分，不回答扣2分；一共10个题，每个队的基本分均为0分，A、B两个参赛队前8题的答题情况如下表，则a与b的值分别为（　　）
A.， B.， C.， D.，
3、某旅行团组织游客到游乐区参观，所有游客都从下表所列的两种参观方式中选择了一种，其中去程有26人搭乘缆车，回程有18人搭乘缆车．已知本次缆车总费用为7200元，那么这个旅行团一共有 　 　名游客．
4、某元宵生产商家受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯米粉和黄油时分三次购买，每次购买价格不变，购进原料价格和数量如表所示：
若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的总金额为 　 　元．
5、美丽服装店购进A，B两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价如表所示．
（1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A种服装按标价出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利多少元？
6、目前节能灯在城市已基本普及，今年某省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用3300元购进节能灯100只，这两种节能灯的进价、售价如表：
（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？
（2）全部售完100只节能灯后，该商场获利多少元？
利率问题
1、某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少．若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则(　　)
A. B. C. D.
2、某股民用30 000元买进甲、乙两种股票，在甲股票下跌10%，乙股票升值8%时全部卖出，赚得1500元(含税)，则该股民原来购买的甲、乙两种股票所用钱数的比例为(　　)
A.2∶3 B.3∶2 C.1∶5 D.5∶1
3、我国民间流传这样一道数学名题：原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
4、小明以两种形式分别储蓄了2 000元和1 000元，一年后全部取出，扣除利息所得税(利息×20%)后可得利息43.92元，已知这两种储蓄年利率和为3.24%，则这两种储蓄的年利率分别为__________________．
5、赵军最近购买了两种三年期债券共5 000元，甲种年利率为5.8%，乙种年利率为6%，三年后共可得利息888元，则他购买甲种债券______元，乙种债券________元．
6、某个体经营者存入银行甲、乙两种不同性质的存款共50万元，甲种存款的年利率为2.05%，乙种存款的年利率为1.15%，该私营企业一年可获利息8450元，求甲、乙两种存款各是多少万元？
人教版（2024）七年级下册 10.3 实际问题与二元一次方程组 暑期巩固（参考答案）
和差倍分问题
1、“五一黄金周”期间，几位同学一起去郊外游玩．男同学都背着红色的旅行包，女同学都背着黄色的旅行包．其中一位男同学说，我看到红色旅行包个数是黄色旅行包个数的1.5倍．另一位女同学却说，我看到的红色旅行包个数是黄色旅行包个数的2倍．如果这两位同学说的都对，那么女同学的人数是(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【解析】
解：设红包x个，黄包y个，由题意，得解得故选C.
2、食堂的存煤计划用若干天，若每天用130kg，则缺少60kg；若每天用120kg，则还剩余60kg．设食堂的存煤共有xkg，计划用y天，则下面所列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：设食堂的存煤共有x kg，计划用y天，
由题意得
3、甲种防腐药水含药30%，乙种防腐药水含药75%，现用这两种防腐药水配制含药50%的防腐药水18千克，两种药水各需要多少千克？设甲种药水需要x千克，乙种药水需要y千克，则所列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
4、《九章算术》是我国东汉年间的数学经典著作，在“方程”一章里二元一次方程组是由算筹布置而成的．算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排．如图1，各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与方程中的常数项，以方程组的形式表述出来就是，类似地，图2所示的算筹图可以用方程组表述为： ．
【答案】
【解析】解：第一个方程x的系数为2，y的系数为2，相加的结果为14；
第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为31，
所以可列方程为．
故答案为：．
5、现有一辆卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由A部件和部件组成．已知3个A部件和2个部件的总质量为7.6吨，5个A部件和3个部件的质量相等．求1个A部件和1个部件的质量各是多少？
【答案】解：设1个部件的质量为吨，1个部件的质量为吨，
由题意得：，
解得：，
答：1个部件的质量为1.2吨，1个部件的质量为2吨．
数字问题
1、已知甲、乙两数的和是31，甲数比乙数的2倍还少5．设甲数为x，乙数为y，则这两个数分别是（　　）
A.31和19 B.19和31 C.30和20 D.20和30
【答案】A
【解析】解：设甲数为，乙数为，根据题意，
可列方程组，得：，
解得
故选：A．
2、《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题：“今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.甲、乙持钱几何？”题意大意是：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50.如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50.甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带钱为x，乙带钱为y，则可列方程组
