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天津市2026年初中学业水平考试数学试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)、第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页。试卷满分120分。考试时间100分钟。
答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效。考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回。
祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。
2.本卷共12题,共36分。
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
( )计算5+(-2)的结果等于1
(A) - 7 (B) 7
(C) - 3 (D) 3
( )右图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是
(3)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是
(4)2026年5月28日，2026世界智能产业博览会在天津开幕，展览面积达130 000平方米，创历年之最.将数据130 000用科学记数法表示应为
(5)估计 的值在
(A) 2和3之间 (B) 3和4之间
(C) 4和5之间 (D) 5和6之间
(6)若点A(x ,-2), B(x ,4), C(x ,8)都在反比例函数 的图象上,则x , x ,x 的大小关系是
的值等于
(B) 0
(8)《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何 ”意思是：现有几个人共同买羊，每人出5钱，少45钱；每人出7钱，少3钱.那么人数、羊价各是多少 若设人数为x，则可以列出的方程为
(A) 5x+45=7x+3 (B) 5x+3=7x+45
(C) 5x+45=7x-3 (D) 5x-45=7x+3
(9) 计算 的结果等于
(A) 2a+2b
(10) 如图, 在△ABC中, AB=AC, ∠BAC=100°,BD是△ABC的角平分线. 按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两弧 (所在圆的半径相等)相交于点G；③作直线DG，与边BC相交于点H.则∠CDH的大小为
(A) 25° (B) 30°
(C) 35° (D) 40°
(11) 如图, 在△ABC中,AB=8, AC=6, 将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点C的对应点E落在边AB上，点B的对应点为D，连接CE并延长，与BD相交于点F，若BF=3,则△ABF 的面积为
(12) 矩形ABCD中,AB=5cm,AD=7cm.动点P从点A出发, 以1cm/s的速度沿边AD、边DC向终点C运动；动点Q从点A同时出发，以1cm/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动.设运动的时间为 ts.当t=3s时，点P，Q的位置如图所示.给出下面三个结论：
①当t=6s时，四边形APCQ是平行四边形；
② △APQ的最大面积为
③ 当△APQ的面积为10cm 时, 或t=10s.上述结论中，所有正确结论的序号是
(A) ①② (B) ①③
(C) ②③ (D) ①②③
2026年天津市初中学业水平考试
数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上(作图可用2B铅笔)。
2. 本卷共13题, 共84分。
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
(13)不透明袋子中装有15个球，其中有2个红球、6个黄球、7个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 .
(14) 计算. 的结果为 .
(15) 计算 的结果为 .
(16)将直线y=-x+b(b为常数)向上平移2个单位长度，若平移后的直线经过第二、第一、第四象限，则b的值可以是 (写出一个即可).
(17) 如图, 在菱形ABCD中,BC=5,∠B=60°, 连接AC.
(Ⅰ) 线段AC 的长为 ;
(Ⅱ)点E在边AB上,点F在BC的延长线上,EF与AC相交于点G, H为CD的中点. 若AE=CF=1, 则线段GH 的长为 .
(18)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上，点C在网格线上，以AC 为直径的半圆经过点B.
(Ⅰ) 线段AB的长为 ;
(Ⅱ)点M 在线段BC上,点N在线段AM 上,满足∠BNM =∠CNM =∠ACB. 请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的(不要求证明) .
三、解答题(本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
(19)(本小题8分)
解不等式组 ①
请结合题意填空，完成本题的解答.
(Ⅰ) 解不等式①, 得 ;
(Ⅱ) 解不等式②, 得 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(Ⅳ)原不等式组的解集为 .
(20)(本小题8分)
某校为强化学生低碳生活的环保理念，随机调查了该校a名学生周末绿色出行的次数，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)填空：a的值为 ，图①中m的值为 ，统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的众数和中位数分别为 和 ；
(Ⅱ)求统计的这组学生周末绿色出行的次数数据的平均数；
(Ⅲ)根据样本数据，若该校共有1200名学生，估计该校学生周末绿色出行的次数是6的人数约为多少
(21)(本小题10分)
已知点A,B在⊙O上,∠AOB=120°,点C在 上，点D在以A，B为端点的优弧上.
