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第七章 复数
基础知识部分
复数的概念
定义1 形如z=a+bi(a,b∈R)的数就叫做复数，其中i叫做虚数单位
全体复数构成的集合C就叫做复数集合，C={a+bi|a,b∈R}
实数a和b分别称为复数z 的的实部跟虚部，常记作a=Rez，b=Imz
复数相等
在复数集C中，C={a+bi|a,b∈R}，任取俩个数，
假设i
规定： ，当且仅当，
z=a+bi (a,b∈R)的几种出现情况
a≠0，b≠0时
z=a+bi
此时z称为虚数
z=a+bi (a,b∈R)的几种出现情况
a≠0，b＝0时
z=a
此时z称为实数
z=a+bi(a,b∈R)的几种出现情况
a=0，b≠0时
z=bi
此时z称为纯虚数
总结几种情况
复平面
z=2-4i
复数z=a+bi与复平面内的点Z（a，b）一一对应
复数z=a+bi与平面向量一一对应
平面向量模叫做复数z的模或绝对值
|z|=|a+bi|=,其中a，b∈R
如果b=0，|z|就等于|a|即a的绝对值
复平面
共轭复数：如果俩个复数，实部相等但是虚部互为相反数，则这俩个复数叫做互为共轭复数
即如果z=a+bi，则=a-bi
复数的运算
设i
加法：
= )+(i)=(+ )+(+i)= (+ )+(+)i
总结：实部与虚部各自相加
复数的运算
设i
减法：
= )-(i)=()+(i)= ( )+()i
总结：实部与虚部各自相减
复数的运算
设i
乘法：
复数的运算
设i
除法：
复数的几个运算律
交换律：
结合律:( += +)
分配率： +)= + ·
正指数幂：，，
复数的三角表示
问题：可否借助向量的大小和方向来表示复数呢？
以向量的模| |=r为大小
以x轴的非负半轴为始边
以向量所在射线为终边的角θ来确定
那么a+bi=r(cosθ+isinθ),其中r=，cosθ=，sinθ=
z=a+bi=r(cosθ+isinθ)
以x轴的非负半轴为始边,以向量所在射线为终边的角θ叫做复数z的辐角
r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式
z=a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式
辐角问题（辐角有无限多个）
规定在0≤θ＜2π的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz
那么θ＋2kπ，其中k=0，±1,±2,±3，……，记作Argz
即Argz=argz+2kπ，其中k∈Z
复数乘、除运算的三角表示
设=(cos+i sin), =(cos+i sin)
乘法：
总结：俩个复数相乘，模相乘，角相加
复数乘、除运算的三角表示
设=(cos+i sin), =(cos+i sin)
除法：
总结：俩个复数相除，模相除，角相减

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