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期末常考题型突破训练2025-2026学年北师大版七年级下学期
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列手机中的图标是轴对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．2025年5月15日，天府绛溪实验室发布全球首个氮化镓量子光源芯片，输出波长范围从纳米扩展至纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法可表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．如图，下列条件中，不能判定直线的是（　　）
A． B．
C． D．
5．随着暑期的到来，西瓜的价格也趋于稳定，小若去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的自变量是（ ）
A．数量 B．金额 C．单价 D．金额和数量
6．在学习完三角形三边关系后，小明用三根木棍首尾相连拼三角形有三根长度分别为、、的木棍，若想三角形的边长均为整数，则可将的木棍进行裁切，这样小明最多可以拼出不同的三角形个数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，，点在上，点在上，设与相等的角的个数为不包括本身，与互补的角的个数为若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．无法计算
9．如图，中，，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，．记的面积为，的面积为，则的值为（ ）．

A．56 B．66 C．74 D．84
10．如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．已知，，则的值为_________．
12．七年级某班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有9个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是_____个．
13．正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长，它们的面积相差，则这两个正方形的边长之和为__________.
14．如图，直径为的圆形图形中，点均在圆上，且，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______．（取3）
15．若是一个完全平方式，则的值为______．
16．动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和．如图1，若点落在上，点落在上，则的度数是_____度；如图2，若，则的度数为_____（用含的代数式表示）．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．按要求完成各题：
(1)化简：；
(2)先化简，再求值：，其中．
18．如图，等边中，，垂足为点．
(1)尺规作图：在右侧作，且使．
(2)连接、，试说明和的位置关系，并证明．
19．学习完概率知识后，某班的数学兴趣小组利用班会时间组织了一场“积分抽奖”活动．在不透明的抽奖箱中装有若干个写着获奖等级的质地均匀小球，分别是1个“一等奖”、3个“二等奖”、5个“三等奖”．同学们用自己的操行分，每10分获得摸一个球的机会（每人最多兑换5个球），每位同学一次性用完兑换的摸球次数（如甲同学用30分兑换摸3个球的机会，则1次性摸出3个球），记下获奖等级后将摸出的小球放回并摇匀．回答下列问题：
(1)小明同学有10分的操行分，求他抽中二等奖的概率；
(2)兴趣小组往箱子里再次放入个“感谢参与”的小球，小红同学想用20分的操行分参与活动，若她获奖为必然事件，求的值．
20．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出作法），并解答下列问题．
(1)作关于直线的轴对称图形；
(2)在上画出点P，使得的和最小：
(3)求的面积．
21．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若平分，于点，，求的度数．
22．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题．
(1)按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ；
(2)我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ；
(3)若，请求出的值．
23．如图1，在四边形中，，，一点从点出发沿着的方向以每秒2个单位的速度运动，其中长为10．在运动过程中，的面积与时间的关系如图2所示．
(1)直接写出_______，______；
(2)求出与的值；
(3)在点的整个运动过程中，若设的面积为，请求出与时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
24．中，，点P为边上一动点．
(1)如图1，过点A作于点D，以为边作，使，且，作射线交于点F．
①求证：，；
②求证：；
(2)如图2，，，N为内一动点，且，M为中点，连接，当最小时，求的度数．
25．已知直线，直线分别交于点E，F．
(1)【问题提出】如图①，点T在直线之间，连接．若，，，探究直线与的位置关系．
小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图②，过点T作，由平行线的性质，得，再求得的度数即可判断．则直线与的位置关系是 ；
(2)【问题迁移】如图③，，平分交于点G，平分交于点H，平分分别交于点Q，T，若，求的度数；
(3)【问题拓展】如图④，，平分交于点G，平分交于点H，点Q在直线上，平分交于点R，探究和之间存在的数量关系．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C A C D B B B
11．8
12．
13．
14．
15．
16． 或
17．【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
当，时
原式
18．【详解】（1）解：如图，先在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，
则即为所求．
（2）解：．
证明：设与相交于点，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
即．
，
为等边三角形，
垂直平分，，
，，
，
，
，
．
19．【详解】（1）解：抽奖箱中小球总数：1（一等奖）+ 3（二等奖）+ 5（三等奖）= 9 个．
小明有 10 分操行分，可摸一个球．故抽中二等奖的概率为
答∶ 小明同学有10分的操行分，求他抽中二等奖的概率为．
（2）解：当袋子中“感谢参与”的小球数量小于摸球的机会时，获奖才是必然事件；
小红用 20 分操行分，可摸 2 个球（每 10 分摸一个球）．
要确保不可能摸到两个“感谢参与”小球，则“感谢参与”小球数量 必须小于 2．
的值为1．
20．【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，连接，交直线于点，连接，
∵点和关于对称，
∴，
∴，
∵
∴当、、共线时，取得最小值，
故如图点即为所求：
（3）解：．
21．【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
若平分，，
，
，
，
．
22．【详解】（1）解：由题中规律可知，结合杨辉三角形：
，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6，
故答案为：5 ，6；
（2）由题中规律可知，结合杨辉三角形：
；
将等式中的“”代换成“”，得到
；
故答案为：；；
（3）解：∵，
当时，
∴
即①
当时，
即②
①+②得，
即
∴
23．【详解】（1）由图象可知，，．
故答案为：6，8；
（2）当点运动到点时，的面积达到最大，即为的值，
根据三角形面积公式有，可得，
点从点出发沿运动，，，，
∴总路程，
，
综上所述，；
（3）①当时，点在上运动，
以为底边，为高，，
根据三角形面积公式有，
；
②当时，点在上运动，
，，
，
，
，
，
；
③当时，点在上运动，
，
，
；
综上，与的函数关系式为
24．【详解】（1）证明：①∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点C作，交的延长线于点H，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：取的中点Q，连接，，
∵，M为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴Q，N，P三点共线时，最小，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴
25．【详解】（1）解：，理由如下：
如图所示，过点作，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图③，过点T作，则，
∴，，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：设， .
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，；
①如图④-1，当点Q在线段EF上时，过点R作，过点Q作.
∴，
∴，，，
，
∴，，
∴，
∴．
②如图④-2，当点Q在的延长线上时，过点R作，过点Q作.
∴，
∴，，，
，
∴，，
∴；
③如图④-3，当点Q在EF的延长线上时，过点R作，过点Q作.
∴，
∴，，
，，
∴，
，
∴，
∴，
综上所述，和之间存在的数量关系为 或．
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