(Ⅰ) 如图①, 当C为 的中点时,若DB=DC, 求∠OBC和∠OBD的大小;
(Ⅱ)如图②, 当∠AOC=90°时, 过点D作⊙O的切线EF,且EF∥OB, CD与OB相交于点G，若⊙O的半径为3，求BD和DG的长.
(22)(本小题10分)
综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑AB的高度(如图①).
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，BC∥DE，AB的延长线与水平线DE相交于点O.从地面C处沿步道CD(看作斜坡)前行，至平台DE, CD=22m; 在平台D处测得纪念碑顶部A的仰角(∠ODA)为42°, 斜坡CD的倾斜角 (∠ODC)为12°; 在平台E处测得纪念碑顶部A的仰角 (∠OEA)为35°,DE=9m.根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑AB的高度(结果取整数).
参考数据：
(23) (本小题10分)
已知小杰的家、民俗文化馆、体育公园依次在同一条直线上，民俗文化馆离家1km，体育公园离家2km.小杰从家出发，先匀速骑行了10min到体育公园，在体育公园停留了40 min，之后匀速骑行了5min到民俗文化馆，在民俗文化馆停留20min后，再匀速骑行了5min回到家.下面图中x表示时间，y表示离家的距离.图象反映了这个过程中小杰离家的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息，回答下列问题：
(Ⅰ) 填表:
小杰离开家的时间/ min 6 20 50 65
小杰离家的距离/km 2
(Ⅱ)当50≤x≤80 时，请直接写出小杰离家的距离y关于时间x的函数解析式；
(Ⅲ)当小杰离开家40min时，他的爷爷开始从体育公园出发，匀速步行了50min直接回到家.在50≤x≤80 的时段内，对于同一个x的值，小杰离家的距离为y ，小杰的爷爷离家的距离为y ，当 时，求x的值(直接写出结果即可).
(24) (本小题10分)
将一个四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上, 点A,C分别在第一、第四象限, 且关于x轴对称, OA=6,∠A=90°, ∠AOC=120°.
(Ⅰ)填空：如图①，点B 的坐标为 ，点C的坐标为 ；
(Ⅱ)若P为x轴的正半轴上一动点，过点P作直线l⊥x轴，沿直线l折叠该纸片，折叠后点O的对应点O'落在x轴的正半轴上.设OP=t.
① 如图②，若直线l分别与边AB，CB相交于点D，E，当折叠后重叠部分为五边形时，点A,C的对应点分别为A',C',A'O'与DB相交于点F, C'O'与EB相交于点G. 试用含有t的式子表示线段DF的长，并直接写出t的取值范围；
② 设折叠后重叠部分的面积为S，当2≤t≤8时，求S的取值范围(直接写出结果即可).
(25) (本小题10分)
已知抛物线. (a,b,c为常数,a<0,c>0)的顶点为 P.
(Ⅰ) 当a=-1, b=-2, c=3时, 求点P的坐标;
(Ⅱ)点A(-c，0)和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点.
① 当 时,若∠PCA=90°, 求c的值;
② 若点B(m,0),∠ACB=75°,D为线段BC的中点,点M在线段AC上(不与点A,C重合)，点N在线段AB上，且 当MN+ND取得最小值为5时，求c的值.
2026年天津市初中学业水平考试
数学参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
(1) D (2) B (3) A (4) B (5)C (6)C
(7) B (8) A (9) D (10) B (11) C (12) D
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
(14) 3x y (15) 7 (16) 1 (答案不唯一, 满足b>-2即可)
(17)(Ⅰ) 5;
(18)(Ⅰ) (Ⅱ)如图，取格点D，连接DC，与网格线相交于点E；连接AE，与BC相交于点M，与半圆相交于点F；连接BF，与网格线相交于点G；取BC与网格线的交点H，连接GH 并延长，与网格线相交于点I；连接CI并延长，与AM 相交于点N，则点M，N即为所求.
三、解答题 (本大题共7小题，共66分)
(19)(本小题8分)
解:(Ⅰ) x≥-3;
(Ⅱ) x≤2;
(Ⅳ) - 3≤x≤2.
(20)(本小题8分)
解: (Ⅰ) 50, 30, 5, 5.
(Ⅱ)观察条形统计图，
∴ 这组数据的平均数是5.