A. B. C. D.
【答案】A
3、对于任意一个三位正整数m，如果m满足百位上的数字小于个位上的数字，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么称这个数m为“两头和数”．
（1）最小的“两头和数”是 ；
（2）用“两头和数”m的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为．若t是“两头和数”，且t的4倍与t的十位数字的2倍之和是5的倍数，则的最大值为 ．
【答案】132；24
【解析】解：（1）设百位上的数字为，个位上的数字为，则，，十位上的数字为，
∴的最小取值为，的最小取值为，的最小取值为，
∴最小的“两头和数”是：132，
（2）∵是“两头和数”，
∴，，
根据题意得：是整数，
∴的个位数字是5或0，且满足，，
当，时，的个位数字是0，，
当，时，的个位数字是5，，
当，时，的个位数字是0，，
当，时，的个位数字是5，，
综上所述，的最大值为24，
故答案为：132；24．
4、一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，十位数字与个位数字互换后，所得的新两位数比原来的两位数小18，则原来的两位数是 　 　．
【答案】
53
【解析】
解：设原来两位数的个位数字是x，十位数字是y，
根据题意得
解得
则原来的两位数是53．
5、有一个两位数，除以它的各位数字之和，商为7，余数是6，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新数除以其各位数字之和，商为3，余数是5，求这个两位数．
【答案】
解：设两位数的十位数为x，个位数为y，
则由题意，得
解得
所以这个两位数是83.答：这个两位数是83.
年龄问题
1、6年前，A的年龄是B的3倍，现在A的年龄是B的2倍，A现在的年龄是(　　)
A.12 B.18 C.24 D.30
【答案】C
【解析】
解：用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．本题中的两个等量关系是“6年前A的年龄等于3乘6年前B的年龄”和“现在A的年龄等于现在B的年龄2倍”，根据这两个等量关系可列方程组．设A现在的年龄是x岁，B是y岁．则6年前A是(x－6)岁，B是(y－6)岁，则解得故选C.
2、甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ）
A.甲比乙大5岁 B.甲比乙大10岁 C.乙比甲大10岁 D.乙比甲大5岁
【答案】A
【解析】解：甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得：
即
由此可得，，
∴，即甲比乙大5岁．
故选：A
3、10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁．
由题意得， ，
故选：B
4、小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是 岁．
【答案】29
【解析】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，
由题意得：，
解得：，
故数学老师今年的年龄是29岁，
故答案为：29．
5、一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ．
【答案】10岁和6岁
【解析】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，
依题意，得，
解得；
所以妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．
故答案为：10岁和6岁．
6、某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁．
【答案】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则
相据该学生和李老师的年龄差不变，
可得
解得
答：今年李老师24岁，该学生13岁．
7、已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差．
【答案】解：假设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，
由题意可得：
即由此可得：，
∴，即甲比乙大5岁．
行程问题
1、某船顺流航行用，逆流航行用，则水流的速度与船在静水中的速度分别为（ ）
A.， B.， C.， D.，
【答案】A
【解析】解：设水流的速度为，船在静水中的速度为，
根据同意有：，
解得：，
故水流的速度为，船在静水中的速度为，
故选：A．
2、轮船顺流航行时m千米/小时，逆流航行时千米/小时，则水流速度（ ）
A.2千米/小时 B.3千米/小时 C.6千米/小时 D.不能确定
【答案】B
【解析】解：设轮船在静水中航行的速度为千米小时，水流速度为千米小时，
依题意得，
两个方程相减可得：，
即水流速度为千米小时，．
故选：B．
3、甲、乙两人练习跑步，如果乙先跑16米，甲8秒钟可以追上乙；如果乙先跑2秒钟，甲4秒钟可以追上乙；求甲、乙二人每秒钟各跑多少米？若设甲每秒钟跑x米，乙每秒钟跑y米，则所列方程组应该是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，根据题意得
4、A，B两码头之间的距离为120千米，一艘船在两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，则水流速度是 　 　千米/小时．
【答案】
3
【解析】
解：设船在静水中的航速为x千米/小时，水流速度是y千米/小时，
根据题意得
解得
∴水流速度是3千米/小时．
5、某部队进行军训从甲地到乙地，要翻越一座山，没有平路可走，去用了6.5小时，返回时用了7.5小时．已知走上坡每小时5千米，走下坡时每小时千米．甲、乙两地的公路长_______千米．
【答案】
40
【解析】
解：设上山路为x千米，下山路为y千米，
∵去用了6.5小时，返回时用了7.5小时，走上坡每小时5千米，走下坡时每小时千米，
∴
解得
故x+y＝40.
