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2025-2026学年北师大版七年级数学下册期末高频考点重难点强化训练
一、选择题
1．下列图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．北斗三号导航系统正式开通全球服务，在全球范围其授时精度优于20纳秒，已知1纳秒秒，则20纳秒可用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下面运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，其中恰好有一本是《周髀算经》的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据：
支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80
小车下滑的时间
下列说法错误的是（ ）
A．h每增加，t减小 B．当时，
C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快
6．如图，中，，，的垂直平分线交于，连接．若，求的长（ ）

A． B． C． D．
7．图1是一盏可折叠台灯．图2是其平面示意图，支架为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．当支架旋转至水平位置时（如图2），恰好与平行，则支架与水平方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．小明在做作业时，发现有一道题抄题时没有注意少抄了一部分：，而这道题计算的结果是，你觉得小明少抄的这一部分应是（ ）
A．a B．b C． D．
10．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
11．若2x＋y－3＝0，则4x×2y＝_________．
12．一个不透明的袋子里装有白球、黄球共35个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.6左右，则袋子中白球的个数最有可能是______个．
13．若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____．
14．如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 _______ ．
15．小明同学将一台机器人的搬运时间（单位：）和投运货物的重量（单位：）记录如表：
搬运时间（单位：） 1 2 3 4 …
搬运化物的重量（单位：） 100 140 180 220 …
根据上述规律，请估计搬运时间为时搬运货物的重量为______．
16．如图，在中，，，，点、分别是AB，BC上的动点，则的最小值为______．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图是一个的网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上．
(1)画出关于直线l对称的．
(2)求的面积．
(3)在直线l下方取格点D，作线段，使．
19．在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，它们除颜色外都相同．
(1)求从袋中任意摸出一个球为红球的概率；
(2)现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机摸出一个球是白球的概率是，问取走了多少个红球？
20．“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车上出行小星某天骑自行车上班从家出发到图书馆的过程中行进速度v（米1/分）随时间t（分钟）变化的函数图象大致如图所示，图象由三条线段，和组成．设线段上有一动点，直线l过点T且与横轴垂直，梯形在直线l左侧部分的面积即为t分钟内小星行进的路程（米）．

(1)①当分钟时，速度______米/分钟，路程______米；
②当分钟时，速度______米/分钟，路程______米；
(2)当和时，分别求出路程（米）关于时间（分钟）的函数解析式．
21．如图，交于点H，连．
(1)求证：；
(2)求；（用含α的式子表示）
(3)求证：平分．
22．在学校开展的综合与实践活动中，小红发现绿道旁的护栏长度问题可以与学习内容《变量之间的关系》产生联系．该护栏平面示意图如图所示，已知每根立柱宽为米，立柱间距为米．
小红通过测量，将测量结果制成如下表格：
立柱根数
护栏总长度（米）
(1)表中的值为_______，的值为_______；
(2)设有根立柱，护栏总长度为米，请写出与之间的关系式；
(3)若护栏总长度为米，请求出立柱共有多少根？
23．如图，在中，高、交于点，且．
(1)求的度数．
(2)若，，则的长为多少？
24．已知，连接．
(1)如图1，若与的平分线交于点，求证：；
(2)如图2，点在射线上，点在上，与的角平分线交于点．若，，求的度数；
(3)若点、分别为射线、上的两个动点，与的角平分线所在直线交于点．设，在点运动的过程中，的度数是否发生变化？如果不变，请证明：如果变化，请分别求出它的度数（用含，的式子表示）．
25．【基于教材】
（1）如图1，在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将图1的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，分别表示图1、图2中阴影部分的面积，可以得到的等式是 ；
【知识迁移】
（2）为落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》文件精神，成都市锦江区某校在图1的基础上重新设计了如图3所示的图案，其中阴影部分种植番茄．若，，求种植番茄的面积；
【拓展应用】
（3）将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图4方式不重叠地放置在矩形内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．若四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16，求长方形纸片的面积．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B A B A D C C
二、填空题
11．8
12．14
13．
14．12
15．340
16．
三、解答题
17．【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：的面积．
（3）解：如图所示：线段即为所求：
19．【详解】（1）解：由题意得，从袋中任意摸出一个球为红球的概率为；
（2）解：设取走了x个红球，
由题意得，，
解得，
答：取走了5个红球．
20．【详解】（1）解：①由图象可知分钟内速度由增加到米/分钟，每分钟增加米，故当分钟时，速度米/分钟，此时路程（米）；
故答案为：，；
②由图象可知当分钟时，速度米/分钟，路程（米）．
故答案为：，；
（2）①当时，设直线的解析式为，由图象可知点，
∴，解得，则．
设与的交点为，则，
∴．

②当时，设与的交点为，则，
∴．

21．【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
在中，
，
∴；
（2）解：设交于点O，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（3）证明：过点C作于M，于N，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
22．【详解】（1）解：（米），
∴，
当有根立柱时，（米），
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵增加个立柱，护栏总长度增加（米），
则，
∴与之间的关系式为；
（3）解：当时，得，
解得，
答：立柱共有根．
23．【详解】（1）解：的高、交于点，
于点，于点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
的度数是．
（2）解：，，，
，
，
，
，
的长为．
24．【详解】（1）解：如图：过点作，
∵，
∴
∴，
∵与的平分线交于点E，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：如图1，过点E作．
∵，
∴，
∴，．
∵分别平分，，，，
∴，，
∴．
（3）解：依题意，，如图2，过点E作．
∵，
∴，
∴，．
∵，与的角平分线所在直线交于点，
∴，，
∴，，
则；
综上所述，的度数为．
25．【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为：，
图2中阴影部分的面积为：，
∴可以得到的等式为；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴种植番茄的面积为：
；
（3）设长方形的两边分别为m、n，
∵长方形纸片和正方形纸片的周长相等，
∴正方形的边长为，
∴正方形的边长为，
∵四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16，
∴，
，
即，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴长方形纸片的面积为12．
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