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第一章　1.2　菱形的性质与判定
第2课时　菱形的判定
2026-2027学年北师大版数学九年级上册
学习目标
1.理解菱形的两个判定定理，知道两个判定定理的区别与适用范围.(重点)
2.能利用菱形的判定定理与定义进行推理和计算.(难点)
3.在利用菱形的判定定理解决问题的过程中，提高逻辑推理能力和计算能力，增强符号感.
课堂引入
(1)菱形的定义是什么？
(2)菱形作为特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的一般性质外，还有哪些独特性质？
利用边之间的数量关系判定菱形
一、
问题1　观察下面的解题过程并在横线上填写适当的内容：
菱形的性质：菱形的四条边相等.
该命题的逆命题是：如果一个四边形的　　　　　 ，那么这个四边形是　　　.
用符号可叙述为：如图所示，在四边形ABCD中，如果AB＝BC＝CD＝　 　，那么四边形ABCD是　　　.
四条边相等
菱形
AD
菱形
证明这个逆命题是真命题的过程如下：
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
理由：　　　　 　　　.
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形.理由：　　　　　　.
两组对边相等的四边形是平行四边形
菱形的定义
知识梳理
菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形.
例1　如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AC，EF＝ED.求证：四边形CDEF是菱形.
证明　∵在△ABC中，AD是角平分线，
∴∠1＝∠2，
在△ACF和△AEF中，
∴△ACF≌△AEF(SAS)，∴CF＝EF，
同理可得△ACD≌△AED(SAS)，∴CD＝ED，
∵EF＝ED，
∴CF＝EF＝ED＝CD，
∴四边形CDEF是菱形(四边相等的四边形是菱形).
反思感悟
利用四边形四边相等判定菱形，其适用范围是四边形，只要能说明一个四边形的四条边相等，即可得到这个四边形是菱形.
跟踪训练1　如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.将△ABC沿射线BC方向平移10 cm，得到△DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，连接AD，CE.
求证：四边形ACFD是菱形.
证明　由平移变换的性质得CF＝AD＝10 cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，
∴AC＝＝10(cm)，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10 cm，
∴四边形ACFD是菱形.
二、
利用对角线之间的位置关系判定菱形
问题2　观察下面的解题过程并在横线上填写适当的内容：
菱形的性质：菱形的对角线互相垂直.
该命题的逆命题是：如果一个平行四边形的对角线　　 　，那么这个平行四边形是　　　.
用符号可叙述为：如图所示，在　　　四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果AC⊥　　，那么平行四边形ABCD是　　　.
互相垂直
菱形
平行
BD
菱形
证明这个逆命题是真命题的过程如下：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO.理由：　　　　　　 　 .
∵AC⊥BD，垂足是O，
∴直线AC垂直平分线段BD.理由：　　　　　　 .
∴AB＝AD.理由：　　　 　　　　　 .
∴平行四边形ABCD是菱形.理由：　 　 　 　　　　.
平行四边形的对角线互相平分
线段垂直平分线的定义
线段垂直平分线的性质
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
知识梳理
菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
例2　(课本P8例2)已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1.求证： ABCD是菱形.
证明　在△AOB中，
∵AB＝，OA＝2，OB＝1，
∴AB2＝OA2＋OB2，
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角.
∴AC⊥BD.
∴ ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
反思感悟
菱形的两个判定定理，有着不同的适用范围，如涉及到对角线垂直的判定定理只适用于平行四边形，在解题时要注意这个区别.
跟踪训练2　在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是
A.∠ABC＝90° B.AC⊥BD
C.AB＝CD D.AB∥CD
√
解析　∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AC⊥BD时， ABCD是菱形.
课堂小结
1.在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是
A.测量一组对边是否平行且相等
B.测量四个内角是否相等
C.测量两条对角线是否互相垂直
D.测量四条边是否相等
随堂演练
√
2.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他的操作步骤如下：分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是
A.矩形但不是正方形 B.菱形
C.正方形 D.梯形
√
解析　根据作图方法可知AC＝BC＝AD＝BD，则四边形ADBC一定是菱形.
随堂演练
3.下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是
随堂演练
√
随堂演练
解析　A项，根据等腰三角形的性质，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形；
B项，根据两个锐角互余的三角形是直角三角形，可得平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形；
C项，只有一组邻角互补，得到这组对边平行，不能判定该平行四边形是菱形；
D项，根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得该平行四边形由两个等边三角形组成，则一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形.
4.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请你添加一个与角有关的条件：_______________
　　　 ，使四边形ABCD成为菱形.
随堂演练
∠ADB＝∠CBD
解析　当添加“∠ADB＝∠CBD”时，
∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，
∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形.
(答案不唯一)
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