6、甲乙两人分别从两地出发相向而行（不同时），甲骑自行车，乙步行．两人在距地450米处第一次相遇，甲继续骑车到地后返回地拿东西，同时将速度提高，在距地350米处追上乙．到达地后立即前往地，在距地250米处再次与乙相遇，最后两人同时到达目的地．求两地的距离．
【答案】解：设乙的速度为，甲的速度为，距地450米处与地相距米．
则，
解得：，
再设到的距离为米，
则，
解得：．
答：两地的距离为1100米．
工程问题
1、用计算机打一份稿子，甲打30分后由乙继续打25分可以完成；如果乙先打，打30分后由甲继续打24分就可以完成．则甲、乙二人单独打完这份稿子各需的时间为(　　)
A.50分，60分 B.60分，50分 C.60分，45分 D.62分，50分
【答案】B
【解析】
解：可设甲，乙每分的工作效率为未知数，等量关系为：甲30分的工作量＋乙25分的工作量＝1，甲24分的工作量＋乙30分的工作量＝1，求得工作效率后，再让1除以工作效率即为所求的时间．设甲每分的工作效率为x，乙每分的工作效率为y，由题意知解得∴甲、乙二人单独打完这份稿子各需的时间为1÷160＝60分；1÷150＝50分．故选B.
2、一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3 520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3 480元，甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？(　　)
A.甲单独工作一天商店应付240元，乙单独工作一天商店应付320元
B.甲单独工作一天商店应付200元，乙单独工作一天商店应付180元
C.甲单独工作一天商店应付140元，乙单独工作一天商店应付300元
D.甲单独工作一天商店应付300元，乙单独工作一天商店应付140元
【答案】D
【解析】
解：设甲单独做一天商店应付x元，乙单独做一天商店应付y元，由题意，得，解得即甲单独工作一天商店应付300元，乙单独工作一天商店应付140元．故选D.
3、一项工作，甲先完成全部工作的，然后乙完成余下部分，两人共用天；若甲先完成全部工作的，然后乙完成余下部分，两人共用天，则甲单独完成此项工作需 天.
【答案】
【解析】设甲单独完成此项工作需x天，乙单独完成此项工作需y天，
根据题意得，
解得
故甲单独完成此项工作需20天.
4、汾河作为太原市的“母亲河”，记录着太原悠久的历史，是太原具有里程碑意义的宝贵资源．为打造汾河太原段滨河区景观，现有一段长为289米的河道治理任务，分别由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天治理13米，乙工程队每天治理9米，共用时25天．
(1)课堂上小宇和小军两位同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
小宇： ，
小军：，
请在上面方框中补全两位同学所列的方程组；并根据小宇同学所列的方程组，指出未知数，表示的意义．
小宇：表示______；表示______．
(2)请求出甲、乙两工程队分别治理河道多少米？（写出完整的解答过程）
【答案】解：（1）小宇同学：设甲工程队用的时间为x天，乙工程队用的时间为y天，
由此列出的方程组为；
小军同学：甲工程队整治河道的长度为x米，乙工程队整治河道的长度为y米，
由此列出的方程组为 ；
故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数．
（2）选小宇同学所列方程组解答如下：
设甲工程队用的时间为x天，乙工程队用的时间为y天，
则，
得，
解得：，
把代入①得，
∴方程组的解为，
甲工程队整治河道的长度为：， 乙工程队整治河道的长度为：；
答：甲工程队整治河道208米，乙工程队整治河道81米．
调配问题
1、“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则下列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：∵共有120个工人，
∴x+y＝120．
∵每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，8个茶杯和1个茶壶为一套，
∴200x＝8×50y．
∴
2、盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，由题意可得
3、某服装厂生产一款上衣，已知每米布料可以做1个衣身或3个衣袖．现计划用50米布料生产这款上衣．设用x米做衣身，用y米做衣袖，要使得做好的衣身与衣袖恰好配套（1个衣身配2个衣袖），可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：由题意可得，
4、某农业合作社王经理安排20个劳动力来耕作50亩地，这些地可种蔬菜也可种棉花，已知种植蔬菜每亩需0.5个劳动力，种植棉花每亩需0.25个劳动力，为使所有的土地都种上蔬菜(或棉花)，且全部劳动力都有工作，则应安排种植棉花____亩，蔬菜____亩．
【答案】
20，30
【解析】
解：设应安排种植棉花x亩，蔬菜y亩．则依据“耕作50亩地”和“安排20个劳动力、植蔬菜每亩需0.5个劳动力，种植棉花每亩需0.25个劳动力”列出方程组，并解答．则依题意，得解得即应安排种植棉花20亩，蔬菜30亩．故答案是20；30.
