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上海市市北初级中学北校2026届中考冲刺数学试卷02
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　）
A． B． C． D．
3．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．无人机在12分钟内的飞行高度h（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．当时，
B．无人机飞行的最高高度约为50米
C．在范围内，无人机有2次高度达到43米
D．前8分钟内，无人机的高度在持续上升
5．如图，在正六边形中，直线从点出发向右平移，且，设直线在正六边形内部截得的线段的长为，平移的距离为与之间的函数关系的图形如图2所示，则正六边形的面积为( )
A．2 B． C． D．
6．如图1，在菱形中，对角线、相交于，要在对角线上找两点、，使得四边形是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．因式分解： =__________．
8．化简：_______．
9．方程的解是_____．
10．函数的定义域是_____．
11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
12．从，2，3，这四个数中任意选两个数，分别记作m，n，则点在函数图象上的概率是______．
13．点在二次函数的图象上．若，写出一个符合条件的m的值______．
14．如图，点、分别在边、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为____．
15．“黑发不知勤学早，白首方悔读书迟．”某校数学兴趣小组随机抽取了部分同学，调查他们最喜欢阅读的课外图书类别，将调查结果绘制成如图所示的两个统计图：
若该校共有学生2000人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有__________人．
16．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立了从直接测量到间接测量的桥梁，直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．某实践小组利用重差法测量海岛上一座山峰的高度，分别在，两点观察山顶点，测得仰角分别为，，同时测得长为200米，则山峰的高度约为_____米．(，，)
17．如图1，点是以为半径的圆外一点，点在线段上，若满足，则称点是点关于圆的“反演点”．如图2，在中，，，，圆的半径为2，如果点、分别是点、关于圆的“反演点”，那么的长是________．
18．如图，已知中，，，将绕点旋转至，如果直线，垂足记为点，那么的值为______．
三． 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）
19．计算：
20．解不等式组：．
21．定义运算“”：．
(1)计算：；
(2)画出函数的图象．
22．根据下列素材，完成探索任务．
核验山区5G信号塔高度项目
素材1 图①是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图，它是由一段斜坡与一段水平地面构成．斜坡用表示，水平地面用表示．有两个监测点分别在斜坡的端点A点处与水平地面上的C点处．根据选址时勘测日志中的记载，A点的地面海拔高度为592米，B点的地面海拔高度为542米，A、B两点垂直方向上的高度差即为海拔差，在整个检测过程中，检测员小李从A点到B点共走了130米，从B点到C点共走了60米．
素材2 图②为信号塔高度检测基地与修建在山上的5G信号塔与山的横断面示意图，垂直于水平面的5G信号塔就建在山上的Q点处．根据施工日志资料显示，信号塔底Q点的海拔高度为802米．检测员小李在检测基地的A点处利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，在C点利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，测角仪的高度忽略不计．
问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比．
任务二 如图②，根据小李记录下的测量数据，求这个5G信号塔的高度．（参考数据：，，，，，）
23．如图，平行四边形ABCD中，它的两条高、相交于点，，与的延长线相交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2，点分别是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当四边形为平行四边形时，求点的坐标；
(3)设点为抛物线上另一个动点，当平分，且时，求点的坐标．
25．已知⊙的半径为3，弦，中，，，．在平面上，先将和⊙按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙上，点C在⊙内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在⊙上随之移动．
(1)当点B与点N重合时，求劣弧的长；
(2)如图2，若点A在所对优弧上，且，求点O到的距离；
(3)若斜边经过点O，求的长．
参考答案
1．B
2．B
3．B
4．D
5．C
6．C
7．（x+4）（x-4）
8．
10．
11．
12．
13．5（答案不唯一）
14．
15．800
16．200
17．
18．或
19．解：
．
20．解：解不等式①，得；
解不等式②，得；
所以原不等式组的解集是．
21．（1）解：根据题意可知，
∵，
∴
（2）略
22．解：（1）延长，过点A作，交延长线于点，

由题意得：米，米，
则由勾股定理得：米，
∴，
∴斜坡的坡比为：；
（2）过点A作交延长线于点，延长交延长线于点，

则由题意得：米，，米，米，
设，则，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
答：这个5G信号塔的高度为36米．
23．（1）证明：，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
，
，
在和中，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，
由（1）已证：，
是等腰直角三角形，
，
，
在和中，，
，
，
．
24．（1）解：将代得，
∴点A的坐标为，
将，代入，得∶
，解得∶ ，
∴抛物线：．
（2）解：如图，设点P的坐标为，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
则点Q的坐标为，
将代入，得：
，解得或，
因为时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，
此时点P的坐标为；
（3）解：当点P在y轴左侧时，抛物线不存在点R使得平分，
当点P在y轴右侧时，不妨设点P在的上方，点R在的下方，
过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，
过点P作于点H，则有，
由平分，得，则，
∴，
∴，
设点P坐标为，点R坐标为，
所以有整理得：，
在中，，
过点Q作轴于点K，
设点Q坐标为，
若，则需，
所以，
所以解得∶，
所以点Q坐标为或．
25．（1）解：如解图1，连接，
，
是等边三角形，
，
的长度；
（2）如解图2，连接、，过A作于H，过O作于G，
∵，
∴，，
，
，
∴，
∴，
又∵在的直径上，
∴，
，
∴在中， ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
即点O到的距离为；
（3）如图，过O作于，过B作于点P，连接，
情况1：如解图3-1，当点A在劣弧上，
∵，，，
∴，
，，
过点O，
，
，
在中，，
∵，
∴，
∴在中， ，
在中，，
．
情况2：当点A在优弧上，如解图3-2，
同理可求：
综上所述：的长或．

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