(Ⅲ)∵在所抽取的样本中，周末绿色出行的次数是6的学生占20%，
∴ 根据样本数据，估计该校1200名学生中，周末绿色出行的次数是6的学生约占20%, 有1200×20%=240.
∴ 估计该校学生周末绿色出行的次数是6的人数约为240.
(21)(本小题10分)
解: (Ⅰ) 如图, 连接OC.
∵ C为 的中点，
又∠AOB=120°,
∴ ∠BOC =∠AOC =60°. 又OB=OC,
∴ △BOC为等边三角形. 得∠OBC =60°.
由 得∠BDC=30°.
∵ DB=DC,
∴ ∠DCB=∠DBC. 得
∴ ∠OBD=∠DBC-∠OBC=15°.
(Ⅱ) 如图, 连接OD.
∵ EF 与⊙O相切于点D,
∴ OD⊥EF. 即∠EDO=90°.
∵ EF∥OB,
∴ ∠BOD=∠EDO=90°. 又OB=OD=3,
∴ ∠ODB=∠OBD=45°.
在Rt△OBD中, 由 得
∵ ∠AOC=90°,
∴ ∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°. 得
∴ ∠ODG=∠ODB-∠BDC=30°.
在Rt△ODG中, 由 得
(22) (本小题10分)
解: 根据题意, 有∠AOE=90°.
在Rt△AOD中, 得
在Rt△AOE 中, 得
∵ EO-DO=DE, DE=9,
如图,过点C作CH⊥DE,垂足为H.
在Rt△CDH中,
∴ CH=CD·sin∠CDH=22×sin12°≈22×0.2=4.4.
∵ ∠CBO=∠BOH =∠OHC=90°,
∴ 四边形BCHO是矩形. 得BO=CH .
∴ AB=AO-BO≈28.35-4.4≈24.
答：引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m.
(23)(本小题10分)
解: (Ⅰ) 1.2, 2, 1.
(Ⅱ) 当50≤x≤55时, y=-0.2x+12;
当55当75(Ⅲ) 52.5, 65, 77.5.
(24) (本小题10分)
解: (Ⅰ) (12,0), (3,-3 ).
(Ⅱ) ① 根据题意, 有△AOB≌△COB.
在Rt△AOB 中, ∠ABO=30°, OB=12,
由折叠知, A'O'=AO=6,O'P=OP=t,∠A'=∠A=90°,∠A'O'P=∠AOP=60°.
∴O'B=OB-OP-O'P=12-2t,∠O'FB=∠A'O'P-∠ABO=30°.
∴ ∠O'BF =∠O'FB.得O'F=O'B=12-2t.
∴A'F=A'O'-O'F=6-(12-2t)=2t-6.
由∠A'FD=∠O'FB,得∠A'FD=30°.
在Rt△A'DF 中, 得
其中t的取值范围是3(25)(本小题10分)
解: (Ⅰ) ∵ a=-1, b=-2, c=3,
∴ 该抛物线的解析式为
∴ 该抛物线顶点 P 的坐标为(-1,4).
(Ⅱ) ① 由 得
∴ 该抛物线顶点 P 的坐标为
∵ 点A(-c,0),点C(0, c),
∴ OA=OC.得∠ACO=45°.
根据题意,点P在第二象限,过点P作PE⊥y轴于点E.有∠PCE=45°.
∴ PE=CE.有 解得 (舍).
∵ 点A(-c,0)在抛物线 上，
又c>0,
得c=2-2b.
∴ c=6.
② 由∠ACB=75°,得∠OCB=∠ACB-∠ACO=30°, m>0.
在Rt△OBC中, 得 (*)
过点M作MF⊥y轴于点F,连接BF.可得
又
∴ MF=CF=BN.
∴ 四边形BFMN为平行四边形.有 BF =MN .
在△OBC的外部,作∠OBG=∠OCB,且BG=BC,连接GN,
∴ △CFB≌△BNG.
∴ BF=GN.得MN=GN.
∴ MN+ND=GN+ND≥GD.
当满足条件的点N落在线段GD上时，MN+ND取得最小值5，即GD=5.
∵ ∠OBC+∠OCB=90°,
∴ ∠OBC+∠OBG=90°.即∠DBG=90°.
∵ D为线段BC的中点，
在Rt△DBG中,由 得 有
在Rt△OBC中,由 得
将(*)式代入,得 解得 (舍).

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