5、某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位．
(1)求A，B两种车型各有多少个座位．
(2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？
【答案】解：（1）设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位，
依题意，得：，
解得：．
答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位．
（2）设需租A型车m辆，B型车n辆，
依题意，得：，
∴．
∵m，n均为正整数，
∴．
答：需租用A型车4辆，B型车2辆．
销售与购物的问题
1、某商场购进商品后，加价40%作为销售价．商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元，两种商品原售价之和为490元，甲、乙两种商品的进价分别是(　　)
A.200元，150元 B.210元，280元 C.280元，210元 D.150元，200元
【答案】D
【解析】
解：设甲种商品的进价为x元，乙种商品的进价为y元，结合“购进商品后加价40%作为销售价．商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元，两种商品原售价之和为490元”列出方程组并解答．设甲种商品的进价为x元，乙种商品的进价为y元，依题意，得解得故选：D.
2、小芳家新房装修，厨房采用彩色地砖和单色地砖搭配使用，彩色地砖24元/块，单色地砖12元/块，购买的单色地砖数是彩色地砖数的2倍少15块，买两种地砖共花去2220元，求购买的彩色地砖数和单色地砖数．若设彩色地砖数是x，单色地砖数是y，则列的方程是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：设彩色地砖数是x，单色地砖数是y，
依题意，得
3、不考虑优惠，买2本笔记本和3支水笔共需22元，买4本笔记本和3支水笔共需38元，则购买5本笔记本和10支水笔共需（ ）
A.60元 B.10元 C.8元 D.2元
【答案】A
【解析】解：设每个笔记本x元，每支水笔y元，根据题意得：
，
解得：，
所以每个笔记本8元，每支水笔2元，
则购买1本笔记本和1支水笔共需：8×5+2×10=40+20=60（元），
故选：A．
4、为准备母亲节礼物，同学们委托小明用其支付宝余额团购鲜花或礼盒．每束鲜花的售价相同，每份礼盒的售价也相同，若团购14束鲜花和17份礼盒，余额差70元；若团购17束鲜花和14份礼盒，余额剩50元．若团购18束鲜花和13份礼盒，则支付宝余额剩 　元．
【答案】
90
【解析】
解：设团购鲜花的单价为x元/束，团购礼盒的单价为y元/份，支付宝余额原有a元，
依题意，得
（①﹣②）÷3，得y﹣x＝40，
∴18x+13y＝14x+17y﹣4（y﹣x）＝a+70﹣160＝a﹣90．
∴若团购18束鲜花和13份礼盒，余额剩90元．
5、麦麦蛋糕店促销“葡式蛋挞”和“香草泡芙”，已知“葡式蛋挞”成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售两种蛋糕共136份，获利1438元．
(1)求第一天这两种蛋糕的销量分别是多少份；
(2)经过第一天的销售后，这两种蛋糕的库存发生了变化，为了更好的销售这两种蛋糕，店主决定把“葡式蛋挞”的售价在原来的基础上增加，“香草泡芙”的售价在原来的基础上减少，“葡式蛋挞”的销量在原来的基础上减少了12份，“香草泡芙”的销量在原来的基础上增加了31份，但两种蛋糕的成本不变，结果获利比第一天多165元，求a的值．
【答案】解：（1）设“葡式蛋挞”的销量为x份，“香草泡芙”的销量为y份，
由题意得：，
解得，
答：“葡式蛋挞”的销量为97份，“香草泡芙”的销量为39份；
（2）由题意得：
，
解得：，
答：a的值为3．
运输问题
1、某货运公司有大、小两种货车，已知9辆小货车一次运货的质量比7辆大货车少6吨，11辆小货车一次运货的质量比7辆大货车一次运货的质量多2吨，则1辆小货车一次可以运货的质量为（　　）
A.6吨 B.5吨 C.4吨 D.3吨
【答案】C
【解析】
解：设1辆小货车一次可以运货的质量为x吨，1辆大货车一次可以运货的质量为y吨，
根据题意得
解得
∴1辆小货车一次可以运货的质量为4吨．
2、若辆板车与辆卡车一次能运吨货，辆板车与辆卡车一次能运吨，设每辆板车每次可运吨货，每辆卡车每次可运吨货，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：设每辆板车每次可运吨货，每辆卡车每次可运 吨货，由题意，得：
，
故选D．
3、有大小两种货车，3辆大货车与2辆小货车一次可以运货20吨，5辆大货车与4辆小货车一次可以运货35吨，则4辆大货车与2辆小货车一次可以运货（　　）
A.22吨 B.23吨 C.24吨 D.25吨
【答案】D
【解析】
解：设1辆大货车可以运货x吨，1辆小货车可以运货y吨，
根据题意有
解得
∴4辆大货车与2辆小货车一次可以运货（吨）.
4、4辆小货车与7辆大卡车一次能运37吨，6辆小货车和3辆大卡车一次能运货18吨，问1辆小货车和1辆大卡车一次共运货　 　吨．
【答案】
5.5
【解析】
解：设1辆小货车一次能运货x吨，1辆大卡车一次能运货y吨，
由题意得
①+②得10（x+y）＝55，
∴x+y＝5.5，
即1辆小货车和1辆大卡车一次共运货5.5吨.
