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2025-2026学年新北师大版数学七年级下册期末常考题型重难点题专练（一）
一、选择题
1．中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列事件中不是随机事件的是（　　）
A．打开电视机正好在播放广告
B．从有黑球和白球的盒子里任意拿出一个正好是白球
C．从课本中任意拿一本书正好拿到数学书
D．明天太阳会从西方升起
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（　　）
A．一个袋中有3个红球，7个白球，除颜色外都相同，随机取一球，取到红球
B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3
C．从分别标有1，1，2，2，3，4，5的7张纸条中，随机抽出一张，抽到2的倍数概率
D．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀
7．如图，为直角三角形，，，平分，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．若使用如图所示的、两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（ ）
A．只有可以 B．只有可以 C．，都可以 D．，都不可以
9．“乡村振兴”是党的十九大作出的重大决策部署．为了推动农业耕种现代化，甲市有某型号智能农业耕种机器12台，现决定支援给A村和B村．已知从甲市调运一台机器到A村、B村的运费分别为400元和600元．设甲市运往A村的机器为x台，则总运费y关于x的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
10．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着展开式中的各项的系数，则的展开式所有项的系数和是（ ）
A．4050 B． C． D．
二、填空题
11．计算：_______．
12．已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是__________．
13．一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角是_______度．
14．如图，由四个长为，宽为的长方形和一块小正方形构成一块大正方形的飞镖游戏板．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上）．若，则飞镖击中小正方形空白区域的概率是_____．
15．如图1，已知长方形，动点P沿长方形的边以B→C→D的路径运动，记的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 _______．
16.若与的乘积中不含的二次项，则实数的值为______．
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．如图，在每个小正方形的边长都为的正方形网格中，已知的三个顶点都在格点上．
(1)画出关于直线的轴对称图形；
(2)在直线上找一点，使点到点，的距离和最小，并在图中描出点的位置(请保留画图痕迹）；
(3)求的面积．
19．一个袋中装有8个球，除颜色外都相同，其中有a个红球，b个白球（，），没有其他颜色的球，混合均匀后任意摸出一个球．
(1)将“摸出红球”记为事件A，“摸出白球”记为事件B．
①如果事件A是必然事件，则 ， ；
②如果，则 ， ；
(2)在（1）②的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，从袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球．
20．如图，为等腰直角三角形，，，点在的延长线上（）．连接，E为边上一点，且，连接并延长交于F．
(1)猜想与的位置关系，并说明理由；
(2)求的度数．
21．如图，在四边形中，，对角线平分，平分交于点G，过点G的直线分别交于点E，F．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若与之间的距离为6，，求的值．
22．小敏和小慧去西湖风景区游玩，约好在少年宫广场见面．如图1，A地、B地、少年宫广场在一条直线上．小敏从A地出发，先匀速步行至车站，再坐公交车前往少年宫广场．同时，小慧从B地出发，骑车去少年宫广场，平均速度为200米/分钟．两人距离A地的路程s（米）和所经过的时间（分）之间的函数关系如图2所示．（公交车的停车时间忽略不计）
(1)求公交车的平均速度．
(2)求同时出发后，经过多少时间小敏追上小慧．
(3)在小敏坐公交车的过程中，当她与小慧相距400米时，求的值．
23．【问题产生】小明在学习平方差公式后，突发奇想：比任意一个偶数大5的数与这个偶数的平方差能被5整除吗？
【特例尝试】（1）的结果是5的几倍？
【证明结论】（2）设这个偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除；
【拓展思考】（3）比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差能被10整除吗？若能，请说明理由；若不能，请求出余数．
24．在中，，点，是边上的两点．
(1)如图，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，，，求的值；
(2)如图，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：；
(3)如图，连接，，若，且，平分，，的面积为，点，分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值．
25．【探索发现】
（1）已知：如图1，，点M在，之间，连接，．证明：．
【深入思考】
（2）如图2，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点M，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】
如图3，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点N，若，，．求的度数．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D C C D A A D D
二、填空题
11．
12．27
13．
14．
15．12
16．
三、解答题
17．【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
当时，
原式．
18．【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）如图，连接，交直线于点，连接，
此时，为最小值，
则点即为所求．
（3）的面积为
19．【详解】（1）解：①事件A是必然事件，
8个球都是红球，
，，
故答案为：，；
②，
，
红球和白球各占一半，
，，
故答案为：，；
（2）解：设取走个白球，则红球的个数为（）个，
从袋中摸出一个球是红球的概率是，
，
解得：，
答：取走个白球．
20．【详解】（1）解：与的位置关系为，理由如下：
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长至H，使，
由（1）知：，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的度数为．
21．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（3）解：过点A作于点H，如图所示：
∵与之间的距离为6，
∴，
∵，
∴由三角形的面积公式得：，
∴，
∴，
∴．
22．【详解】（1）解：从图象可知，小敏坐公交车行驶的路程为米，坐公交车的时间是分钟．
∴公交车的平均速度米/分钟．
（2）小慧出发时距离地1800米，则有．
小敏坐公交车时，设，把，代入可得：
解得
所以小敏坐公交车时（）．
联立得，
解得：，
所以同时出发后，经过25分钟小敏追上小慧．
（3）情况一：小敏在小慧后面400米，
解得．
情况二：小敏在小慧前面400米
此时
解得，
综上，t的值 为23或27．
23．【详解】解：（1）
，
即的结果是5的13倍；
（2）
，
∵，
∴比大5的数与的平方差能被5整除；
（3）设这个整数为m，
，
∵，
∴比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差不能被10整除，余数为5．
24．【详解】（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，；
∴，
如图，过点作，交于点，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
又，
∴；
如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，
∵的面积为，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴的最小值为．
25．【详解】（1）解：过点作，
，
．
，．
．
即；
（2）证明：在三角形中，
，
，
．
∵，
．
∴；
（3）解：平分，，
．
设，
．
在（2）的条件下，
．
在（2）的条件下，，
，
解得：，
．
设，
平分，
．
，
．
．
，
在（2）的条件下，，
同理可得：．
即，
解得：，
．
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