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人教版（2024）八年级下册 第二十章 勾股定理 单元测试
一、单选题
1．某社区广场修建直角休闲步道，两条直行步道长度分别为12米和16米，两条步道相互垂直，若修建一条捷径连接两端，这条捷径的总长度为( )
A.18米 B.20米 C.22米 D.24米
2．若一个直角三角形的两边长为4和5,则第三边长为( )
A.3 B. C.8 D.3或
3．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦、在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
4．在中，，，，则的长为( )
A.2 B.4 C. D.
5．在勾股定理的学习中,我们已经学会了运用如图所示的图形,验证著名的勾股定理,这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”.“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律.“无字证明”体现的数学思想是( ).
A.分类讨论思想 B.转化思想 C.数形结合思想 D.整体思想
6．如图所示,如果将矩形纸沿虚线①对折后,沿虚线②剪开,剪出一个直角三角形,展开后得到一个等腰三角形,则展开后的等腰三角形周长是( )
A.12 B.18 C. D.
7．如图,《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺,问折高者几何？意思是：一根竹子,原高一丈（一丈=十尺）,折断后,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,求折断处离地面的高度.设竹子折断处离地面x尺,根据题意,列出的正确方程为( )
A. B.
C. D.
8．如图，A，B两点是体育馆相距最远的两点，分别从A，B两点引出一条直线交于点C，若于点A，，，那么的长是( )
A. B. C. D.
9．如图，长的梯子斜靠在一竖直的墙边，梯子的底端离墙脚的距离为，则梯子顶端距离地面的高度为( )
A.1.8 B.2.4 C.2.5 D.2.6
10．如图（1）是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图（2）所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形.已知大正方形的边长为10，AE的长为6，则小正方形的边长EF为( )
A.6 B.4 C.3 D.2
11．如图，长方体盒子（有盖）的长、宽、高分别是，，在中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从P处爬到C处去吃，有多种走法，则最短路程是( ).
A.25 B.20 C.24 D.28
12．意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设图1中空白部分的面积为，图3中空白部分的面积为，则下列表示，的等式成立的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
13．已知直角三角形两条直角边长分别为8和15，该三角形斜边长度为_____________.
14．如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的边长是_______________.

15．如图，一艘小船以8海里时的速度从港口O出发，向西北方向航行，另一艘小船以15海里时的速度同时从港口O出发，向西南方向航行，离开港口2小时时，两船相距_____________海里.
16．如图,长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B,则它爬行的最短路程是_____________.
17．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为____________.
三、解答题
18．如图1,已知在中,于D..
(1)求CD的长.
(2)求AB的长.
19．“一树新栽益四邻,野夫如到旧山春”,春天是植树的最佳季节.如图,四边形为某林场种植树林的区域,.经测量.
(1)护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查,求无人机飞行路径的长；
(2)试判断的形状,并说明理由.
20．如图，有两棵树，一棵高18米（米），另一棵高2米（米），两树相距12米（米）.

(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图2，台风过后，高18米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？
21．如图，已知一架梯子斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离.
(1)求这个梯子顶端A距地面有多高；
(2)如果梯子的顶端A下滑到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离吗？为什么？
22．我国南宋时期数学家秦九韶，曾提出了著名的秦九韶公式，它与海伦公式实质相同，因此我们也称其为海伦-秦九韶公式.
海伦-秦九韶公式是利用三角形的三边长求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为.
如图，在中，，，.
(1)______.
(2)求的面积.
(3)学习了勾股定理，尝试用其它方法求的面积.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意得：这条捷径的总长度为米.
2．答案：D
解析：当5是直角边时,则第三边；
当5是斜边时,则第三边.
综上所述,第三边的长是或3.
故选D.
3．答案：A
解析：弦
故选A.
4．答案：B
解析：在中，，，，
由勾股定理得，，
故选：B.
5．答案：C
解析：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,体现数形结合思想.
故选：C.
6．答案：D
解析：根据题意,三角形的底边为,腰的平方为,
等腰三角形的腰为；
等腰三角形的周长为：.
故选：D.
7．答案：C
解析：竹子原高十尺,竹子折断处离地面x尺,
图中直角三角形的斜边长尺,
根据勾股定理建立方程得：,
故选：C.
8．答案：A
解析：在中，，，，
故.
9．答案：B
解析：由勾股定理得，.
10．答案：D
解析：由题意得.，在中，，，小正方形的边长为2.
11．答案：B
解析：如图，连接，
当小虫从P处爬到C处经过侧面时，
由于底面是正方形，
∴4个侧面相同.
∴经过前面和右面与经过左面和后面最短路径相等.
只计算经过前面和右面最短路径，如图1.
∵点C是中点，，
∴.
∵底面宽为8，
∴.
∵，
∴.
当小虫经过底面和侧面时，如图2，
，
∴.
∵，
∴最短路程是.
故选：B.
12．答案：B
解析：由图可得，，，
故选：B.
13．答案：17
解析：由勾股定理得该三角形斜边长度为.
14．答案：12
解析：字母B所代表的正方形的面积
所以字母B所代表的正方形边长.
故选12.
15．答案：34
解析：由题意得，西北方向与西南方向的夹角为，
∴如图，两艘船的航行路线构成直角三角形，港口O为直角顶点，即，
由题意得，第一艘船（西北方向）：速度8海里/时，航行2小时，
∴；
第二艘船（西南方向）：速度15海里/时，航行2小时，
∴海里，
∴.
16．答案：
解析：由题意有以下路线
路线一,如图1,
路线二,如图2,
路线三,如图3,
,
最短距离为.
故答案为：.
17．答案：5
解析：在中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：，
即，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积为，
∴阴影部分的面积为5，
故答案为：5.
18．答案：(1)12
(2)25
解析：(1)在中,
；
(2)在中,,
则.
19．答案：(1)
(2)直角三角形
解析：(1),
,
在中,由勾股定理得：
,
答：无人机飞行路径的长为；
(2),,
,
是直角三角形,且,
,
为直角三角形.
20．答案：(1)20米
(2)5米
解析：(1)两棵树的高度差为（米），两树相距12米（米），
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米），
答：至少飞了20米；
(2)由勾股定理得：，
，
解得：，
答：树折断处M距离地面5米.
21．答案：(1)梯子顶端距地面24米高
(2)滑动不等于，理由见解析
解析：(1)根据勾股定理：
∴梯子距离地面的高度为：；
(2)梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于，理由如下：
∵梯子的顶端A下滑到点C，
∴，，
∴，
根据勾股定理得到，
∴，
∴梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于.
22．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)∵在中，，，，
∴；
(2)
；
(3)过点A作交延长线于点D，如图所示：
设，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴.

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