5、某运输公司有A，B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A，B两种货车将全部货物一次运完（A，B两种货车均满载），怎样设计运输方案？请你列出所有的运输方案．
【答案】
解：（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，
根据题意可得
解得
即1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨.
（2）设安排A型车m辆，B型车n辆，
依题意得20m+15n＝190，即m=，
又∵m，n均为正整数，
∴或或
∴共有3种运输方案，
方案1：安排A型车8辆，B型车2辆；
方案2：安排A型车5辆，B型车6辆；
方案3：安排A型车2辆，B型车10辆．
6、如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连.这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地.已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/（t·km），铁路运价为0.2元/（t·km），且这两次运输共支出公路运费5 200元，铁路运费16 640元.那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？
【答案】
解：长绒棉：3.08万元/t=30 800元/t；纺织面料4.25万元/t=42 500元/t.
设购买长绒棉x t，制成纺织面料y t.
根据题意，得
化简方程组，得
①×12得12x+24y=12 480，③
③-②得13y=4 160，
解得y=320，
把y=320代入①得x+640=1 040，
解得x=400，
所以这个方程组的解为
纺织面料的销售额为42 500y=42 500×320=13 600 000（元），
长绒棉的购买费为30 800x=30 800×400=12 320 000（元），
运输费为5 200+16 640=21 840（元），
13 600 000-（12 320 000+21 840）
=13 600 000-12 320 000-21 840
=1 258 160（元），
即这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多1 258 160元.
计费问题
1、某市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
解：设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，根据题意得
2、宁波市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．小明乘坐这种出租车走了8km，付了23元；小红乘坐这种出租车走了13km，付了35元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，
由题意得：．
故选：D．
3、李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.7元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花去电费74元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量．
【答案】
解：设这个月李老师的电动汽车峰时充电量为x度，谷时的充电量为y度，
∴
解得
即这个月李老师的电动汽车峰时充电量为50度，谷时的充电量为130度．
4、某旅行社拟寒假期间推出研学游活动，原定收费标准为200元/人，现预售期间推出优惠方案如表所示.
已知甲校报名参加的学生人数多于100，乙校报名参加的学生人数少于100，经核算，若两校分别组团共需花费46 000元，若两校联合组团只需花费39 000元.
(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200吗？为什么？
(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？
【答案】解　(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200，理由如下：
按原定收费标准估算人数为46 000÷200=230，
∵230>200，
∴两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200.
(2)设甲校报名参加旅游的学生有x人，乙校报名参加旅游的学生有y人，
当100解得
当x>200时，
解得(不符合题意，舍去).
∴甲校报名参加旅游的学生有170人，乙校报名参加旅游的学生有90人.
积分问题
1、小明和爸爸一起做投篮游戏，两人商定：小明投中1个得3分，爸爸投中1个得1分，结果两人一共投中20个，两人的得分恰好相等．设小明投中x个，爸爸投中y个，根据题意列方程组为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：由于设小明投中x个，爸爸投中y个，题目而两人一共投中20个，由此得到方程x＋y＝20，又爸爸投中1个得1分，两人的得分恰好相等，由此可以得到3x＝y，由它们组成方程组即可求解．∴依题意，得.故选A.
2、某次知识竞赛共出了25道题，评分标准如下：答对1题加4分；答错1题扣1分，不答记0分，已知李刚不答的题比答错的题多2题，他的总分为74分，则他答对了(　　)
A.19道 B.18道 C.20道 D.21道
【答案】A
【解析】
解：首先设他答错了x道，答对了y道，根据题意可得等量关系：①答对的题数＋答错的题数＋不答的题数＝25；②答对得分－答错得分＝74分，根据等量关系列出方程即可．由题意，得, 解得故选A.
3、在某校举办的足球比赛中规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？(　　)
A.胜了5场，平了5场
B.胜了4场，平了6场
C.胜了6场，平了4场
D.胜了7场，平了3场
【答案】C
【解析】
解：首先设这支足球队胜x场，平y场，由题意得等量关系：平的场数＋负的场数＋胜的场数＝12，平场得分＋胜场得分＋负场得分＝22分，根据等量关系列出方程组即可．依题意，得解得答：这支足球队胜了6场，平了4场．故选C.
4、某足球赛一个赛季共进行了26轮比赛(即每队均需26场)，其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分，则这个队在第一赛季中胜、平、负的场数依次是____________．
【答案】
7,13,6
【解析】
解：设这个队在第一赛季中胜了x场，负了y场，平了(y＋7)场，根据总共赛了26场以及共得34分即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．根据题意，得,解得∴y＋6＝13.故答案为7、13、6.
