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江苏南京市宁海中学2025-2026学年高二下学期6月期末测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，那么（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足（i为虚数单位），则为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，，，则（ ）
A．1 B． C． D．2
4．若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ）
A． B． C．60 D．240
5．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的均值等于（ ）
A． B． C． D．
6．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
A．甲盒中黑球与丙盒中黑球一样多 B．甲盒中红球与丙盒中红球一样多
C．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
8．已知，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等差数列 B．数列为等比数列
C． D．
10．已知，为锐角，，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数的定义域为，其导函数为，且，则对任意的，，下列不等式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若正实数，满足，则的最大值是______．
13．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
14．已知函数（）．对，恒成立，实数的取值范围____________．
四、解答题
15．某校学生文艺部有男生4人，女生2人
(1)若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？
(2)若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动，
①求男生甲被选中的概率；
②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．
16．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)
已知，___________.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中所有的有理项.
17．设函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值；
(3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围．
18．已知点，，点是直线外的一个动点，直线，的斜率之积为3，记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)已知直线交于，两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为，证明：
以下问题：
（ⅰ）直线过定点；
（ⅱ）为钝角三角形．
19．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若无零点，且有两个不同的极值点，．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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《江苏南京市宁海中学2025-2026学年高二下学期6月期末测试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C A D C D BCD BCD
题号 11
答案 BCD
12．
13．
14．
15．【详解】（1）先将4名男生全排列，形成5个空，再从5个空中选出2个位置排列2名女生，所以2名女生互不相邻得排法有种.
（2）①设事件表示“男生甲被选中”，则.
②设事件表示“被选中的两人中必须一男一女”，事件表示“女生乙被选中”，
则，，
所以.
所以在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，女生乙被选中的概率为.
16．【详解】（1）二项展开式的通项公式为：
.
若选①，则由题得，
∴，即，
解得或(舍去)，∴.
若选②，则由题得，∴，
展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为，
，.
（2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：
.
当即时得展开式中的有理项，
所以展开式中所有的有理项为:
，，.
17．【详解】（1）函数求导得，
则，
曲线在点处的切线方程为：
，即．
（2）令，解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
为极大值点，为极小值点，
，
，
，
，
综上可得，函数在区间上的最大值为，最小值为．
（3）函数在有三个不同的零点，
等价于直线与有3个不同交点，
由（2）知，的极大值为，极小值，
作出大致图象如下：
由图象可知，要使直线与有3个不同交点，
则需满足：，解得．
18．【详解】（1）设，，
由题意可知，，整理为，，
所以双曲线的方程为，；
(2)（ⅰ）设，，，显然的斜率不为零，否则有，，直线，此时，
而直线和的斜率之商为2，故矛盾，故设直线，
由，得，
依题意，，且，
所以，且，，，，，
因为直线和的斜率之商为2，所以，
因为点在上，所以，即，
所以，即，
即，化简可得，解得：，
此时恒成立，所以，过定点；
（ⅱ）由（ⅰ）知，，，，当，即时， ，
所以点均在的右支，如图，
此时，
所以是钝角，是钝角三角形；
当时，即或，，
所以分别在的两支，不妨设在的右支，则，如图，
设，则，
所以，因为过点，所以,
所以是钝角，是钝角三角形.综上可知，是钝角三角形.
19．【详解】（1）由题意可得，
令，则．判别式．
①当，即时，恒成立，
即恒成立，在R上单调递增；
②当，即时，方程有2个实根，
且由求根公式可知该方程的解为，
由二次函数单调性知在区间和上单调递增，
在区间上单调递减．
综上，时，在R上单调递增；
时，在区间和上单调递增，
在区间上单调递减．
（2）（ⅰ）令，即，
由于无零点，则直线与无交点，则；
又有两个不同的极值点,，由（1）知时满足题意，故a的取值范围为．
（ⅱ）由（1）中方程有，．
不妨设，．
则
，
设函数，，
且在上恒成立，故单调递增，
且，．
故的取值范围为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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