5、中国CBA篮球赛中，八一队某主力队员在一场比赛中22投14中，得了28分，除了3个三分球全中外，他还投中了______个2分球和______个罚球．
【答案】
8，3
【解析】
解：由题意可的本题存在两个等量关系，即投中3分球＋投中2分球＋罚球＝总投中球数，2分球得分＋3分球得分＋罚球得分＝总得分数，根据这两个等量关系可列出方程组．设2分球投中了x个，罚球罚进y个．则可列方程组为,解得故投中了8个2分球和3个罚球．
6、为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在九年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共14个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积4分，负一场积2分．某班级在13场比赛中获得总积分为44分，问该班级胜负场数分别是多少？
（2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中28个球（只有2分球和3分球），所得总分为60分，问该班级这场比赛中投中了多少个3分球？
【答案】
解：（1）设胜了x场，负了y场，
根据题意得
解得
即该班级胜负场数分别是9场和4场．
（2）设该班级这场比赛中投中了m个3分球，则投中了（28﹣m）个2分球，
根据题意得3m+2×（28﹣m）=60，解得m=4，
即该班级这场比赛中投中了4个3分球．
7、为丰富校园生活，推动“五育并举”，减轻学生学习压力，提高学生身体素质．某学校举办了春季篮球比赛．比赛规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分．某队在10场比赛中胜了6场，共得20分，问该队负了几场．
【答案】
解：设该队平了x场，负了y场，
由题意得
解得
即该队负了1场．
与几何有关的问题
1、如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据如图中所示，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.18 B.20 C.22 D.24
【答案】A
【解析】
解：设小长方形的长为x，宽为y，
由图可得
解得
∴S阴影＝9×（4+3y）﹣9×xy
＝9×（4+3×1）﹣9×5×1
＝9×（4+3）﹣45
＝9×7﹣45
＝63﹣45
＝18．
2、用8个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点，则点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：设小长方形纸片的长为x，宽为y，
依题意得：，
解得：，
∴
∵点B在第二象限内，
∴点B的坐标是．
故选：D．
3、如图，在长方形ABCD中放入6个相同的小长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长为a，宽为b.则长方形的长为 ,宽为 .
【答案】
7　3
【解析】
解：设小矩形的长为a，宽为b，则可得方程组为
得
解得
4、如图1，一张正方形纸板可以裁成甲、乙2种长方形纸板，分别用4个甲、乙纸板可以拼成图2、图3所示的中间有方孔的正方形框架．已知图2、图3中框架的内正方形方孔的周长之比为，且图3中正方形框架的外围边长为36厘米．求图1中原正方形纸板的面积．
【答案】
解：设甲纸板的宽为厘米，乙纸板的宽为厘米，则由题意得
，解得，
原正方形纸板的边长为（厘米），
面积为（平方厘米）．
答：图1中原正方形纸板的面积为平方厘米．
古代问题
1、《九章算术》中记载这样一个问题：“今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉．”翻译后的大致意思：5捆上等稻子少结1斗1升稻谷，相当于7捆下等稻子结的稻谷；7捆上等稻子少结2斗5升稻谷，相当于5捆下等稻子结的稻谷，问上等稻子和下等稻子1捆分别能结多少稻谷（1斗＝升）？设上等稻子和下等稻子1捆分别能结稻谷x升和y升，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：设上等稻子和下等稻子1捆分别能结稻谷x升和y升，
依题意得，，
故选：C．
2、我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何．”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万．不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为元，一头牛价钱为元，则符合题意的方程组是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱，
可列方程；
一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱
可列方程．
根据题意可列出方程组
故选：A．
3、我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题 ”：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何．”其大意为：现有两匹马加一头牛价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，列出方程组是 ．
【答案】
【解析】解：设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，由题意可列方程组，
，
故答案为：
4、老长沙有一首童谣：“杨裕兴的面，奇峰阁的鸭，德园的包子真好呷．”德园包子是湖南长沙地区的传统小吃之一．德园的掌案师傅历来都是技术高超的老师傅，老面发酵，所制包点皮薄馅大、面香浓郁、颜色白净、质地松软、面呈海绵状富有回弹性，口感特有嚼劲．小何到德园买早点，“阿姨，我买8个香菇肉包和5个酸菜包．阿姨说：“一共34元．”付款后，小何说：“阿姨，少买2个酸菜包，换3个香菇肉包吧．阿姨说：“可以，但还需补交5元钱．”
（1）请从他们的对话中求出香菇肉包和酸菜包的单价；
（2）如果小何一共有且全部花掉50元，需要买20个包子，他恰好能买几个香菇肉包呢？
【答案】解：（1）设香菇肉包的单价是x元，酸菜包的单价是y元，
由题意得
解得
即香菇肉包的单价是3元，酸菜包的单价是2元.
（2）设可以买m个香菇肉包，则可以买n个酸菜包，由题意得
解得
即小何能买10个香菇肉包和10个酸菜包．
5、有这样一个故事：一头驴子和一只骡子驮着不同袋数的货物一同走，每袋货物都是一样重，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗 如果你给我一袋，那么我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，那么我们才恰好驮的一样多！”驴子原来所驮货物为多少袋
【答案】解：设驴子原来所驮货物的袋数是，骡子原来所驮货物的袋数是．
由题意得，
解得．
答：驴子原来所驮货物是5袋．
方案问题
1、某学校社团活动中心要添置两样体育用品：跳绳和毽子，王老师准备用36元钱去购买，根据要求，每样体育用品最少买一件，跳绳每条9元，毽子每个1元，在把钱用完的条件下，买法共有（　　）
A.5种 B.4种 C.3种 D.2种
【答案】C
【解析】解：设购买跳绳x条，购买毽子y个，
由题意得9x+y＝36，
∴y＝36﹣9x，
∵x，y都是正整数，
∴当x＝1时，y＝27，
当x＝2时，y＝18，
当x＝3时，y＝9；
∴一共有3种买法．
2、某瓶中装有1角，2角，5角三种硬币，15枚硬币共3元5角，则装法有（　　）
A.4种 B.3种 C.2种 D.1种
【答案】B
【解析】解：设1角硬币为x枚，2角硬币为y枚，则5角硬币为（15﹣x﹣y）枚，
依题意得x+2y+5（15﹣x﹣y）＝35，
∴x＝10﹣y，
当y＝4时，x＝7，15﹣x﹣y＝4；
当y＝8时，x＝4，15﹣x﹣y＝3；
当y＝12时，x＝1，15﹣x﹣y＝2；
故有3种装法.
3、为了更好的开展大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都要买且钱全部用完），则该班级的购买方案有 　 　种．
【答案】4
【解析】解：设购买x个跳绳，y个呼啦圈，
依题意得8x+12y＝120，
∴y＝10﹣x．
∵x，y均为正整数，
∴x为3的倍数，
∴或或或
∴该班级共有4种购买方案．
4、小明同学在A、B两家超市发现他看中的随身听和书包的单价都相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．
(1)求小明看中的随身听和书包单价各是多少元？
(2)假日期间商家开展促销活动，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售(购物满100元返购物券30元，购物满200元返购物券60元，以此类推；不足100元不返券，购物券可通用)．小明只有400元钱，他能买到一只随身听和一个书包吗？若能，选择在哪一家购买更省钱．
【答案】
解：设书包的单价为x元，随身听的单价为y元，根据题意，得解得
答：随身听和书包的单价分别是360元和92元．
(2)在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：452×80%＝361.6(元)，
∵361.6＜400，
∴可以选择超市A购买，在超市B可先花费现金360元购买随身听，
再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金362(元)，
∵362＜400，
∴也可以选择在超市B购买．
∵362＞361.6，
∴在超市A购买更省钱．
5、综合与实践某校组织老师和学生外出参加社会实践活动，让同学们运用所学知识策划租车方案：原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，求参加此次活动的总人数和原计划租用45座客车的数量.
合作探究
小聪：“我们可以用二元一次方程组解决这个问题，设外出参加社会实践活动的总人数为x人，原计划租用45座客车的数量为y辆，用含有y的式子表示x，得方程x=　　　　　”.
小明：“若租用同样数量的60座客车，说明60座客车也是租用y辆，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，可得坐满的客车数量比y少1，可以表示为　　　　辆，由于每辆车可乘坐60人，所以乘客的总数量为　　　　，这个数量恰好与参加活动的总人数x相等，也可得一个方程”.
问题解决
(1)请按顺序写出小聪和小明分析的结论：　　　　　，　　　　，　　　　　；
(2)根据上面的合作探究分析，列出方程组并求出它的解；
(3)若45座客车每辆每日租金为220元，60座客车每辆每日租金为300元.若租用同一种车，要使每位参加活动的人都有座位，怎样租车更合算？请直接写出租车的类型和数量.
【答案】解　(1)45y+15　(y-1)　60(y-1).
(2)依题意可列方程组为
解得
所以参加此次活动的总人数为240，原计划租用45座客车5辆.
(3)若租用45座客车，则需租6辆才能保证人人有座位，费用为6×220=1 320(元/天)，
若租用60座客车则需租4辆即可，刚好每辆车都坐满，费用为4×300=1 200(元/天)，
1 200<1 320，
故租用60座客车4辆更合算.
图表信息问题
1、在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（ ）
A.， B.， C.， D.，
【答案】B
【解析】解：由题意可知，
解得
故选：B．
2、为筑牢拒毒防线，提升青少年识毒能力，2022年秋季学期花溪区某校举行“珍爱生命，远离毒品”知识竞赛活动，评分标准是：答对一题加10分，答错一题扣5分，不回答扣2分；一共10个题，每个队的基本分均为0分，A、B两个参赛队前8题的答题情况如下表，则a与b的值分别为（　　）
A.， B.， C.， D.，
【答案】B
【解析】解：由题意得：，
解得：；
故选B．
3、某旅行团组织游客到游乐区参观，所有游客都从下表所列的两种参观方式中选择了一种，其中去程有26人搭乘缆车，回程有18人搭乘缆车．已知本次缆车总费用为7200元，那么这个旅行团一共有 　 　名游客．
【答案】28．
【解析】解：设这个旅行团有x人单程搭乘缆车，单程步行，去程及回程均搭乘缆车的有y人，
根据题意得：，
解得：，
∴x+y＝12+16＝28，
即这个旅行团一共有28名游客，
故答案为：28．
4、某元宵生产商家受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯米粉和黄油时分三次购买，每次购买价格不变，购进原料价格和数量如表所示：
若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的总金额为 　 　元．
【答案】675．
【解析】解：设糯米粉每千克的单价为x元，黄油每千克的单价为y元，
依题意得，
解得，
∴20x+5y＝400+275＝675（元），
故答案为：675．
5、美丽服装店购进A，B两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价如表所示．
（1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A种服装按标价出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利多少元？
【答案】解：（1）设购进x件A种服装，y件B种服装，
根据题意，得，
解方程组，得．
答：购进15件A种服装，10件B种服装；
（2）根据题意，得（100﹣60）×15+（160×0.8﹣100）×10
＝（100﹣60）×15+（128﹣100）×10
＝40×15+28×10
＝600+280
＝880（元）．
答：这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利880元．
6、目前节能灯在城市已基本普及，今年某省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用3300元购进节能灯100只，这两种节能灯的进价、售价如表：
（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？
（2）全部售完100只节能灯后，该商场获利多少元？
【答案】解：（1）设商场购进甲种节能灯x只，购进乙种节能灯y只，
根据题意，得
解这个方程组，得
即甲、乙两种节能灯分别购进40，60只．
（2）商场获利40×（40﹣30）+60×（50﹣35）＝1300（元），
即商场获利1300元．
利率问题
1、某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少．若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解：本题中的两个等量关系为两种货款共35万元和两种货款每年的年利息之和为2.25万元，根据两个等量关系可用二元一次方程组求解．依题意，得解得故选A.
2、某股民用30 000元买进甲、乙两种股票，在甲股票下跌10%，乙股票升值8%时全部卖出，赚得1500元(含税)，则该股民原来购买的甲、乙两种股票所用钱数的比例为(　　)
A.2∶3 B.3∶2 C.1∶5 D.5∶1
【答案】C
【解析】
解：设该股民原来购买的甲股票x元、买乙股票y元，由题意，得,解得则该股民原来购买的甲、乙两种股票所用钱数的比例为x∶y＝1∶5.故选C.
3、我国民间流传这样一道数学名题：原题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
4、小明以两种形式分别储蓄了2 000元和1 000元，一年后全部取出，扣除利息所得税(利息×20%)后可得利息43.92元，已知这两种储蓄年利率和为3.24%，则这两种储蓄的年利率分别为__________________．
【答案】
2.25%，0.99%
【解析】
解：本题中的等量关系有两个：年利率之和＝3.24%；税后利息之和＝43.92元，可据此列出二元一次方程组求解．设储蓄2000元和1 000元的年利率分别为x，y，得方程组
，解得故填2.25%,0.99%.
5、赵军最近购买了两种三年期债券共5 000元，甲种年利率为5.8%，乙种年利率为6%，三年后共可得利息888元，则他购买甲种债券______元，乙种债券________元．
【答案】
2 000；3 000
【解析】
解：根据“两种三年期债券共5000元”、“三年后共可得利息888元”列出方程组并解答．设购买甲种债券x元，乙种债券y元．依题意，得,解得故答案是2 000；3 000.
6、某个体经营者存入银行甲、乙两种不同性质的存款共50万元，甲种存款的年利率为2.05%，乙种存款的年利率为1.15%，该私营企业一年可获利息8450元，求甲、乙两种存款各是多少万元？
【答案】解：8450元=0.845万元
设甲种存款为x万元，乙种y万元，
由题意列方程
解得
答：甲种存款是30万元，乙种存款是20万元；

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